文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A C D B C C A D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 13． 5
14． －2或5 15. ①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
【解】（1）
， ，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为 .
17.（14分）
【解】（1）
.
，故
由 ，解得 ，
当 时， ，又 ，
所以 在 上的单调增区间为 .
（2）由 ，得 ，
.
，
. ，
， 的取值范围为 .
18.（14分）
【解】（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出 边长，故①必选，
选②缺垂直条件，因为 ，又四边形 是边长为4的正方形，所以 ，
， 平面 平面 所以 平面 又 平面 所以，选①②无法证明 平面 ；
故只能选择①③，理由如下：
因为平面 平面 ，平面 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，所以
，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ， 平面 ， ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知 两两垂直，故以 方向为 轴， 方向为
轴， 方向为 轴，建立空间直角坐标系，则
，故 ， ，设平面 的方向量
为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，故 ，设直线 与平面
所成角为 ，则 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）假设存在设点 ，使得 平面 ，则 ，因为 平面 ，所以 ，
，所以 ， ，解得 ，故 ， ，
所以存在点 ， 为 中点，使得 平面 ，此时 .
19.（14分）
【解】（1）解：如上图，由题意，∵ ， ，
∴ 即为点 与点 的距离 ，
即为点 与点 的距离 ，
∴由 可得 ，
∴由椭圆的定义可知点 的轨迹 是以 、 为焦点的椭圆，
且长轴长为 ， ，则 ，
∴由椭圆的标准方程知点 的轨迹 的方程为 .
（2）解：
如上图，由题意，直线 是曲线 ： 的切线，
∴由 可得： ，
则 ，化简得： .
由题意，直线 交椭圆 ： 于 、 两点，
∴由 可得： ，
设 、 ，则 ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ .且由 知 ，
∴ .
又∵ 中边 上的高 即为点 到直线 的距离，
∴由点到直线距离公式得 ，又∵ ，
∴ ，
即 的面积为定值 .
20.（15分）
【解】（1）由题可得 ，
∵曲线 在 处的切线方程为 ，
∴ ，即 ，∴ ．
（2）证明：令 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
∴ ，∴ ，∴ ．
（3）∵ 对任意的 恒成立，
∴ 对任意的 恒成立，令 ， ，则 ，
由（2）可知当 时， 恒成立，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴实数k的取值范围为 ．
21.（15分）
【解】（1） ， ， ，故 ，则 ；
（2） ， ，故 ，
构造函数 ， ，则 ，
函数 在 上单调递增， ，
故 在 恒成立， 单调递增，
故 ，即 ， ，
当 时， ，
综上所述： 恒成立，即 .
（3） ，则 ， ，
设 ，即 ，则 ，
设函数 ，函数单调递增，对于任意 ，有唯一的 与之对应，即数列 中每一项，都有 中的项与之相等， 单调递增，
故 ，
假设数列 中存在连续三项构成等比数列， ， ， ，
故 ，整理得到 ，无正整数解.
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.
