文档内容
重难点突破 13 切线与切点弦问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：切线问题................................................................................................................................3
题型二：切点弦过定点问题..............................................................................................................10
题型三：利用切点弦结论解决定值问题..........................................................................................17
题型四：利用切点弦结论解决最值问题..........................................................................................25
题型五：利用切点弦结论解决范围问题..........................................................................................32
03 过关测试.........................................................................................................................................381、点 在圆 上，过点 作圆的切线方程为 ．
2、点 在圆 外，过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切点弦 的
直线方程为 ．
3、点 在圆 内，过点 作圆的弦 （不过圆心），分别过 作圆的切线，
则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
4 、 点 在 圆 上 ， 过 点 作 圆 的 切 线 方 程 为
．
5、点 在圆 外，过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切点
弦 的直线方程为 ．
6、点 在圆 内，过点 作圆的弦 （不过圆心），分别过 作
圆的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为 ．
7、点 在椭圆 上，过点 作椭圆的切线方程为 ．
8、点 在椭圆 外，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ，则
切点弦 的直线方程为 ．
9、点 在椭圆 内，过点 作椭圆的弦 （不过椭圆中心），分别过
作椭圆的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
10、点 在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为 ．
11、点 在双曲线 外，过点 作双曲线的两条切线，切点分别为
，则切点弦 的直线方程为 ．
12、点 在双曲线 内，过点 作双曲线的弦 （不过双曲线中心），分别过 作双曲线的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
13、点 在抛物线 上，过点 作抛物线的切线方程为 ．
14、点 在抛物线 外，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ，
则切点弦 的直线方程为 ．
15、点 在抛物线 内，过点 作抛物线的弦 ，分别过 作抛物线的
切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
题型一：切线问题
【典例1-1】已知 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 上一
点 作 的两条渐近线的平行线，分别交 轴于 ， 两点，且 ， 内切圆的圆心到
轴的距离为 ．
(1)求 的标准方程；
(2)（ⅰ）设点 为 上一点，试判断直线 与C的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）设过点 的直线与 交于 ， 两点（异于 的两顶点）， 在点 ， 处的切线交于点 ，线段
的中点为 ，证明： ， ， 三点共线．
【解析】（1）如图所示，
设 ，则 ，
不妨设直线 的方程为 ，则直线 的方程 ．
令 ，得 ， ，
则 ．
设 的内切圆（圆心为 ）分别与 ， ， 切于点 ， ， ，则 ，
所以 为 的顶点，所以 轴， 的横坐标为 ，所以 ，
故 的标准方程为 ；
（2）（ⅰ）由 ，得 ，
结合 ，得 ，所以 ．
所以直线 与 相切．
（ⅱ）由题易得直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ，代入 ，
得 ，其中 ，
设 ， ，则 ， ， ，
则 ， ，
由（ⅰ）， 在点 ， 处的切线方程分别为 ， ．
两式联立，得 ，
，即 ，
所以 ，故 ， ， 三点共线.
【典例1-2】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为
上顶点，离心率 为 ，直线 与圆 相切.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)椭圆方程 ，平面上有一点 . 定义直线方程 是椭圆 在
点 处的极线.
① 若 在椭圆 上，证明: 椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;
② 若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ，割线交椭圆 于 两点，
过点 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 . 证明: 三点共线.
【解析】（1）由已知 ， ，则
所以直线 ，即 ，
该直线与圆 与相切，则 ，
所以解得 ， ，
故椭圆 的标准方程为
（2）① 由(1)得椭圆 的方程是 .
因为 在椭圆 上，所以 ，即 ，
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
当 时， ，此时极线方程为 ，所以 处的极线就是过点 的切线，当 时，极线方程为 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 处的极线就是过点 的切线，
综上所述，椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;
② 设点 ，
由①可知，过点 的切线方程为 ，
过点 的切线方程为 ，
因为 都过点 ，所以有 ，
则割线 的方程为 ，
同理可得过点 的两条切线的切点弦 的方程为 ，即 ，
又因为割线 过点 ，代入割线方程得 ，即 ，
所以 三点共线，都在直线 上．
【变式1-1】在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离比点 到 轴的距离大 ，设动点
的轨迹为曲线 ，直线 交曲线 于 两点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交曲
线 于点 ．
(1)求曲线 的方程；(2)证明：曲线 在点 处的切线与 平行；
(3)若曲线 上存在关于直线 对称的两点，求 的取值范围．
【解析】（1）设点 ,由 ；
（2）∵点 在抛物线上，
∴ ，求导得 ，
在点 的切线方程为 ，即 ，
- 得 ，即 ，∴ ，则 ，
② ①
令 方程为 ，代入 得： ，
点坐标为 ，以 点为切点的切线斜率为 ，故曲线 在 处的切线与 平行；
（3）若存在两点 关于直线 对称，则 ，
令 中点 ，令 方程为 ，由于 在直线 上，故有 ，
根据（2）结论可知 ，即 ，
故 ，
将直线 与抛物线 联立得：
或 ．
【变式1-2】已知抛物线 ，焦点为 .过抛物线外一点 （不在 轴上）作抛物线 的切
线 ，其中 为切点，两切线分别交 轴于点 .
