文档内容
重难点突破 16 圆锥曲线中的定点、定值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：面积定值................................................................................................................................3
题型二：向量数量积定值..................................................................................................................11
题型三：斜率和定值..........................................................................................................................18
题型四：斜率积定值..........................................................................................................................23
题型五：斜率比定值..........................................................................................................................29
题型六：斜率差定值..........................................................................................................................37
题型七：线段定值..............................................................................................................................44
题型八：坐标定值..............................................................................................................................52
题型九：角度定值..............................................................................................................................57
题型十：直线过定点..........................................................................................................................63
题型十一：动点在定直线上..............................................................................................................68
题型十二：圆过定点..........................................................................................................................76
03 过关测试.........................................................................................................................................821、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，
具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系 ，用一个参数表示另外一个参数 ，
即可带用其他式子，消去参数 ．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为 时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式 ，就和参数 没什么关系了，或者说参数 不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程： ，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到 和 的关系： ，等式带入消参，消掉 ．
③参数无关找定点：找到和 没有关系的点．题型一：面积定值
【典例1-1】如图所示，已知椭圆 ，A，B是四条直线 ， 所围成的矩形的两个顶
点．若M，N是椭圆C上的两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求
的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】是，理由如下，
如图所示，由仿射变换 得椭圆 ，变为圆 ．
点A，B，M，N变换后对应的点分别为 ， ， ， ，且 ， ．
从而 ，
∵ ，∴ ，即 ，
于是 ，故 ．
即 的面积为定值1．
【典例1-2】（2024·湖北荆州·三模）从抛物线 上各点向 轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为 .
(1)求 的轨迹方程；
(2) 是 上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点 ，①若 ，求 的值；
②证明：三角形 与三角形 的面积之比为定值.
【解析】（1）设垂线段中点坐标为 ，则抛物线上点坐标为 ，
代入抛物线方程，则 ，即 ，
所以 的轨迹方程： .
（2）①如图， 是 上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点 ，
设 ，
则抛物线 上过点 的切线方程为 ，
将切线方程与抛物线方程联立，得：
联立 ，消去 ，整理得 ，
所以 ，
从而有 ，
所以抛物线上过点 的切线方程为 ，
同理可得抛物线上过点 的切线方程分别为 ，
两两联立，可以求得交点 的纵坐标分别为：
，
则 ，同理可得 ，即 ，
当 时， ，故 ，即 ，
因此 .
②易知 ，则直线 的方程为 ，
化简得 即 ，
且 ，
点 到直线 的距离为：
，
则三角形 的面积 ．
由（2）①知切线 的方程为 ，
，
可知 ，
点 到直线 的距离为
，
则外切三角形 的面积 ．
故 ．
因此三角形 与外切三角形 的面积之比为定值2．【变式1-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 在椭圆 上，且
面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 相交于P，Q两点，且 ，求证： （ 为坐标原点）的面积
为定值.
【解析】（1）根据题意， ．
在椭圆 上下顶点， 面积的最大值.
此时 .
所以 ，则求椭圆 的方程 .
（2）如图所示，设 ，
联立直线 与椭圆 的方程 得 ，
.
， ，
又
，
因为点 到直线 的距离 ，且 ，
所以 ．
综上， 的面积为定值 ．【变式1-2】（2024·重庆·三模）已知 ，曲线 上任意一点到点 的距离是到直线 的距离的两
倍.
(1)求曲线 的方程；
(2)已知曲线 的左顶点为 ，直线 过点 且与曲线 在第一、四象限分别交于 ， 两点，直线 、
分别与直线 交于 ， 两点， 为 的中点.
（i）证明： ；
（ii）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 是否为定值？若是，求出这个定值；
若不是，请说明理由.
【解析】（1）设曲线 上任意一点坐标为 ，则由题意可知：
，
故曲线 的方程为 .
（2）(i)设直线 ： ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
其中 且 ，
，故 ， ；
直线 ： ，当 时， ，故 ，
同理 ， 为 中点，
故 ；
；（*）
；
故 ，即 ，则 ，
直线 的方向向量 ， ，故 .
(ii)法一： ；（**）
故 ； ，
又 ，故 .
；
；
，
，
由（*）知 ，由（**）知 ，
故 ，故 ，则 .
法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知， ，同理 ，
故 ，
又 ，故 ，
又 ，
且由（*）知 ，记直线 与 轴相交于点 ，
由 可得 ，即 ，即 ，
故 ；
又 为 的中点，故 ，即 .
【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知 ， ，平面上有动点 ，且直线 的斜率与直
线 的斜率之积为1.
(1)求动点 的轨迹 的方程.
(2)过点A的直线与 交于点 （ 在第一象限），过点 的直线与 交于点 （ 在第三象限），记直
线 ， 的斜率分别为 ， ，且 .试判断 与 的面积之比是否为定值，若为定值，
请求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）设P(x,y)， ，
由题意可得： ，整理得 ，
故求动点 的轨迹方程为 .
（2）由题意可知： ，且 ，可得 ，显然直线MN的斜率不为0，设直线 的方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
联立方程 ，消去x得 ，
则 ， ，可得 ，
则 ，
整理可得 ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
整理可得 ，
所以直线 方程为 ，即直线 过定点 ，
则 ，
此时 ， ，
所以 为定值.
题型二：向量数量积定值
【典例2-1】（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆 ： ， ，过点 的动直线 与椭圆 交于 、 两点.
(1)求线段 的中点 的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）①当直线 存在斜率时，设 、 、 ， ，
则应用点差法： ，两式联立作差得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，化简得 （ ），
②当直线 不存在斜率时， ，
综上，无论直线是否有斜率， 的轨迹方程为 ；
（2）①当直线 存在斜率时，设直线 的方程为： ，
联立 并化简得： ，
∴ 恒成立，∴ ， ，
又 ， ， ， ，
∴ ，
，
若使 为定值，
只需 ，即 ，其定值为 ，
②当直线 不存在斜率时，直线 的方程为： ，则有 、 ，
又 ， ， ， ，
∴ ，当 时， 也为定值 ，综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数 ，
使 为定值 .
【典例2-2】（2024·上海闵行·二模）已知点 分别为椭圆 的左､右焦点，直线
与椭圆 有且仅有一个公共点，直线 ，垂足分别为点 .
(1)求证： ；
(2)求证： 为定值，并求出该定值；
【解析】（1）联立 与 得： ，
由直线与椭圆有一个公共点可知： ，
化简得： ；
（2）由题意得： ，
因为 ，所以 ∥ ，故 ，
其中 ， ，
所以 ，
为定值，该定值为1；
【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）椭圆 经过点 ，且两焦点与短轴的两
个端点的连线构成一个正方形.
(1)求椭圆 的方程；(2)设 ，过椭圆 的右焦点 作直线 交 于 、 两点，试问： 是否为定值？若是，求
出这个定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆 的两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，该正方形的边长为 ，
两条对角线长分别为 、 ，则 ，所以， ，
所以，椭圆 的方程可表示为 ，、
将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，则 ， ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线 与 轴重合时，则 、 为椭圆长轴的顶点，不妨设 、 ，
则 ， ，此时 ；
易知点 ，当直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
， ，
.
综上所述， .
【变式2-2】（2024·高三·河南南阳·期末）P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交
直线 （ ）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线 于R，若 OMQ， ONR
△
的面积之和为 ．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若 ， ， ， ，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线l，使 为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
设P(x,y)，则 ， ，
由题意可得， ，即 ，
故点P的轨迹C的方程为 ；
（2）由（1）可知C：
假设存在常数n，使 （常数），
设直线l： ，代入C，整理得 ，
设 ，
则 ，
所以
整理化简得： 对 恒成立．
故 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）
当直线l为x轴时
综上，存在常数 ，对任意直线l，使 （为定值）【变式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴的
两个端点为 ，且四边形 是边长为2的正方形. 分别是椭圆的左右顶点，动点 满足
，连接 ，交椭圆 于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证： 为定值.
