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重难点突破09 函数零点问题的综合应用
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1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，
求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴(或直线 )在某区间上的交
点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
2、函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个
不同的值，就有几个不同的零点．
3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将 整理变形成
的形式，通过 两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函
数的单调性，从而判断函数零点个数.
4、利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知
识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可
以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合
思想研究；③构造辅助函数研究.
题型一：零点问题之一个零点
例1．（2023·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数 , .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）设 ， .
①求证：函数 存在零点；
②设 ，若函数 的一个零点为 .问：是否存在 ，使得当 时，函数 有且仅有
一个零点，且总有 恒成立？如果存在，试确定 的个数；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题可知 ，定义域为 .
则 ，令 ，解得 （舍）或 ，
故可得 在 单调递减.
（2） ，
①由题可知 .令 ，则其 .
⒈当 时， ，故 在 上单调递减.
又因为 ，故 在区间 上一定有一个零点；
⒉当 时， ，令 ，
解得 ，
令 ，故可得 ，故 在区间 上单调递增；
令 ，故可得 或 ，故 在 ， 单调递减.
又 ，故可得 ，
又因为 ，
故 在区间 上一定有一个零点.
⒊当 时， ，令 ，
解得 ，显然 存在零点.
⒋当 时，令 ，解得 ，
故可得 在区间 单调递增；在 单调递减.
又因为 ， ，
故 在区间 上一定存在一个零点.
综上所述，对任意的 ， 一定存在零点.
②由①可知，当 时，
在 上单调递减.
且只在区间 上存在一个零点，显然不满足题意.
当 时，
在 单调递减，在 单调递增，
在 单调递减.且
且在区间 上一定有一个零点，不妨设零点为 ，则 ，
故要存在 ，使得当 时，函数 有且仅有一个零点，
且总有 恒成立，
只需 ，即 ，（ⅰ）
整理得 ， .
则上述方程在区间 上根的个数，即为满足题意的 的个数.
不妨令 ,则 ，
故方程（ⅰ）等价于 .
不妨令 ，
故可得 在区间 上恒成立.
故 在区间 上单调递增.
又因为 ，
故可得函数 在区间 上只有一个零点.
则方程（ⅰ）存在唯一的一个根.
即当 时，有且仅有一个 ，使得当 时，
函数 有且仅有一个零点，且总有 恒成立.
例2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 ，
， 在 上有且仅有一个零点 .
(1)求 的取值范围；
(2)证明：若 ，则 在 上有且仅有一个零点 ，且 .
【解析】（1） ，设 ，
，
①当 时，若 ，则 ，
在 上无零点，不符合题意；
②当 时，若 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴ 在 上无零点，不符合题意；
③当 时，若 ，则 ，∴ 在 上单调递增，∵ ， ，
∴存在唯一 ，使得 .
当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ， ，
故 在 上有且仅有一个零点 ，符合题意；
综上， 的取值范围为 .
（2）记 ，
，
由（1）知：若 ，当 时， ， ，
当 时， ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
故存在唯一 ，使得 ，且 .
注意到 ，可知 在 上有且仅有一个零点 ，
且 ，即 .
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明：当 时， 有且只有一个零点；
(3)若 在区间 各恰有一个零点，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意， ， ，故 ，又 ，故曲线
在点 处的切线方程为 ，即
（2）由题意，因为 ，故当 时， ，当 时， ，
当 时， ，故当 时， 有且只有一个零点（3）由（2）可得 ， ，故
设 ，则
①若 ，则 ，在 上为减函数，故
，故 在 上为减函数， 不满足题意；
②若 ，
i）当 时， ， 单调递减，且 ， ，故存在 使得
，故 在 上单调递增，在 上单调递减.又 ， ，且
，设 ，易得 ，故
在 单调递增，故 ，故 ，故 .故 在 上有
一个零点，综上有 在区间 上有一个零点
ii）当 时， ，设 ，则 ，故 为减
函数，因为 ， ，故存在 使得 成立，故 在
单调递增，在 单调递减.又 ， ，故存在 使得 成立，
故在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增.又 ，故
，且 ， ，故
，故存在 使得 ，综上有 在区间 上有一个零点.
综上所述，当 时， 在区间 各恰有一个零点
变式1．（2023·广东茂名·高三统考阶段练习）已知 ，函数 ， .
