文档内容
第十九章 一次函数与（特殊）平行四边形综合
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
动点题型一 平行四边形中动点与函数图象问题....................................................................................................1
动点题型二 矩形中动点与函数图象问题..............................................................................................................10
动点题型三 菱形中动点与函数图象问题..............................................................................................................15
动点题型四 正方形中动点与函数图象问题..........................................................................................................21
【压轴题型】...............................................................................................................................................................27
压轴题型一 一次函数与平行四边形综合问题......................................................................................................27
压轴题型二 一次函数与矩形综合问题..................................................................................................................45
压轴题型三 一次函数与菱形综合问题..................................................................................................................57
压轴题型四 一次函数与正方形形综合问题..........................................................................................................66
02 动点题型
【易错题型】
动点题型一 平行四边形中动点与函数图象问题
例题：（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图①，在平行四边形 中， ，连接 ， ，
与 相交于点 ，点 从点 出发，沿 以 的速度匀速运动到点 ，图②是点 运
动时，线段 的长 随时间 变化的函数关系图象，其中 ， 分别是两段曲线的最低点，则
的长为（ ）
A． B． C． D．巩固训练
1．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，将 放置在第一象限，且
轴．直线 从原点出发沿 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度
与直线在 轴上平移的距离 的函数图象如图2，那么 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南周口·三模）如图1，平行四边形 中， ， ，点P从点A出发，沿
以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时， 的周长y随时间
变化的关系图象，则平行四边形 的面积为（ ）
A．8 B． C． D．4
3．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图1，在平行四边形 中， ，动点P从A点出
发，以 的速度沿着 的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知 的面积y
（单位： ）与点P移动的时间x（单位： ）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．374．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图（1），点 是平行四边形 边上一动点，沿
的路径移动，设点 经过的路径长为 ， 的面积是 ，图（ ）是点运动时 随 变
化的关系图象，则 与 间的距离是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
5．（24-25九年级上·四川泸州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的边 落在x
轴的正半轴上，且点 ， ，直线 以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该
直线可将平行四边形 的面积平分．
6．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，四边形 是平行四边形， ， ， ，
若直线 平分四边形 的面积，则 ．
7．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在直角坐标系中，平行四边形 的边 在 轴上，顶点
，顶点 ，点 在线段 上，若直线 经过点 ，且将平行四边形 分割成面积相
等的两部分，则直线 的函数解析式是 ．动点题型二 矩形中动点与函数图象问题
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举
行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点 为矩形 边 的中点，在矩形 的四个顶点处都
有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员 从点 出发，沿着 的路线匀速行进，到
达点 ．设运动员 的运动时间为 ，到监测点的距离为 ．现有 与 的函数关系的图象大致如图2所示，
则这一信息的来源监测点为 ．
巩固训练
1．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形 中，点P从点A出发，匀速沿
向点 运动，连接 ，设点 的运动距离为 ， 的长为 ， 关于 的函数图象如图2所示，则当点
为 中点时， 的长为 ．
2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿
运动至点A停止，设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩
形 的周长是 ．3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形 的顶点 坐标为 ，直线 分别交
轴、 轴于 、 点，若线段 上有一点 ，直线 上有一点 ， 是以 为斜边的等腰直角
三角形，则点P坐标为 ．
