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重难点突破08 圆锥曲线的垂直弦问题
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1、过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ， 的中点分别为
， ，那么直线 恒过定点 ．
2、过椭圆 的长轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
3、过椭圆 的短轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
4、过椭圆 内的任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
5、以 为直角定点的椭圆 内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上．
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上．
8、以 为直角定点的抛物线 内接直角三角形的斜边必过定点 ，
9、以 为直角定点的双曲线 内接直角三角形的斜边必过定点
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
例1．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点 ，动点P满足：
∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，
求出定点坐标；若不是，说明理由.【解析】（1）①当点P在x轴上且在线段AB外时 ，
设 ，则 ， ，
由 ，
所以 ，故 ；
②当点P不在x轴上时，在△PAB中 ，
所以 ，
∴ ，即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，
方程为： 且 ；
由①②知：动点P的轨迹C的方程为： ；
（2）显然两直线斜率存在，设AP：y=kx+1，代入椭圆方程得 ，
所以 ， 代替k同理可得 ，
直线PQ： ，化简得 ；
令x=0，得 ，故直线PQ过定点 .
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为 ， ，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线
AB是否过定点？并求出 面积的最大值.
【解析】（1）由题意得：
，
故可知
椭圆方程为： ，离心率为：
（2）M，D分别为椭圆C的左､右顶点
又由（1）可知： 设直线AB的方程为： ， ，
联立方程可得：
有韦达定理可知： ，又
又
展开后整理得： ，解得： 或 （舍去）
直线恒过定点
令
则
由对勾函数的单调性可知：
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号
此时 的最大值为：
例3．（2023·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知 为圆 上一动点，过点 作 轴的垂线段
为垂足，若点 满足 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 的轨迹为曲线 ，过点 作曲线 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为 ，过点
作直线 的垂线，垂足为点 ，是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得，设点 ，则点 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为点 在圆 上，所以 ，则 ，即 ，
所以 点轨迹方程为 .
（2）①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线 ，
联立 ，得 ，
设直线 与曲线 两交点的坐标分别为 ，则 ，
；
直线 ，
同理可得： ，
设直线 与 轴交于点 ，
则当直线 斜率存在时，由 得 ，
，即直线 恒过点 ；
当直线 斜率不存在时，由 得 ，则 ，
则直线 恒过点 ；
②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线 为 轴，恒过 ，
综上：直线 恒过点
在以 中点 为圆心， 为直径的圆上，取 ，则 为定值；
存在点 ，使得 为定值.
变式1．（2023·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ，过右焦点 作两
条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为 ， ．
(1)写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求 面积的最大值．
【解析】（1）由椭圆方程 可知： ， ，所以
右焦点坐标 ，该椭圆的离心率 ；
（2）证明： 斜率均存在，
设 ，直线AB方程为 ，
则 ，
联立 ，则有 ，
将上式中 换为 ，可得 ，
若 ，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点 ，
下证动直线MN过定点 ，
若直线MN斜率存在，则 ，
直线MN方程为 ，
令 得 ，所以此时直线MN也过定点 ，
当 两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设 斜率不存在， 斜率为0，
此时 ，
则直线 的方程为 ，过点 ，
综上，动直线MN过定点 ；
（3）由（2）可知直线MN过定点 ，
，
令 ，
，因为 ，所以 在 上递减，
所以 时， 取得最大值 ，此时 .
变式2．（2023·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设 分别是椭圆
的左､右焦点， 是 上一点， 与 轴垂直.直线 与 的另一个交点为 ，
且直线 的斜率为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 两点，证明直线
过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）由题意知，点 在第一象限， 是 上一点且 与 轴垂直，
的横坐标为 .当 时， ，即 .
又直线 的斜率为 ，所以 ，
即 ，即
则 ，解得 或 （舍去），
即 .
（2）已知 是椭圆的上顶点，则 ，
由（1）知 ，解得 ，
所以，椭圆 的方程为 ，
设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
所以 ，又 ，
，
化简整理有 ，得 或 .
当 时，直线 经过点 ，不满足题意；.