(1)证明：函数 ， 都恰有一个零点；
(2)设函数 的零点为 ， 的零点为 ，证明 .
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
时， ， 时， ，在 上单调递减， 在 上单调递减增，
时， ， ， ，
函数 恰有一个零点.
函数 的定义域为 ， ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递增，
时， ， ，
令 （ 表示 中最大的数）， ，
函数 恰有一个零点；
（2）由（1）得函数 的零点为 ，且 ， 的零点为 ，且 ，
则有 ， ，
， ， ，
在 上单调递增，由（1）可得 ， ， ，
， ，
， ， .原式得证.
题型二：零点问题之二个零点
例4．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)设 .
（ⅰ）证明： 存在两个零点 ， ；
（ⅱ）证明： 的两个零点 ， 满足 .
【解析】（1） ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
（2）（ⅰ）证明： ， ， ，
因为 ，所以 ，所以当 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则函数 有最小值 ．
由 ， ，
下面证明，在 上，对 ，只要 足够小，必存在 ，
使得 ：
实际上，当 时， ，令 ，得 ，
所以对 ，取 ，必有 ，即 ，
所以在区间 上，存在唯一的 ， ，
又 ，所以在区间 上，存在唯一的 ， ，
综上， 存在两个零点．
（ⅱ）要证 ，需证 ，由 ，所以 ，
因为 在 上单调递减，因此需证： ，
， ，
所以 ， ，
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减， ，即
，
结论得证，所以 ．
例5．（2023·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， ，证明：函数 有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．
【解析】（1） 的定义域为 且 ，
若 ，则当 时， ，故 在 上单调递增；
若 ，则当 ，当 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） ，所以， ，
因为 在 上递增， 在 递减，所以 在 上递增，又 ，
故存在唯一 使得 ，所以 在 上递减，在 上递增，
又 ，所以 在 内存在唯一根 ，
由 得 ，又 ，
故 是 在 上的唯一零点．
综上，函数 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.
例6．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数 ．
（1）若函数 在 处取得极值，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当 时， ，证明：函数 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．
【解析】（1）求导： ，由已知有 ，即 ，
所以 ，则 ，所以切点为 ，切线斜率 ，
故切线方程为： .
（2） 的定义域为 且 ，
若 ，则当 时， ，故 在 上单调递增；
若 ，则当 ，当 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3） ，所以， ，
因为 在 上递增， 在 递减，所以 在 上递增，
又 ，
故存在唯一 使得 ，所以 在 上递减，在 上递增，
又 ，所以 在 内存在唯一根 ，
由 得 ，又 ，故 是 在 上的唯一零点．
综上，函数 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若 .证明函数 有且仅有两个零点；
（2）若函数 存在两个零点 ，证明： .
【解析】（1）由题可知，定义域
当 时，函数 ，则 ， （ 为 的导函数）
单调递增
，
使 .
时， 单调递减； 时， 单调递增
所以
由双勾函数性质可知， 在 递减， ，
，且 ，
在 上有且只有一个零点
又 ，且
所以在 上有且只有一个零点
综上，函数 有且仅有两个零点
（2）由 是函数 的两个零点，知
要证
需证
令
需证
令与（1）同理得
所以
故
变式3．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 在其定义域内有两
个不同的零点．
（1）求 的取值范围；
（2）记两个零点为 ，且 ，已知 ，若不等式 恒成立，求 的取值范
围．
【解析】（1）依题意，函数 在定义域 上有两个不同的零点，即方程 在 ）上
有两个不同的解，也即 在 上有两个不同的解．
令 ，则 ．
当 时， ，所以 在 上单调逆增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ．
又 ， 时，
当 时， ，且 ，
若函数 与函数 的图象在 上有两个不同的交点，
则 ．
（2）因为 为方程 的两根，
所以 ， ．
不等式 ，变形可得 ，
代入可得 ．
因为 ， ，所以原不等式等价于 ．
又由 ， ，作差得 ，所以 ．所以原不等式等价于 恒成立．
令 ，则 ，不等式等价于 在 上恒成立．
令 ，则 ．
①当 时， ，所以 在 上单调递，因此 ，满足条件；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，所以 在 上不能恒小
于零．
综上， ．
变式4．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数 ， ， ．
(1)若 ，求证：
（ⅰ） 在 的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ） 在 上恰有两个零点；
(2)若 ，记 的两个零点为 ，求证： ．
【解析】(1)证明：(1) (ⅰ) 因为 ，
由
令 得 的递减区间为
当 时， ，
所以 在 的递减区间上也递减．
(ⅱ)
因为 ，由 得 ，
令 ，则 .
