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重难点突破15 圆锥曲线中的圆问题
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1、曲线 的两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是圆： ．
2、双曲线 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆 ．
3、抛物线 的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
4、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，并且任何一个外角都等于它的内
对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
题型一：蒙日圆问题例1．（2023·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
(1)已知动点 为圆 外一点，过 引圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，若 ，
求动点 的轨迹方程；
(2)若动点 为椭圆 外一点，过 引椭圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，若
，求出动点 的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为 ，其余条件都不变，那么动点 的轨迹方程是什么（直
接写出答案即可，无需过程）．
【解析】（1）由切线的性质及 可知，四边形 为正方形，
所以点 在以 为圆心， 长为半径的圆上，且 ，
进而动点 的轨迹方程为
（2）设两切线为 ， ，
①当 与 轴不垂直且不平行时，设点 的坐标为 ， 则 ，
设 的斜率为 ，则 ， 的斜率为 ，
的方程为 ，联立 ，
得 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，得 ，
化简， ，
进而 ，
所以
所以 是方程 的一个根，
同理 是方程 的另一个根，
，得 ，其中 ，
②当 与 轴垂直或平行时， 与 轴平行或垂直，
可知： 点坐标为： ，
点坐标也满足 ，
综上所述，点 的轨迹方程为： ．
（3）动点 的轨迹方程是以下是证明：
设两切线为 ， ，
①当 与 轴不垂直且不平行时，设点 的坐标为 ， 则 ，
设 的斜率为 ，则 ， 的斜率为 ，
的方程为 ，联立 ，
得 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，
得 ，
化简， ，
进而 ，
所以
所以 是方程 的一个根，
同理 是方程 的另一个根，
，得 ，其中 ，
②当 与 轴垂直或平行时， 与 轴平行或垂直，
可知： 点坐标为： ，
点坐标也满足 ，
综上所述，点 的轨迹方程为： ．
例2．（2022·全国·高三专题练习）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.
（1）已知动点 为圆 ： 外一点，过 引圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，若
，求动点 的轨迹方程；
（2）若动点 为椭圆 ： 外一点，过 引椭圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，若
，猜想动点 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点 的轨迹方程.
【解析】（1）因为 、 是圆 的两条切线，所以 ，
由 可得 ，所以四边形 是矩形，
因为 ，所以四边形 为正方形，
所以 ，即点 在以 为圆心， 长为半径的圆上，
所以动点 的轨迹方程为 ；（2）动点 的轨迹是一个圆，
设切线 、 为 ， ，
①当 与 轴不垂直且不平行时，设点 的坐标为 ，则 ，
设 的斜率为 ，则 ， 的斜率为 ，
的方程为 ，与 联立可得 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，得 ，即
，
所以
所以 ，
所以 是方程 的一个根，
同理 是方程 的另一个根，
所以 ，得 ，其中 ；
②当 轴或 轴时，对应 轴或 轴，可知 ，满足上式；
综上所述，点 的轨迹方程为
例3．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆 ： （ ）中，其所有外切矩形的顶点在
一个定圆 ： 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 过 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ， 存在，证明：
为定值.
【解析】（1）将 ， 代入到 ，
可得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为： .（2）由题意可知，蒙日圆方程为： .
（ⅰ）若直线 斜率不存在，则直线 的方程为： 或 .
不妨取 ，易得 ， ， ， ，
.
（ⅱ）若直线 斜率存在，设直线 的方程为： .
联立 ，化简整理得： ，
据题意有 ，于是有： .
设 （ ）， （ ）.
化简整理得： ，
，
， .
则
，
，所以 .
综上可知， 为定值 .
变式1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线
问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆
中，离心率 ，左、右焦点分别是 、 ，上顶点为Q，且 ，O为坐
标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若
两切线斜率都存在且斜率之积为 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆方程为 ，焦距为2c.
由题意可知 ，
所以 ，椭圆C的方程为 ，
且蒙日圆的方程为 ；
（2）设 ，设过点P的切线方程为 ，
由 ，消去y得 ①，
由于相切，所以方程①的 ，可得： ，
整理成关于k的方程可得： ，
由于P在椭圆 外，故 ，
故 ，
设过点P的两切线斜率为 ，
据题意得， ， ，
又因为 ，所以可得 ，即点 的轨迹方程为： ，
由不等式可知： ，
即 ，当且仅当 时取等号，此时 ，
所以 ，即 的面积的最大值为 .