(1)求 的值；
(2)证明：
① 是 与 的等比中项；
② 平分 .
【解析】（1）抛物线 焦点 ，设点 ，
设抛物线 的切线 的方程分别为：由 整理得， ，
由 ，
可得 ，同理 ，
则抛物线 的切线 的方程分别为：
则 ， ，
则 ，
（2）①由（1）可得
， ，
则 ，
，
则 ，故 是 与 的等比中项；
②
，则 ,又 ，则
故 平分 .
【变式1-3】（2024·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线 ，F为C的焦点，过点F的直线 与
C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．
(1)当 的斜率为 时，求 ；
(2)证明： ．
【解析】（1）依题意，抛物线 的焦点 ，准线方程 ，当l的斜率为 时，l的方程为
，
由 ，得 ，设 ， ，则 ，
所以 .
（2）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，
由 消去y得 ，由（1） ， ，
， ，对 求导，得 ，切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，
当 时， ，显然 ；当 时，直线 的斜率为 ，因此 ，
所以 .
题型二：切点弦过定点问题
【典例2-1】如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： .
(1)若点 在 ： 上，记G的几何中心为点 ，则当 取得最大值时，求点 的
坐标.
(2)已知动点 、 在C上，分别过 、 作抛物线的切线 、 ，设 和 相交于点T，若点T恒在直线 ：
上，求证：直线 经过定点.
(3)将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，给定点 ， 上有四点 、 、 、 ，满足 ，
、 均三点共线，且 、 都在x轴上方，设线段 和 的中点分别为T、S，试判断：直线
是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
【解析】（1）由 ： 可知 ， ，
由 ，
故 ，
当且仅当 、 、 三点共线且 在 、 之间时，等号成立，
此时 且点 在直线 上，
即有 ，即 ，则 ，即 ；
（2）设P(x ,y )，Q(x ,y )， ，
1 1 2 2
由 ，则 ，
整理得 ，
则有 ，整理得 ，
同理可得 ，有 ，
即点 、 均在直线 上，
即有 ，
即 ，则有 ，解得 ，
故直线 经过定点，且该定点为 ；
（3）将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，
则点 为抛物线 焦点，
由 ， 、 均三点共线，
故 、 都经过 ，
设 ，Q(x ,y )，不妨设 ，
2 2
设 ，则 ，由 ，得 ，故 ， ， ， ，
所以 ，由 ，则同理可得 ．
若 ，则 ，直线 过点 ，
若 ，则 ，直线 过点 ．
综上，直线 过定点 ．
【典例2-2】已知曲线 上的动点 满足 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)已知直线 与 交于 两点，过 分别作 的切线，若两切线交于点 ，且点 在直线 上，证
明： 经过定点.
【解析】（1）因为 ，
所以曲线 是以 为焦点，以2为实轴长的双曲线，
所以实半轴长 ，半焦距 ，虚半轴长 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）由题知切线斜率均存在，所以设过点 所作的切线分别为 ，
由题意知 且 ，由 得 ，
因为 与 相切，
所以 ，且 ，整理得 .
此时可得 ，即 .同理 .
由 得 .
直线 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，
令 ，得 ，
即 经过定点 .
【变式2-1】（2024·青海海西·模拟预测）过直线 上一个动点 作抛物线 的两条切线，
分别为切点，直线 与 轴分别交于 两点．
(1)证明：直线 过定点 ，并求点 的坐标；
(2)在（1）的条件下， 为坐标原点，求 的最大值．
【解析】（1）设 的坐标分别为 ，点 的坐标为 ，
由 有 ，可得直线 的方程分别为 ，
又由 ，直线 的方程可化为 ，
同理直线 的方程为 ，又由点 在直线 上，有 ，
可得点 都在直线 上，整理为 ，
又由 满足方程，故直线 过定点，定点 的坐标为 ；
（2）直线 的方程可化为 ，
联立方程 消去 后整理为 ，
可得 ，
有
，
在直线 的方程中，令 ，有 ，
可得 ，可得点 的坐标为 ，
同理可得点 的坐标为 ．
有 ，
有 ．
当 时，令 ，有 ，
①当 时， （当且仅当 时取等号），
有 ；
②当 时， （当且仅当 时取等号），有 ，有 ，有 ，可得 ．
由上知 的最大值为 ．
【变式2-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知椭圆 ，直线 ， 是直线 上的动点，
过 作椭圆 的切线 ， ，切点分别为 ，
(1)当点 坐标为 时，求直线 的方程；
(2)求证：当点 在直线 上运动时，直线 恒过定点 ；
(3)是否存在点 使得 的重心恰好是椭圆的左顶点 ，如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，
请说明理由．
【解析】（1）
设 ，已知椭圆为 ，
由椭圆的切线方程，切线 的方程为 ，
又点 在该直线上，所以 ，
切线 的方程为 ，
又点 在该直线上，所以 ，则点 ， 都在直线 上，即直线 的方程是 ，
当点 坐标为 时， ，
所以直线 的方程是 ，即 .