当 时满足方程 中 ，
故直线 经过 轴上定点 .
变式3．（2023·全国·高二专题练习）设 分别是圆 的左､右焦点，M是C上一
点， 与x轴垂直.直线 与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设 是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段
AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得 的长度为定值？并证明你的结论.
【解析】（1）由题意知，点 在第一象限. 是 上一点且 与 轴垂直，
的横坐标为 .当 时， ，即 .
又直线 的斜率为 ，所以 ，
即 ，即 ，
则 ，解得 或 （舍去），即 .
（2）已知 是椭圆的上顶点，则 ，椭圆的方程为 ，
易得直线AB的斜率必然存在，设直线 的方程为 ，由 可得
所以 ，
又 ，.
，
化简整理有 ，得 或 .
当 时，直线 经过点 ，不满足题意；
当 时满足方程 中 ，故直线 经过 轴上定点 .
又 为过点 作线段 的垂线的垂足，故 在以 为直径的圆上，取 的中点为 ，则 为
定值，且
变式4．（2023·云南昆明·高二统考期中）已知椭圆 ，直线 被椭圆 截得的线
段长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 的右顶点作互相垂直的两条直线 .分别交椭圆 于 两点（点 不同于椭圆 的右顶
点），证明：直线 过定点.
【解析】（1）根据题意，设直线 与题意交于 两点.不妨设 点在第一象限，
又 长为 ，∴ ，∴
∴ ，故 的标准方程为
（2）显然直线 的斜率存在且不为0，设 ，由 得 ，
∴ ，同理可得
当 时， ，
所以直线 的方程为
整理得 ，所以直线
当 时，直线 的方程为 ，直线也过点
所以直线 过定点 .
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
例4．（2023·高二课时练习）已知双曲线C： 经过点 ，且双曲线C的右顶点
到一条渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），
设直线AB： ，试求 和 之间满足的关系式．
【解析】（1）已知双曲线C： 经过点 ，
则 ，
右顶点为 ，不妨取渐近线为 ，即 ，
则 ，
从而可解得 ，
所以双曲线C的方程为 ；
（2）设 ，联立 ，消 得 ，
则 ，
则 ，
，
，
因为 ，则 ，
即 ，
即 ，
即 ，
整理得 ，
所以 .
例5．（2023·江苏南京·高二校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它
到定直线l： 的距离之比是常数 ，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A( ，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【解析】（1）设P(x，y)，
因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l： 的距离之比是常数 ，
所以 ，
化简得 ，
所以曲线E的方程为 .
（2）设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为 ， ，分别联立 ，解得M( ， )，N( ，－ )，
此时直线MN的方程为 ，过点( ，0)；
当直线MN斜率存在时设其方程为 ，( )
由 ，消去y得 ，
所以 ，即 ，
， ，
因为AM⊥AN，
所以 ，即 ，
即 ，
即 ，
将 ， 代入化简得： ，
所以 或 ，
当 时，直线MN方程为 (不符合题意舍去)，
当 时，直线MN方程为 ，MN恒过定点( ，0)，
综上所述直线MN过定点( ，0).
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，经过双曲线 上的点 作互相
垂直的直线AM､AN分别交双曲线 于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐
标原点）的斜率都存在且它们的乘积为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点A作 （D为垂足），请问：是否存在定点E，使得 为定值？若存在，求出点E的坐
标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ､ ，线段AM､AN的中点分别为 ､ ，
由已知，得 ；两式相减，得 ，即 ①
根据中点坐标及斜率公式，得
， ， ， .代入①，
得 ②同理，得 ③，②③相乘，得 .
∵ ， ，∴ ④
由 ，与④联立，得 ， ，
双曲线 的方程为： .
（2）①当 时，设 ， ， ， ，
由AM､AN互相垂直，得 ，
由 解得 （此时 无实数解，故舍去），或 （此时M､N至少一个点与A重合，与条件不
符，故舍去）.综上，此时无符合条件的解.
②当 不成立时，设直线 ， ､
代入 得 ，
且
∵
∴ ，即 ，
解得： 或 .