【解析】（1）由题设 ， ，得 ，
椭圆的方程为 .
（2）
由（1）知 ，由题意知，直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，联立 ，
消去 得 ，其中 是直线与椭圆一个交点，
所以 ，则 ，代入直线得 ，故 .
又 ，将 代入 ，得 ，则 .
所以 ，为定值.
【变式2-4】已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，且 ，以
为圆心， 为半径的圆 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ，
（ⅰ）设点 在第一象限，且直线 与 交于 .若 ，求 的值；（ⅱ）连接 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，且 为定值，已知点 在定直线上，求 所
在定直线方程.
【解析】（1） 以 为圆心， 为半径的圆 经过点 ， ，即 ，
， ， ， ，
椭圆 的方程为： .
（2）（ⅰ）由（1）得： ，可设 ， ，
由 得： ，即 ；
由 得： ，
， ，
， ， ；
在 中，由正弦定理得： ，
， ，
则由 得： ，
， ，即 ，
， ，，解得： 或 .
（ⅱ）由题意知：圆 方程为： ； ， ；
不妨令 位于第一象限，可设 ，
由（ⅰ）知： ，
若直线 斜率存在，则 ， 直线 ，
由 得： ， ，
设 ，则 ，
；
当 时， 为定值，此时 ，则 ，此时 在定直线 上；
当 时， 不为定值，不合题意；
若直线 斜率不存在，则 ， ， ，
此时 ，则直线 ，设 ，
则 ， ， ，则 时， ，满足题意；
综上所述：点 在定直线 上.
题型三：斜率和定值
【典例3-1】已知椭圆 与双曲线 的离心率的平方和为 .
(1)求 的值；
(2)过点 的直线 与椭圆 和双曲线 分别交于点 ， ， ， ，在 轴上是否存在一点 ，直
线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，使得 为定值？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知得 ，即 ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）得椭圆 与双曲线 ，
由已知得直线 的斜率不为零，设直线 的方程为 ，
A(x ,y )，B(x ,y )， ， ， ，
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将直线与椭圆联立 得 ，
， ， ，
.
将直线与双曲线联立 得 ，由 得 ，又 ,
而 ， ，
.
当 时， 为定值.
故在 轴上是存在一点 ，使得 为定值0.
【典例3-2】（2024·河南·二模）已知椭圆 的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构
成等边三角形.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ，过点 的两条直线 和 分别交椭圆 于点 和点 （ 和 .不重合），直线 和 的
斜率分别为 和 .若 ，判断 是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.
【解析】（1）由题焦距 ，解得 ，
由两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形可知 ，则 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .（2） 是定值.
已知 ，设 ，
直线 的方程为 ，即 ，
代入 并整理，得 ，
，
.
，
三点共线，且 与 同向，
，
同理可得
，化简得 ，
，
所以 为定值0.
【变式3-1】椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且椭圆 经过点 ，直线
（ ）与 交于 ， 两点（异于点 ）.
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明：直线 与直线 的斜率之和为定值，并求出这个定值.
【解析】（1）
由题意得： ，则 ，
故椭圆 的方程为 ；（2）解法一（常规方法）：设 ，
联立 化简可得： ，
由于直线 与椭圆 交于 两点且异于 ，
所以 且 ，
解得： 且 ，
所以
故直线 的斜率和为定值.
解法二（构造齐次式）：由题直线 恒过定点
①当直线 不过原点时，设直线 为 ，
则 ，即 ，有
由 得 ，
则
整理成关于 的齐次式： ，进而两边同时除以 ，
则
令 ，则②当直线 过原点时，设直线 的方程为
综上可得：直线 的斜率之和为定值1
【变式3-2】（2024·宁夏银川·一模）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，左顶
点为A，则上顶点为 ，且 的方程为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 是直线 上一点，过点 的两条不同直线分别交 于点 ， 和点 ， ，且 ，求
证：直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值.
【解析】（1）因为 的方程为 ，可知 ，
可知 ，所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由 可得 ，
因为点P在直线 上，可设点 ，
由题可知：直线DE的斜率与直线MN的斜率都存在．
所以直线DE的方程为： ，即 ，
直线MN的方程为： ，即 ，
设 ， ， ， ，
所以 ，消去y可得 ，整理可得 ，
且 ，则 ， ，
又因为 ， ，
则
，
同理可得 ，
又因为 ，则 ，
可知 ，则 ，整理可得 ，
又因为 ，则 ，
所以直线DE的斜率与直线MN的斜率之和为0．
题型四：斜率积定值
【典例4-1】（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线 的左焦点为F，左顶点为
E，虚轴的上端点为P，且 ， ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设 是双曲线C上不同的两点，Q是线段 的中点，O是原点，直线 的斜率分别为
，证明： 为定值．
【解析】（1）不妨设双曲线C的半焦距为 ，
，
，
解得 ，则 ，
故双曲线C的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
为双曲线C上的两点，
两式相减得 ，整理得 ，
则 ，
故 为定值，定值为4．
【典例4-2】已知椭圆 ，过点 ， ， 分别是 的左顶点和下顶点， 是
右焦点， .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与椭圆 交于点 ， ，直线 ， 分别与直线 交于不同的两点 ， .设直线
， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）由椭圆 过点 ，得 ，
由 ，得椭圆半焦距 ，则长半轴长 ，
所以 的方程为 .（2）显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为 ， ，
由 消去x得 ，显然 ，
，直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标 ，同理点 的纵坐标 ，
因此
为定值，
所以 为定值.
【变式4-1】已知椭圆 左右焦点 分别为椭圆 的左右
顶点，过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 两点，交椭圆 于点 ，且 与 的
周长之差为 .
(1)求椭圆 与椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定
值.
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，由椭圆的定义可知 的周长为 的周长为
，又 与 的周长之差为 ，
所以 ，
又因椭圆 左右焦点 分别为椭圆 的左右顶点.
，
联立解得， 从而有 ，
所以 ，解得 ，
所以所求椭圆 的方程为 ，椭圆 的方程为 .
（2）由（1）可知椭圆 的方程为 ，
设 ，则有 ，
于是 .
【变式4-2】（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线 的左､右焦点 ， 分别为双
曲线 的左､右顶点，过点 的直线分别交双曲线 的左､右两支于 两点，交双曲线
的右支于点 （与点 不重合），且 与 的周长之差为2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 交双曲线 的右支于 两点.
①记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值；②试探究： 是否为定值？并说明理由.
【解析】（1）设 ，因为 与 的周长之差为 ，
所以 ，即 ，
又因为 分别为双曲线 的左、右顶点，所以 ，
联立方程组 ，解得 ，所以 ，
故双曲线 的方程为 .
（2）①由（1）知，双曲线 的方程为 ，
设 ，则 ，可得 ，
则 .
② 为定值 .
理由如下：
由（1）得直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，则 ，
因为 位于双曲线的左､右两支，所以 ，即 ，
可得 ，
又因为 ，所以直线 的方程为 ，
根据双曲线的对称性，同理可得 ，所以 ，故 为定值 .
x2 y2
【变式4-3】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)过点 ，且离心率为 .
a2 b2
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过点 且斜率不为0的直线 与双曲线 的左右两支交于 ， 两点.问：在 轴上是否存在定点
，使直线 的斜率 与 的斜率 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意，双曲线 的离心率为 ，可得 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以双曲线 的方程可化为 ，
因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，假设存在点 ，
1 1 2 2
易知直线 的斜率存在，且不为0，设其方程为 ，
联立双曲线方程与直线方程，得 ，消去 并整理，
得 ，
则 ，
且 ，
因为
，
，所以当 ，即 时， 或
，
故存在定点 ，使直线 与 的斜率之积为定值．
题型五：斜率比定值
【典例5-1】设抛物线 的焦点为 ，点 ，过点 且斜率存在的直线交 于不同的
两点，当直线 垂直于 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，设直线 的斜率分别为 ，证明：
（ⅰ） 为定值；
（ⅱ）直线 恒过定点.