变式2．（2023·吉林白山·统考二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技
术的发展影响深远．在双曲线 - =1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．
已知双曲线C： - =1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点
D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
【解析】（1）由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，
所以a2-b2=1，所以b=2 ，
故双曲线C的标准方程为 - =1，
（2）证明：设E（x，y），F（x，y）．
1 1 2 2
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
联立方程组 化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，
则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，
且
因为 · =（x+3）（x+3）+y y=0，
1 2 1 2
所以（k2+1）·xx+（km+3）（x+x ）+m2+9
1 2 1 2
=（k2+1）· +（km+3）· +m2+9=0，
化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，
所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，
当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，
联立方程组 得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．
因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．
故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.
变式3．（2022秋·江苏盐城·高三校联考阶段练习）定义椭圆 的“蒙日圆”的方程
为 ，已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆 的一条切线 ，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点 ，
O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为 ，证明： 为定值.
【解析】（1）由题意知
，
故椭圆的方程 ,
“蒙日圆” 的方程为 ,即
（2）当切线 的斜率存在且不为零时,设切线 的方程为 ,则
由 ,消去 得
,
由 ,消去 得
设 ,则 ,，
，
当切线 的斜率不存在或为零时,易得 成立,
为定值.
变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、
，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动点 为椭圆 外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程；
(3)若过椭圆 上任意一点 的切线与（2）中所求点 的轨迹方程交于 、 两点，求证：
．
【解析】（1）由题意可得 ， ，则 ， ，
所以，椭圆 的方程为 .
（2）设点 ，若两切线分别与两坐标轴垂直，则 ， ，
此时 ；
若两切线的斜率都存在，设两切线的斜率分别为 、 ，
切线的方程设为 ，联立椭圆方程 ，
可得 ，
，
可得 ，
由题意可得 ，整理可得 .
综上所述，点 的轨迹方程为 .
（3）设点 ，则 ，且 ，，
，
所以， ，
连接 ，设过点 且垂直于 的直线交圆 于 、 两点，
由垂径定理可知 为 的中点，且 ，
所以， ,
连接 ，易得 ，
所以 ，所以
所以 .
变式5．（2019·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆 ： 的一个焦
点为 ,离心率为 .
（1）求 的标准方程；
（2）若动点 为 外一点,且 到 的两条切线相互垂直,求 的轨迹 的方程；
（3）设 的另一个焦点为 ,过 上一点 的切线与（2）所求轨迹 交于点 , ,求证：
.
【解析】（1）设 ,由题设,得 , ,所以 , ,
所以 的标准方程为 .
（2）如图,设 ,切点分别为 , ,
当 时,设切线方程为 ,
联立方程,得 ,
消去 ,得 ,①
关于 的方程①的判别式 ,
化简,得 ,②
关于 的方程②的判别式 ,
因为 在椭圆 外,
所以 ,即 ,所以 .
关于 的方程②有两个实根 , 分别是切线 , 的斜率,
因为 ,所以 ,即 ,化简为 ,
当 时,可得 ,满足 ,
所以 的轨迹方程为 .
（3）证明：如图,设 ,先求 .
方法一：由相交弦定理,得
.方法二：切线 的参数方程为 （ 为参数）,
,
代入圆 ,整理得 ,
因为点 在圆 内,
所以上述方程必有两个不等实根 , , ,且 ,
所以 ,
当 时, ,仍有 .
再求 .
,
因为点 在椭圆 上,所以 ,即 ,
所以 ,
所以 .
