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第十九章 一次函数 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：
，进行判断即可．
【详解】
解：A． 不是一次函数，不符合题意；
B． 是一次函数，符合题意；
C． 不是一次函数，不符合题意；
D． 不是一次函数，不符合题意．
故选：B
2．（2024·云南昆明·一模）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
【详解】
解：由题意得 ，
解得 ．
故选：A．
3．（23-24八年级下·全国·随堂练习）若一次函数 的函数值y随x的增大而减小，则m的值
可以是（ ）A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当
时， 随 的增大而减小．熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴
故选：A
4．（2024·陕西·一模）已知关于 的方程 的解是 ，则一次函数 （ 、 为常数，且
）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程 的解其实就是当 时一
次函数 与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案.
【详解】解：∵关于 的方程 的解是 ，
∴一次函数 的图象与x轴的交点坐标是 ．
∴只有选项B的图象符合题意，
故选：B
5．（2024·安徽合肥·一模）已知一次函数 中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查一次函数的图像和性质，熟记“ ，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大， ，图像
经过二、四象限，y随x的增大而减小”是正确解决本题的关键．
根据“ ，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大， ，图像经过二、四象限，y随x的增大而
减小”及函数图象经过点 判断k、b的正负即可得出结论．
【详解】解： 一次函数 中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点 ，
， ， ，
A． 正确，此选项不符合题意；
B． 正确，此选项不符合题意；
C． ，不正确，此选项符合题意；
D． 正确，此选项不符合题意；
故答案为：C．
6．（2024年山西省大同市多校中考一模数学试题）如图，直线 与 的图象相交于
点 ，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数 的图象在一次函数
的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：当 时， ，得
由函数图象可知，关于x的不等式 的解集为 ，
故选：C．
7．（23-24八年级上·广东梅州·期末）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ， 是线段
上的一点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处，则直线 的函数解析式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理，轴对称折叠的性质．由解析式 ，
可得 ， ，根据勾股定理， ， 中，构建方程求解得 ，于是 ，
运用待定系数法求解即可．
【详解】解：对于 ，当 时， ；
当 时， ， ；
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．由折叠知， ．
∴ ．
中， ，
∴ ，
解得， ．
∴ ，
设直线 的解析式为 ，得
，解得 ，
∴ ．
故选：C．
8．（23-24八年级上·浙江·期末）已知 为直线 上的三个点，且
，则以下判断正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，先求出此直线交 轴于 ，交 轴于 ，画出图象，结合
一次函数的增减性，逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解
此题的关键．
【详解】解：当 时， ，则此直线交 轴于 ，
当 时， ，解得： ，则此直线交 轴于 ，
画出一次函数 的图象如图所示：，
若 ，且 ，
， ，
此时 ，但 的正负无法判断，故A选项错误，不符合题意；
若 ，且 ，
， ，
此时 ， ，故 ，故B选项正确，符合题意；
若 ，且 ，
或 ，
当 时， ，此时 的正负无法判断，故C选项错误，不符合题意；
若 ，且 ，
， ，此时 ，但 的正负无法判断，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
9．（21-22八年级上·陕西咸阳·阶段练习）王叔叔和李叔叔两人分别开车从甲城出发匀速行驶至乙城，在
整个行驶过程中，王叔叔和李叔叔两人的车离开甲城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数
关系如图所示．有下列结论：①甲、乙两城相距360千米；②王叔叔的车比李叔叔的车晚出发1小时，却