4．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边AB在 轴正半轴
上，点 在点 的左侧，直线 经过点 和点 ，且 ，将直线 沿 轴向下平移得
到 ，若点 落在矩形 的内部（不含边界），则 的取值范围是 ．
动点题型三 菱形中动点与函数图象问题
例题：（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 均在 轴上，
点 在 轴上，点 在第一象限，已知直线 的函数解析式为： ，点 是直线 上一动点，
则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图1，将菱形 置于平面直角坐标系中，边 在 轴上，点
坐标为(0,3)，与 垂直的直线 沿着 轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设在平
移过程中，直线 被菱形 截得的线段长为 ，平移时间为 秒， 与 的函数图象如图2所示，则
的值为（ ）
A．8 B． C． D．
2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图①，在菱形 中，垂直于 的直线 （直线 与菱形
的两边分别交于E、F两点，且点 在点 的上方）沿 方向从点 出发到点 停止运动，设直线
平移距离为 ， 的面积为 ，若 与 之间的函数图象如图②所示，则 的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．63．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的四个顶点都在坐标
轴上，其中 ， ，对角线 相交于原点 ，若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象将菱形
分成面积之比为 的两个平行四边形，则直线的解析式为 ．
动点题型四 正方形中动点与函数图象问题
例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，正方形 的边长为4，动点P从点B出发沿折线
做匀速运动，设点P运动的路程为x， 的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是
（ ）
A． B．
C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点 在 轴上，以
为边作正方形 ，点 的坐标 在一次函数 上，一次函数与 轴交于点 ，与 轴交于
点 ，将正方形 沿 轴向右平移 个单位长度后，点 刚好落在直线 上，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在 轴、 轴上，
四边形 是边长为4的正方形，点 为 的中点，点 为 上的一个动点，连接 ， ，当点
满足 的值最小时，直线 的解析式为 ．
4．（2024·山东临沂·一模）在平面直角坐标系 中，记直线 为 ，点 是直线 与y轴的交点，以
为边作正方形 ，使点 落在x轴正半轴上，作射线 交直线 于点 ，以 为边作正方形，使点 落在 轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点 的坐标是 ．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 一次函数与平行四边形综合问题
例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形 ，其中点
在 轴上，点 在 轴上，点 在第一象限．已知 ， ， ，
(1)求 各点的坐标．
(2)若在直线BD上有一点 ，且点 在 的角平分线上，求点 的坐标．
巩固训练
1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点．直线 与
轴交于点 ，与 轴交于点 ，四边形 是平行四边形．
(1)求 、 两点的坐标；
(2)求直线 所对应的函数表达式．2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形 中， ，过点 作 于
点 ．点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿折线 运动，到达点 时停
止．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ．
(1)请直接写出 与 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____
(3)若直线 与该函数图象恰有一个交点，则常数 的取值范围是_____．
3．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）动点P在平行四边形 边上沿着 的方向匀
速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度 ，其所在位置用点P表示，P到对角线
的距离（即垂线段 的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．
(1) ， ， ．
(2)若 ，求出 时d与t的函数关系式，并求当 时 的面积．
(3)如图②，点M，N分别在函数第一段和第三段图象上，线段 平行于横轴，M、N的横坐标分别为 、．设 、 时点P走过的路程分别为 、 ，若 ，求 、 的值．
4．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形 中， ，点 从 出发，
沿射线 方向运动，过点 作 交折线 于点 ，当点 与点 重合时，点 停止运动．
运动过程中，设 ， ．
(1)请直接写出 与 的函数表达式以及对应的 的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)已知函数 的图象如图所示，当 时，请直接写出自变量 的取值范围；
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形 中， 为钝角， ， 分别为
边 ， 上的高，交边 ， 于点 ， ，连结 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)如图2，若 ，以点 为原点建立平面直角坐标系，点 坐标为 ，点 为直线 上一
动点，当 时，求出此时点 的坐标．
6．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形 ， 轴， ，点A的坐标为
，点D的坐标为 ，点B在第四象限，点P是平行四边形 边上的一个动点．(1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________；
(2)点G是 与y轴的交点，求点G的坐标；
(3)若点P在 上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线 上，求点P的坐标；
(4)若点 在折线 上，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 轴的平行线 ，它们交于点 ，
将 沿直线 翻折，点 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点 的坐标．
压轴题型二 一次函数与矩形综合问题