（2）由（1）知直线 的方程是 ，
又点 在直线 上，所以 ，
得 ，代入 的方程得 ，
即 ，所以 ，
解得 ，直线 恒过定点 .
（3）因为直线 的方程是 ，所以 ，
代入 得 ，
整理得 ，
因为 的重心为 ，所以 ， ，
所以 ，得 ，
解得 ，则 ，此时 轴， 成立，
所以点 存在，坐标为 .
【变式2-3】已知抛物线 ： 过点 ，点B为直线 上的动点，过点B向曲线C
引两条切线，切点分别为 ， ，判断直线 是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标，否则说明
理由.
【解析】将 代入 可得 ，解得 ，故 ，设 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ：
∵ 在直线 上，∴ ，
整理有： ，同理
∴ ， 为 的两根，∴ ，
，
∵ ，又 的中点
∴ 即 ，
∴过定点(0,2)
题型三：利用切点弦结论解决定值问题
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，
对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图， ， 分别为抛物线
y2=2px(p>0)的切线三角形和切点三角形， 为该抛物线的焦点．当直线 的斜率为 时， 中点
的纵坐标为 ．(1)求 ．
(2)若直线 过点 ，直线 分别与该抛物线的准线交于点 ，记点 的纵坐标分别为 ，
证明： 为定值．
(3)若 均不与坐标原点重合，证明：
【解析】（1）由题可知点 均在该抛物线上，故设 ， ，
由题意得当 时， ，
故 ，所以 ．
（2）由（1）得该抛物线的方程为 ，所以F(1,0)，准线为 ．
因为直线 过点 ，所以 与 共线，
由题可知点 在该抛物线上，故设 ，
则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
由题意知直线 的斜率均存在且均不为 ，
易知直线 的方程为 ，即 ，
令 得 ，同理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 为定值 ．（3）由题意知抛物线 在 三点处的切线的斜率都存在且不为 ．
设抛物线 在点 处的切线方程为 ，
与 联立，消去 并整理得 ，
由 ，解得 ．
所以抛物线 在点 处的切线方程为 ．
同理可得抛物线 在点 处的切线方程为 ，
在点 处的切线方程为 ．
由 ，解得 ，所以 ，
同理可得 ， ，
又 ， ， ，
所以 ．
由两点间的距离公式得 ，
同理可得 ， ，
所以，
所以 ．
【典例3-2】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点F的直线与抛物线E交
于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛
物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明： 为定值.
【解析】（1）因为抛物线的准线为： ，设 ，则 ，所以 ，
故抛物线E的标准方程为 .
（2）易知抛物线E的焦点 ，
设直线AB的方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即 ，即 ，
所以，直线 与抛物线E只有唯一的公共点，
所以，AC的方程为 ，
同理可知，直线BD的方程为 ，
在直线AC的方程中，令 ，可得 ，即点 ，同理可得点 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
设点 、 ，联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以 ，
同理可得 ，
所以
，
故 为定值 .
【变式3-1】已知 ， 分别为椭圆 ： 和双曲线 ： 的离心率．
(1)若 ，求 的渐近线方程；
(2)过 上的动点 作 的两条切线，经过两个切点的直线与 的两条渐近线围成三角形
的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得 ， ，所以 ，
又 ，解得 ，故双曲线 的渐近线方程为 ，（2）设两个切点 ， ，由题意知 ， 斜率存在，
下证切线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
因为 ，即 ，则上式可化为 ，
所以 ，
直线 的方程为 ： ，
所以切线 ： ，同理切线 方程为： ，
由 ， 过 点可得 ，可得直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ；
联立 ，解得 ；
不妨设直线 与双曲线两渐近线 交于两点为 ， ，
则围成三角形的面积
因P在双曲线 上， ，则 为定值．【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的方程为 ，把该抛物线整体平移，使其顶
点与坐标原点 重合，平移后的抛物线记作 ．
(1)写出平移过程，并求抛物线 的标准方程；
(2)已知 是抛物线 的内接三角形（点 在直线 的下方），过 作抛物线的切线交于点 ，再
过 作抛物线的切线分别交 于点 ，记 ， 的面积分别为 ，证明 为定
值．
【解析】（1）因为 ，
若使平移后的抛物线顶点与坐标原点 重合，
只需把该抛物线上所有的点向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到 ，
所以抛物线 的标准方程为 ．
（2）由（1）知 ，则 ．
设 ， 互不相等，
因为 ，则直线 ，即 ，
同理，直线 ，
联立方程组 ，解得 ，所以 ，
同理得 ，
则 ， ，
则，
同理得 ， ，
则
，
所以 ，则 ，
所以 为定值．
【变式3-3】已知圆 有以下性质：①过圆 上一点 的圆的切线方程是 ．
②若 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 的方程为
；③若不在坐标轴上的点 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为
，则 垂直 ，即 ，且 平分线段 ．
(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆 上一点 的切线方程（不要求证明）；
(2)过椭圆 外一点 作两直线，与椭圆相切于 两点，求过 两点的
直线方程；
(3)若过椭圆 外一点 （ 不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与
两点，求证: 为定值，且 平分线段 ．【解析】（1）过椭圆 上一点 的切线方程为 ．
（2）过椭圆 外一点 作两直线，
与椭圆相切于 两点，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由（1）的结论可得 处的切线方程为 ， 处的切线方程为 ，
又两切线都过 ，可得 ，
由过 两点确定一条直线可得，过 的直线方程为 ．
（3）由（2）可得过 的直线方程为 ，
可得 ，则 ；
由 都在椭圆上，
可得 ，
相减可得 ，
设 的中点为 ，可得 ，
则 ，又 ，
则得 ，
则 过 的中点，即 平分线段 ．
题型四：利用切点弦结论解决最值问题
【典例4-1】如图，抛物线 ： 上异于坐标原点 的两不同动点 、 满足 .