变式6．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆 的中心在原点，焦点 在 轴上，垂直 轴的直线与椭圆相
交于 、 两点，当 的周长取最大值 时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线 、 ，直线 、 与圆 的另一交点分别为 、,
①证明： ；
②求 面积的最大值．
【解析】（1）根据题意，设椭圆的标准方程为 ，
如图，不妨设焦点 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右焦点， 与 的交点为 ，
所以，由椭圆定义 ，
因为在 中， ，且当 点与 点重合时 ，等号成立，
所以， ，当 点与 点重合时，等号成立，
所以 ，
所以， 的周长取最大值时，直线过椭圆的另一焦点，且最大值为 ，
所以把 代入椭圆的方程可得 ，
因为 ，所以， ，
因为 的周长最大值为 ，所以 ，解得 ， ，
所以，椭圆 的方程为 ．
（2）①设 ， ，则 ．
当切线的斜率都存在时，设切线的方程为： ，
代入椭圆的方程可得： ，
所以，△ ，化为 ．
所以，当 时，设直线 、 的斜率分别为 ，
所以， ，故 ．
当 时，有一条切线的斜率不存在，点 可以为 或 或 或 ，
此时，两条切线为 和 ，或 和 ，或 和 或 和 ，满足 ；
综上可得： ．
②由①可得： ，
所以， 为 的直径，因此 过圆心即原点 ．
所以，当 时， 面积取得最大值 ．
题型二：内圆与外圆问题
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 及圆 ，过点 与椭圆
相切的直线 交圆 于点 ，若 ，求椭圆的离心率．
【解析】由 ，可得 为等边三角形，即 ，
设直线 的方程为 ，则
圆心到直线的距离为 ，弦长 ，解得 ，
，消去 ，整理得 ，
因为直线和椭圆相切，
所以 ，化简可得 ，
由 ，可得 ，
即有 ．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 和圆 ， ，
分别是椭圆的左、右两焦点，过 且倾斜角为 的动直线 交椭圆 于 ， 两点，交圆
于 ， 两点（如图所示，点 在 轴上方）．当 时，弦 的长为 ．(1)求圆 与椭圆 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
由 ， ， ，可得 ，
由弦 的长为 ，∴ ，
， ，
所以圆 的方程为 ，椭圆 的方程为 ；
（2）由（1）知， ，离心率 ，
又 ，得 ， ，
设 ， ，则 ， ，
代入 ，得 ，解得 ，
代入 ，得 ． ，则直线 的方程为： ，即 ．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 和圆 分
别是椭圆的左、右两焦点，过 且倾斜角为 的动直线 交椭圆 于 两点，交圆 于 两点
（如图所示），当 时，弦 的长为 ．
（1）求圆 和椭圆 的方程
（2）若点 是圆 上一点，求当 成等差数列时， 面积的最大值．
【解析】（1）取 的中点 ，连接
由 ， 可得 ，
∵ ，∴
∴
∴圆 的方程为 ，椭圆 的方程为（2）∵ 成等差数列，所以 ,又因为 ，
∴
设 ，则 ，得 ，
∴
∴ 到 的距离为 ，
又圆 上一点到直线 的距离的最大值为
∴ 的面积的最大值为 ．
变式7．（2017·上海嘉定·统考二模）如图，已知椭圆 过点 两个焦点为
和 .圆O的方程为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过 且斜率为 的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴
上方），当 成等差数列时，求弦PQ的长.
【解析】（1）由题意， ，
设椭圆C的方程为 ，将点 代入 ，
解得 或 （舍去），
所以，椭圆C的方程为 .
（2）由椭圆定义， ，两式相加，得，因为 成等差数列，
所以 ，
于是 ，即 .
设 ，由 解得 ，
所以， ，直线l的方程为 ，
即 ，
圆O的方程为 ，圆心O到直线l的距离 ，
此时，弦PQ的长 .
变式8．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 和圆 （其中圆
心 为原点），过椭圆 上异于上、下顶点的一点 引圆 的两条切线，切点分别为 ．
(1)求直线 的方程；
(2)求三角形 面积的最大值．
【解析】（1）因为 ，
所以以点 为圆心， 为半径的圆 的方程为 ．
因为圆 与圆 两圆的公共弦所在的直线即为直线 ，
所以联立方程组 ，
由 ，得 ，
所以直线 的方程为 ．
（2）由（1）知，直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离为 ．
因为 ，
所以三角形 的面积 ．
因为点 ， 在椭圆 上，
所以 ，即 ．
设 ，
所以 ．
当且仅当 时，等号成立；
当 ，即 时，三角形的面积取得最大值 ；
当 ，即 时，三角形的面积取得最大值 .
变式9．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆 和圆 ，已知椭圆
的离心率为 ，直线 与圆 相切．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上顶点为 ， 是圆 的一条直径， 不与坐标轴重合，直线 、 与椭圆 的另一个
交点分别为 、 ，求 的面积的最大值及此时 所在的直线方程．
【解析】（1）直线 与圆 相切，则 ，由椭圆的离心率 ，解得： ，
椭圆的标准方程： ；
（2）由题意知直线 ， 的斜率存在且不为0， ，
不妨设直线 的斜率为 ，则直线 ．
由 ，得 ，或 ，
所以 .
用 代替 ，
则 ，
，
，
设 ，则 ．
当且仅当 即 时取等号，
所以 .