因为 ，且 ，所以 必有两个异号的零点，记正零点为 ，
则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，若 在 上恰有两个零点，则
由 ，得 ，
所以 ，又 对称轴 ，
所以
所以 .
又 ，所以在 上有且仅有一个零点．
又
令 ，解得 .
所以取 ，当 时，
所以在 上有且仅有一个零点．
故 时， 在 上恰有两个零点．
(2)由（ⅱ）知，对 在 上恰有两个零点 ，
不妨设 ，因为 ，
所以
因为 ，
所以
所以
题型三：零点问题之三个零点
例7．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数 有三个零点.
(1)求 的取值范围；
(2)设函数 的三个零点由小到大依次是 .证明： .
【解析】（1）因为 定义域为 ，又 ，（ⅰ）当 单调递减；
（ⅱ）当 ，记 ，则 ，
当 ；当 ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减， ，
又 ，所以 ，
①当 ，则 单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；
②当 ，由（ⅱ）知， 有两个零点，
记 两零点为 ，且 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，且 趋近0， 趋近于正无穷大， 趋近正无穷大， 趋近负无穷大，
所以函数 有三零点，
综上所述， ；
（2） 等价于 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由（1）可得 ，则 ，
所以 ，所以 ，
则 满足 ， ，
要证 ，等价于证 ，
易知 ，令 ，则 ，
令 得 ，令 得 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
下面证明 ，由 ，即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
令 ， ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以原命题得证.
例8．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)①当 时，试证明函数 恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为 ， ， ，且 ，试证明 .
【解析】（1）当 时 ，定义域为 ，
所以 ，
所以 在定义域上单调递减，其单调递减区间为 ，无单调递增区间．
（2）①由 定义域为 ，
所以 ，
令 ，因为 ， ，
设方程的两根分别为 ， ，且 ，则 ， ，
所以 有两个零点 ， ，且 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值，
又 ，故 ，则 ，
又因为 ， ，且 ，
故有 ，由零点存在性定理可知，
在 恰有一个零点，在 也恰有一个零点，
易知 是 的零点，所以 恰有三个零点；
②由①知 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以要证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ．
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，故 式成立，
所以 ．
例9．（2023·广西柳州·统考三模）已知 ．
（1）若函数 有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为 且 ，当 时，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ．令 ．
当 时， 的零点与函数 的零点相同．
当 时， ，所以 只有一个零点，不合题意．因此 ．
又因为函数 有三个不同的零点，所以 有两个均不等于1的不同零点．
令 ，解得 （舍去负值）．
所以当 时， ， 是减函数；当 时， ， 是增函数．
因为 ，
所以当 ，即 时， 有两个不同零点．
又因为 时， ，
所以函数 有三个不同的零点，实数a的取值范围是
（2）因为 ， ，
所以 ．所以 ．
所以 ．
所以 是 的两个根．
又因为 ，
所以 有一个小于0的根，不妨设为 ．
根据 有三个根 ，可知 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，即 ．
显然 ，所以a的取值范围是 ．
变式5．（2023·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数 （ ， ）.
（1）若 ，且 在 内有且只有一个零点，求 的值；
（2）若 ，且 有三个不同零点，问是否存在实数 使得这三个零点成等差数列？若存在，求
出 的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）若 ，则 ， .若 ，则函数 在 上单调递增,则 ，
故 在 无零点；
若 ，令 ，得 ， .
在 上， ， 单调递减，
在 上， ， 单调递增.
又 在 内有且只有一个零点，则 ，
得 ，得 ,得 .
（2）因为 ，则 ，若 有三个不同零点，且成等差数列，
可设
,
故 ，则 ，故 ， ， .此时， ， ，故存
在三个不同的零点，故符合题意的 的值为 .
变式6．（2023·浙江·校联考二模）设 ，已知函数 有 个不同零点.