(1)求证：直线 过定点；(2)过点 ， 分别作抛物线 的切线交于点 ，求 的面积的最小值.
【解析】（1）证明：设直线 的方程为 ， ， ，
与抛物线方程联立
得 ， ，
， ，
，所以 ，
而 ，
代入得： ，解得： 或 （舍去），
直线 的方程为 ，必过定点(0,4).
（2）由抛物线的方程为 ,得: ，所以 ,
: , : ,
联立方程
由（1）知: , .
解得 ，即 .
点 到直线 的距离 ,
,
所以 ,
因 ,所以 ,
故当 时, 的面积取得最小值32.
【典例4-2】（2024·河北邢台·二模）已知定点 ， 轴于点H，F是直线OA上任意一点，
轴于点D， 于点E，OE与FD相交于点G．
(1)求点G的轨迹方程C；(2)过 的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为 和 ，证明： 为定值；
(3)在直线 上任取一点 ，过点B分别作曲线C： 的两条切线，切点分别为M和N，设
的面积为S，求S的最小值.
【解析】（1）设 ，易知直线 ，则 ，因为 三点共线，
则 ；
（2）设 ，过 的直线为
与 联立得 ，则 ，
又 ，同理 ，
故 ；
（3）设 ，因为 ，所以 ，
所以 处切线方程为方程为： ， 处切线方程为： ，
整理得 ，和 ，
代入上述方程，得 ， ，因此直线 的方程为 ，
由 ，整理得 ，易知 ，所以 ， ，
所以
，
点 到直线 的距离为 ，
，
当且仅当 时， 取得最小值4．
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点
与椭圆 的一个焦点重合， 是抛物线 上位于 轴两侧不对称的两动点，且 ．
(1)求证：直线 恒过一定点 ，并求出该点坐标；
(2)若点 为 轴上一定点，且 ；
（ⅰ）求出 点坐标；
（ⅱ）过点 作平行于 轴的直线 ，在 上任取一点 作抛物线 的两条切线，切点为 ， ，求
面积的最小值．
【解析】（1）证明：由题意知F(0,1)，所以 ，所以抛物线 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，由条件可设直线 方程 ，
1 1 2 2
联立 ，得 ，
则 ， ，
由 ，得 ，因为 ， ，
所以 ，解得 或 ，
因为 是抛物线 上位于 轴两侧不对称的两动点，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以直线 方程 ，
所以直线 恒过一定点 ，且定点坐标为 ；
（2）（ⅰ）由小问（1）可知直线 方程 ， ， ，
设 轴上的定点 ，由 ，
得 为 的角平分线，即直线 与直线 关于 轴对称，
则 ，即 ，
所以 ，化简可得 ，
因为 位于 轴两侧不对称，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 点坐标为 .
（ⅱ）设 ， ， ， ， ，
对 求导得， ，
则抛物线在 的切线方程为 ，
同理抛物线在 的切线方程为 ，
又切线过 ，所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
整理得 ，所以直线 过定点 ，
点 到 的距离 ，联立方程 ，得 ，
， ， ，
所以弦长 ，
所以 的面积 ，
所以当 时，即 时，
的面积的最小值为 .
【变式4-2】已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．抛物线
的焦点坐标为 ．
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)若点 是直线 上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 、 ，直线
交椭圆 于 两点．
①求证直线 过定点，并求出该定点坐标；
②当 的面积取最大值时，求直线 的方程．
【解析】（1）由于椭圆 的离心率 ，即 ，得 ，
所以设椭圆方程为 ，
因为椭圆过点 ，所以 ，得 ，
所以椭圆方程为 ，
因为抛物线 的焦点坐标为 ，所以 ，得 ，
所以抛物线方程为 ；
（2）①证明：由 ，得 ，则 ，
设 ，且满足 ，
设 ，则切线 的斜率为 ，
所以直线 为 ，
因为 ，所以切线 为 ，
同理可得切线 的方程为 ，
因为切线 同时过点 ，
所以 ，
所以可得直线 的方程为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
由 ，得 ，
所以直线 恒过定点
②作仿射变换
则 过定点 ，过 作 轴于 ， 于 ，
设 与 轴交于 ，令 为 ，则
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，
所以因为 ，
所以
，当且仅当 时取等号，
此时 ，所以 ，
所以 ，化简得 ，
解各 或 ，
∴ 或 ，
或 ．
题型五：利用切点弦结论解决范围问题
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）经过圆 上一动点 作椭圆 的两条
切线，切点分别记为 ，直线 分别与圆 相交于异于点 的 两点.
