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重难点突破18 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题
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题型一：定比点差法
例1．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 （ ）的直线
与 相交于 ， 两点，若 ，求
【解析】由 ，可设椭圆为 （ ），
设 ， ， ，由 ，
所以 ， ．
又
由（1）-（3）得 ，
又 ．又 ．
例2．已知 ，过点 的直线交椭圆于 ， （可以重合），求 取值范围．
【解析】设 ， ， ，由 ，
所以 ．
由
由（1）-（3）得：
，又 ，
又 ，从而 ．
例3．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， ， ， 是椭圆上的三个动点，且
， 若 ，求 的值．
【解析】设 ， ， ，，由 ， 得
① 满足
满足
②由
③由（1）-（3）得：
，又，同理可得
．
变式1．设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 ， 在椭圆上，若 ，求点
的坐标
【解析】记直线 反向延长交椭圆于 ，由 及椭圆对称性得 ，
设 ， ， ．
①由定比分点公式得
．
②又
③由（1）-（3）得 ，
又 ．
变式2．已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 ， ，点 是线段 上的
点，且 ，求点 的轨迹方程．【解析】设 ， ，
由
，记 ，
即 ， ．
① ，由定比分点得：
，由定比分点得
②又
③由（1）-（3）得：
，即 ．题型二：齐次化
例4．已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于P，Q两点， 为坐标原点．证明：
．
【解析】直线
由 ，得
则由 ，得： ，
整理得： ，即： ．
所以 ，
则 ，即： ．
例5．如图，椭圆 ，经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点P，Q
（均异于点 ，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设直线
则 ．
由 ，
得： ．
则 ，
故 ．
所以 ．
即 ．
例6．已知椭圆 ，设直线 不经过点 且与 相交于A，B两点．若直线 与直线
的斜率的和为 ，证明：直线 过定点．
【解析】设直线 ．．．．．．（1）由 ，得
即： ．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
整理得：
则 ，
则 ，代入直线 ，得：
显然，直线过定点 ．
变式3．已知椭圆 ， ， ， 为上的两个不同的动点， ，求证：直线
过定点．
【解析】设直线 方程为：
则
即 ，又因为
化简得 或 （舍去）．
即 直线为 ，即直线 过定点 ．
题型三：极点极线问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
(1)若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
(2)若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
(3)若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两点，过
点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
【解析】（1）由题意知，当 时， ，所以 或 ．
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
所以椭圆 在点 处的极线方程为 ，即
点 处的极线方程为 ，即
（2）因为 在椭圆 上，所以 ，
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
当 时， ，此时极线方程为 ，所以 处的极线就是过点 的切线．
当 时，极线方程为 ．
联立 ，得 ．
．
综上所述，椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
（3）设点 ， ， ，
由（2）可知，过点 的切线方程为 ，
过点N的切线方程为 ．
因为 ， 都过点 ，所以有 ，则割线 的方程为 ；
同理可得过点 的两条切线的切点弦 的方程为 ．
又因为割线 过点 ，代入割线方程得 ．
所以 ， ， 三点共线，都在直线 上．
例8．（2023·全国·高三专题练习）阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点P( ， )和直线
l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对
于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ，
)对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写出与点P对应的
极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆 过点P(4,0)，
则 ，得 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 .根据阅读材料，与点P对应的极线方程为 ，即 ；
（2）由题意，设点Q的坐标为( , )，
因为点Q在直线 上运动，所以 ，
联立 ，得 ，
，该方程无实数根，
所以直线 与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，
又QM，QN都与椭圆C相切，
所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆 ，与点Q( , )对应的极线方程为 ，
将 代入 ，整理得 ，
又因为定点T的坐标与 的取值无关，
所以 ，解得 ，
所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.
当 时，T是线段MN的中点，
设 ，直线MN的斜率为 ，
则 ，两式相减，整理得 ，即 ，
所以当 时，直线MN的方程为 ，即 .