早到1小时；③王叔叔的车出发后3小时追上李叔叔的车；④当王叔叔和李叔叔的车相距50千米时，小时或 小时．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数的应用，涉及一次函数的图象、待定系数法求一次函数的解析式、解一元
一次方程等知识．观察图象可直接判断①②，由图象给的数据可求得两车离开甲城的距离y与时间t的关
系式，即可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，即可
得出答案．
【详解】解：由图象可知甲，乙两城市之间的距离为 ，李叔叔行驶的时间为6小时，而王叔叔是在
李叔叔出发1小时后出发的，且用时4小时，即比李叔叔早到1小时，
∴①②都正确；
设李叔叔车离开甲城的距离 与 的关系式为 ，
把 代入可求得 ，
∴ ，
设王叔叔车离开甲城的距离 与 的关系式为 ，
把 和 代入可得 ，
解得： ，
∴ ，
令 ，可得： ，解得： ，
即李叔叔、王叔叔两直线的交点横坐标为 ，
此时王叔叔出发时间为2小时，即王叔叔车出发2小时后追上李叔叔车，
∴③错误；
令 ，可得 ，即 ，
当 时，可解得 ，
当 时，可解得 ，
又当 时， ，此时王叔叔还没出发，
当 时，王叔叔到达乙城， ；
综上可知当 的值为 或 或 或 时，两车相距 千米，
∴④不正确．
综上，①②正确．
故选：A．
10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数 和
，无论 取何值，始终有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直
线平行，始终有 ，求解当 过 时， ，再利用数形结合的方法解题
即可．
【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，∵无论 取何值，始终有 ，
∴两直线平行，才会始终有 ，
∴ ，
当 过 时，
∴ ，
解得： ，
此时两条直线相交，
如图，
∴ 且 ，
当 时，如图，不符合题意；故选：D
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
本题考查求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数，
分式的分母不能为0是解题关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
∴x的取值范围为 ,
故答案为： ．
12．（23-24八年级下·全国·随堂练习）某公交车每月的利润y（元）与乘客人数x（人）之间的函数关系
式为 ，为使该公交车每月不亏损，则每月乘客量x应满足的条件是 ．
【答案】 且x为整数
【分析】
本题考查求函数的自变量取值范围，根据每月不亏损列不等式求解即可得到答案；
【详解】解：∵乘客人数x（人）， ，公交车每月不亏损，
∴ 且x为整数，
解得： 且x为整数，
故答案为： 且x为整数．
13．（2024年湖南省部分学校中考一模数学试题）直线 与直线 关于 轴对称，则直线 的函数解
析式为 ．
【答案】
【分析】
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．直接根据关于 轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可．
【详解】解：∵关于 轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数，
∴直线 与直线 关于 轴对称，
则直线的解析式为 ，即 ．
故答案为： ．
14．（23-24八年级下·全国·随堂练习）若一次函数 的图象不经过第三象限，则a的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，先判断一次函数 经过第一、二、四象限
或第二、四象限及原点，再根据一次函数的性质得到 且 ，然后求出两个不等式的公共部分
即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第三象限，
∴经过第一、二、四象限或第二、四象限及原点，
∴ 且 ，
∴ ．
故答案为 ．
15．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数 ，当 时 ，则
．
【答案】 或 / 或2
【分析】
本题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性分以下两种情况讨论，① 时，y随x的增大而增大，
② 时，y随x的增大而减小，根据增减性得到一次函数图象所过点的情况，将点代入 中，求
出 ， 的值，即可解题．
【详解】解： 一次函数 ，当 时 ，
下面两种情况讨论：
①当 时，y随x的增大而增大，
即 时， ， 时， ，，解得 ，
；
①当 时，y随x的增大而减小，
即 时， ， 时， ，
，解得 ，
；
故答案为： 或 ．
16．（23-24八年级下·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于A点，
与x轴交于B点，直线 经过 的顶点B，且将 的面积分为 的两部分，则直线 的表达式为
．
【答案】 或
【分析】