(1)求证： ；
(2)求 的面积的取值范围.
（参考结论：点 是椭圆 外一点，过P作该椭圆的两条切线，切点为A,B，则
直线AB的方程为 .）
【解析】（1）证明：设点 ．
①当直线 的斜率都存在时，
设过点 与椭圆 相切的直线方程为 ．
联立 ，消去 得 ．
．
令 ，整理得： ．
设直线 的斜率分别为 ．
∴ ．又 ．
∴ ．
∴ ，即 为圆 的直径，
∴ ．
②当直线 或 的斜率不存在时，不妨设 ，
则直线 的方程为 ．
∴点 ，点 ，也满足 ．
综上，有 ．
（2）设点 ，点B(x ,y )．
2 2
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
联立 ，消去 得 ，
．
令 ，整理得 ．则 ．
∴直线 的方程为 ．
化简可得 ，即 ．
经验证，当直线 的斜率不存在时，
直线 的方程为 或 ，也满足 ．
同理，可得直线 的方程为 ．
∵P(x ,y )在直线 上，
0 0
∴ ， ．
∴直线 的方程为 ．
联立 ，消去 得 ．
∴ ， ，
∴
．
又点 到直线 的距离 ．
，
令 ， ．则 ．
又 ，
∴ 的面积的取值范围为【典例5-2】已知椭圆 ： 和圆 ： ，点 是圆 上的动点，过点 作椭圆的切线
，切点为A，B.
(1)若点 的坐标为(0,3)，证明：直线 ；
(2)求O到直线 的距离的范围.
【解析】（1）依题意，切线的斜率存在，设切线方程为 ，
由 消去 得 ，则 ，
设 的方程两根为 ，则 ，即直线 的斜率 有 ，
所以 .
（2）设椭圆 上点 ，当椭圆 在点 处的切线 斜率存在时，设其方程为
，
由 消去 得 ，
则 ，化简得 ，
而 ，于是 ，即 ，
解得 ，直线 的方程为 ，整理得 ，
当直线 的斜率不存在时，点 或 ，对应的切线方程分别为 或 ，满足上式，
因此椭圆 上任意点 处的切线 的方程为 ，
则椭圆 上点 处的切线 的方程为 ，
设点 ，显然 ，由于直线 ， 都过点 ，即 ，
显然点 的坐标都满足方程 ，于是直线 的方程为 ，
则原点O到直线 的距离 ，而 ，则当 时， ，当 时， ，
所以点O到直线 的距离的取值范围是 .
【变式5-1】已知抛物线C： （p>0）的焦点为F，过F点且垂直x轴的直线l交抛物线C于M，N
两点， .
(1)求抛物线C的方程；
(2)圆Q： ，点P在圆Q上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求 面积
的范围.
【解析】（1）由题意知 ， 代入 ， 解得 ＝1，
所以抛物线C的方程为
（2）设 ，
设切线 方程为 ，
由 得， ，所以 ，
注意到 ，有 ， ，
方程为 ， ，所以 ，
则切线 方程， ，同理切线 方程， 设 ，则有 ，
，
所以AB方程为： 即
点 到直线AB的距离
联立 得
， ，
，
所以 ，
令t= 又因为 ，
所以 ； ，综上 的面积的范围是 ．
【变式5-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，
抛物线在点 处的切线为 ，在 点处的切线为 ，直线 与直线 交于点 ，当直线 的倾斜角为 时，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设线段 的中点为 ，求 的取值范围．
【解析】（1）当 的斜率为 时，则 ，不妨设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由 可得， ，所以 ，
,
即 ，因为 ，解得： ．
从而抛物线 的方程为
（2）由题意可知直线 有斜率，
设直线 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由 可得， ，则
所以 ，
于是 ，即
而
由 ，则 ，
于是抛物线 在点 处的切线 的方程为
即 同理可得，在点 处的切线 的方程为
联立，解得 ，于是 则
从而
所以， 的取值范围是
1．已知抛物线E： ，过点 的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为 和 ，
与 的交点为P．
(1)若点A的坐标为 ，求 的面积（O为坐标原点）；
(2)证明：点P在定直线上．
【解析】（1）直线AB的斜率
直线AB的方程为 ，即
联立方程 ，整理得：
设 ，则 ，
设直线AB与y轴的交点为D，则（2）由 ，得
的方程为： ，整理得：
同理可得 的方程为：
设 ，联立方程 ，解得
因为点T（1，2）在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为 ，与抛物线方程联立得：
故 ， ，
所以 ， ，可得
所以点P在定直线 上
2．在直角坐标系 中，动圆经过点 且与直线 相切，记动圆圆心的轨迹为曲线C．直线y＝
x＋b(其中b为非零常数)与曲线C交于 两点，设曲线C在点 处的切线分别为 和 ，已知 和 分
别与 轴交于点M，N． 与 的交点为T．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)求点T的横坐标；
(3)已知 与 面积之比为5，求实数b的值．
【解析】（1）由题意分析可知C到点 的距离等于C到与直线 的距离，
故曲线C的轨迹为抛物线，且以 为焦点，以 为准线．
故曲线C的轨迹方程为 .