即 ， ．
直线 的斜率 ，
所在的直线方程： .变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 和圆 ，过椭圆上一点
引圆 的两条切线，切点分别为 ．
（Ⅰ）若圆 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率 的值；
（Ⅱ）设直线 与 、 轴分别交于点 ，问当点 在椭圆上运动时， 是否为定值？请
证明你的结论．
【解析】（Ⅰ）∵ 圆 过椭圆的焦点，圆 ： ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ．
（Ⅱ）设 ，
由 得，则 , 整理得
∴ 方程为： ，
同理可得 方程为： ．
从而直线 的方程为： ．
令 ，得 ，令 ，得
∴ ，
∴ 为定值，定值是 .
题型三：直径为圆问题
例7．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆 经过点 ，左，右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设A为椭圆 的右顶点，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，以 为直径的圆过点A，求
的最大值．
【解析】（1）根据题意可得 解得 ， ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）
由(1)得 ，设直线 的方程为 ， ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，
， ,
，
，
因为以 为直径的圆过点A，故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
解得 或 舍去 ，当 时， ，且 ，点A到MN的距离为 ，
所以 ，
化简得 ，
令 ，则 ，
，
由对勾函数的单调性知 ，在 上单调递增，
即 时 取得最小值 ，此时 .
例8．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆 过 和
两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线 ， 分别
交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
【解析】（1）依题意将 和 两点代入椭圆 可得
，解得 ；所以椭圆方程为
（2）（i）易知 ，由椭圆对称性可知，不妨设 ， ；
根据题意可知直线 斜率均存在，且 ；
所以直线 的方程为 ， 的方程为 ；
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ；
由韦达定理可得 ，解得 ，则 ；
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ；
由韦达定理可得 ，解得 ，则 ；
则 ， ；
所以 ；
即可知 为钝角，
所以点B在以 为直径的圆内；
（ii）易知四边形 的面积为 ，
设 ，则 ，当且仅当 时等号成立；
由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，
由对称性可知，即当点 的坐标为 或 时，
四边形 的面积最大，最大值为6.例9．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且直线
是抛物线 的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以
为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 得
直线 是抛物线 的一条切线．所以
，所以椭圆
（2）
当直线 与 轴平行时，以 为直径的圆方程为
当直线 与 轴重合时，以 为直径的圆方程为
所以两圆的交点为点 猜想：所求的点 为点 ．
证明如下．当直线 与 轴垂直时，以 为直径的圆过点
当直线 与 轴不垂直时，可设直线 为：
由 得 ，设 ， 则
则
所以 ，即以 为直径的圆过点
所以存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ．变式11．（2023秋·福建福州·高三闽侯县第一中学校考阶段练习）已知椭圆 的离
心率是 ，上、下顶点分别为 ， .圆 与 轴正半轴的交点为 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与圆 相切且与 相交于 ， 两点，证明：以 为直径的圆恒过定点.
【解析】（1）由已知得 ， ， .
则 ， ， ，所以 .
因为 ，又 ，所以 ， .
故 的方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，即 .
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 .
设 ， ，则 ， .
由 化简，得 ，
由韦达定理，得
所以 ，
所以 ，
故 ，即以 为直径的圆过原点 .
当直线 的斜率不存在时， 的方程为 或 .
这时 ， 或 ， .
显然，以 为直径的圆也过原点 .综上，以 为直径的圆恒过原点 .
变式12．（2023秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）已知椭圆
的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ， 为坐标原点，线段 的中点为 ，且 ．(1)求 方程；
(2)已知点 、 均在直线 上，以 为直径的圆经过 点，圆心为点 ，直线 、 分别交椭圆
于另一点 、 ，证明直线 与直线 垂直．
【解析】（1）由题意知： ， ，则 ，而 ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，解得 或 （舍去），故 ，
∴ 的方程 .
（2）令 ， ，则 ，而 ，
∴ ， ，
联立椭圆方程 ，整理得 ，显然 ，
若 ，则 ，得 ，则 ，即 ，
同理 ，整理得 ，显然 ，
若 ，可得 ，则 ，即 .
∴ ，
又 ，则 ，所以 ，故 ，而 ，∴ ，则直线 与直线 垂直，得证.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，A，
B分别是C的右、上顶点，且 ，D是C上一点， 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以
为直径的圆过定点.