【解析】（1）由焦半径公式知： ， ，
的方程为： .
（2）由（1）知： ，
可设直线 方程为： ，设 则
直线 方程为：
联立
，将 代入 得 ，，同理：
（ⅰ） ，
（ⅱ）直线 的方程为：
由 得： 即 ，
，
直线 的方程为： ，
直线 恒过定点 .
【典例5-2】如图所示，已知点 ，F是椭圆 的左焦点，过F的直线与椭圆交于 两点，
直线 分别与椭圆交于 两点．
(1)证明：直线 过定点．
(2)证明：直线 和直线 的斜率之比为定值．
【解析】（1）证明：因为F是椭圆 的左焦点，所以 ，
当直线 斜率为0时，直线 方程为 ，则定点在 轴上；
当直线 斜率不为0时，
经过 与 的二次曲线可以设为 ，设经过 四点的二次曲线系为 ．
因为点F在直线 上，所以将 代入上式，解得 ．
从而直线 和直线 的方程为 ．
令 ，得 ，解得 或 （与点 重合，舍去），
故直线 过定点 ．
（2）证明：设直线 和直线 的斜率分别为 ， ，
设曲线系方程为 ，
因为上式等号左边 的系数为 ，y的系数为 为互为相反数，
所以上式等号右边也满足该条件， 前的系数为 ，y前的系数为 ，
于是 ，即 ，
所以 ．
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图， 轴，垂足为D，点P在线段 上，且 ．
(1)点M在圆 上运动时，求点P的轨迹方程；
(2)记（1）中所求点P的轨迹为 ，过点 作一条直线与 相交于 两点，与直线 交于
点Q．记 的斜率分别为 ，证明： 是定值．
【解析】（1）设P(x,y)，根据题意有 ，
又因为M在圆 上运动，所以 ，即 ，所以点P的轨迹方程为： .
（2）
根据已知条件可知，若直线 的斜率不存在，不合题意，
若直线 斜率为 ，直线 与直线 平行无交点也不合题意，
所以直线 的斜率存在设为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，则有 ，且 ，
设 ， ，则 ，
， ，所以
，
对 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 为定值.
【变式5-2】（2024·云南·二模）已知椭圆 的离心率为 ，中心是坐标原点 ，焦点在 轴上，右焦点
为F，A、B分别是 的上、下顶点. 的短半轴长是圆 的半径，点 是圆 上的动点，且点 不在 轴
上，延长BM与 交于点 的取值范围为 .(1)求椭圆 、圆 的方程;
(2)当直线BM经过点 时，求 的面积;
(3)记直线AM、AN的斜率分别为 ，证明: 为定值.
【解析】（1）设椭圆 的方程为 ，圆 的方程为 .
分别是椭圆 的上、下顶点，
在圆 上，且AB是圆 的直径.
点 是圆 上的动点，且点 不在 轴上，
，即 .
.
又 点 是圆 上的动点，且点 不在 轴上，
的取值范围为 .
的取值范围为 ，
，解得 .
椭圆 的离心率为 ，
，解得 .
椭圆 的方程为 ，圆 的方程为
（2）由（1）得 .
直线BF的方程为 ，即 .
由 得 ．解得 或 ，
的延长线与椭圆 交于点 ，
点 的横坐标是 .
当直线BM经过点 时，（3）∵点 在 轴上，点 不在 轴上，BM的延长线与椭圆 交于点 ，
点 不在 轴上.
存在，且 .
由已知得直线AN的方程为 .
由方程组 得 ，解得 或 .
得点 的横坐标是 .
当 时， .
点 的坐标是
的斜率为
又由（1）得 ，即 .
，即 为定值 .【变式5-3】（2024·河南·三模）已知点 ，动点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，
动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程：
(2)直线 与曲线 交于 两点，且 交 于点 ，求定点 的坐标，使 为定
值；
(3)过（2）中的点 作直线交曲线 于 两点，且两点均在 轴的右侧，直线 的斜率分别为
，求 的值．
【解析】（1）设 是曲线 上的任意一点，
因为点 ，且动点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，
可得 ，整理得 ，其中 ．
所以曲线 的轨迹方程为 .
（2）①当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，设 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，即 ，
且
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，即 ，
所以 ，且均满足 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾，
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，记为点 ．②当直线 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线 ，
联立方程组 ，解得 ，此时直线 也过点 ，
综上，直线 过定点 ．
又由 ，所以点 在以 为直径的圆上，
故当 为该圆圆心，即点 为 的中点时， 为该圆半径，即 ，
所以存在定点 ，使 为定值 ．
（3）设 ，易得直线 的斜率不为0，可设直线
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，且 ，
则 ，
所以
．题型六：斜率差定值
【典例6-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，D为椭圆C的右顶
点，且 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，过点 的直线与椭圆C交于A，B两点（A点在B点左侧），直线AM与直线
交于点N，设直线NA，NB的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）由题知， ，所以 ，
，
， ，
椭圆 的方程为： .
（2）证明：①当 斜率为 时， 分别为椭圆的左、右顶点，则 ， ，
，则直线AM： ，
令 ，则 ，
点为
，
；
②当 斜率不为 时，设直线 的方程为： ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
将直线 与椭圆方程联立： 消去 可得 ，令 ，解得 ．
由韦达定理可得 ，所以 ，
： ，令 ，得 ，
，
又
，
又 ， ，
，
综上， 为定值 .
【典例6-2】已知双曲线 经过点 ，右焦点为 ，且 成等差数
列.
(1)求 的方程；
(2)过 的直线与 的右支交于 两点（ 在 的上方）， 的中点为 在直线 上的射影为
为坐标原点，设 的面积为 ，直线 的斜率分别为 ，试问 是否为定值，如果
是，求出该定值，如果不是，说明理由.
【解析】（1）因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
又 ，所以 .
将点 的坐标代入C的方程得 ，解得 ，
所以 ，所以C的方程为 .（2）依题意可设PQ： ，
由 ，得 ,
设 ， ， ，则 .
， ，
则 ，
而 ，
所以 ，
所以 是定值，定值为 .
【变式6-1】已知椭圆 的离心率为 ，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交
于点Q，直线BP交x轴于点N．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)求证： 为定值，并求出此定值（其中 、 分别为直线QN和直线QC的斜率）．【解析】（1）由题意得 ，又 ，
解得 ，
∴椭圆M的标准方程为 ．
（2）方法一：
直线 ，
依题意可设直线 （ 且 ），（注：P不为椭圆顶点），
由 ，则 ，
所以 ，
由 ，
，所以 ，
由B，P，N三点共线得 ，即 ，
得 ，
所以 ，
所以 为定值．
方法二：
设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为： ，又 ， ，直线AB的方程为 ，
由 ，解得 ，所以 ，
由 ，得 ，
由 ，
则 ，所以 ，
则 ，∴ ，
依题意B、P不重合，所以 ，即 ，
所以 ，
∴直线BP的方程为 ，
令 ，即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为定值．
方法三：
设点 ，则 ， ， ，
由B，P，N三点共线得 ，即 ，
， ，
联立 ，得 ，
所以
，
所以
.
方法四：
设点 ，则 （ 且 ）,
由B，P，N三点共线得 ，即 ，
直线 ， ，
联立 ，得 ， ，
所以 ，.