例9．（2023秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M： （a＞b＞0）过A（－2，
0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点
Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
【解析】（1）因为点 ， 都在椭圆 上，所以 ， ．
所以 ．
所以椭圆 的离心率 ．
（2）由（1）知椭圆 的方程为 ， ．
由题意知：直线 的方程为 ．
设 （ ， ）， ， ．
因为 三点共线，所以有 ， ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
因为 三点共线，
所以 ，即 ．
所以 ．
所以直线 的方程为 ，
即 ．
又因为点 在椭圆 上，所以 ．
所以直线 的方程为 ．
所以直线 过定点 ．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线 与椭圆 共顶点，且它们的
离心率之积为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为 ， ，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线 与 的斜率分别为 ， ，且 ．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为 ，又两曲线离心率之积为 ，所以椭圆的离心率为 ；
由题意知 ，所以 ， ．
所以椭圆的标准万程为 ．
（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：
，不满足 ，
故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为 ，
由 ，得： ，
因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，
所以 ，
整理得： ，
设 、 ，则
， ， ， ．
因为 ，
所以 ，
整理得： ，
，
将 ， 代入整理得：
要使上式恒成立，只需 ，此时满足 ，
因此，直线l恒过定点 ．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线 上的动点（不在x轴上）， 与椭圆E的另一交点为
C， 与椭圆E的另一交点为D，记直线 与 的斜率分别为 ， ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）证明：直线 过一个定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由条件可知： 且 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）因为 ，设 ，
所以 ，所以 ；
（3）设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以
，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以
，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 过定点 .
题型四：蝴蝶问题
例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴 与x轴平行，短轴 在y轴上，中心为
．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线 交椭圆于两点 ；直线 交椭圆于两点 ，
．求证： ；
(3)对于（2）中的中的在 ， ， ， ，设 交 轴于 点， 交 轴于 点，求证：
（证明过程不考虑 或 垂直于 轴的情形）
【解析】（1） 椭圆的长轴 与 轴平行，短轴 在 轴上，中心 ，
椭圆方程为
焦点坐标为 ，
离心率
（2）证明：将直线 的方程 代入椭圆方程 ，得
整理得
根据韦达定理，得 ， ，所以 ①
将直线 的方程 代入椭圆方程 ，同理可得 ②
由 ①、②得
所以结论成立.
（3）证明：设点 ，点
由 、 、 共线，得
解得
由 、 、 共线，同理可得
由 变形得
所以
即
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 （ ），四点 ， ，
， ， 中恰有三点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1， 为圆 的一条弦， 是 的中点，过 作圆 的两条弦 ， .若 ，
分别与直线 交于点 ， ，则 .该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆 中，弦 的中点 的坐标为 ，且两条弦 ，
所在直线斜率存在，证明： .
【解析】（1）由于 ， 两点关于 轴对称，
故由题设知 经过 ， 两点，
又由 知， 不过点 ，所以点 在 上，
因此 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ；
（2）因点 的坐标 在 轴上，且 为 的中点，
所以直线 平行于 轴，
设 ， ， ， ，
设直线 的方程为 ，代入椭圆 ，
得： ，
根据韦达定理得： ， ，①
同理，设直线 的方程为 ，代入椭圆 ，
得： ，
根据韦达定理得： ， ，②
由于 、 、 三点共线，得 ， ，
同理，由于 、 、 三点共线，得： ，结合①和②可得：即 ，所以 ，即 .
例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆 弦的中点M，任意作两弦 和 ， 与
交弦 于P、Q，求证： .
【解析】如图所示，以 为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系，设圆方程为
设直线 、 的方程分别为 ， .
将它们合并为 ，于是过点C、D、E、F的曲线系方程为
.
令 ，得 ，即过点C、D、E、F的曲线系与 交于点P、Q的横坐标是方程
的两根.
由韦达定理得 ，即 是 的中点，故 .变式6．（2023·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名
家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆 的方程为 ，直线 与圆 交
于 ， ，直线 与圆 交于 ， .原点 在圆 内.
（1）求证： .
（2）设 交 轴于点 ， 交 轴于点 .求证： .
【解析】（1）已知圆 的方程为 ，
直线 与圆 交于 ， ，联立 ，
化简得 ，
则 ， ，所以 ，同理线 与圆 交于 ， ，
联立 化简得 ，
则 ， ，所以 ，
故有 ，所以 成立；
（2）不妨设点 ，点 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，化简得 ，
因为点 在直线 上，所以 ，点 在直线 上，所以 ，
则 ，
同理因为 、 、 三点共线，所以 ，化简得 ，
因为点 在直线 上，所以 ，点 在直线 上，所以 ，
则 ，
又由 ，可得 ， ，
即 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 成立.
变式7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆 的左､右顶点分别
为点 ， ，且 ，椭圆 离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点，且斜率不为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 ， 的交于点 ，求
证：点 在直线 上.
【解析】（1）因为 ，椭圆 离心率为 ，
所以 ，解得 ， .所以椭圆 的方程是 .
（2）①若直线 的斜率不存在时，如图，
因为椭圆 的右焦点为 ，所以直线 的方程是 .