（2）由 得 ，设A(x ,x2)，B(x ,x2)， ．
1 1 2 2联立直线和抛物线 ，消去y得 ，
则 ， ， ，得 .
：y−x2=2x (x−x )， ： ，
1 1 1
联立 和 解得 ， ，即 .
，
故T点横坐标为 .
（3） ：y−x2=2x (x−x )，令 ，得 ；
1 1 1
： ，令 ，得 ．
.
设AB中点为H点， ，将 带入 得 .
所以
，
所以 .
已知 且 ，解得 或 .
3．已知椭圆 ，焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，且过点 ，点 在
上，且 ， 在点 处的切线交 于 两点.
(1)求直线 的方程（用含 的式子表示）；(2)若点 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，
设双曲线方程为 ，由双曲线过点 ，代入方程，
解得双曲线 ，
点P(x ,y )在 上，有 ，
0 0
因为点 在第一象限，所以可以将双曲线 变形为 .
求导有 ，
当 时， ，所以 的方程为： ，
化简有 .
（2）设 ，有 ，
联立 ，消去 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
有 ， ，
，
点 到直线 的距离 ，
则 ，将 代入，有
当且仅当 时取等号，故 面积的最大值为 .
4．（2024·高三·河北保定·开学考试）已知双曲线 的实轴长为4，离心率 .
(1)求 的方程；
(2)过 上任意一点作圆 的切线 ，求切线 斜率最大时， 与 的渐近线围成的三角形面积.
【解析】（1）由题意可得 ，又 ，
所以 ，则双曲线 的方程为 .
（2）
设切线 的方程为 ，则原点到 的距离为1，
得 ，即 .
由 ，得 .
因为切线 过 上一点，
所以 ，方程 有解.
得 ，化简得 ，
又 ，解得 ，
所以切线 斜率最大为 ，此时直线为 .
不妨取切线 方程为 ，设 与 的渐近线交于A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
则 的渐近线方程 与 联立得， ，
则 ，得 ，
又原点到直线 的距离为1，所以 面积为 ，
即切线 斜率最大时与 的渐近线围成的三角形面积为 .
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为2，离心率为2，右焦点
为 ， 为 上的一个动点，
(1)若点 在双曲线 右支上，在 轴的负半轴上是否存在定点 ．使得 ？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过 作圆 的两条切线 ，若切线 分别与 相交于另外的两点 、 ，证明：
三点共线．
【解析】（1）根据题意，有 ，
所以双曲线的方程为 .
设 ，且 ，
①当直线 的斜率存在时，即 时，
因为 ，所以 ，
，
从而 ，化简整理得， ，
，所以在x轴负半轴上存在点 使得 ；
②当直线 的斜率不存在时，即 时，
若 ，则 ，此时P点的坐标为(2,3)，所以 ，则 ，又 ，所以 ，此时 ，
综上，满足条件的M点存在，其坐标为 .
（2）设P(x ,y )，由题意得，双曲线和圆相交，所以联立两曲线方程，得
0 0
，即为两曲线四个交点的坐标，
①当 时，即 时，直线PG的斜率不存在，直线PE的斜率为0，
此时易得 ，此时点E、G关于点O对称，故E、O、G三点共线.
②当 ，且 或 ，且 时，
此时直线PE、PG的斜率存在且不为零，分别设为 ，
设经过P(x ,y )的直线方程为 ，由于直线与圆相切，
0 0
所以 ，即
由韦达定理得 ，又 ，所以 ，
由直线PE与圆的位置关系可知， ，
同理直线PG的方程为 ，有 ，
联立 ，消去y并整理得， ，即 ，
即 ，
令 ，根据韦达定理得 ，所以
设 ，又 ，所以 ，
所以 ，又 ，
两式相减得， ，
由图可知， ，所以 ，即 .
所以点E、G关于点O对称，此时E、O、G三点共线，
综上得，E、O、G三点共线.