【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线 ： 的离心率为 ，点
在双曲线 上．过 的左焦点F作直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上?请说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求证： 为定值．
【解析】（1）由双曲线 的离心率为 ，且 在双曲线 上，
可得 ，解得 ，∴双曲线的方程为 ．
（2）双曲线 的左焦点为 ，
当直线 的斜率为0时，此时直线为 ，与双曲线 左支只有一个交点，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设 ，
联立方程组 ，消 得 ，易得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，可得 ，
1 1 2 2
∵ ，
则
，
即 ，可得 与 不垂直，
∴不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上．（3）由直线 ，得 ，
∴ ，又 ，
∴
，
∵ ，∴ ，且 ，
∴ ，即 为定值．
题型七：线段定值
【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知椭圆 ： .
(1)若椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，求证： ；
(2) 为直线 ： 上的一个动点， ， 为椭圆 的左、右顶点， ， 分别与椭圆 交于 ， 两
点，证明 为定值，并求出此定值.
【解析】（1）由题意得 ,所以 ，
所以椭圆方程： ，
设 ， ，
联立 可得 ，
且 ，则 ， ，
，
所以 ；
（2）设 ， ， ，而 ， ，
设 ， ，
则 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为 ， 在椭圆 ： 上，
所以 ，
所以 ， ，
代入作差可得： .
化简得： ，所以 ，
综上所述， 为定值为3.
【典例7-2】如图，已知圆 ，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为
，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若 ， ，试探究
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点 作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得 .且 ，点D为
垂足，证明：存在定点F，使得 为定值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，半径 ，
因为线段 的中垂线交线段 于点 ，
所以 ，
所以 ，
所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆，
所以 ， ， ，
故曲线E的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，
与y轴不相交，不合题意，舍去，当直线 的斜率存在时，设 所在直线方程为 ，
设 ， ，
由
消去y整理得 ，
恒成立，
所以 ，
又因为直线 与y轴的交点为C，所以 ，
所以 ， ，
， ，
又因为 ，所以 ，同理 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
整理后得 ，
所以 为定值 ，原题得证.
（3）设 ，显然 的斜率存在， ， ，
设 的方程是 ，由 消去y得 ，
则 ，即 ，
由韦达定理得 ，
根据已知 ，可得 ，
即 ，
又 ， ，
代入上式整理得 ，
则 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，
所以直线 经过定点 ，
当 时，直线 的方程为 ，
所以直线 经过定点 与M重合，舍去，
故直线 经过定点 ，
又因为 ，
所以D在以线段MK为直径的圆上.
所以F为线段MK的中点，即 ，
所以 为定值.
【变式7-1】已知点 在曲线 上， 为坐标原点，若点 满足 ，记动点 的轨
迹为 ．
(1)求 的方程；(2)设 是上 的两个动点，且以 为直径的圆经过点 ，证明： 为定值．
【解析】（1）设 ，因为点 在曲线 上，所以 ，
因为 ，所以 ．
代入 可得 ，
即 ，即 的方程为 ；
（2）因为以 为直径的圆经过点 ，所以 ，
当 为椭圆顶点时， ，
当 不是椭圆顶点时，可得直线 的斜率存在且不等于零，
可设直线 的方程为y=kx(k≠0)，则直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
所以 ，
同理可得， ，
所以 ．
综上， 为定值 ．
【变式7-2】（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系 中，动点 满足，点P的轨迹为C，过点 作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．
(1)求轨迹C的方程；
(2)求 面积的取值范围；
(3)若直线l与直线 交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，
T，证明： 为定值．
【解析】（1）由题意可知：动点 到定点 的距离比到定点 的距离大 ，且 ，
从而点 的轨迹为双曲线的右支．
设双曲线方程为 ，则 ， ， ，
轨迹C的方程为： ．
（2）直线l不与y轴垂直，设其方程为 ，
与 联立得： ， ，
设 ， ，则 ， ，解得 ．
设 ，则 ．
由于 在 单调递减，则 ，故 ．
（3）证明： 与 联立，得 ， ．设 ， ，由A，S，N三点共线，得 ，
解得 ，同理有 ．
，
即ST的中点为 ，故 为定值1．
【变式7-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 ，动点 满足 ，
动点 的轨迹为曲线 交 于另外一点 交 于另外一点 .
(1)求曲线 的标准方程;
(2)已知 是定值，求该定值;
【解析】（1）令 且 ，因为 ，所以 ，
整理可得 ，
所以 的标准方程为 .
（2）设P(x ,y )， ， ，
0 0
设直线 和直线 的方程分别为 ， ，
联立直线 与椭圆方程 ，整理可得 ，
则 ， ，
联立直线 与椭圆方程 ，整理可得 ，
可得 ， ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
同理可得 ， ，即 ，
所以 .
设 ， ， ，
设 ，则有 ，
又 ，
可得 ，
同理可得 ，
所以 .
题型八：坐标定值
【典例8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
上顶点为 ， ， 的面积为 .
(1)求 的方程；
(2) 是 上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线 过点 且与 交于 ， 两点（均异于点 ），
点 在 上，设直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，若 ，问点 的横坐标是否为定
值？若为定值，求出点 的横坐标；若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 为等边三角形，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 .
（2）将 代入 解得 ，所以 ，
由（1）可知F (1,0)，则直线 的斜率存在，
2
设直线 ， ， ， ，
由 得 ，
由 ，
所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以点 的横坐标为定值 .【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，
对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图， ， 分别为抛物线
y2=2px(p>0)的切线三角形和切点三角形， 为该抛物线的焦点．当直线 的斜率为 时， 中点
的纵坐标为 ．
(1)求 ．
(2)若直线 过点 ，直线 分别与该抛物线的准线交于点 ，记点 的纵坐标分别为 ，
证明： 为定值．
(3)若 均不与坐标原点重合，证明：
【解析】（1）由题可知点 均在该抛物线上，故设 ， ，
由题意得当 时， ，
故 ，所以 ．
（2）由（1）得该抛物线的方程为 ，所以F(1,0)，准线为 ．
因为直线 过点 ，所以 与 共线，
由题可知点 在该抛物线上，故设 ，
则 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ．
由题意知直线 的斜率均存在且均不为 ，
易知直线 的方程为 ，即 ，
令 得 ，同理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 为定值 ．
（3）由题意知抛物线 在 三点处的切线的斜率都存在且不为 ．
设抛物线 在点 处的切线方程为 ，
与 联立，消去 并整理得 ，
由 ，解得 ．
所以抛物线 在点 处的切线方程为 ．
同理可得抛物线 在点 处的切线方程为 ，
在点 处的切线方程为 ．
由 ，解得 ，所以 ，
同理可得 ， ，又 ， ， ，
所以 ．
由两点间的距离公式得 ，
同理可得 ， ，
所以
，
所以 ．
【变式8-1】（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点 与两定点 ， 连线的斜率之积为3．
(1)求动点 的轨迹 的方程：
(2)过点 的直线与轨迹 交于 ， 两点，点 ， 均在 轴右侧，且点 在第一象限，直线 与
交于点 ，证明：点 横坐标为定值．
【解析】（1）设动点 ，
根据题意，
动点 的轨迹 的方程为 .
（2）易知直线 斜率不为0，设 方程为 ，且 ．
设 ， ，
由
， ，
由题意易得直线 方程为 ①
同理，直线 方程为 ②
由①÷ 得
②
，
点 横坐标为定值 ．
题型九：角度定值
【典例9-1】抛物线 ： 的焦点为 ，直线 的倾斜角为 且经过点 ，直线 与抛物线
交于两点 ， .