【解析】（1）依题意， ，
周长 ，当且仅当 三点共线时等号成立，
故 ，
所以 ，所以 的方程 ；
（2）设 ，直线 ，代入 ，整理得 ，
， ，
易知 ，令 ，得 ，同得 ，从而中点 ，
以 为直径的圆为 ，
由对称性可知，定点必在 轴上，
令 得， ，
，
所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以圆过定点 .
变式14．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，已知 分别为椭圆
的左、右焦点. 为椭圆 上的一个动点， 的最大值为 ，且点 到右
焦点 距离的最小值为 ，直线 交椭圆 于异于椭圆右顶点 的两个点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若以 为直径的圆恒过点 ，求证：直线 恒过定点，并求此定点的坐标.
【解析】（1）因为 的最大值为 ，
所以 为短轴的顶点时， ，此时易得 .
又点 到右焦点 距离的最小值为 ，即 ，
解得 .又由 ，可得 .
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）证明：当直线 的斜率不存在时，
设 ，联立 ，
解得 ，
所以 或 .
又 ，
所以 或 ，
因为以 为直径的圆恒过点 ，
所以 .
所以 ，
解得 或 （舍去），
此时直线 的方程为 .
当直线 的斜率存在时，易知直线 的斜率不为0，设 ，
联立 ，
消去 得： .
由 ，得 ，
由根与系数的关系，知 .
因为 ，
所以 ，
将 代入上式，
整理得 ，即 ，所以 或 .
当 时，直线 为 ，此时直线 过点 ，不符合题意，舍去；
当 时，直线 为 ，此时直线 过定点 .
综上所述，直线 恒过定点 .
变式15．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）已知 、 是椭圆 的左、右焦点，
点 在椭圆 上，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 ， 两点的坐标分别是 ， ，若过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以
为直径的圆过点 ，求出直线 的所有方程.
【解析】（1）因为 ，
所以椭圆 的左焦点 的坐标是 ，
所以
解得
所以椭圆 的方程为 .
（2）若直线 与 轴垂直，则直线 与椭圆 的交点 ， 的坐标分别是 ， ，
以 为直径的圆显然过点 ，此时直线 的方程是 ；
若直线 与 轴不垂直，设直线 的方程是 ，
与椭圆 的方程联立，消去 并整理，得 .
设 ， ，则 ，
， ，
.
因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
，解得 .
显然 满足 ，
所以直线 与 轴不垂直时，直线 的方程是 ，即 .
综上所述，当以 为直径的圆经过点 时，直线 的方程是 或 .
变式16．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图，椭圆 的
左焦点为 ，右焦点为 ，离心率 ，过 的直线交椭圆于 、 两点，且 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，则在 轴上一定存在
定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，试求出点 的坐标.
【解析】（1）由椭圆的定义可知 的周长为 ，即 ，
因为 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
故椭圆 的方程为： .
（2）联立 可得 ，因为动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，
所以， ，
所以， ，
此时 ， ，
故点 ，
由 可得 ，即点 ，
假设在 轴上存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，
设 ，则 ，且 ， ，
所以， ，
整理得 对任意实数 、 恒成立，则 ，
故在 轴上存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 .
题型四：四点共圆问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点P满足
，且 .设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点 的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若
存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设 ，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 ， ，
又 ，整理得 ，
即曲线C的标准方程为 ；
（2）易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，
设l： ，将直线l与曲线C联立，得 ，
消去y，整理得 ，
因为 且 ，
所以 且 ，
设 ， ，
则 ， ，
所以MN的中点 ，
且 ，
将 ， 代入上式，
整理得 ，
当 时，线段MN的中垂线方程为 ： ，
令y＝0，解得 ，即 与x轴的交点坐标为 ，
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为 ，
所以 ，
所以 ，整理得 ，即 ，
因为 且 ，
所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.
例11．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）已知抛物线 上的
点 到其焦点的距离为 ．
(1)求 和 的值；
(2)若直线 交抛物线 于 、 两点，线段 的垂直平分线交抛物线 于 、 两点，求证：
、 、 、 四点共圆．
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
点 到其焦点的距离为 ，则 ，可得 ，故抛物线 的方程为 ．
将点 的坐标代入抛物线方程可得 ，解得 .