当 时， 过点 ，与条件不符，舍去.
∴ ， ，过定点
∴ AP中点 ，由于 （D为垂足），故 .
综上所述，存在定点 ，使得 为定值 .
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
例7．（2023·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知抛物线C： 的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点， ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点 作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于 两点（异于点P），证明：直
线 恒过定点，并求出该定点坐标．
【解析】（1）设 ，
由题意知 ，则直线l方程为 ，
代入 ，得 ， ，
∴ ，
由抛物线定义，知 ， ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线的方程为 .
（2）证明： 在抛物线 上， ，
由题意，直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
设 ，
由 ，得 ，
则 ，且 ，
又 ，
，
由题意，可知 , ,
故 ，
故 ，
整理得 ，即 ，
或 ，即 或 ．
若 ，则 ，
此时直线 过定点 ，不合题意；
若 ，则 ，
此时直线 过定点 ，符合题意，综上，直线 过异于P点的定点 ．
例8．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知抛物线 的焦点 关于直线
的对称点 恰在抛物线 的准线上．
(1)求抛物线 的方程；
(2) 是抛物线 上横坐标为 的点，过点 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 于 两点，证明直
线 恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）由已知得 ，设 ，则 中点为 ，
关于直线 对称，
点R在直线l上，
，解得 ，即 ．
又由 ，得直线 的斜率 ，
，解得 ，
∴ ．
（2）证明：设直线 的方程为 ， 、 均不与M重合，
由 得 ，
， ．
由（1）得 ，
， ，
又由 得 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
直线 的方程为 ，即 ，
∴直线 恒过定点 ．
例9．（2023·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知抛物线 ，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点， ， ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点 在C上，过Q作两条互相垂直的直线 ，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：
直线 恒过定点．
【解析】（1）由 ，可得 ，
代入 ．
解得 或 （舍），
所以抛物线的方程为： ．
（2）解:由题意可得 ，直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ，设 ，
由 ，得 ，从而 ，
则 ．
所以 ，
，
∵ ，
∴ ，
故 ，
整理得 ．即 ，
从而 或 ，
即 或 ．
若 ，则 ，过定点 ，与Q点重合，不符合；
若 ，则 ，过定点 ．
综上，直线 过异于Q点的定点 ．
变式5．（2023·浙江·高三专题练习）已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦
点，如图，过点 任作两条互相垂直的直线 ， ，分别交抛物线 于 ， ， ， 四点， ， 分别
为 ， 的中点.(1)求 的值；
(2)求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；
(3)设直线 交抛物线 于 ， 两点，试求 的最小值.
【解析】（1）椭圆 的焦点坐标为 ，
由于抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点，
故 ，即 ， ；
（2）由（1）知，抛物线的方程为 ，
设 ， ， ， ，
由题意，直线 的斜率 存在且
设直线 的方程为 ，
代入 可得 ，
则 ，
故 ，
故 的中点坐标为 ，
由 ，设直线 的方程为 ，
代入 可得 ，
则 ，
故 ，
可得 的中点坐标为 ，
令 得 ，此时 ，
故直线 过点 ，
当 时， ，
所以 ， ， ， 三点共线，
所以直线 过定点 .
（3）设 ，
由题意直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
代入 可得 ，
则 ， ，
，
故 ，当 即直线 垂直 轴时， 取得最小值 .
变式6．（2023·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛
物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，若是，求出该
定点；若不是，请说明理由．
【解析】（1） ，解得：
故抛物线C的方程为： ..
（2）由题可得 ，直线 的斜率不为
设直线 ： ， ，
联立 ，得： ，
， ..
由 ，则 ，即
于是，所以
或 .
当 时，
直线 ： ，恒过定点 ，不合题意，舍去.
当 ， ，直线 ： ，恒过定点
综上可知，直线 恒过定点 .
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 轴的交
点为 ，与抛物线 的交点为 ，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，若是，求出该
定点；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设 ，代入 得： ，即
由 得： ，解得： 或 （舍去）
故抛物线C的方程为： .