本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出 两点坐标，根据直线 经过 的顶点B，且将
的面积分为 的两部分，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，设直线 与 轴交于点 ， 的表达式为 ，
∵直线 将 的面积分为 的两部分，
①当 时，则： ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
②当 ，则： ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
17．（2023年吉林省长春汽车经济开发区毕业班中考模拟综合模拟试题（二）数学）如图，直线
与坐标轴交于 、 两点，点 为 轴负半轴上一点， ．则点 的坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，
正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到点 的坐标是解题的关键．过点 作 ，交直线
于点 ，过点 作 轴于点 ，根据题意得 ， ，推出 ， ，由
， ，可得 是等腰直角三角形，推出 ，根据同角的余角相等可得
，证明 ，得到 ， ，则 ，求得 ，最后
利用待定系数法求出直线 的解析式，即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ，
直线 与坐标轴交于 、 两点，，
， ，
， ，
， ，
， 是等腰直角三角形，
，
， ，
，
在 和 中，，，
，
， ，
，
，
设直线 的解析式为： ，
将 ， ，代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
令 ，则，
解得： ，
，
故答案为： ．
18．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）一次函数 （ 、 为常数， ）中的 与 的部分
对应值如下表：下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．
①当 时， ；②当 的值随 值的增大而增大时， ；
③当 时， 或 ；④当 时，直线 与 轴相交于点 ，则 ．
【答案】①②③
【分析】将点 、 代入 ，求出 、 关于 的关系式，根据关系式即可判断①、②；求出该函
数与 轴的交点 的坐标及 即可判断④；分 与 两种情况讨论，根据
即可求解 ，从而判断④．
【详解】解：依题得： ，
解得： ， ，
时， ，
，①正确；
当 随着 的值增大而增大时， ，
即 ， ，
②正确；
，
，
直线 与 轴相交于点 ，
即 ，
④错误；
当 时， ，，
，
即 ，解得 ，
时， ,
,
，
即 ，解得 ，
③正确．
综上，结论中一定正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握图像上两点与原点围成三角形
面积的求法．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 之间的函数表达式．
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可．
（2）根据（1）代入即可即解答．
【详解】（1）解： 与 成正比例，
设 ．
时， ，，
，
，
与 之间的函数表达式为 ．
（2）当 时， ，
．
20．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数 的图象经过 ， 两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求出解析式
是解题关键．
（1）将 ， 两点代入 即可求解；
（2）求出一次函数 与坐标轴的交点 ，根据 即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 两点代入 得：
，
解得：
∴
（2）解：如图所示：令 ，则 ；
令 ，则 ；
∴
21．（23-24八年级上·广西崇左·期中）已知y关于x的一次函数 ．
(1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若y是x的正比例函数，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的增减性以及正比例函数的定义，熟记相关结论即可．
（1）对于一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
据此即可求解；
（2）对于一次函数 ，当 时，此时为正比例函数，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小，
∴ ，
解得： ，
∴m的取值范围是 ；
（2）解：∵y是x的正比例函数
∴解得
∴
22．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x
轴、y轴分别相交于点 ；B．
(1)求一次函数的表达式和点B的坐标；
(2)点C在x轴上，若 是以边 为腰的等腰三角形，请直接写出点C的横坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或 或
【分析】