例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点 的坐标
为 ，正比例函数 的图象交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，且满足 ．
(1)求点 的坐标；
(2)点 在线段 上，横坐标为 ，设 的面积为 ，请用含 的式子表示 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线 （k为常数且 ）分别与x轴、y轴相交于
A，B两点，O为坐标原点，点A的坐标为 ，过线段 上一点P（不与端点重合）作x轴、y轴的垂
线，垂足分别为M，N．(1)求k的值；
(2)当矩形 的周长是12时，求点P的坐标．
2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A在y轴的正
半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段 的长分别是m，n且满足 ，点D是线段
上一点，将 沿直线 翻折，点O落在矩形对角线 上的点E处
(1)求线段 的长；
(2)求点E的坐标；
(3) 所在直线与 相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边
形时，求N点坐标．
3．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在矩形 中， 为坐标原点，点 在 轴正半轴上，点
在 轴正半轴上，点 在边 上，点 的坐标为 ， ，点 是射线 上一个动点，连
接 ， ．(1)求点 的坐标；
(2)如果点 ， 之间的距离为 ， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数定义域；
(3)在点 运动过程中， 是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点 的坐标；若不可能，请说明
理由．
4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形 ，点 在 轴上，点
在 轴上，点 坐标为 ， 为 边上一点，将 沿直线 折叠，得到 ，点 的对
应点 落在线段 上．
(1)求 的长；
(2)点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向运动，设运动时间为 ， 的面积为 ，
求 关于 的关系式；
(3)在（2）的条件下，点 为直线 上一点，是否存在 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平
行四边形？若存在，请求出 的值，并直接写出点 、点 的坐标；若不存在，请说明理由．
压轴题型三 一次函数与菱形综合问题
例题：（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在x轴上，顶
点D的坐标为(0,2)， ．(1)求点C的坐标；
(2)在y轴上找一点P，使得 的值最小，请求出 的最小值及点P的坐标；
(3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标．
巩固训练
1．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图， 是边长为 的菱形，且 ．动点 ， 分别以
每秒 个单位长度的速度同时从点 出发，点 沿折线 方向运动，点 沿折线 方向
运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为 秒，点 ， 的距离为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点 ， 相距 个单位长度时 的值．
2．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按
如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线 经过点C，交x轴于点
E．
(1)求点A、B的坐标；(2)求点D的坐标及m的值；
(3)点 是线段 上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于 轴的直线交AB于点M，
交CE于点N，当四边形 是平行四边形时，求点P的坐标；
(4)点 是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出： 为何值时，以点
为顶点的四边形是菱形？
3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知菱形 的边长为10， ，以点B为坐标原点，以
为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示．
(1)求点A的坐标；
(2)求菱形 的对角线 的解析式；
(3)若点Q是 上一定点，且 ，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间
为t秒，当t为何值时， 最小？
压轴题型四 一次函数与正方形形综合问题
例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的正方形
纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上， ，点E在边 上，点N的坐标为
，过点N且平行于y轴的直线 与 交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在 上，并与
上的点G重合，折痕为 ．(1)求点G的坐标，并求直线 的解析式；
(2)若直线l： 平行于直线 ，且与长方形 有公共点，请直接写出n的取值范围；
(3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
巩固训练
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点A、C分别在
x轴、y轴上，且点C的坐标为 ．
(1)如图1，求直线 的解析式；
(2)如图2，边 上有一动点D，连接 ，点F在线段 上，使得 ，点G在 的延长线上，
点E在线段 上，连接 ，满足 ，若D点的纵坐标为t， 的长为d，求d与t的
关系式；
(3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段 上，连接 ，若 ，当 时，
求t值，并直接写出G点的坐标．
2．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形．顶点 ，
点 和 分别在正方形边 ， 上，且 ，直线 与直线 交于点 ；平行于 轴的直线
，从 轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿 方向移动，与线段 重合时停止，设运动时间为 秒，平移过程中，直线 与直线 交于点 、与直线 交于点 ．
(1)求直线 的解析式和点 的坐标．
(2)当点M在点N上方时，记线段 的长度为 ；
①如图1，求 与 的函数关系式，并写出此时 的取值范围；
②如图2，以 为直角边向右作等腰直角 ，当点 恰好落在正方形的边 上时，求 值?直接写
出 在什么范围变化时，等腰直角 与 重叠部分为矩形?
(3)如图3，当M在点N下方时，以 为边向右作等边 ，等边 与 重叠部分的面积记
为 ．填空：当 、 恰好是 、 中点时， 的值______．