所以点 的坐标是 ，点 的坐标是 .
所以直线 的方程是 ，
直线 的方程是 .
所以直线 ， 的交点 的坐标是 .
所以点 在直线 上.
②若直线 的斜率存在时，如图.
设斜率为 .所以直线 的方程为 .联立方程组
消去 ，整理得 .
显然 .不妨设 ， ，
所以 ， .
所以直线 的方程是 .
令 ，得 .
直线 的方程是 .
令 ，得 .
所以
分子
.
.
所以点 在直线 上.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率
为 ，点P 为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k，直线BN
1
的斜率为k，若k＝2k，求直线l斜率的值．
2 1 2
【解析】(1)因为椭圆的离心率为 ，所以a＝2c.
又因为a2＝b2＋c2，所以b＝ c.
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
又因为点P 为椭圆上一点，所以 ＋ ＝1，解得c＝1.
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
(2) 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.
设M(x，y)，N(x，y)．
1 1 2 2
联立方程组
消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根与系数关系可知x＋x＝－ ，xx＝－ .
1 2 1 2
因为k＝ ，k＝ ，且k＝2k，所以 ＝ .
1 2 1 2
即 ＝ . ①
又因为M(x，y)，N(x，y)在椭圆上，
1 1 2 2
所以 ＝ (4－ )， ＝ (4－ )． ②
将②代入①可得： ＝ ，即3xx＋10(x＋x)＋12＝0.
1 2 1 2所以3 ＋10 ＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.
解得k＝ 或k＝ ，又因为k>1，所以k＝ .
变式9．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆 的右焦点是 ，过点
F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在
以P为圆心的圆上，求k的值；
(3)过点 作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的
斜率分别为k、k，则 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
1 2
【解析】（1）设 ， ，直线AB的斜率显然存在，则 ，
因为线段AB中点Q的坐标为 ，所以 ， ，
直线AB的斜率 ，
A，B两点在椭圆椭圆C上，
所以 ， ，两式相减得
，
即 ，
所以 ，整理得 ，①
又 且 ，②
由①②可解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 .（2）由 得 ，
则 ， ， ，
设M，N中点为 ，
则 ， ，
因为M，N都在以P为圆心的圆上，所以 ，则点P在线段MN的垂直平分线上，
依题意 ，所以线段MN的垂直平分线方程为 ，
M，N中点为 在此直线上，
所以有 ，即 ，解得 .
所以k的值为 .
（3）依题意有 ， ， ，
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
则 ， ，
，
所以 为定值 .变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别
是椭圆 的左、右顶点，右焦点 ， ，过 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，
在 轴上方．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记 ， 的面积分别为 ， ，若 ，求 的值；
(3)设线段 的中点为 ，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ，
， ，求 的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为 ．
依题意可得 ， ，
解得 ， ．
故 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）设点 ， ， ， ．
若 ，则 ，即有 ，①
设直线 的方程为 ，与椭圆方程 ，可得 ，
则 ， ，②
将①代入②可得 ，解得 ，
则 ；
（3）由（2）得
， ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．
所以 ．
所以 ，
，
，
.
变式11．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点 在椭圆 ：
上， 为坐标原点，直线 ： 的斜率与直线 的斜率乘积为
（1）求椭圆 的方程；
（2）不经过点 的直线 ： （ 且 ）与椭圆 交于 ， 两点， 关于原点的对称点为
（与点 不重合），直线 ， 与 轴分别交于两点 ， ，求证： .
【解析】（Ⅰ）由题意， ，
即 ① 又 ②联立①①解得
所以，椭圆 的方程为： .
（Ⅱ）设 ， ， ，由 ，
得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以， ，
， ，
解法一：要证明 ，可转化为证明直线 ， 的斜率互为相反数，只需证明 ，即
证明 .
∴
∴ ，∴ .
解法二：要证明 ，可转化为证明直线 ， 与 轴交点 、 连线中点 的纵坐标为 ，
即 垂直平分 即可.
直线 与 的方程分别为：
， ，
分别令 ，得 ，而 ，同解法一，可得
，即 垂直平分 .
所以， .
变式12．（2022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于
圆 ，与点 对应的极线方程为 ，我们还知道如果点 在圆上，极线方程
即为切线方程；如果点 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆 ，与
点 对应的极线方程为 .如上图，已知椭圆C： ， ，过点P作椭圆C
的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则
的最小值是 .
【答案】 （或 ）； .
【解析】（1）由题得AB： ，即 ，
（2） ， ，∴ 的方向向量 ，
所以
，即 .
故答案为： ； .