（2）由题可得 ，直线 的斜率不为
设直线 ： ， ，
联立 ，得： ，
， ，
由 ，则 ，即 .
于是
，所以
或
当 时，
直线 ： ，恒过定点 ，不合题意，舍去.
当 ， ，直线 ： ，恒过定点综上可知，直线 恒过定点
变式8．（2023·云南曲靖·高二校考期末）已知点 与点 的距离比它的直线 的距离小
2．
(1)求点 的轨迹方程；
(2) 是点 轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线 是否经过 轴上一定点，若经过，求出该点坐标；
若不经过，说明理由．
【解析】（1）（1）由题意知动点 到 的距离比它到直线 的距离小2，
即动点 到 的距离与它到直线 的距离相等，
由抛物线定义可知动点 的轨迹为以 为焦点的抛物线，
则点 的轨迹方程为 ；
（2）（2）法一：由题意知直线 的斜率显然不能为0，
设直线 的方程为 ， ，
联立方程 ，消去 ，可得 ， 即 ，
， ，
由题意知 ，即 ，则 ，
故 ， ， ，直线 的方程为 ，
故直线 过定点，且定点坐标为 ；
法二：假设存在定点，设定点 ，
， ， 故 ，
在抛物线上，即 代入上式，可得 ，
故 ， 三点共线， ， ，
假设成立，直线 经过 轴的定点，坐标为 ．
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例10．（2023·福建龙岩·统考一模）双曲线 ： 的左右顶点分别为 ， ，动直线 垂直 的实
轴，且交 于不同的两点 ，直线 与直线 的交点为 .
（1）求点 的轨迹 的方程；（2）过点 作 的两条互相垂直的弦 ， ，证明：过两弦 ， 中点的直线恒过定点.
【解析】（1）因为 ，
设 则 且 ①，
因为动直线 交双曲线于不同的两点 ，所以 且 ，
因为直线 的方程为 ②，
直线 的方程为 ③，
② ③得 ，
把①代入上式得 ，化简得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 .
（2）依题意得直线 与直线 斜率均存在且不为0，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
联立 得 ，
则 ，设 ，
， ，
所以 的中点 ，
同理 的中点 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
整理得 ，所以直线 恒过定点 ，即过两弦 中点的直线恒过定点 .
例11．（2023·全国·高二期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，抛物线 与
椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD
的中点为N，证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）抛物线焦点坐标为 ，故 .
设 ，由抛物线定义得：点P到直线 的距离为t.
，由余弦定理，得 .
整理，得 ，解得 或 （舍去）.
由椭圆定义，得 ，
，
∴椭圆的方程为 ；
（2）设 ，
联立 ，
即 ，
，代入直线方程得 ，
，
同理可得 ，
，
，
令 ，得 ，所以直线MN过定点 .
例12．（2023·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ，
已知平行四边形 两条对角线的长度之和等于4．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)过 作互相垂直的两条直线 、 ， 与动点 的轨迹交于 、 ， 与动点 的轨迹交于点 、
， 、 的中点分别为 、 ；证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，求四边形 面积的最小值．
【解析】（1）
取点 ，则有 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以动点 的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以 ， ，
所以 ，所以动点 的轨迹方程为 ．
（2）当 垂直于 轴时， 的中点 ，
直线 为 轴，与椭圆 ，无交点，不合题意，
当直线 不垂直于 轴时，不妨设直线 的方程为 ，
， ，
由 ，得 ，
所以△ ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，以 代替 ，得 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在 轴上，
令 ，则 ，
所以 ，
所以直线 恒过定点 ，
当 时， ， ，
所以直线 恒过定点 ，
综上所述，直线 恒过定点 ．
（3）由（2）得 ， ，
所以
，
同理可得 ，
所以四边形 的面积 ，
令 ，则 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，所以 ，
所以四边形 的面积最小值为 ．
变式9．（2023·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆 的离心
率为 ，椭圆 截直线 所得线段的长度为 ．过 作互相垂直的两条直线 、 ，直线 与
椭圆 交于 、 两点，直线 与椭圆 交于 、 两点， 、 的中点分别为 、 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形 面积 的最小值．
【解析】（1）由题意得椭圆 过点 ，
，
解得 ， ， ，
；
（2） 当直线 、 斜率均存在且不为0时，
设 ， ，
则 ， ， ，
由 ， ，
得 ， ，
，由 ， ，
得 ， ，
可得 ，
① 当 时，
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
化简得 ，过定点 ，
② 当 时，
直线 的方程为 ，过点 ，
当直线 、 斜率一个不存在一个为0时， 、 的中点坐标分别为 、 时．直线 的方
程为 ，过点 ，
综上，直线 恒过定点 ；
（3）当直线 或 斜率一个不存在一个为0时， ，
当直线 、 斜率均存在时且不为0时，
由（2）得
，，
，
当且仅当 即 时等号成立，
综上，四边形 面积 的最小值为 .
