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第十六章 二次根式能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．已知n是正整数， 是整数，则n的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．7
【答案】D
【解答】解：∵ ，且 是整数，
∴7n是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整式的平方的数）
∴n的最小值是7．
故选：D．
2．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解： 不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意．
故选：D．
3．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化
简的结果是（ ）
A．4 B．2a C．2b D．2a﹣2b
【答案】A
【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．
∴
＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|
＝a+2+2﹣b+b﹣a
＝4．
故选：A．
4．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面
积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2 ﹣6，则较小的正方形面积为（
）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【解答】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2 ﹣6，
∴一个空白长方形面积＝ ，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长＝ ，重叠部分边长＝ ，
∴空白部分的长＝ ，
设空白部分宽为x，可得： ，
解得：x＝ ，
∴小正方形的边长＝空白部分的宽+阴影部分边长＝ ，
∴小正方形面积＝ ＝10，故选：B．
5．已知1＜a＜3，那么化简代数式 ﹣ 的结果是（ ）
A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3
【答案】B
【解答】解：∵1＜a＜3，
∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，
∴ ﹣
＝|a﹣1|﹣|a﹣4|
＝a﹣1+a﹣4
＝2a﹣5，
故选：B．
6．已知a满足|2018﹣a|+ ＝a，则a﹣20182＝（ ）
A．0 B．1 C．2018 D．2019
【答案】D
【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，
∴a≥2019，
∴原式可变形为：a﹣2018+ ＝a，
∴ ＝2018，
∴a﹣2019＝20182，
∴a﹣20182＝2019．
故选：D．
7．设
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
【答案】A【解答】解：∵n为任意的正整数，
∴ ＝
＝ ＝ ＝1+ ，
∴s＝（1+ ）+（1+ ）+（1+ ）+…+（1+ ）
＝2008+（ + + +…+
＝2008+（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ）
＝2009﹣ ．
因此与s最接近的整数是2009．
故选：A．
8．计算式子（ ﹣2）2021（ +2）2020的结果是（ ）
A．﹣1 B． ﹣2 C．2﹣ D．1
【答案】B
【解答】解：（ ﹣2）2021（ +2）2020
＝[（ ﹣2）×（ +2）]2020×（ ﹣2）
＝（﹣1）2020×（ ﹣2）
＝1×（ ﹣2）
＝ ﹣2，
故选：B．
9．我们规定：对于任意的正数m，n的运算“ ”为当m＜n时，m n＝2 ；当
Φ Φm≥n时，m n＝2 ，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算（3 2）﹣
Φ Φ
（8 12）的结果为（ ）
A．Φ B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵当m≥n时， ，
∴ ，
∵当m＜n时， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
10．若 ，则x+y的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：∵ ，而 ≥0，（y+2）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得x＝1，y＝﹣2，
∴x+y＝1﹣2＝﹣1，
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．计算：（ +2）（ ﹣2）＝ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（ ）2﹣22
＝7﹣4
＝3，
故答案为：3．12．计算 ﹣ 的结果为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解： ﹣ ＝2 ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
13．如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积
为4，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设两个正方形A，B的边长是x、y（x＜y），
则x2＝2，y2＝4，
x＝ ，y＝2，
则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（2﹣ ）× ＝2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
14．如果 有意义，那么字母x的取值范围是 x ≥﹣ 5 且 x ≠ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，x+5≥0，x﹣1≠0，
解得，x≥﹣5且x≠1，
故答案为：x≥﹣5且x≠1．