（2）由中垂线的性质可得 ， ， ， ，所以，
，
设 、 ，联立 消去 并整理，得 ，
则 ， ，且 ，即 ，
则 ．
设线段 的中点为 ，则点 的纵坐标为 ，
所以，点 的横坐标为 ，则 ．
直线 为线段 的垂直平分线，所以，直线 的方程为 ．
设 、 ，联立 ，
消去 并整理得 ， ，可得 ，
则 ， ，故 ．
设线段 的中点为 ，则 ．
，
， ，
故 ，所以， ， ，
故 ，故 ，
所以，点 、 都在以 为直径的圆上，故 、 、 、 四点共圆．
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，左顶
点为 ，且离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)直线 交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M， ，N， 四
点共圆．
【解析】（1）由题意知 ，解得 ， ， ，所以C的方程为 ．
（2）证明：设点 （不妨设 ，则点 ，
由 ，消去y得 ，所以 ， ，
所以直线AE的方程为 ．
因为直线AE与y轴交于点M，令 得 ，
即点 ，同理可得点 ．
所以 ， ，所以 ，所以 ，同理 ．
则以MN为直径的圆恒过焦点 ， ，即M， ，N， 四点共圆．
综上所述，M， ，N， 四点共圆．
变式17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右顶点为点A，直线l交C于M，N
两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）因为四边形AMON为菱形，所以MN垂直平分OA，
所以点M（x轴上方）的横坐标为 ，代入椭圆方程，
得M的纵坐标为 ，所以 ，菱形AMON的面积为 ，所以 ，
所以C的方程为 ．
（2）设直线 ， ，
联立方程 ，得 ，
，
， ，
因为O，M，N，A四点共圆，则∠MON＝∠MAN＝90°，
所以 ，即 ，
得 ，即
由（i）得 ，即 ，
由（ii）得 ，
即 ，联立 ，解得 ， （此时直线l过点A，舍去），
将 代入 ，解得 ，即 ，
所以直线l的方程为 ．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，左顶
点为 ，且过点 ．
(1)求C的方程；
(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，
，N， 四点共圆．
【解析】（1）由题意知
解得 ， ，
所以C的方程为 ．
（2）证明：当直线EF的斜率不存在时，E，F为短轴的两个端点，则 ， 或 ，
所以 ， ，则以MN为直径的圆恒过焦点 ，即M、
，N， 四点共圆．
当EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为 ，
设点 （不妨设 ，则点 ．
由 消去y得 ，所以 ， ，
所以直线AE的方程为 ．
因为直线AE与y轴交于点M，令 得 ，
即点 ，同理可得点 ．
所以 ， ，
所以 ，所以 ，同理 ．
则以MN为直径的圆恒过焦点 ， ，即M， ，N， 四点共圆．
综上所述，M， ，N， 四点共圆．
变式19．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）椭圆 的离心率为 ，
右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点， 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线 交x轴于点P，其中 ，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点
M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
【解析】（1）由题意，设椭圆半焦距为c，则 ，即 ，得 ，
设 ，由 ，所以 的最大值为 ，
将 代入 ，有 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）设 ，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为 ，与椭圆方程联立得 ，
，可得 ，
由韦达定理可得 ，
直线BA的方程为 ，令 得点M纵坐标 ，
同理可得点N纵坐标 ，
当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得 ，即 ，，
由 ，故 ，解得 ．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E： 的离心率为 ，且经过点(-1，
).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，直线l：
交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O､A､M､N四点
共圆，求t的值.
【解析】（1）依题意： ，解得： ， ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）设B( ， )，C( ， )，∵点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，
则直线BC不与x轴重合，则可设BC为 ，
与椭圆方程联立得 ，
则 ，可得 ，
由韦达定理可得 ．
直线BA的方程为 ，令 得点M纵坐标
同理可得，点N纵坐标
当O､A､M､N四点共圆时，由割线定理可得 ，即 ，
∵．
由 ，故 ，解得 ．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： ， 是 上位于第一象限内的动点，
它到点 距离的最小值为 ，直线 与 交于另一点 ，线段AD的垂直平分线交 于E，F两点.
(1)求 的值；
(2)若 ，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.
【解析】（1）设 ，则 ，
令 ，则 ，
对于二次函数 ，其对称轴为 ，
当 时， ， 在 上单调递增，其最小值为9，即 的最
小值为3，不满足题意，
当 时， ，所以当 时 取得最小值，即
所以 ，解得 或 （舍）
所以（2）由（1）可得，当 时， ，点 ，
所以 ，直线 的方程为 ，
由 可得 ，解得 或 ，所以 ，
所以 的中点为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
设 ，由 可得 ，所以
所以线段 的中点为 ，
因为 ，所以A，D，E，F四点共圆，圆心为 ，半径为8，
所以该圆的方程为 .