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 上任意一点 到椭圆 两个焦点
的距离之和为 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为 的左顶点，过 点作两条互相垂直的直线 分别与 交于 两点，证明：直线 经
过定点，并求这个定点的坐标．
【解析】（1）由椭圆定义知： ，解得： ，
又离心率 ， ， ，
椭圆 的标准方程为： .
（2）由（1）知： ；
当直线 斜率存在时，设 ， ， ，
由 得： ，
则 ，解得： ，
， ，
， ，
即 ，
，即 ，
整理可得： ， 或 ；
当 时，直线 恒过 点，不合题意；
当 时，直线 ， 恒过定点 ；
当直线 斜率不存在且恒过 时，即 ，
由 得： ， ，满足题意；
综上所述：直线 恒过定点 .
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例13．（2023·高二课时练习）已知双曲线C 的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线
的距离为 ，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.
【解析】（1）依题意，c=2， ，解得 ，
所以双曲线的方程为： .
（2）点 ，当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为： ， ， ，
由 消去x并整理得： ，显然 ，
则 ，有 ，于是得弦AB中点 ，
因 ，同理可得点 ，
当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率 ，因此，直线MN的方程为： ，化简得 ，
于是得直线MN恒过定点 ，
当直线MN垂直于x轴时，由 得 ，直线MN： 过定点 ，
则当直线AB不垂直于坐标轴时，直线MN恒过定点 ，
当AB垂直于x轴，即k=0时，则弦AB的中点M与F重合，弦CD的中点N与原点重合，此时MN为x轴，
直线MN过 ，
当AB垂直于y轴时，则弦AB的中点M为原点，弦CD中点N与F重合，此时直线MN为x轴，直线MN
也过点 ，
所以直线MN恒过定点 .
例14．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系 中，已知动点 到点 的距
离与它到直线 的距离之比为 ．记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ， . 交曲线 于 ， 两点， 交曲线 于 ， 两点，线段 的中
点为 ，线段 的中点为 ．证明：直线 过定点，并求出该定点坐标．
【解析】（1）设 ，根据题意可得 ，
化简得曲线 的方程为 .
（2）证明：设 ， ，
①若直线 ， 都存且不为零，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
当 时，这个方程变为 只有一解，
直线 与曲线 只有一个交点，不合题意，
当 时， ，
直线 与曲线 恒有两个交点，由韦达定理， ，
故线段 的中点为 ，
同理，线段 的中点为 ，
若 ，则 ，
直线 的方程为 ，
即 ，
此时，直线 恒过点 ．
若 ，则 ， 或 ， ，直线 的方程为 ，
此时直线 也过点 ，
②若直线 ， 中其中一条的斜率为 ，另一条的斜率不存在，
不妨设 的斜率为 ，则直线 ： ， ： x＝2，
此时，直线 的方程为 ，
此时，直线 也过点 ，
综上，直线 恒过点 ．
例15．（2023·山西大同·高三统考阶段练习）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，半焦
距 ，点 到右准线 的距离为 ，过点 作双曲线 的两条互相垂直的弦 ， ，设 ，
的中点分别为 ， .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标.
【解析】（1）由题设可得 ， ，所以 ， .
所以双曲线的标准方程为 .