(1)当 时，求函数 的最小值：
(2)求实数 的取值范围；
(3)设函数 的三个零点分别为 、 、 ，且 ，证明：存在唯一的实数 ，使得 、 、
成等差数列.
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， .
（2）因为 ，
则 ，
①当 时， 恒成立，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
此时函数 至多两个零点，不合乎题意；
②当 时，由 可得 或 ，列表如下：
极大 极小
增 减 增
值 值
由题意可知， 有 个不同的零点，则 ，
又因为 ，
令 ，记 ，
则 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，，
故不等式组 的解集为 .
因为 ， ，
故当 时，函数 有 个不同的零点，
综上所述，实数 的取值范围是 .
（3）因为 ， ，结合（2）中的结论可知 ，
①当 时，若存在符合题意的实数 ，则由于 ，
因此， ， ，因此， 、 、 成等差数列可得出 ，考虑 ，
即 ，这等价于 ，
令 ，
所以， ，
令 ，则 ，
当 时， ，则函数 单调递增，
所以， ，故函数 单调递增，
因为 ， ，
所以， 在 上存在唯一零点，记为 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
由于 ， ， ，
因此， 在 上无零点，在 上存在唯一的零点 ，
所以，存在唯一的实数 ，使得 、 、 成等差数列;
②当 时， ，不合乎题意.
综上所述，存在唯一的实数 使得 、 、 成等差数列.
变式7．（2023·山东临沂·高三统考期中）已知函数 和 有相同的最大值.
(1)求 ，并说明函数 在（1，e）上有且仅有一个零点；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等比数列.
【解析】（1） ，令 可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，∴ 时， 取得最大值.即 .
，
当 时，
时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减，
∴ .
当 时， ，不合题意；
当 时，可知 ，不合题意.
故 ，即 .
∴ .
∵ ，
当 时， ， ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，
又 ， ，
∴ 在 上有且仅有一个零点.
（2）由（1）知， ， 的图象大致如下图：
直线 与曲线 ， 三个交点的横坐标从左至右依次为 ， ， ，
且 ，
∴ 且
由 即 ， ， ，∴即 .①
由 即 ，
∴ .②
由①，②， ，又 ，即 ，
∴ .
题型四：零点问题之max，min问题
例10．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在 上
的零点个数．
【解析】（1）当 时， ，
由 ，得 或 ，则 和 随 的变化如下表所示：
0
+ 0 - 0 + 0 -
极大 极小 极大
∴ 在 上有2个极大值： 在 上有1个极小值 ．
（2）由 ，知 ．
（ⅰ）当 时， ，
∴ ，故 在 上无零点．
（ⅱ）当 时， ．
故当 时，即 时， 是 的零点；
当 时，即 时， 不是 的零点．
（ⅲ）当 时， ．故 在 的零点就是 在 的零点，
．①当 时， ，故 时， 在 是减函数，
结合 ， 可知， 在 有一个零点，
故 在 上有1个零点．
②当 时， ，故 时， 在 是增函数，
结合 可知， 在 无零点，故 在 上无零点．
③当 时， ，使得 时， 在 是增函数；
时， 在 是减函数；
由 知， ．
当 ，即 时， 在 上无零点，故 在 上无零点．
当 ，即 时， 在 上有1个零点，故 在 上有1个零点．
综上所述， 时， 有2个零点； 时， 有1个零点； 时， 无零点
例11．（2023·四川南充·统考三模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在 上
的零点个数．
【解析】（1）当 时， ， ，
由 ，得 或 ，则 和 随 的变化如下表所示：
0
0 0 0
极 极 极
大 小 大
在 上有2个极大值： ，
在 上有1个极小值： .
（2）由 ，知 .（i）当 时， ，
，故 在 上无零点．
（ii）当 时， ， ．
故当 时，即 时， ， 是 的零点；
当 时，即 时， ， 不是 的零点.
（iii）当 时， ．
故 在 的零点就是 在 的零点，
， ．
①当 时， ，故 时， ， 在 是减函数，
结合 ， 可知， 在 有一个零点，
故 在 上有1个零点.
②当 时， ，故 时， ， 在 是增函数，
结合 可知， 在 无零点，
故 在 上无零点．
③当 时， ，使得 时， ， 在 是增函数；
时， ， 在 是减函数；
由 知， ．
当 ，即 时， 在 上无零点，
故 在 上无零点．
当 ，即 时， 在 上有1个零点，
故 在 上有1个零点.