（1）若 ，求角 ；
（2）分别过 ， 作抛物线 的切线 ， ，记直线 ， 的交点为 ，直线 的倾斜角为 .试探究
是否为定值，并说明理由.
【解析】（1）由抛物线 的焦点为 ，可得 ，
所以抛物线 的方程为 .
设直线 的方程为 ，代入 ，消去 ，
得 ，设 ， ，则 ，所以 ，
得 ， ，所以 ，则 或 .
（2）设直线 方程为 ， ， ，
将直线 的方程 代入 ，消去 ，得 ，
则 ①， ②.
由 求导，得 ，
所以直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则 ， 的方程分别为 ③， ④，
解③④组成的方程组，结合①，②，得 ， ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
所以 为定值.
【典例9-2】（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C： 的离心率为 ，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线 与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线 ， 分
别与直线 交于M，N两点，试问 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）依题意知： ，
解之得： ， ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）由于B，D异于A，故设直线 的方程为 ，联立 得：
设 ， ，则
y
因为A(−2,0)， ，所以设直线 的方程为y= 1 (x+2)，
x +2
1
联立 得： ，同理有
因为F(1,0)，所以 ，
所以
所以 ，即 .
【变式9-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ，
， 为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公
式，该变换公式①可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，
矩阵通常用大写英文字母 ， ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
(2)在平面直角坐标系 中，求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的双曲线
方程 ；
(3)已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（ 在第一象
限），与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）设 ， ，则 ， ， ，
故 ，
，
所以坐标变换公式为 ，
该变换所对应的二阶矩阵为 ；
（2）设曲线 上任意一点 在旋转角是 的旋转变换下所得点坐标为 .
则 ，即 ，
得 ，则 ，所求曲线方程为 ；
（3）①直线 斜率存在时，可设直线 的方程为 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )
1 1 2 2
由 ，得 ，
所以 ， ，且 ，
当 时，取 ， ，所以直线 方程为： ，
直线 方程与双曲线 方程联立可得 ，解得 或 ，
所以 ， .
所以 ，所以 ，可得 ；
当 时，设 的斜率分别为 ，
， ，
所以 ，
，
所以 .
因为 在第一象限，所以 ，所以 ，所以 .②直线 斜率不存在时，可得 ，
可得 ， ，
所以 ，同理可得 .
综上可得， 为定值 ，得证.
【变式9-2】已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为
直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，
BP分别与y轴交于点M，N.求证： 为定值.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ， ，
所以圆 的方程为 ，椭圆 的方程为 ．
（2）
证明：设点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
则 ，即 ，
又由 ，得点M的坐标为 ，
由 ，得点N的坐标为 ，
所以， ， ，
所以 ，
所以 ，即题型十：直线过定点
【典例10-1】（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M经过定点 ，且与圆 内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线
于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为 ， .
（i）求证： 为定值；
（ii）设直线 ，证明：直线PQ过定点.
【解析】（1）设动圆的半径为r，圆 的圆心 ，半径 ，
显然点 在圆 内，则 ，
于是 ，
因此动点M的轨迹C是以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆，
长半轴长 ，半焦距 ，则短半轴长 ，
所以轨迹C的方程为 .
（2）（i）设 ， ， ，由（1）知 ， ，
显然 ， ，而 ，则 ，
，又 ，即 ，
所以 ，为定值.
（ii）由 消去x得 ，
，
由（i）得 ，又 ，则
，解得 ，满足 ，
因此直线PQ的方程为 ，
所以直线PQ过定点 .
【典例10-2】（2024·广西·模拟预测）已知圆E恒过定点 ，且与直线 相切，记圆心E的轨迹为
，直线 与 相交于A，B两点，直线 与 相交于C，D两点，且
，M，N分别为弦 的中点，其中A，C均在第一象限，直线 与直线 的交点为G．
(1)求圆心E的轨迹 的方程；
(2)直线 是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．
【解析】（1）设圆E的圆心 ．因为圆E恒过定点 且与直线 相切，
即圆心E到点 的距离与到直线 的距离相等，
即圆心E的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以圆心E的轨迹方程为 ．
（2）直线 恒过定点．
解法一：直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设 ， ，联立 ，消去x整理得 ， ，
则 ，则 ，则 ，
所以 ，同理可得 ．
当 时，直线 的方程为 ，
即
．
因为 ，所以直线 的方程 ，故当 时， ，此时 过定点 ；
当 时，由 ，得 ，此时直线 的方程为 ，同样经过点 ．
综上，直线 恒过定点，该定点为 ．
解法二：设 ， ，由题可知直线 ， 都恒过定点 ，
斜率均存在，不为0，且互相垂直，
设直线 ， ，则直线 ，
联立 ，去y整理得 ，
易得 ，则 ，则 ，所以 ，
同理可得 ．
若直线 的斜率存在，则 ，
直线 ， ，
则直线 恒过定点 ；
若直线 的斜率不存在，则 ，得 ，
直线 的方程为 ，则直线 恒过定点 ．
综上，直线 恒过定点，该定点为 ．
【变式10-1】（2024·江西·二模）已知 ， ，M是圆O： 上任意一点， 关于点
M的对称点为N，线段 的垂直平分线与直线 相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；(2)设 （ ）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直
线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
【解析】（1）连接OM，
由题意可得 ，且M为 的中点，又O为 的中点，
所以 ，且| .
因为线段 的中垂线与直线 相交于点T，
所以 ，
所以 ，
由双曲线的定义知动点T的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线.
设其方程为 （ ， ），则 ， ， ，
故曲线C的方程为 .
（2）证明：由（1）知
依题意直线l的斜率存在，
设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
，由 ，得 ，
所以 ， .
则
，
整理得 ，即 ，
解得 或 ，
当 时，直线l的方程为 ，
直线l过定点 ；
当 时，直线l的方程为 ，
直线l过定点 ，不合题意，舍去.
综上所述，直线l过定点 .
【变式10-2】在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： ，F是椭圆的右焦点且椭圆C
与圆M： 外切，又与圆N： 外切．
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，
E两点，证明：直线DE过定点．
【解析】（1）由题意得圆 圆心 ，半径为4，过点 ，
和椭圆 外切，切点必为 ，故 ，
圆 圆心 ，半径为 ，过点 ，
和椭圆 外切，切点必为 ，故 ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）设 ，
∵ 三点共线，又 ，
则 ，即 （★），
又∵点 均在椭圆上，则 ，可变形为 ，代入 中，整理可得 ，结合（★）式得 （✰），
★✰式联立解得 ，
同理可得 ，
∴直线 的方程为 ，
即 ，
又 ，
，
∴直线DE的方程 ，
故直线DE过定点 ．
题型十一：动点在定直线上
【典例11-1】已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的上、下顶点， 为坐标
原点，直线 与 交于不同的两点 ， ．
(1)设点 为线段 的中点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
(2)若 ，证明：直线 与直线 的交点 在定直线上．
【解析】（1）设 ， ，则 ．由 两式相减得 ，即 ．
所以 ．
（2）解法一：
由 解得 所以椭圆 的方程为 ．
将直线的方程 代入椭圆 的方程 ，化简整理得 ．①
由 ，解得 ．
由韦达定理，得 ， ．②
设 ， ，
则直线 的方程为 ，③
直线 的方程为 ，④
由③④两式解得
，
即 ，所以直线 与直线 的交点 在定直线 上．
解法二：
设直线 （即直线 ）与直线 （ 轴）的交点为 ，直线 与直线 的交点为 ，
则点 ， ， 构成椭圆 的自极三点形，点 一定在点 对应的极线 上，其方程为
，即 ，就是说直线 与直线 的交点 在定直线 上．
【典例11-2】已知椭圆 经过点 ，离心率 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 且倾斜角为 的直线 与 轴， 轴分别交于点 ，点 为椭圆 上任意一点，求
面积的最小值.