（2）证明：点 ，设过点 的弦 所在的直线方程为 ， ， ，则有 .
联立 ，可得 .
因为弦 与双曲线 有两个交点，所以 ，
所以 ，所以 .
（1）当 时， 点即是 点，此时，直线 为 轴.
（2）当 时，将上式 点坐标中的 换成 ，同理可得 .
①当直线 不垂直于 轴时，
直线 的斜率 ，
其方程 ，化简得 ，
所以直线 过定点 ；
②当直线 垂直于 轴时， ，此时， ，直线 也过定点 .
综上所述，直线 过定点 .
变式11．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线方程为
，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分别为 、 ，那
么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为 ，
依题意渐近线方程为 ，即 ，有 ，
解得 ，
；
（2）由（1）可知右焦点 ，
设直线 ： ， ， ，
由联立直线与双曲线 ，
化简得 ， ，
故 ， ，
，
又 ，则 ，
同理可得：
，
，
化简得 ，
故直线 过定点 .
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例16．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线 ： 焦点为 ， 为 上的动点，位于 的上方区域，且 的最小值为3.
(1)求 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交 于 ， 两点， 交 于 ， 两点，且 ， 分别
为线段 和 的中点.直线 是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【解析】（1）抛物线 ： 焦点为 ，准线为 ，
设 到 的距离为 ，因为 位于 的上方区域，
根据抛物线的定义可知 （当且仅当 时取等号），
又 的最小值为 ，所以 ，解得 ，
所以抛物线 ： .
（2）依题意直线 和 的斜率均存在且不为 ，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ， ， ，
联立方程得 ，消去 并整理得 ，
则 ，则 ， ，
所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，同理 ，
所以直线 的方程为 ，
整理得 ，所以直线 恒过点 .例17．（2023·全国·高三专题练习）已知一个边长为 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶
点在抛物线 上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 、 两点， 交抛物线 于 ， 两点，
若线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过定点．
【解析】（1）由对称性可知等边三角形的顶点 在 上，
代入得： ，解得： ，
所以抛物线方程为： ；
（2）由题意知 和 斜率均存在， ，设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，
由 联立得： ，
设 ，则 ，
故 ，同理得
故直线MN方程为
整理得： ，故直线MN过定点
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的
直线交C于H，I两点，O为坐标原点， 的周长为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是
否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由题意 ，在 中代入 ，得 ，解得 ，
所以 ．
由勾股定理得| ，
则 的周长为 ，解得 ，
故抛物线C的方程为 ．
（2）由题意可知 ，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为 ， ， ．
联立 消去x，得 ， ，
则 ，从而 ．
因为P是弦AB的中点，所以 ，同理可得 ．
当 ，即 时，直线PQ的斜率 ，
则直线PQ的方程为 ，即 ．
故直线PQ过定点 ；
当 ，即 时，直线PQ的方程为 ，也过点 ．
综上所述，直线PQ过定点 ．变式12．（2023·山西·高二校联考期末）已知抛物线C： （ ），过点 作两条互相垂
直的直线 和 ， 交抛物线C于A，B两点， 交抛物线C于D，E两点，抛物线C上一点 到焦点
F的距离为3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．
【解析】(1) 到焦点F的距离为3，则准线为 ， ，
抛物线方程为 ．
(2)由题意知 和 斜率均存在， ，设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，
由 联立得 ，
设 ，则 ，
故 ，同理得
故直线MN方程为
整理得 ，故直线MN过定点
变式13．（2023·全国·高三专题练习）动圆P与直线 相切，点 在动圆上．
(1)求圆心P的轨迹Q的方程；
