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第十三章 三角形
一、三角形的概念及分类
1.三角形的定义：由 的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
2.三角形的分类：
1)按边分类可以分为 ； (2)按角分类可以分为
(二、三角形中三边关系
三角形的任意两边之和 , 任意两边之差 .
三、三角形的高线、中线、角平分线
三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线， 之间的 ；
三角形的中线：联结三角形一个 与对边 的线段；
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点 与 之间的线段；
四、三角形的内角和定理
（1）定理：三角形三个 度；
（2）直角三角形的两个锐角 .
五、三角形的外角定义和定理
（1）外角定义：三角形的 和另一边的 （一个角的外角有2个）
（2）外角定理：三角形的外角等于和它 ；
三角形的一个外角 任何一个和它不相邻内角；三角形外角 度.
易错点1 画三角形的高线易错问题
1.易错点总结： 钝角三角形高线位置混淆：易误将钝角两边的高线画在三角形内部，实际应向边的延长
线作垂线，垂足在外部。高线与中线、角平分线混淆：常把高线画成连接顶点与对边中点（中线）或平分
内角的线（角平分线），忽略“垂直”核心特征。
2.注意事项：明确高线定义：必须满足“过顶点”且“垂直于对边（或其延长线）”，用直角符号标注垂
足。 区分三角形类型：锐角三角形高线全在内部，直角三角形两条直角边互为高线，钝角三角形钝角两
边高线在外部。
1．如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
易错点2 利用三角形内角和求折叠中的多解问题1.易错点总结： 折叠方向遗漏：忽略折叠可能向三角形内部或外部进行，只算单种情况导致漏解。角度
关系误判：折叠后对应角相等的性质应用错误，混淆重叠部分与原角的关系。
2.注意事项：分类讨论折叠方式：明确折叠边、折叠方向，画出不同示意图分析角度。紧扣等量关系：利
用折叠前后对应角相等，结合三角形内角和180°，列等式时标注重叠角。
2．如图，在 中， ，将纸片折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕与边
、 分别交于点 、 ．若 是直角三角形，则 的度数为 ．
易错点3 利用三角形内外角与角平分线问题
1.易错点总结：内外角平分线混淆：误将外角平分线当作内角平分线计算，导致角度关系错误。角平分线
分角错误：忽略角平分线将角平分为相等两部分的性质，错用比例关系。
2.注意事项： 明确角平分线类型：区分内角与外角平分线，结合图形标注角的位置。利用等量关系计算：
紧扣“角平分线分角相等”，结合三角形内外角关系（外角=不相邻两内角和）推导。
3．如图①，在 中， 平分 ，且与 的外角 的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，则 ．
【猜想证明】
（3）当 和 在变化，而 始终保持不变，则 是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？
（用含有 的式子表示 ）
【拓展提高】
（4）若把 截去，得到四边形 ，如图②，猜想 的数量关系，并说明理由．一、单选题
1．在 中，画出边 上的高，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 中， ，将 沿 折叠，使得点B落在 边上的点F处，若
且 中有两个内角相等，则 的度数为（ ）
A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°
3．如图， 于点O，点E，F分别是射线 上的动点（不与点O重合），延长 至点G，
的角平分线及其反向延长线分别交 的角平分线于点M，N．若 中有一个角是
另一个角的4倍，则 为（ ）．A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
二、填空题
4．如图， 的边 上的高是 ．
5．如图，已知在 中， ， ， 是角平分线，点 、 分别在边 上，
．将 绕点 以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为 ．当
秒时有 ．
6．在 中， ，点 ， 分别是 ， 边两个动点．将 沿 折叠得到 ，
点 的对应点为点 ， 的平分线交直线 于点 ．若边 与 的一条边平行， ，则
的度数为 ．
三、解答题
7．如图（1）已知 的外角 与 的平分线相交于点P，如图（2）已知 的内角
与外角 的角平分线相交于点P．
选择其中一个图形猜想 与 的关系并证明你的猜想．
解：我选择的是_________，猜想结论：_________．证明：
8．已知 中， ， 是边 上一点（不与点 ，点 重合）．
(1)如图1，若 是 的高， 是 的角平分线．求证， ；
(2)如图2，若 ， ， 与 的平分线相交于点 ．
①依题意补全图形；
②试用等式表示 与 之间的数量关系，并证明．
9．探究一：
（1）如图1，在 中， ， ， 分别是两个内角 ， 的角平分线，则
_______度；
（2）如图2，在 中， ， ， 分别是两个外角 ， 的角平分线，则
________度．探究二：
（3）如图3，在 中， 是三角形内角 的角平分线， 是外角 的角平分线，请说明
和 之间的数量关系?并证明你的结论．
（4）如图 ，在四边形 中， 是内角 的角平分线， 是外角 的角平分线，请直接
写出 与 ， 之间的数量关系．（不用说明理由）
10．如图1， 、 的角平分线 、 相交于点 ，
(1)如果 ，那么 的度数是多少，试说明理由并完成填空；(2)如图2， ，如果 、 的角平分线 、 相交于点 ，请直接写出 度数；
(3)如图2，重复上述过程， 、 的角平分线 、 相交于点 得到 ，设 ，
请用 表示 的度数（直接写出答案）