15．已知x，y为实数，且y＝ ﹣ +4，则 + ＝ 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意得： ，解得x＝9，
所以y＝4
故 + ＝3+2＝5．
故答案为：5．
16．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮板底的距离BC
＝ 米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，眼睛与篮板的点D的距离AD＝2.5米，则点
D到地面的距离CD是 2. 2 米．
【答案】2.2．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD，则CE＝AB＝1.7， ，AD＝2.5，
Rt△ADE中， ，
∴CD＝CE+ED＝1.7+0.5＝2.2．
故答案为：2.2．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）计算：（1） ； （2） ．
【答案】（1）2；（2） ．
【解答】（1）原式＝
＝2；
（2）原式＝
＝
＝ ．
18．（6分）先化简，再求值：已知 ，求 的值．
【答案】﹣2﹣2 ．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
19．（8分）已知a＝ ，b＝ ．
（1）求a+b的值；
（2）求a2﹣3ab+b2．
【答案】（1）2 ；
（2）7．
【解答】解：a＝ ＝ ＝ + ，b＝ ＝
＝ ，（1）a+b＝ + + ＝2 ；
（2）∵ab＝（ + ）（ ﹣ ）＝3﹣2＝1，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a+b）2﹣5ab
＝（2 ）2﹣5
＝12﹣5
＝7．
20．（10分）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？
我 国 南 宋 数 学 家 秦 九 韶 在 《 数 书 九 章 》 中 给 出 了 如 下 公 式 ： S ＝
（秦九韶公式）；
古 希 腰 数 学 家 海 伦 在 其 所 著 的 《 度 量 论 》 中 给 出 了 如 下 公 式 ： S ＝
（海伦公式），其中 ．
秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然
形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题：
（1）如果一个三角形的三边长依次为 ， ， ，那么它的面积为
；
（2）如图，在△ABC中，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15．
①△ABC的面积为 ；
②作AD⊥BC于点D，求CD的长．
【答案】（1） ；（2）①84；②9．
【解答】解：（1）∵三角形的三边长依次为 ， ， ，
∴a＝ ，b＝ ，c＝ ．∴秦九韶公式求解S＝
＝
＝
＝ ．
又p＝ ，
∴p﹣a＝ ﹣ ＝ ，
p﹣b＝ ，p﹣c＝ ．
∴S2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）
＝ × × ×
＝ [（ + ）2﹣（ ）2][（ ）2﹣（ ﹣ ）2]
＝ （2 +8）（2 ﹣8）
＝ （168﹣64）
＝ ．
∴S＝ ．
（2）①∵AB＝13，BC＝14，AC＝15，
∴ ＝ ＝21，
∴ 海 伦 公 式 求 解 S ＝ ＝
＝84；秦九韶公式求解S＝
＝
＝
＝
＝84．
②∵AD⊥BC，BC＝14，
∴ ×14×AD＝84．
∴AD＝12．
又∵AC＝15，∠ADC＝90°，
∴CD＝ ＝ ＝9．
21．（10分）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全
部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部
分，差就是小数部分．
又例如：∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为2，小数部分为 ．
请解答：
（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
（2）已知： ，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【解答】解：（1）∵ ＜ ＜ ， ＜ ＜ ，
∴3＜ ＜4，5＜ ＜6，∴ 的小数部分为a＝ ﹣3， 的整数部分为b＝5，
∴ ＝ ﹣3+5﹣ ＝2；
（2）∵ ＜ ＜ ，
∴1＜ ＜2，
∴13＜12+ ＜14，
即13＜x+y＜14，
∵x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝13，y＝12+ ﹣13＝ ﹣1，
则x﹣y＝13﹣（ ﹣1）＝14﹣ ，
那么x﹣y的相反数为 ﹣14．
22．（10分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，
如 3+2 ．善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b
（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b ，∴a＝m2+2n2，b＝
2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的
方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数，若a+b ，用含m、n的式子分别表
示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）若a+4 ，且a、m、n均为正整数，求a的值．
（3）化简 ．
【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）a的值为13或7；（3）1+ ．【解答】解：（1）仿照小明的方法，将（m+n ）2展开，得：
m2+3n2+2mn ，
将m2+3n2+2mn 与 的系数进行对比，可得：
a＝m2+3n2、b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）观察a+4 ＝（m+n ）2可知，
b＝4，
由（1）中的规律可知，
2mn＝4，
则mn＝2，
由于m、n均为正整数，则有：
或
将m＝1、n＝2代入a＝m2+3n2，得：
a＝13，
将m＝2、n＝1代入a＝m2+3n2，得：
a＝7，
综上可知，a的值为13或7．
（3） ＝ ＝ ＝1+ ．