(3)如图，过点 作两条直线 分别与椭圆 相交于点 ，设直线 和 相交于点 .
证明点 在定直线上.
【解析】（1）由题意，点 在椭圆 上得，可得 ①
又由 ，所以 ②，
由①②联立且 ，可得 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
（2）易知 ，则 ，所以 ，
设 ，联立 与 有 ，
则 ，由 解得 ，
到 的距离 即为 在 边上高的最小值，即 ，
此时 面积的最小值 ；
（3）设 ，则 ，即 ，又由 ，得 ，
整理得 ，
再代入得 ，即 ，
所以 ，
同理令 ， ，则 ，
则 ， ，
则直线 的方程为
，
同理 的方程为
，
两式相减，整理得 ，即点 在定直线 上.
【变式11-1】已知A，B分别是双曲线 的左、右顶点，P是C上异于A，B的一
点，直线PA，PB的斜率分别为 ，且 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点 的直线 ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【解析】（1）
由题意可知 ，
因为 ，所以 .
设 ，则 ，所以 ，
又 ，
所以 .
所以双曲线C的方程为 .
（2）（i）由题意知直线l的方程为 .
联立 ，化简得 ，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以 ，
即 满足： ，
所以 或 ；（ii） ，
直线AD的方程为
直线BE的方程为 .
联立直线AD与BE的方程，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以
.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线 上.
【变式11-2】已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 作 轴的垂线交椭圆 于点 ．
过点 作椭圆 的切线，交 轴于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)过点 的直线（非 轴）交椭圆 于 、 两点，过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，求证：线段
的中点在定直线上．
【解析】（1）依题意，点 ， ，解得 ，椭圆 ： ，显然过点 的椭圆 的切线斜率存在，设其方程为 ，
由 消去 并整理得 ，
，
整理得 ，解得 ，切线方程为 ，由 ，得 ，
所以点 的坐标是 .
（2）设直线 的方程为 ， ，线段 的中点 ，
由 消去 得 ，
则 ， ， ，
直线 的方程为 ，则点 ，
于是 ，
，
，因此点 在直线 上，
所以线段 的中点在定直线 上.
【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴， 、
是椭圆上两点．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为 和 ，M，N为椭圆上异于 、 的两点，直线MN不过原点且不与坐标
轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线 与直线 相交于点T．
（i）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的最小值；
（ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上．
【解析】（1）设椭圆C的方程为 ，
将A、B代入得 ，解得 ，
故椭圆C的标准方程为 .
（2）由题意得 ， ，
设直线MN的方程为 ， ， ， ，则 ．
（i）由题意可得： ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ， （或 ， ）时等号成立．
（ii）联立方程 ，消去x得 ，
由 得 且 ，
故 ， ，即由 、S、T三点共线得 ，即 ；
由 、N、T三点共线得 ，即 ；
两式相加得
，
则直线OT斜率为 ，可得直线OT方程为
由 得 ，即 ．
故直线OT与直线MN的交点在定直线 上．
题型十二：圆过定点
【典例12-1】已知椭圆 的离心率为 ， 、 分点是椭圆 的左、右顶点， 是
椭圆 上不同于 、 的一点， 面积的最大值是2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记直线 、 的斜率分别为 、 ，且直线 、 与直线 分别交于 、 两点．
①求 、 的纵坐标之积；
②试判断以 为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得 ，
解得 ， ．
故椭圆 的标准方程为 ．
（2）①由（1）可知 ， ．
直线 的方程为 ，联立 解得 则 ．
同理可得
故 ，
设P(x ,y )，则 ．
0 0
因为点 在椭圆 上，所以 ，所以 ，
则 ，
故 ．
②法一：由①可知 ， ，
设存在定点 ，则 ， ．
由题意可知 ，则 ，
所以 恒成立，所以 ， ．
故以 为直径的圆过定点 ， ．
法二：由题意可知 在 轴的两侧，则以 为直径的圆与 轴有两个交点，
设以 为直径的圆与 轴的两个交点分别为 （ 在 的左侧），
直线 与 轴的交点为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
则 ，即以 为直径的圆过定点 .【典例12-2】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线 上的两点 的横坐标分别为
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若过点 的直线 与抛物线 交于点 ，问：以 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这
个定点；若不过定点，请说明理由.
【解析】（1）因为点 的横坐标分别为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由题意，知直线 的斜率存在，设 ，过点 的直线 的方程为 ，直
线 的斜率分别为 .
当 时， ，
因为 ，所以以 为直径的圆过原点 .
以下证明当 时，以 为直径的圆过原点 .
由 ，消去 ，得 ，
由根与系数的关系，得 ，
，
所以 ，所以以 为直径的圆过原点 .
综上，以 为直径的圆过原点 .【变式12-1】已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，点 是椭圆上异于顶点的任意
一点，过点 作椭圆的切线 ，交 轴于点A，直线 过点 且垂直于 ，交 轴于点 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)试判断以 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
【解析】（1）因为 ，
所以 ．
所以椭圆的方程为 ．
（2）解法一：设点 ，直线 的方程为 ，
代入 ，整理得 ，
因为 是方程的两个相等实根，所以 ，解得 ．
所以直线 的方程为 ，
令 ，得点A的坐标为 ．
又因为 ，所以 ．
所以点A的坐标为 ．
又直线 的方程为 ，
令 ，得点 的坐标为 ．
所以以 为直径的圆的方程为 ．整理得 ．
令 ，得 ，
所以以 为直径的圆恒过定点 和 ．
解法二：设点 ，
根据切线方程可知直线 的方程为 ，所以点A的坐标为 ．
又直线 的方程为 ，令 ，得点 坐标为 ，
所以以 为直径的圆方程为
整理得 ，令 ，得 ，
所以以 为直径的圆恒过定点 和 ．
【变式12-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，点 在 上，直
线 ∶ 与 相交于 两点，过 分别向 的准线 作垂线，垂足分别为 .
(1)设 的面积分别为 ，求证： ；
(2)若直线 ， 分别与 相交于 ，试证明以 为直径的圆过定点 ，并求出点 的坐标.
【解析】（1）将 代入 ，得 ，所以抛物线方程为 ，
由题意知 ，设 ，
由 得， ， ，
所以 ，所以
，即 .
（2）直线 的斜率 ，
故直线 的方程为 ，令 得 ，
所以点 的坐标为 ，同理，点 的坐标为 ，
设线段 的中点为 ，则
= ，
又 =
，
所以以 为直径的圆为 ，
即 ，令 得 或 ，
故以 为直径的圆过定点 和 .1．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点 对应的复数 满足 ，设点 的运动轨迹为
．点 对应的数是0．
(1)证明 是一个双曲线并求其离心率 ；
(2)设 的右焦点为 ，其长半轴长为 ，点 到直线 的距离为 （点 在 的右支上），证明：
；
(3)设 的两条渐近线分别为 ，过 分别作 的平行线 分别交 于点 ，则平行四
边形 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）设复数 ，
则
两边平方得
所以 是一个焦点在实轴上，顶点为 ，渐近线为 的双曲线．
其离心率 .