6．（2024·辽宁·三模）设抛物线 的方程为 ， 为直线 上任意一点；过点 作抛
物线 的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．
(1)当M的坐标为 时，求过M，A，B三点的圆的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使 为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明
理由；若不存在，也请说明理由．
【解析】（1）当M的坐标为 时，设过 点的切线方程为 ，
与 联立，得 ，整理得 ，
令 ，解得 或 ，
分别代入方程得 和 ，故得 ， ，
同时可求得直线MA的方程为 ，直线MB的方程为 ，
进而可知 ，即直线MA与直线MB互相垂直，则过M，A，B三点的圆的直径为线段AB，
设该圆上任一点 的坐标为 ，则 ， ，
所以 ，
从而过M，A，B三点的圆的一般方程为 ．
（圆的标准方程： ）．
（2）设切点分别为A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
过抛物线上点A(x ,y )的切线方程为 ，
1 1
与 联立，整理得 ，
，所以 ，
又因为 ，从而过抛物线上点A(x ,y )的切线方程为 ，
1 1
即 ，同理可得过点B(x ,y )的切线为 ，
2 2
又切线MA，MB都过点 ，所以得 ， ，
即点A(x ,y ),B(x ,y )均满足方程 ，
1 1 2 2
故直线AB的方程为 ．
设 ，其为直线 上任意一点，
故 对任意 成立，从而直线AB恒过定点 ．
（3）由（2）知 是方程 的两实根，
故有 ，又 ， ， ，所以 ．
①当 时， ，直线 上任意一点 均有 ， 为直角三角形；
②当 时， ， ， 不可能为直角三角形；
③当 时， ， ，
因为 ， ，
所以 ，
若 ，则 ，整理得 ，
又因为 ，所以 ．
因为方程 有解的充要条件是 ，所以当 时，有 ，（ 的情况同理），
所以 为直角三角形．
综上所述，当 时，直线 上任意一点 ，使 为直角三角形，
当 时，直线 上存在两点 ，使 为直角三角形；
当 或 时， 不是直角三角形．
7．已知直线 ： 和圆 ： .
(1)判断直线 和圆 的位置关系，并求圆 上任意一点 到直线 的最大距离；
(2)过直线 上的点 作圆 的切线 ，切点为 ，求证：经过 ， ， 三点的圆与圆 的公共弦必过定
点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）圆 : 的圆心坐标为(0,4)，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
所以直线 和圆 相离；
因为直线 和圆 相离，如图：
过圆心 作直线 的垂线，垂足为 ，
要使圆 上任意一点 到直线 的距离最大，则 是线段 的延长线与圆 的交点，点 到直线 的最大距离为 ；
（2）因为点 在直线 上，可设 ，
过 ， ， 三点的圆即以 为直径的圆，
圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为 ，
整理得 ，
所以过 ， ， 三点的圆方程为： ，
将方程 与方程 相减得两圆的公共弦方程：
，即 ，
由 得 ，
所以该定点的坐标为 .
8．已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O: 切线，切点分别为P，Q.
(1)当OM的值最小时，求切线方程;
(2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
【解析】（1）
当 时，OM的长最小，根据两直线垂直斜率之积等于 ，可得直线 的斜率为2；
此时可得直线OM的方程为 ，联立 ，得交点 ，
当切线斜率不存在时，切线方程为 ，符合题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为 ，则有 ，解得 ，
所以切线方程为 ，
综上所述，切线方程为 和 .
（2）
设 ，则 ，
因此，以M为圆心，MP为半径的圆的方程为M： ，
此时圆M与圆O的公共弦为PQ，
两圆方程相减，得到圆M与圆O的公共弦为PQ的方程为 ，
即 ，由 ，得 ，
因此直线PQ过定点 .
9．已知动点 与定点 的距离等于点 到 的距离，设动点 的轨迹为曲线 ．椭圆 的一个
焦点与曲线 的焦点相同，且长轴长是短轴长的 倍．
(1)求 与 的标准方程；
(2)有心圆锥曲线（椭圆，圆，双曲线）有下列结论：若 为曲线 上的点，过点 作
的切线 ，则切线 的方程为 ．利用上述结论，解答问题：过 作椭圆 的切线
（ 为切点），求 的面积．
【解析】（1）由抛物线定义可知，曲线 为抛物线， 为抛物线的焦点，则 ，所以 的方程为 ；
由 ，即 ，又 ，
所以 ，故椭圆 的标准方程 .
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由上述结论知，过点 的椭圆的切线方程分别为 ，
因为 在两条切线上，所以 ，
即 ，
则点 的坐标都满足方程 ，
故直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，解得 ，
所以 ，
而点 到直线 的距离 ，
所以 .
10．设抛物线 的方程为 ，点 为直线 上任意一点，过点 作抛物线 的两条切
线 ， ，切点分别为 ， ．
(1)当 的坐标为 时，求过 ， ， 三点的圆的方程，并判断直线 与此圆的位置关系；
(2)求证：直线 恒过定点．
【解析】（1）当 的坐标为 时，设过 点的切线方程为 ，代入 ，整理得
，令 ，解得 ，
代入方程得 ，故得 ， ，
因为 的中点 ，且 ,
从而过 ， ， 三点的圆的圆心为 ，半径为 ，
故其方程为 ．
圆心坐标为 ，半径为 ， 圆与直线 相切
（2）由已知得 ，求导得 ，切点分别为 , ， , ，
故过点 , 的切线斜率为k=2x ，从而切线方程为 ,即 ,
1
又切线过点 , ，所以得 ①,即 ,
同理可得过点 , 的切线为 ，
又切线过点 , ，所以得 ②即 ,
即点 , , , 均满足 ,故直线 的方程为 ,
又 , 为直线 上任意一点，故 对任意 成立，
所以 ， ，从而直线 恒过定点 ,
11．已知点 到直线 ： 的距离和它到定点 的距离之比为常数 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若点 是直线 上一点，过 作曲线 的两条切线分别切于点 与点 ，试求三角形 面积的最小值．
（二次曲线 在其上一点 处的切线为 ）
【解析】（1）设 ，则 ，化简得 ： ，所以点M 的轨迹E的方程为 .