本题考查了一次函数的解析式求解以及等腰三角形的定义，掌握待定系数法是解题关键．
（1）将点 代入 即可求出一次函数的表达式；令 即可得点B的坐标；
（2）分类讨论 ，即可求解；
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与x轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为 ．
令 ，得 ，
∴点B的坐标为 ．（2）解：由点A，B的坐标得 ， ，
∴ ．
∵ 是以边 为腰的等腰三角形，
，
此时点C的横坐标为 或
，
此时点 关于 轴对称
∴点C的横坐标为
综上所述：点C的横坐标为 或 或
23．（2023·河南新乡·二模）在新冠疫情防控期间，某医疗器械商业集团准备购进 、 两种型号的额温
枪，若购进 种型号额温枪 只， 种型号额温枪 只，共需要 元；若购进 种型号额温枪 只，
种型号额温枪 只，共需要 元．
(1)求购进 、 两种型号的额温枪每只各需要多少元；
(2)若该医疗器械商业集团决定拿出 元全部用来购进这两种型号的额温枪，考虑市场需求，要求购进
种型号的额温枪不少于 种型号的额温枪数量的 倍，设购进 种型号的额温枪数量为 只，则
该医疗器械商业集团有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，若每只 种型号的额温枪的售价为 元，每只 种型号的额温枪的售价为 元，请
直接写出该医疗器械商业集团获得的最大利润．
【答案】(1)购进 种型号额温枪每只需要 元， 种型号额温枪每只需要 元；
(2)该医疗器械商业集团有 种进货方案；
(3)最大利润为 元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，
（1）设购进 种型号额温枪每只需要 元， 种型号额温枪每只需要 元，根据“购进 种型号额温枪
只， 种型号额温枪 只，共需要 元；购进 种型号额温枪 只， 种型号额温枪 只，共需要
元”，可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由总价及购进 种型号的额温枪数量，可得出购进 种型号的额温枪数量为 只，根据购进种型号的额温枪不少于 种型号的额温枪数量的 倍，可得出关于 的一元一次不等式，解之可得出
的取值范围，结合 且 为整数，即可得出该医疗器械商业集团有 种进货方案；
（3）设该医疗器械商业集团获得的总利润为 元，利用总利润 每只的销售利润 销售数量 购进数量 ，
可得出 关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设购进 种型号额温枪每只需要 元， 种型号额温枪每只需要 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：购进 种型号额温枪每只需要 元， 种型号额温枪每只需要 元；
（2） 购进 种型号的额温枪数量为 只，
购进 种型号的额温枪数量为 只．
根据题意得： ，
解得： ，
又 ，且 为整数，
可以为 ， ， ， ， ，
该医疗器械商业集团有 种进货方案；
（3）设该医疗器械商业集团获得的总利润为 元，则 ，
即 ，
，
随 的增大而减小，
当 时， 取得最大值，最大值 ，此时 ．
答：当购进 种型号额温枪 只， 种型号额温枪 只时，该医疗器械商业集团获得的利润最大，最大
利润为 元．
24．（2023·山东青岛·二模）周末小明和小亮相约去海军博物馆参观，小明家、书店、小亮家和海军博物
馆自北向南依次在同一直线上，小明从家出发，他先匀速骑行了6分钟，想起忘记买《现代舰船》一书，
于是用相同速度返回刚才路过的书店买书，买完书后小明为赶时间加快了速度，又骑行一段时间后到达海军博物馆．当小明出发时，小亮开始从家匀速步行出发，用时30分钟到达海军博物馆，两人离海军博物馆
的距离 与时间 之间的对应关系如图所示．
(1)：填表：
时间 4 6 10 12 25
小明离博物馆的距离 1500 1800 0
(2)小明家距离书店______m，买书前小明骑行的速度为______
(3)买完书后，小明骑行多久追上小亮？
【答案】(1)1200，1800
(2)300，150
(3)买完书后，小明骑行 分钟追上小亮
【分析】
本题主要考查了一次函数的应用——行程问题．熟练掌握函数图象的关键信息，路程与速度和时间的关系，
待定系数法求函数解析式，一次函数与方程组的关系，是解决问题的关键．
（1）根据图象找出第 时小明离海军博物馆的距离，第 到 之间小明在书店买书，第
在此范围，找出书店距离海军博馆的距离．填表即可；
（2）根据图象找出小明家离书店的距离，根据前 内小明离海军博物馆从 到 计算出买书
前小明骑行的速度；
（3）根据 ， 求出 的解析式，根据 ， 求出 的解析式，两解析式联立解方程组，求得x值，再减去15即得．
【详解】（1）
由图象看出，第 时，小明距离海军博物馆 ，第 到 小明在书店买书，书店距离海军
博馆 ．填表如下：
时间 4 6 10 12 25
小明离博物馆的距离 1500 1200 1800 1800 0
（2）
小明家离书店，
，
买书前小明骑行的速度为，
，
故答案为：300，150；
（3）
设 段解析式为 ，
把 ， 代入，
得， ，
解得， ，
∴ ，
设 段解析式为 ，
把 ， 代入，
得， ，
解得， ，
∴ ，联立 ，
解得， ，
，
故买完书后，小明骑行 追上小亮．
