文档内容
第十七章 勾股定理
01 思维导图
02 知识速记
知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c
如图：直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么
a2 b2 c2
.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样
就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
（3）理解勾股定理的一些变式： ， ， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
知识点02 勾股定理证明（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
知识点03 勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2 c
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 为
三角形的最大边.
知识点04 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
知识点05 勾股定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在
具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第
三边的平方比较而得到错误的结论.知识点06 平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用
勾股定理求解
03 题型归纳
题型一 已知直角三角形的两边，求第三边长
例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是
．
巩固训练
1.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路 （ ）绕过两
地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若 ，那么建好桥后从
A村到B村比原来减少的路程为 ．
2.（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角 中， ， ，则 的长为
3.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为
．
题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积
例题：（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为
400，则正方形C的边长为 ．巩固训练
1.（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形 的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形
的边长分别为4和8，则正方形 的面积为 ．
2.（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在 中， ，分别以 、 、 为直径
作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当 ， 时，则阴影部分的面积为 ．
3.（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方
形 的面积依次为5、13、30，则正方形 的面积为 ．
题型三 利用等面积法求直接斜边上的高问题
例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正
方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ．巩固训练
1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 的顶点 在边长为 的正方形网格的格
点上， 于点 ．则 的长为 ．
2.（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点
A，B，C都在格点上，求 边上的高长＝ ．
3.（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示， 的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，
于点D，则BD的长为 ．
题型四 勾股数的判断
例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3
巩固训练
1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名
的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4
2.（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．5，6，7 C． ， ， D． ， ，
题型五 判断能否构成直角三角形
例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c．下列条
件不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
巩固训练
1.（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的 ，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
3.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，下列条
件中，不能判定 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型六 在网格中判断直角三角形
例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图， 在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在
格点上，下列结论不正确的是（ ）A． B． 的面积为5
C． D．点 到 的距离为
巩固训练
1.（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三
角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)求 的周长；
(2)若点 为直线 上任意一点，则线段 的最小值为________．
3.（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长
都为1．
(1)求四边形 的面积；(2)判断线段 和 的位置关系，并说明理由．
题型七 利用勾股定理的逆定理求解
例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形 中，已知 ， ， ，
．
(1)连接 ，试判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的度数．
巩固训练
1.（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在 中， ，垂足为 ．
(1)求 的长；
(2)判断 的形状，并说明理由．
2.（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形 中，已知 ， ， ，
， ．
(1)求线段 的长；
(2)求证： 是直角三角形．
3.（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形 中， ， 为对角线， 于E，
．(1)确定 的度数；
(2)求线段 的长．
题型八 勾股定理逆定理的实际应用
例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两
个取水点 ， ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个
取水点 （ ， ， ）在同一条直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米，
千米．问 是否为从村庄 到河边最近的路？请说明理由．
巩固训练
1.（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地 ，为了绿化环境，学校计
划在空地上种植草皮．经测量 ，若每平方米草皮需要
100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计）
2.（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路 旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的
停靠站A的距离为 ，与公路上另一停靠站B的距离为 ，停靠站A，B之间的距离为
，为方便运输货物现要从公路 上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且 ．(1)求证： ；
(2)求修建的公路 的长．
3.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地 ， ， ，
．从点A修了一条垂直 的小路 （垂足为E），E恰好是 的中点，且 ．
(1)求边 的长；
(2)连接 ，判断 的形状；
(3)求这块空地的面积．
题型九 应用勾股定理解决汽车是否超速与受影响问题
例题：（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是 ．“流动测速小组”的小王在距离此公路
的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从 处行驶
后到达 处，测得 ，若 ．求出速度并判断可疑汽车是否超速？
巩固训练
1.（23-24八年级下·广西玉林·期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过
，如图，一辆小汽车在该笔直路段 上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪 的正前方
的点 处， 后小汽车行驶到点 处，测得此时小汽车与车速检测仪 间的距离为 ，
．(1)求 的长．
(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
2.（2024·湖南永州·模拟预测）如图某货船以 海里 的速度将一批重要的物资由 处运往正西方向的
处，经 的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以 海里 的
速度由 处向北偏西 方向移动，距台风中心 海里以内的圆形区域会受到影响．（ ）问：
(1) 处是否会受到台风的影响？请说明理由．
(2)如果 处受到台风影响，那么求出影响的时间．
3.（23-24八年级下·云南昭通·期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破
坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线 上
的两点A、B的距离分别为 ， ，又 ，经测量，距离台风中心 及
以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗?为什么?
(2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长?
题型十 应用勾股定理解决选扯距离相离问题
例题：（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距 ，C，D为两村庄，
于A， 于B．现要在 上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求 的长．
巩固训练
1.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄， 于点
B， 于点C， 千米， 千米， 千米．现需要在 上建立一个物资调运站E，使得
E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离．
2.（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上 两点相距 为两商场，
于 于 ．已知 ．现在要在公路 上建一个土特产产品收购站 ，使得
两商场到 站的距离相等，
(1)求 站应建在离 点多少 处？
(2)若某人从商场 以 的速度匀速步行到收购站 ，需要多少小时？
3.（23-24七年级上·山东淄博·期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，
某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路 和 ，
C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路 和公路 互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路 与
公路 在H处连接，且公路 和公路 互相垂直，已知 千米， 千米， 千米．(1)求公路 的长度；
(2)若修公路 每千米的费用是200万元，请求出修建公路 的总费用．