综上所述， 时， 有2个零点；
时， 有1个零点；
时， 无零点.
例12．（2023·四川南充·统考三模）已知函数 ， 其中 为自然对数的底数.(1)当 时，求函数 的极值；
(2)用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，当 时，讨论函数
在 上的零点个数.
【解析】（1）当 时， ， ，
由 得： 或 ；由 得：
列表：
0 1
+ 0 0 +
极大值 极小值
∴ ； ；
（2）由 知：
（i）当 时 ，
，故 在 上无零点.
（ii）当 时， ， 知：当 时， ， ，
是 的零点；
当 时， ， ， 不是 的零点；
（iii）当 时， ，故 在 的零点就是 在 的零点.
由 得： ，
设 ，则 ，
在 上单调递增，
又∵ ， ，
∴当 时， 即 在 上无零点；当 时， 即 在 上有1个零点；
当 时， 即 在 上无零点；
综上所述： 时， 有2个零点；
或 时， 有1个零点；
时， 无零点.
变式8．（2023·广东·高三专题练习）已知函数 ， ， .
(1)若函数 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ；
(2)用 表示m，n中的最小值，记函数 ， ，若函数 有且仅有三个不
同的零点，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意， ， ，
当 时， 恒成立， 没有极值.
当 时，令 ，即 ，解之得 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
∴ 时， 有极大值为 ，
时， 有极小值为 ，
当 时，要证 ，即证 ，
代入计算有， ， ，
则有 符合题意，即 得证；
当 时，要证 ，即证 ，代入计算有， ， ，
则有 符合题意，即 得证.
综上，当 为极大值点和极小值点时， 均成立.
（2）①当 时， ，∴ ，
故函数 在 时无零点；
②当 时， ， ，若 ，则 ，
，故 是函数 的一个零点；
若 ，则 ，∴ ，故 时函数 无零点.
③当 时， ，因此只需要考虑 ，
由题意， ， ，
㈠当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递增， ，∴ 在 恒成立，
即 在 内无零点，也即 在 内无零点；
㈡当 时， ， 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
即 在 内有1个零点，也即 在 内有1个零点；
㈢ 时，函数 在 上单调递减，
∴ ，
若 ，即 时，
在 内无零点，也即 在 内无零点；
若 ，即 时， 在 内有唯一的一个零点，
也即 在 内有唯一的零点；若 ，即 时，由 ， ，
∴ 时， 在 内有两个零点.
综上所述，当 时，函数有3个零点.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若直线 与曲线 相切，求a的值；
(2)用 表示m，n中的最小值，讨论函数 的零点个数．
【解析】（1）设切点为 ，∵ ，∴
∴ （*）
消去a整理，得 ，∴
∴
（2）①当 时， ， ，∴ 在 上无零点
②当 时， ， ．
若 ， ，此时 ， 是 的一个零点，
若 ， ，此时 ， 不是 的零点
③当 时， ，此时 的零点即为 的零点．
令 ，得 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，且
当 时，
（i）若 ，即 时， 在 上无零点，即 在 上无零点
（ii）若 ，即 时， 在 上有一个零点，即 在 上有一个零点
（iii）若 ，即 时， 在 上有两个零点，即 在 上有两个零点
（iv）若 ，即 时， 在 上有一个零点，即 在 上有一个零点综上所述，当 或 时， 在 上有唯一零点；
当 或 时， 在 上有两个零点；
当 时， 在 上有三个零点
变式10．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数 .
(1)若过点 可作 的两条切线，求 的值.
(2)用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论 零点的个数.
【解析】(1)设切点为
则切线方程为
在直线 上，则 ，
令 ，则 ，令 ，解得 ，所以 或
要想让切线有两条，只需满足 或
(2)当 时， ， 单调递减，在 取得最大值， ，所以只需考
虑 在 的零点个数.
（i）若 或 ，则
当 时， 在 无零点.
当 时， 在 单调递减，而 在 有一个零点；
（ii）若 ，则 在 单调递减，在 单调递增，故当 时， 取得最
小值，最小值为
①若 ，即 在 无零点.