（2）由（1）的计算得 ， ， ，则直线 ，
设 ，则 ，
，
由 得 ，代入得
所以 ，原式得证．（3）由（1）得 的两条渐近线 ， ，
由对称性，不妨设 ，则 ，
所以 ，同理得 ．
联立 和 ： ，得 ，
易知直线 ，所以点 到直线 的距离
由（1） ，所以
而 ，所以
，故平行四边形 的面积为定值 ．
2．（2024·湖南常德·三模）已知O为坐标原点，椭圆C： 的上、下顶点为A、B，椭圆上
的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为 ，且 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四
边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
【解析】（1）由题意可得 ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
化简得： ①，
又P(x ,y )在椭圆上， ②，
0 0
由①②得 ，
又 ，∴ ，故椭圆C的标准方程 ；
（2）设直线 的平行线与椭圆相交于点 、 （ 在上方），
直线 的平行线与椭圆相交于点 、 （ 在上方），
∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
又 ，∴ ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
设直线EF的倾斜角为 ，直线GH的倾斜角为 ， ，
∴ ，
则 ，
，
∴四边形面积为：
，
故该四边形的面积为定值 .3．已知一张纸上画有半径为 的圆 ，在圆 内有一个定点 ，且 ，折叠纸片，使圆上某一点
刚好与 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当 取遍圆上所有点时，所有折痕与
的交点形成的曲线为 ．
(1)若曲线 的焦点在 轴上，求其标准方程；
(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线 恒有两个交点 ，
且 ，（ 为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在（1）的条件下， 是曲线 上异于上顶点 、下顶点 的任一点，直线 分别交 轴于点
，若直线 与过点 的圆 相切，切点为 ，证明：线段 的长为定值，并求出定值．
【解析】（1）设折痕与 的交点为 ，
由题意知： 与 关于折痕对称， ，
，
曲线 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
不妨设 ， ，则 ， ， ，
曲线 的标准方程为： .
（2）①当直线 斜率不存在时，设其方程为： ，
则 ， ，
若 ，则 ，解得： ，
此时圆的方程为： ；
②当直线 斜率存在时，设其方程为： ， ， ，
由 得： ，则 ，即 ；
， ；，
则 ，即 （满足 ），
又 与圆相切， 圆的半径 ，
圆的方程为： ；
综上所述：存在满足题意的圆，圆的方程为 .
（3）
由题意知： ， ，设 ，
则直线 ，令 ，解得： ；
直线 ，令 ，解得： ；
设圆 的圆心 ，半径为 ，
， ，
；
又 ， ， ，
即线段 的长为定值 .4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ，短轴长为 ，左、右焦点分别为 ， ，
P是椭圆C上的一个动点， 面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求 的取值范围；
(3)过椭圆的左顶点A作直线 轴，M为直线l上的动点，B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点Q．
试判断数量积 ， 是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．
【解析】（1）设点 ，
则 ，当且仅当 时“＝”， ．
又 ，∴ ，∴ ，
从而椭圆C的方程为 ．
（2）∵椭圆 ，∴ ， ．
P为椭圆C上一点，∴ ，
∵∴
．
又 ，∴ ．
（3）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为 ，设 ，
将 代入椭圆C的方程 中并化简得 ，
解得 ， ，∴ ，
从而 ， ．
令 ，得 ，所以 ， ．
又 ，
∴ （定值），（定值），
综上可知， ， 均为定值．
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系 中，双曲线 的上
下焦点分别为 ， . 已知点 和 都在双曲线上， 其中 为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设 是双曲线上位于 轴右方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 .
(i) 若 ，求直线 的斜率；
(ii) 求证： 是定值.
【解析】（1）将点 和 代入双曲线方程得：
，结合 ，化简得： ，解得 ，
双曲线的方程为 ．
（2）(i) 设 关于原点对称点记为 ，
则 ．
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，即 ，
故 三点共线．
又因为 与 互相平分，所以四边形 为平行四边形，故 ，
所以 ．
由题意知，直线 斜率一定存在，
设 的直线方程为 ，代入双曲线方程整理得：
，故 ，
直线 与双曲线上支有两个交点，所以 ，解得 ．
由弦长公式得
，
则 ，且由图可知 ，即 ，
代入解得 ．
(ii) 因为 ，由相似三角形得 ，
所以
．
因为 ．
所以 ，故为定值．
6．已知椭圆 ，设动点P满足 ，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 ．问：是否存在两个点 ， ，使得 为定值？若存在，求 ， 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【解析】设动点 ，则由 ，
得 ，即 ，
∵点 在椭圆 上，
设 分别为直线 的斜率，
由题意知 ，
故 ，
所以 ，则点P是椭圆 上的点，
所以 ，所以该椭圆的左右焦点为 ， ，
满足 为定值，
因此存在两个定点 ， ，使得 为定值，
综上，存在符合题意的点 ， ，坐标为 ，即椭圆的两个焦点．
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线 的实轴长为2，设 为 的右焦点，
为 的左顶点，过 的直线交 于A，B两点，当直线AB斜率不存在时， 的面积为9．
(1)求 的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线 于P，Q两点，设 为线段PQ的中点，
记直线AB，FM的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【解析】（1）依题意， ，解得 ，
设 的焦距为2c，则 ，将 代入方程 ，可得 ，
所以 的面积为 ，
解得 ，
所以 的方程为 ；
（2）由方程得 ,
设直线 ，
与 的方程联立 可得 ，
所以 ，
设直线 ，令 ，解得 ，所以 ，
同理可得， ，
所以
，故
所以 ，又 ，所以 ．
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线 上一点，且
．(1)求抛物线 的方程．
(2)若 是抛物线 上一点，过点 的直线与拋物线 交于 两点（均与点 不重合），
设直线 的斜率分别为 ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）因为点 在抛物线上，所以 ，
因为 ，所以 ，联立 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ．
（2）由 在抛物线上，得 ，即 ，
显然，过点 的直线斜率不为0，故设直线 方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，得 ，
， 或 ，
， ，
，
， ，
所以
，
故 为定值 ．
9．（2024·河南新乡·三模）已知椭圆 的左、右顶点分别是 ，椭圆 的焦距是
2， （异于 ）是椭圆 上的动点，直线 与 的斜率之积为 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点 ，使得
为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，则 ，即 ，
显然点 ，依题意， ，
解得 ，由椭圆 的焦距是2，得 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，因为 ，则 ，
由（1）知 ，则直线 的方程为 ，即 ，
从而点 到直线 的距离 ，
即 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，点 在以 为焦点，长轴长为2
的椭圆上，
故存在定点 ，使得 .10．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线 ： ，圆 ： ， 为坐标原点.
(1)若直线 ： 分别与抛物线 相交于点A， （ 在B的左侧）、与圆 相交于点S，
（S在 的左侧），且 与 的面积相等，求出 的取值范围；
(2)已知 ， ， 是抛物线 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中 ， 均与圆 相切，
请判断此时圆心 到直线 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）因为 与 的面积相等，且 与 的高均为原点到直线 的距离，
所以 ，则 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )， ， ，
1 1 2 2
则 ，即 ，
直线 ： 代入抛物线 ，得 ，
因为直线 与抛物线交于 ， 两点，
所以 ，则 ，
直线 ： 代入圆 ： ，
得 ，
因为直线 与圆于S，T两点，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
由 ，得 ，
又 ，则 ，
将其代入 得 ，解得 ；
将其代入 得 ，解得 .
综上， 的取值范围为(0,2).（2）由题，易知直线 ， ， 斜率一定存在，
设 ， ， ，
则 ，
则直线 的方程为： ，
即 ，即 ，
因为圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相切，则 ，
平方化简得： ，
看成关于 ， 为变量的式子得： ，
同理得直线 与圆C相切，化简式子后得： ，
所以可以同构出直线 的方程为： ，
所以圆心 到直线 的距离为：
，
此时圆心 到直线 的距离为定值，定值为 .11．设椭圆 ， ， 分别是C的左、右焦点，C上的点到 的最小距离为1，P是
C上一点，且 的周长为6．
(1)求C的方程；
(2)过点 且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：
为定值．
【解析】（1）由题意知椭圆 ，C上的点到 的最小距离为1，
P是C上一点，且 的周长为6，
设椭圆的焦距为2c，则 ，解得 ，
故C的方程为 ；
（2）证明：由题意知 ，故直线l的方程为 ，
设 ，联立 ，
得 ，由于直线l过椭圆焦点，必有 ，
故 ，
故 ，
由题意知直线 的方程为 ，联立 ，得 ，设 ，则不妨取 ，
故 ，
故 ，即 为定值.