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过
定点．
【解析】（1）设 ，根据题意，有 ，化简，得 ，
即圆心P的轨迹Q的方程为 ．
（2）由题意，知直线AB的斜率存在且不为0．
设直线 ，
代入 ，得 ，所以 ．
因为M是线段AB的中点，所以 ．因为 ，所以将点M坐标中的k换成 ，即得 ．
当 ，即 时，直线 ；
当 时．直线 ．
整理，得 ，所以直线MN过定点 ．
综上所述，不论k为何值，直线MN必过定点 ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物线C上，O
为坐标原点， 是以 为底边的等腰三角形，且 的面积为 ．
(1)求抛物线C的方程．
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦 ， ，设弦 ， 的中点分别为P，Q，试判断直线
是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知 ．
因为 是以 为底边的等腰三角形，所以 ．
因为 的面积为 ，所以 ，解得 ．
故抛物线C的方程为 ．
（2）由题意可知 ，直线 的斜率存在，且不为0．
设直线 的方程为 ， ， ．
联立 ，整理得 ， ，
则 ，从而 ．
因为P是弦 的中点，所以 ，
同理可得 ．
当 ，即 时，直线 的斜率 ，则直线 的方程为 ，即 ．
故直线 过定点 ．
当 ，即 时，直线 的方程为 ，且过点 ．
综上，直线 过定点 ．
变式15．（2023·安徽滁州·高二校考开学考试）在平面直角坐标系 中，设点 ，直线 ，
点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点． ， ．
(1)求动点Q的轨迹的方程E；
(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R
的坐标．
【解析】（1）∵直线 的方程为 ，点R是线段FP的中点且 ，
∴RQ是线段FP的垂直平分线,
∵ , ∴ 是点Q到直线l的距离,
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴ ,
则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，
即动点Q的轨迹的方程为 .
（2）设 ， ，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为 ，
由已知得 ，两式作差可得 ，即 ，则 ，
代入 可得 ，即点M的坐标为 ，
同理设 ， ，直线 的方程为 ，
由已知得 ，两式作差可得 ，即 ，则 ，代入 可得 ，即点 的坐标为 ，
则直线MN的斜率为 ，
即方程为 ，整理得 ，
故直线MN恒过定点 .
变式16．（2023·福建福州·高二校考期中）在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，已知点 ，P
是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足 .
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；
(3)过点 任作两条互相垂直的直线 ，分别交轨迹 C 于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点
分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.
【解析】（1）设点P的坐标为 ，则 ，
由 ，得 ，整理得点P的轨迹的方程为：
（2）设 ，由 得：
，
（3）证明：设点A,B的坐标为 ，则点E的坐标为 .
由题意可设直线 的方程为 ，
由 ，消去y得 ，
，∵直线 与抛物线交于A，B两点，
，
∴点E的坐标为 ，由题知，直线 的斜率为 ，同理可得F的坐标为 .当 时，有 .此时直线EF的斜率为：
∴直线EF的方程为，
整理得， 恒过定点 ，当 时，直线EF的方程为 ，也过点 .
综上所述，直线EF恒过定点 .
变式17．（2023·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、
，抛物线 的焦点与椭圆的右焦点重合，点 为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过 作两条斜率不为 且互相垂直的直线分别交椭圆于 、 和 、 ，线段 的中点为 ，线段
的中点为 ，证明：直线 过 轴上一定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）抛物线焦点为 ，故 ，易知点 ，
设点 ，其中 ， ，且 ，
，整理可得 ，
即 ， ，解得 ，所以， ，
所以， ，则 ， ，
因此，椭圆的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，
联立 ，
，所以， ，
，故点 ，
同理可得点 ，所以， ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
因此，直线 过定点 .