②若 ，即 ，则 在 有唯一零点；③若 ，即 ，由于
所以当 时， 在 有两个零点；当 时， 在 有一个零点
综上，当 有0个零点；
当 或 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点.
题型五：零点问题之同构法
例13．已知函数 ，若函数 在区间 内存在零点，求实数 的
取值范围
【解析】解：方法一：由 可得 ，
设 ， ， ，则 ，令 ， 在 单调递减，在
单调递增，
故 （1） ．
①当 时，令 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增，
（1） ，此时 在区间 内无零点；
②当 时， （1） ，此时 在区间 内有零点；
③当 时，令 ，解得 或1或 ，且 ，
此时 在 单减， ， 单增， 单减， ， 单增，
当 或 时， ，此时 在区间 内有两个零点；
综合①②③知 在区间 内有零点 ．
方法二：由题意可得
，即 ，
因为 当 时等号成立，
所以 ，即 ，
，令 ， ，易知 在 单减，在 上单增，所以 （1） ，
又 趋近于0和正无穷时， 趋近于正无穷，
所以 ．
例14．已知 ．
（1）若函数 在 上有1个零点，求实数 的取值范围．
（2）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围．
【解析】解：（1） ， ， ，
所以 ，
当 时， ，所以 在 ， 单调递增，
又因为 ，所以 在 ， 上无零点；
当 时， ，使得 ，
所以 在 ， 单调递减，在 单调递增，
又因为 ， ，
所以若 ，即 时， 在 ， 上无零点，
若 ，即 时， 在 ， 上有一个零点，
当 时， ， 在 ， 上单调递减， 在 ， 上无零点，
综上当 时， 在 ， 上有一个零点；
（2）由 ，
即 ，即 ，
则有 ，
令 ， ，则 ，，所以函数 在 上递增，
所以 ，则有 ，即 ， ，
因为关于 的方程 有两个不同的实数解，
则方程 ， 有两个不同的实数解，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 （1） ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ．
例15．已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）若函数 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ， ， ，
显然 在 单调递增，且 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
在 处取得极小值 ，无极大值．
（2）函数 有两个零点，即 有两个解，即 有两个解，
设 ，则 ， 单调递增，
有两个解，即 有两个解．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减．
， ，当 时 ，
．
题型六：零点问题之零点差问题
例16．已知关于 的函数 ， 与 ， 在区间 上恒有
．（1）若 ， ， ，求 的表达式；
（2）若 ， ， ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， ， ， ， ，
，求证： ．
【解析】解：（1）由 得 ，
又 ， ，所以 ，
所以，函数 的图象为过原点，斜率为2的直线，所以 ，
经检验： ，符合任意，
（2） ，
设 ，设 ，
在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
所以 （1） ，
所以当 时， ，
令
所以 ，得，
当 时，即 时， 在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
当 时，即 时，
△ ，即 ，
解得 ，
综上， ， ．
（3）①当 时，由 ，得
，
整理得 ，
令△ ，
则△ ，记 ，
则 ，恒成立，
所以 在 ， 上是减函数，则 （1），即 ，
所以不等式 有解，设解为 ，
因此 ．
②当 时，
，
设 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 是减函数，
当 ， 时， ， 是增函数，
， （1） ，
则当 时， ，
则 ，因此 ，
因为 ， ， ，所以 ，
③当 时，因为 ， 为偶函数，因此 也成立，
综上所述， ．
例17．已知函数 ．
（1）如 ，求 的单调区间；
（2）若 在 ， 单调增加，在 ， 单调减少，证明： ．
【解析】解：（Ⅰ）当 时， ，
故
当 或 时， ；
当 或 时， ．
从而 在 ， 单调增加，在 ， 单调减少；
（Ⅱ） ．由条件得： （2） ，即 ，故 ，
从而 ．
因为 ，
所以 ．
将右边展开，与左边比较系数得， ， ．
故 ．，
又 ，即 ．由此可得 ．
于是 ．
例18．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， ，证明： ．
【解析】（1）解：当 时， ，
， ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）证明：函数 的定义域为 ， ，
令 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，
所以 ， 是函数 的两个零点，
，
，令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 ， ，
由 ，可得 ，因为 ，所以 ，
所以要证 ，即证 ，只需证 （2） ，
因为 ，