25．（2024·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜 ，其中点A，B的坐标分别为
，从点 发射光线，其图象对应的函数解析式为 ．
(1)点D为平面镜的中点，若光线恰好经过点D，求 所在直线的解析式（不要求写出x的取值范围）：
(2)若入射光线 与平面镜 有公共点，求n的取值范围．
(3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线 经过镜面反射后，反射光线与
y轴相交于点E，直接写出点E是整点的个数．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】
本题考查待定系数法求函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质．（1）先求出线段 中点D的坐标，再设 所在直线的解析式为 ，将 坐标分别代入
即可得到；
（2）先求出直线 解析式，再求出直线 解析式，即可求出本题答案；
（3）作出点 关于 对称点 ，可知 的坐标，作直线 ， ，分别求出这两条直线与 轴交点，
则点 坐标即在范围内，即可得到整数点的个数．
【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为 ，点D为平面镜的中点，
∴ ，
∵ ，
∴设 所在直线的解析式为 ，
将 坐标分别代入 中，
，解得： ，
∴ 所在直线的解析式为： ；
（2）解：当入射光线 经过 ， 时，
，解得： ，
当入射光线 经过 ， 时，
，解得： ，
∵入射光线 与平面镜 有公共点，
∴n的取值范围： ；
（3）解：作出点 关于 对称点 ，则 ，作直线 ， 分别交 轴于 ，，
设直线 的直线解析式为 ，
，解得： ，
设直线 的直线解析式为 ，
，解得： ，
∵反射光线与y轴相交于点E，
∴点E纵坐标的取值范围为： ，
∴点 整点有： ，共7个．
26．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，直线
分别交 轴， 轴于点 ， ．
(1)求 的度数；
(2)点 是线段 上一点，连接 ，以 为直角边作等腰直角 ，点 在第三象限，其中
，连接 ．设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点 为 轴正半轴上的一点，连接 ，点 是 的中点，连接 并延长交 轴于
点 ，过点 作 交 轴于点 ，若 ， ，求点 的坐标．
（说明：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一
半．）
【答案】(1)
(2)
(3)点 的坐标为
【分析】（1）求出 的坐标，进而可得 ，由此可得 ；
（2）过点 作 轴于点 ，则 ，证明 得出 ，由勾股定理得
出 ，证明 ，得出 ， ，求出 ，
证明 ，再由 即可得出答案；
（3）连接 ，证明 ，设 ，则 ， ，
，求出 ，取 的中点 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，
过点 分别作 于 ， 交 的延长线于 ，连接 ，则 ，根据三角形
中位线定理得出 ，则 ，证明 ，得出
，求出 ，得到 ，即可推出 ，进而证明
，延长 交 于点 ，取 的中点 ，由三角形中位线定理得出
， ，则 ，证明 ，得出 ，同理可
得 ，得出 ，证明 ，得出 ，令 ，则
， ， ， ， ，由勾股定理得出 ，由等面积法得出 ，从而得出 ，取 的中点 ，过点
作 轴于点 ，由三角形中位线定理得出 ， ，证明 得
出 ，则 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：在 中，
当 时， ；当 时， ，
， ，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，
点 的横坐标为 ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，
， ，
，， ，
，
， ，
在 中， ，
在 中， ， ，
；
（3）解：如图，连接 ，
， ，
，
，
设 ，
，
， ，
，
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，
取 的中点 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 分别作 于 ，
交 的延长线于 ，连接 ，
四边形 是长方形，
， ，
，， ，
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，
，
，
，
，
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，
，
，
，
， ，
，
延长 交 于点 ，取 的中点 ，
， ，
， ，
，
， ， ，
，
，
同理： ，
，
， ， ，
，，
令 ，则 ， ， ， ，
，
在 中， ，
，
，
解得： ，
在 中， ，
取 的中点 ，过点 作 轴于点 ，
， ，
， ，
，
，
，
在 中， ，
点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的
判定与性质、熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
