文档内容
张家口市 2022－2023 学年度高三年级第一学期期末考试
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置
上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题
时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合U＝{x|1≤x≤10}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5，6}，则
(∁U A)∩B＝
A. B.
C. D.
2.已知复数z－2i＝，则z＝
A.1－4i B.1＋4i
C.5－12i D.1－2i
3.已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，7，8，
10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为
A. B.
C. D.
4.已知函数f (x)为偶函数，定义域为R，当x>0时，f ′ (x)<0，则不等式f (x2
－x)－f (x)>0的解集为
A. B.
C. D.
5.石碾子是我国传统粮食加工工具．如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾
盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾
滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物
的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为
A.3∶2 B.5∶4 C.5∶3 D.4∶3
6.已知等差数列{a }的首项a ≠0，而a ＝0，则＝
n 1 9
A.0 B.2 C.－1 D.
7.过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切线，则切线方程为
A.x＋y－2＝0 B.2x－y－1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0
8.设a＝，b＝，c＝，则
A.a1，方程x－2x＝0，x－log x＝0在区间的根分别为a，b，以下结论正
2
确的有
A.b－a＝2a－log b B.＋＝1
2
C.a＋b<4 D.b－a>1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量a＝(3，2)，b＝(λ－2，λ)，a∥b，则实数λ＝________．
14.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F到C的一条渐近线y＋2x＝0的
距离为2，则双曲线C的方程为________．
15.已知直线 l：y＝kx＋b 是函数 f (1)＝ax2与函数g＝ex的公切线，若
（1，f(1)）是直线l与函数f 相切的切点，则b＝________．
16.已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且a＝4，c＝
3b，则△ABC面积的最大值是__________；若r，R分别为△ABC的内切圆和
外接圆半径，则rR的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17.(本小题满分10分)
因疫情防控需要，某社区每天都要在上午6点到8点之间对全社区居民完成
核酸采集，该社区有A，B两个居民小区，两小区的居住人数之比为9∶11，
这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社区居民的核酸采集排队时
间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了 100位居民，
调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方
图．(1)由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸
采集中排队时长超过16分钟的居民比例；
(2)另据调查，这100人中一次核酸采集排队时间超过16分钟的人中有20人
来自A小区，根据所给数据，填写完成下面2×2列联表，并依据小概率值
α＝0.01 的独立性检验，能否认为排队时间是否超过 16 分钟与小区有关
联？
排队时间超过16分钟 排队时间不超过16分钟 合计
A小区
B小区
合计
附表：
α 0.100 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
附：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
参 考 数 据 ： 14×0.075 ＝ 1.05 ， 18×0.0375 ＝ 0.675 ， 22×0.025 ＝ 0.55 ，
24×0.0375＝0.9，26×0.0125＝0.325，28×0.0125＝0.35.
18.(本小题满分12分)
已知S 为数列的前n项和，S ＝2a －4n＋2.
n n n
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和T .
n
19.(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝sin C(sin C＋sin B).
(1)求A；(2)如图，在△ABC所在平面上存在点E，连接BE，CE，若EC＝AC，∠ACE
＝120°，∠EBC＝30°，BC＝2，求△ABC的面积．
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，PC＝PB＝AB＝BC＝CD＝DA＝2，E为棱AP
的中点，EB⊥BC.
(1)证明：BC⊥PD；
(2)若BE＝，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．
21.(本小题满分12分)
已知函数f (x)＝－xeax.
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)证明：ln x＋ax－1≥.22.(本小题满分12分)
已知动圆E过定点A，且在y轴上截得的弦BD的长为12，该动圆的圆心E的
轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点P是曲线C上横坐标大于2的动点，过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切
线分别与y轴交于点M，N，求△PMN面积的最小值．
