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第十七章 勾股定理（压轴题专练）
目录
【考点一 巧妙割补求面积】..............................................................................................................................1
【考点二 “勾股树”及其拓展类型求面积】..................................................................................................2
【考点三 勾股定理及逆定理与网格问题】......................................................................................................4
【考点四 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】......................................................5
【考点五 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】......................................................7
【考点六 实际问题中的方程思想】..................................................................................................................8
【考点七 勾股定理逆定理的拓展问题】........................................................................................................10
【考点一 巧妙割补求面积】
例题：如图，一块四边形花圃 中，已知∠B=90°， ， ， ， .
(1)求四边形花圃 的面积；
(2)求 到 的距离．
【变式训练】
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．
2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1
（1）线段BC＝ ，线段CD＝ ；（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）
3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，
（1）边AC、AB、BC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离
【考点二 “勾股树”及其拓展类型求面积】
例题：如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D
的面积之和为__________．
【变式训练】1．如图，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 且 ，则 ___________；
以 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 ，则 三者之间的关系为___________．
2．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为 ．
(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
3．如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、
D三点在同一条直线上，
(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）
(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有_______个．
(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部
分的面积为_______．
【考点三 勾股定理及逆定理与网格问题】
例题：如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则 度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正
方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么 中 边上的高的长度是
（ ）A． B． C． D．
3．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 都
在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． 的面积为10 B．
C． D．点 到直线 的距离是2
4．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均
为网格上的格点．
(1) __________， __________， __________；
(2) 的形状为__________三角形；
(3)求 中 边上的高__________．
【考点四 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】
例题：如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图
中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，三角形纸片 中， ， ， ． 是 边上一点，连接 ，把 沿
翻折，点 恰好落在 延长线上的点 处，则 的长为__________．
2．长方形纸片 中， ， ，点E是 边上一动点，连接 ，把∠B沿 折叠，使点B
落在点F处，连接 ，当 为直角三角形时， 的长为______．
3．如图，在 中， ，把 沿直线 折叠，使 与 重合．
(1)若 ，则 的度数为 ；
(2)当 ， 的面积为 时， 的周长为 （用含 的代数式表示）；
(3)若 ， ，求 的长．4．在 中，点 是 上一点，将 沿 翻折后得到 ，边 交线段 于点 ．
(1)如图1，当 ， 时．
和 有怎样的位置关系，为什么？
若 ， ，求线段 的长．
(2)如图2，若 ，折叠后要使 和 ，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是
等腰三角形．求此时 的度数．
【考点五 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】
例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
【变式训练】
1．如图，在等腰 中， ， ，垂足为 ，已知 ， ．(1)求 与 的长；
(2)点 是线段 上的一动点，当 为何值时， 为等腰三角形．
【考点六 实际问题中的方程思想】
例题：如图，小强放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度OA．于是他先
拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线l向后拉开6米，发现风筝线末端B
刚好接触地面，请你帮小强求出风筝距离地面的高度OA．
【变式训练】
1．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛
AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭
赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝ 米），这段
话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦
苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水
的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
3．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
(1)求旗杆距地面多高处折断（ ）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次
大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
4．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某种原由C
到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），
并新修一条路CH，测得 千米， 千米， 千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
5．如图，地面上放着一个小凳子，点 距离墙面 ，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木
杆靠在点 处， ．在图②中，木杆的一端与点 重合，另一端靠在墙上点 处．
（1）求小凳子的高度；
（2）若 ，木杆的长度比 长 ，求木杆的长度和小凳子坐板的宽 ．【考点七 勾股定理逆定理的拓展问题】
例题：定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB
为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
【变式训练】
1．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边
长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；②若 ，
则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分
别是4，5，6，则最长边是6， ，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求 的值．
（3）当 ， 时，判断 的形状，并求出对应的 的取值范围．2．先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组： ， ， ； 第二组： ， ， ；
第三组： ， ， ； 第四组： ， ， ；
（1）根据各组数反映的规律，用含 的代数式表示第 组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图， ， ， ，若 ， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且
， ，求 的长．