（2）设 ， ， ，则切线 为 ，切线 为 ，
将点 分别代入得 ，所以直线 为 ，
点 到 的距离 ，当 时， ．
另一方面，联立直线 与 得 ，
所以 ，则 ，
当 时， ．所以 ．
故 时， 最小值为 .
12．如图所示，已知椭圆 ，上顶点为A，过点A作圆 的两条切
线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．当r变化时，试问：直线BD是否过某个定点？若过某个
定点，求出该定点；若不过某个定点，请说明理由．
【解析】设过点A的直线方程为 ，
因为直线与圆相切，所以由点到直线的距离公式得 ，上式两边平方，化简得 ，
设两条切线AB，AD的斜率分别为 ， ，则 ，
将椭圆向下平移1个单位得 ，即 ，
此时椭圆的上顶点 ，
设平移后的直线 的方程为 ， ，
与椭圆联立得 ，
整理得 ，
两边同时除以 ，化简得 ，
由韦达定理得 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，直线恒过定点 ，
平移回原坐标系后，直线BD恒过定点 ．
13．已知圆 ，直线 .
(1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线 ，切点分别为 ，求证：过点 的圆过
定点，并求出所有定点的坐标；
(2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线 ，切点分别为 ,求证：直线AB过定点，并
求出定点的坐标.
【解析】（1） 是圆O的切线 切点为
所以 .
所以点 在以 为直径的圆上，
点P在直线l上运动，所以设点 ，
则以 为直径的圆方程为： ，
即： ，令 ，解得 或
所以圆过定点 和
（2）由（1）知，过 的圆方程为： ，
同时点 在圆 上，
所以直线AB即两个圆的公共弦方程所在的直线方程，
两个圆的方程相减得： ，即两个圆的公共弦方程所在的直线方程；
令 ，解得 .
故直线 过定点
14．（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线 是 上不同的三点，过三点的三条切线分
别两两交于点 ，则称三角形 为抛物线的外切三角形．
(1)当点 的坐标为 为坐标原点，且 时，求点 的坐标；
(2)设外切三角形 的垂心为 ，试判断 是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理
由；
(3)证明：三角形 与外切三角形 的面积之比为定值．
【解析】（1）由题意可知 ， 即为 ，求导得 ，则 ，由直线的点斜式化简得切线 的方程为
为切线 与 轴的交点，则点 的坐标为 ．
（2）设 ，
由（1）易知 ，则抛物线在A点处的切线 的方程为 ，
同理可得切线 的方程为 ，
直线 和直线 联立可得交点 ．
同理可得 ．
设垂心 的坐标为 ，则 ．
由 可知 ，
即 ．
同理可得 ．
两式相减可得 ，即 ．
因此垂心 在定直线 上．
（3）易知 ，则直线 的方程为 ，
化简得且 ，
点 到直线 的距离为
，
则三角形 的面积 ．
由（2）知切线 的方程为
可知 ，
点 到直线 的距离为
，
则外切三角形 的面积 ．
故 ．
因此三角形 与外切三角形 的面积之比为定值2．
解法二：因为 ，所以
由（2）得所以
所以 ．
15．已知点A，B是圆 上的动点，且 ，直线PA，PB为圆 的切线，
当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 ，斜率为k的直线与曲线 交于点M，N，点Q为曲线 上纵坐标最大的点，求证：直线
MQ，NQ的斜率之和为定值．
【解析】（1）设 ，在 中，PB为圆 的切线，所以 ，
，所以 ，得 ，即 ，
所以曲线 的方程：
（2）由点Q为曲线 上纵坐标最大的点，所以 ，
设 ， ，斜率为k的直线方程为： ，
由 ，得 ，
得 ， ，
所以 ，
而 ，
，
所以 ，
即直线MQ，NQ的斜率之和为定值为16．已知椭圆 ， 分别为双曲线 的左，右顶点， 分别为 和
的离心率．
(1)若 ．
（ⅰ）求 的渐近线方程；
（ⅱ）过点 的直线l交 的右支于 两点， 与直线 交于 两点，记 坐
标分别为 ，求证： ；
(2)从 上的动点 引 的两条切线，经过两个切点的直线与 的两条渐近线围成三角形
的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）（ⅰ）由题意得 ，所以 ，
解得 ，又 ，所以 ．
故双曲线 的渐近线方程为 ；
（ⅱ）证明：设直线AB的方程为 ，
由 消元得： 且 ，
故 ，故 ，
所以 故 ，
又直线 的方程为 ，
所以 ，同理 ，所以
，
故 ．
（2）设两个切点为 ，由题意知 斜率存在，
直线 方程为 ，
联立 ，故 ，
由 可得 ，
整理得到： ，
故 ，故 ，所以 ，
同理直线 方程为 ，
由 过P点可得 可得直线 的方程为 ，
不妨设直线 与x轴交于点 ，与两条渐近线的交点分别为 ， ，
由 可得 ；同理
则围成三角形的面积为：
，因P在双曲线 上， ，则 为定值．