12．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平
分线交直线 于点 ，设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 的两条渐近线交于 ， 两点，且 为线段ST的中点.
（i）证明：直线 与曲线 有且仅有一个交点；
（ii） 求证： 是定值.
【解析】（1）圆 的圆心为 ，半径 ，
因为线段 的垂直平分线交直线 于点 ， 则 ，
，
∴点 的轨迹为以 、 为焦点的双曲线，
设双曲线方程为 ，则 ， ，所以 ，
所以点 的轨迹方程为
（2）（ i ） 设 ， ， ，
若 ，则 ，即直线 的方程为 ，显然满足直线 与曲线 有且仅有一个交点；
若 ，显然 ，由题可知 ，则 ， ，
因为双曲线的渐近线方程为 ，不妨令 ， ，所以 ， ，
，即 ，
即 ，
∴直线 的方程为 ，即 ，
又∵点 在 上， ，则 ，
即直线 的方程为 ，
将方程联立 ，得 ，
，由 ，可知方程有且仅有一个解，
∴ 与 有且仅有一个交点；
（ii）由 （i ）联立 ，可得 ，
同理可得 ，
，
所以 是定值.
13．（2024·湖北·模拟预测）已知 为抛物线 ： 的焦点， ， ， 是 上三个不同的点，
直线 ， ， 分别与 轴交于 ， ， ，其中 的最小值为4.
(1)求 的标准方程；
(2) 的重心 位于 轴上，且 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ， 是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为直线 通过抛物线 的焦点 ，所以线段 为抛物线 的焦点弦，
如图，设A(x ,y )， ，线段 的中点 ，
1 1
由抛物线的定义可得 ，
由平面几何的性质得当且仅当 轴时，|AB|取得最小值为 ，所以 ，
所以抛物线 的标准方程为 .
（2）依题知直线 的倾斜角不为0，则设直线 的方程为 .
设A(x ,y )，B(x ,y )， ，
1 1 2 2
由 ，得 ，则 ，
因为 的重心 位于 轴上，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
， ，
因为A，E，C三点共线，所以 ，
所以 ，
显然 ，解得， ，同理可得 ，
又
，
则，所以 为定值1.
14．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆 过定点 且与直线 相切，记圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)已知 、 两点的坐标分别为 、 ，直线 、 的斜率分别为 、 ，证明： ；
(2)若点 、 是轨迹 上的两个动点且 ，设线段 的中点为 ，圆 与动点
的轨迹 交于不同于 的三点 、 、 ，求证： 的重心的横坐标为定值．
【解析】（1）设点 ，
依题有 ，
化简并整理成 ，
圆心 的轨迹 的方程为
， ，
又 ，
所以 ，
所以 .
（2）显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 ，消 并整理成 ，
在判别式大于零时， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
，
所以线段 的中点坐标为 ，
设 ，则 ，消 得 ，
所以 的轨迹方程是 ，
圆 过定点 ，设其方程为 ，
由 ，得 ，
设 、 、 的横坐标分别为 ， ， ，
因为 、 、 异于 ，所以 ， ， 都不为零，
故 的根为 ， ， ，
令 ，
即有 ，
所以 ，
故 的重心的横坐标为定值．
15．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）椭圆 的焦点为 和 ，短轴长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆上、下顶点分别为 、 ，过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点（不与 、 两点重
合）.
①求证： 与 的交点的纵坐标为定值；
②已知直线 ，求直线 、 、 围成的三角形面积最小值.
【解析】（1）根据题意可得， ， ，
则 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）①因为直线 过点 ，
可知直线 的斜率存在，且直线 与椭圆必相交，可设直线 ， ， ，
联立方程 ，消去 可得 ，
则 ，
由根与系数的关系可得： ， ，
因为 ， ，
可得直线 ，直线 ，
所以
．
即 ，解得 ，
所以直线 ， 的交点 在直线 上.
②设直线 与直线 ， 的交点分别为 ， ，
则由（1）可知：直线 ，直线 ．
联立 和方程 ，
解得 ， ，
因为 ，又因为点 到直线 的距离 ，
可得 ，只需求 的最小值．
由弦长公式可得
．
令 ，则 ．
可得
，
当且仅当 ，即 时等号成立．
即 的最小值为 ，可得 面积的最小值为 ．
故直线 ， ， 围成的三角形面积的最小值为 .
16．已知圆 ： ， 为圆心，动直线 过点 ，且与圆 交于 ， 两点，记弦 的
中点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过 作两条斜率分别为 ， 的直线，交曲线 于 ， 两点，且 ，求证：直线 过定点．
【解析】（1）因为 是弦 的中点，所以 ，即 ，
所以点 的轨迹为以 为直径的圆，所以曲线 的方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ，
代入 ，得 .
设 ， ，则 ， 是方程的两解，
则 ， ， ，
根据根与系数的关系，得 ，
即 .
若 ，则直线 过点 ，舍去；
所以 ，即 ，
直线 的方程为 ，故直线过定点 .
当直线 斜率不存在时，设直线 ： ，与曲线 的方程联立，可得 ， ，则 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，恒过点 .
综上，直线 过定点 .
17．（2024·北京海淀·二模）已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点.以 的一个顶点和两个焦点为
顶点的三角形是等边三角形，且其周长为 .
(1)求栯圆 的方程；
(2)设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆 交于不同的两点 ，与直线 交于点 .点
在 轴上， 为坐标平面内的一点，四边形 是菱形.求证：直线 过定点.
【解析】（1）由题意可设椭圆 的方程为 .
因为以 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为 ，
所以 且 ，
所以 .所以 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 .
由 得 .
设 ，则 .
设 的中点为 ，则 .
所以 .因为四边形 为菱形，
所以 为 的中点， .
所以直线 的斜率为 .
所以直线 的方程为 .
令 得 .所以 .
设点 的坐标为 ，则 ，
即 .
所以直线 的方程为 ，即 .
所以直线 过定点 .
18．已知圆 ，圆 动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹
为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设不经过点 的直线 与曲线 相交于 两点，直线 与直线 的斜率均存在且斜率之和为
，直线 是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
【解析】（1）设动圆 的半径为 ，
因为动圆 与圆 外切,所以 .
因为动圆 于圆 外切,所以 ,则 ,
由椭圆的定义可知,曲线 是以 为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.
设椭圆方程为 ,
则 ，故 ,
所以曲线 的方程为 .
（2）①当直线 斜率存在时,设直线 : ，
联立 ，消去 可得 ,
则 ，化简得 .
设 ，则 .
由题意知，因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
即 ,
，
即 ，
即 .因为 ，所以 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 .
②当直线 斜率不存在时，设直线 : ，且 ,
则点 .
所以 ,解得 ,
所以直线 的方程为 ，也过定点 .
综上所述, 直线 过定点 .
19．（2024·北京·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点，过 分别作 轴的垂线，垂足为点
，求证：直线 与 的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
【解析】（1）由题可得： ， ，又 ；解得 ；
故椭圆 的方程为： .
（2）设直线 与 的交点为 ，根据题意，作图如下：由题可知，直线 的斜率存在，又过点 ，故设其方程为 ，
联立 ，可得 ，显然其 ，
设 两点坐标为 ，则 ；
因为 都垂直于 轴，故 ，
则 方程为： ， 方程为： ，
联立 方程可得： ，
故 ，也即直线 与 的交点在定直线 上.