变式18．（2023·湖南·高三阶段练习）如图 ，已知抛物线 的顶点 在坐标原点，焦点在 轴正半轴上，
准线与 轴的交点为 ．过点 作圆 的两条切线，两切点分别为 ， ，且 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）如图 ，过抛物线 的焦点 任作两条互相垂直的直线 ， ，分别交抛物线 于 ， 两点和 ，
两点， ， 分别为线段 和 的中点，求 面积的最小值．
【解析】（1）由对称性知， 轴，设 与 轴的交点为 ，则 ．在 中，
；（2）设直线 的斜率为 ，由 过 ： ．代入
点
，同理可得点 ： 过定点 的
面积： （当且仅当 时取等号） 的
面积的最小值为 ．试题解析：（1）由对称性知， 轴，设 与 轴的交点为 ，则 ．
连 ，则 中， ，则
因为 为圆 的切线，则 ．由射影定理，得 ，则
因为圆心 的坐标为 ，则 ，所以 ，即 ，得 ．
所以抛物线 的标准方程为
（2）设直线 的斜率为 ，因为 过焦点 ，则直线 的方程为 ．代入 ，得
．设点 ， ，则 ．因为 为线段 的中点，则点
因为 ，则直线 的方程为 ．同理可得点
直线 的方程为 ，即 ，显然过定点
设 的面积为 ， 与 轴的交点为 ，则
，当且仅当 时取等号．所以 的面积的最小值为
题型七：内接直角三角形范围与最值问题
例19．（2023·江西·高二校联考开学考试）设椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆上任
意一点，点 到原点最大距离为2，若 到椭圆右顶点距离为 .
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为 、 ，过 作两条互相垂直的直线交椭圆于 、 ，问直线 是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出 面积的最大值.如果不是，请说明理由.
【解析】（1）∵点 到原点最大距离为2，故 ，
∵ 到椭圆右顶点距离为 ，∴ ，
解得： 或5（舍去5），
∴椭圆的方程为 .
（2）设 ： ，联立 ，
得： ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
即
，
利用韦达定理代入化简得： ，
解得： （舍去）或 ，
∴直线 过定点 ，
此时 ， ，
，
令 ，上式 ①，
而 ，∴① ，∴ 面积的最大值为 .
例20．（2023·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ，过右焦点 作两
条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为 ， .
(1)写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求 面积的最大值.
【解析】（1）由椭圆的方程 ，可得 ，可得 ，所以 ，即
右焦点 的坐标为 ，离心率 ,所以椭圆右焦点 的坐标为 ，离心率 .
（2）证明：当直线AB，CD的斜率存在且不为0时，
设直线AB的方程为 ，
设 联立 ，
整理可得： ，
可得 ， ，
所以AB的中点 ，
同理可得 的坐标 ，即 ，
当 ， 的横坐标不相等时，则 ，所以MN的方程为 ，
整理可得
所以直线恒过定点 .
当 ， 的横坐标相等时， ，即 时，则 轴，
且此时MN的方程为 ，显然也过 ，
可证得直线MN必过定点 .
（3）由（2）可得直线MN必过的定点 ，
可得
，
设 ，则 ，
在 上单调递减，所以 ，
所以 面积的最大值为 .
例21．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点
分别为A， ，上顶点为 ，坐标原点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线 ， 与椭圆交于 ， 两点，求 面积的最大值.【解析】（1）由已知可得， 解得， ， ， ，
所以椭圆的方程为 .
（2）设 的直线方程为 ， ， ，
联立方程 整理得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 .
所以 .
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以
所以 ，
令 ，
则 ，
此时 最大值为 .题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
例22．（2023·新疆·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为 .
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线 和 ， 与抛物线交于P，Q两点， 与抛物线交于C，D两
点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.
【解析】（1）设抛物线标准方程为 ，其中 ，
由题意得 ，解得 ，则焦点 ，
故抛物线 标准方程为 .
（2） ,由题意知直线 的斜率都存在且不为 ，
设直线 的方程为 ,
则直线 的方程为 ,
由 得 ，则 ，
所以 ,
所以 ,
所以 .
用 替换 可得 ，所以 .
所以
,当且仅当 ,即 时等号成立，所以 面积的最小值为16.
例23．（2023·广东珠海·高三校考开学考试）已知抛物线 ，点 为其焦点，直线
与抛物线交于 两点， 为坐标原点， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 和 ，点
分别为 的中点，求 的最小值．
【解析】（1）
直线方程为 ，将其代入抛物线可得 ，
由已知得 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ．
（2）因为 ，若直线 分别与两坐标轴垂直，
则直线 中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，
所以直线 的斜率均存在且不为0．设直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ．
联立 ，得 ，则 ，
设 ，
则 ，设 ，则 ，则 ，
所以 ，同理可得 ，
故 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
故 的最小值为6．