所以 （2） ，
所以 ，得证．
题型七：零点问题之三角函数
例19．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数 ．
(1)若对 时， ，求正实数a的最大值；
(2)证明： ；
(3)若函数 的最小值为m，试判断方程 实数根的个数，并说明理
由．
【解析】（1）由题知 ，令 ，所以 ，
又因为 时， ，a为正实数，故 在区间 恒成立，
所以函数 在区间 上单调递增，且 ．
①当 时， 在区间 上恒成立，函数 在 上单调递减，
此时 ，符合题意．
②当 时， ， ，
由零点存在定理， 时，有 ，
即函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时，有 ，此时不符合，
综上所述，正实数a的最大值为1．
（2）由（1）知，当 ， 时， ，
令 时，有 ，
即 ，所以 ， ， ， ，累加得 ，
即 ，
所以
（3）因为 ，所以 ，令 ，则
在区间 上恒成立，
所以函数 在区间 上单调递增，又 ， ，
由零点存在定理， 时，有 ，即 ，
因此 ，而函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
又因为 ，令 ，则 ，所以 在区间
上恒成立，
即 在区间 上单调递减，所以 ，即 ．
设 ，则 ，令 ，
则 在区间 上恒成立
所以函数 在区间 上单调递增，又 ， ，
由零点存在定理， 时， ，即 ，
因此 ，又 ，
设 ，则 在区间 上恒成立，
所以函数 在 上递增，于是 且 ，
而函数 在 上递减，在 上递增，
∴ ，
即函数 有唯一零点 ，故方程 有唯一的实数解．
例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)证明：当 时， ；
(2)记 ，若 有且仅有2个零点，求 的值.
【解析】（1）当 时，有 ， 单调递增，
又 ，则可知 ，使得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
又 ，则可知 ；
（2）依题意，函数 的定义域是 ，
当 时， ，即 ，而 ，
时， ， 时， ，有两个零点 ，符合题意；
①当 时，若 ，有 ，且 ，有 ，
又 ，由（1）可知 又 ，则
所以 在 有1个零点：
若 ，有 ，若 ，
有 ，
可知 在 有1个零点，符合题意：
若 ，有 在 单调递增， ，
（i）若 ，则当 ，有 ，
（ii）若 ，又 ，则可知 ，使得 ；由（i）、（ii），则可知有 在 单调递减，所以 ，
又有 ，所以 在 至少有1个零点，
则可知 在 至少有2个零点，不符合题意；
若 ，有 在 单调递增，
又 ，则可知 ，使得 ，
所以 在 单调递增，则有 ，
又有 ，所以 在 至少有1个零点，
则可知 在 至少有2个零点，不符合题意；
②当 时，由 ，
记 ，
由①可知，有且仅有 满足题意，即 时，满足题意.
综上可知，实数a的值为 ，0，1.
例21．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知 ，且0为 的一个
极值点．
(1)求实数 的值；
(2)证明：①函数 在区间 上存在唯一零点；
② ，其中 且 ．
【解析】（1）由 ，
则 ，
因为0为 的一个极值点，
所以 ，所以 ．
当 时， ，
当 时，因为函数 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上单调递减；当 时， ，则 ，
因为函数 在 上单调递减，且 ， ，
由零点存在定理，存在 ，使得 ，
且当 时， ，即 单调递增，
又因为 ，
所以 ， ， 在 上单调递增；.
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以0为 的一个极值点，故 .
（2）①当 时， ，所以 单调递减，
所以对 ，有 ，此时函数 无零点；
当 时，设 ，
则 ，
因为函数 在 上单调递减，且 ， ，
由零点存在定理，存在 ，使得 ，
且当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减．
又因为 ，
所以 ， ， 在 上单调递增；
因为 ， ，
所以存在 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减．
所以，当 时， 单调递增， ；
当 时， 单调递减， ，
此时 在 上无零点；
当 时， ，
所以 在 单减，
又 ， ，
由零点存在定理，函数 在 上存在唯一零点；
当 时， ，此时函数无零点；
综上所述， 在区间 上存在唯一零点．
②因为 ，由（1）中 在 上的单调性分析，
知 ，所以 在 单增，
所以对 ，有 ，
即 ，所以 ．
令 ，则 ，
所以 ，
设 ， ，
则 ，
所以函数 在 上单调递减，则 ，
即 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
变式11．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）已知 ， （n为正整
数， ）．
(1)当 时，设函数 ， ，证明： 有且仅有1个零点；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）当 时，
记 ，则
所以 在区间 上单调递增
而 ，
所以存在 ，使得 ，即
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
又 ， ，
所以 在 上没有零点，在 上有一个零点，
综上所述，函数 在 内只有一个零点.
（2）当 时， ，
要证 ，
即证 ，
令 ，则 ，所以 在 单调递减， ，即 ，
要证 只需证 ，
令 ，则 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
所以 成立，
∴原命题得证.
题型八：零点问题之取点技巧
例22．已知函数 为自然对数的底数，且 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【解析】解：（1） ，
① 时， ，则
时， ， 在 递减，
时， ， 在 递增，
②当 时，由 得 ， ，
若 ，则 ，故 在 递增，
若 ，则
当 或 时， ， 时， ，
故 在 ， 递增，在 递减；
综上： 时， 在 递减，在 递增，
时， 在 ， 递增，在 递减；
时， 在 递增；
（2）① 时， 在 递增，不可能有2个零点，
②当 时， 在 ， 递增， 递减，
故当 时， 取极大值，极大值为 ，
此时， 不可能有2个零点，
③当 时， ，由 得 ，
此时， 仅有1个零点，④当 时， 在 递减，在 递增，
故 ，
有2个零点， ，
解得： ， ，
而 （1） ，
取 ，则 （b） ，
故 在 ， 各有1个零点，
综上， 的取值范围是 ， ．
例23．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【解析】解：（1）由 ，
可得 ，
①当 时，由 ，可得 ；由 ，可得 ，
即有 在 递减；在 递增；
②当 时，由 得 或 ；
若 ，则 ，当 时， ，当 时， ；
， 恒成立，即有 在 上递增；
若 时，则 ；由 ，可得 或 ；
由 ，可得 ．
即有 在 ， ， 递增；
在 ， 递减；
若 ，则 ，由 ，可得 或 ；
由 ，可得 ．
即有 在 ， ， 递增；在 ， 递减．
（2）①由（1）可得当 时， 在 递减；在 递增，且 ， ，取 满足 且 ．则 ，
有两个零点；
②当 时， ，所以 只有一个零点 ；
③当 时，
若 时，由（1）知 在 ， 递减，
在 ， ， 递增，
又当 时， ，所以 不存在两个零点；
当 时，由（1）知， 在 单调增，又当 时， ，故 不存在两个零点；
综上可得， 有两个零点时， 的取值范围为 ．
例24．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【解析】解：（1） ．
当 时，令 ，得 ；
令 ，得 ．
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时，令 ，得 ， ．
①当 ，即 时， ， 在 上单调递增．
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 ， ， 上
单调递增．
③当 ，即 时， 在 上单调递减，在 ， ， 上单
调递增．
（2）当 时，由（1）可知 只有一个极小值点 ，且 ， ．
（方法一）取 ，且 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
则 （b） ，此时 有两个零点．
（方法二）当 时， ， ，
从而 ，因此 有两个零点．
当 时， ，此时 有一个零点，不符合题意．
当 时，若 ，则恒有 ．
当 时， 在 上单调递增，
此时 在 上不可能有两个零点；
当 时，若 ，同理可知 在 上不可能有两个零点；
若 ， 在 上先减后增，
此时 在 上也不可能有两个零点．
综上， 的取值范围是 ．
变式12．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【解析】解：（1） ，
①当 时， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
的单增区间为 ，单减区间为 ．
②当 时，令 ， 或 ，
当 ，即 时， ， 在 单增，
当 ，即 时，由 得， ， ， ，由 得， ， ，
单增区间为 ， ， ， 单减区间为 ， ．
当 ，即 时，由 得， ， ， ，
由 得， ， ，
的单增区间为 ， ， ，
的单减区间为 ， ．
（2） ．
当 时， ， ，可得 ，不符题意，故 ；
当 时，由（1）可得只需 ，即 时，满足题意；
当 时， 在 上单增，不满足题意；
当 时， 的极大值 ，不可能有两个零点．
当 时， 的极小值 ， ， ，
只有 才能满足题意，即 有解，
令 ， ，
则 ， （a）在 单增，
而 ， （a） ，方程无解．
综上所述， ．
