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第十四章 整式的乘法与因式分解（压轴题专练）
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【类型一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】..........................................................................................1
【类型二 多项式乘多项式与图形面积】..........................................................................................................2
【类型三 多项式乘法中的规律性问题】..........................................................................................................5
【类型四 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】................................................................................8
【类型五 平方差公式在几何图形中的应用】................................................................................................13
【类型六 完全平方公式在几何图形中的应用】............................................................................................19
【类型七 十字相乘法因式分解】....................................................................................................................25
【类型八 分组分解法因式分解】....................................................................................................................31
【类型一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若 去括号后不含 的一次项，则 的值为
．
【变式训练】
1．（2023春·江西萍乡·七年级统考期末）若代数式 的结果中不含字母x的一次项，则a的值
是 ．
2．（2023春·浙江·七年级期末）已知 的展开式中不含 项和 项，那么
， ．
【类型二 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用
平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：
就可以用图①的面积来表示．(1)请写出图②所表示的代数恒等式．
(2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式 ．
【变式训练】
1．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，某体育训练基地有一块长 米，宽 米的长方
形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长 米，宽 米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休
息区．（结果需要化简）
(1)求长方形游泳池的面积；
(2)求休息区的面积；
(3)休息区比游泳池的面积大多少平方米？
2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为 ，宽为 的长方形
空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行
通道．(1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
(2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
(3)当 ， 时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【类型三 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（2023春·江西新余·八年级统考期末）观察下列各式．
…
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得 ______；（其中 为正整数）
(2)计算： ．（结果保留幂的形式）
(3)计算： ．（结果保留幂的形式）
【变式训练】
1．（2023春·安徽六安·七年级统考期末）观察下列各式：
；
；；
；
(1)根据上面各式的规律可得： ________．
(2)根据上面各式的规律可得： ________．
(3)若 ，求 的值．
2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ___________；
第2个： ___________；
第3个： ___________；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ___________．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ___________．
（4）扩展与应用： ___________．
【类型四 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】
例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式 的最小值时，
利用公式： ，对式子作如下变形： ，因为 ，所以 ，
当 时， ，
因此 有最小值 ，即 的最小值为 ．
通过阅读，解下列问题：
(1)代数式 的最小值为___________，此时 的值为___________
(2)试比较代数式 与 的大小，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式
或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中
的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式 的最小值．
解：原式 ．
， ． 当 时， 的最小值是 ．
(1)请仿照上面的方法求代数式 的最小值．
(2)代数式 的最大值为______．
2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“ ”的应用后，王老师提出
问题：求代数式 的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：
解： ，∵ ，∴ ，
当 时， 的值最小，最小值为1．
∴ 的最小值是1，
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最小值；
(3)若 ，求 的最小值．
3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的
非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广
泛的应用.如利用配方法求最小值，求 的最小值．
解： ，因为不论a取何值， 总是非负数，即 ．
所以 ，所以当 时， 有最小值 ．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： _____________；
(2)将 变形为 的形式，并求出 的最小值；
(3)若代数式 ，试求N的最大值．【类型五 平方差公式在几何图形中的应用】
例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图 ），然
后将剩余部分拼成一个长方形（如图 ）
(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（ ）选出的等式，完成下面习题：
①已知 ， ，求 的值；
②计算
【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部
分的面积，可以得到整式乘法公式_________；
【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：
①若 ， ，求 的值；
②计算： ．
【拓展】（3）计算： ．
2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，
将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；
请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；
(3)请应用公式计算： ．
3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方
形 ，把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积 阴影部分的面积 ，可以验证的等式是______ ； 请选择正确的一个
A.
B.
C.
D.
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值．
②计算：
【类型六 完全平方公式在几何图形中的应用】
例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀
均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系为________________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若 为实数，且 ， ，试求 的值．
(3)如图3，点C是线段 上的一点，以 为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和
，求图中阴影部分面积．
【变式训练】
1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中
虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ；方法2： ；
(3)观察图②，请写出代数式 ， ， 之间的等量关系： ．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知： ， ，求： 的值；
2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀
平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段 上的一点，以 为边向上分别作正方形 和正方形 ，连结 ．
若 ，求 的面积．
3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成
四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．
(2)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是___________；
(3)若 ， ，求 的值；
(4)拓展：若 ，求 的值．【类型七 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式； ．
第一步：二次项系数2可以写成 ，常数项 可以写成 或 ；
第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将 、3或1、 写在“×”号的右边，共有如下图
的四种情形：
第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：
①的系数为 ；②的系数为 ；
③的系数为 ；④的系数为 ．
显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有： ．像这样，通
过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
问题：
(1)分解因式： ；
①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；
②分解因式： _______；
(2)分解因式： ．
①完善横线上的数字；②分解因式： ________．
【变式训练】
1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解
例如： 求：
(1)
(2)
2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘
法公式运算来进行因式分解，
基本式子为： ，
例如：分解因式 ， ， ，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于 ，得到 ，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)先分解因式，再求值： ，其中 ．
3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式 的方法（如
图）．
第一步：二次项 ；
第二步：常数项 ，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项 ．
即 ．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式 进行因式分解，可以表示为 _______________；
(2)若 可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数 的所有可能值．4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如 的二次三项式因式分解时，
如果能满足 且 ，则可以把 因式分解成 ．
例如：（1） ；（2） ．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
5．（2023春·七年级单元测试）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
； ．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
； ．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子 分解因式．这
个式子的二次项系数是 ，常数项 ，一次项系数 ，可以用下图十字相乘的形式
表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上
角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：
．利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【类型八 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能
力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学
题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法
——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的
方法进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式 ．
解：添加两项 ．
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式 ；(3)分解因式： ．
【变式训练】
1．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法
直接使用上述方法分解，如 ，我们可以把它先分组再分解：
，这种方法叫做分组分解法．
请解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知a，b，c是 的三边，且满足 ，请判断 的形状，并说明理由，
2．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提
公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如： ．
②拆项法：
例如： ．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
① （分组分解法）；
② （拆项法）；
(2)已知：a、b、c为 的三条边， ，求 的周长．3．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用
公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”
分法、“3+2”分法“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)分解因式： ．
4．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1） （2）
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：
探究1：分解因式：（1）
分析：甲发现该多项式前两项有公因式 ，后两项有公因式 ，分别把它们提出来，剩下的是相同因式
，可以继续用提公因式法分解．
解：
另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式 ，第一项和第三项含有公因式 ，把 ， 提出来，
剩下的是相同因式 ，可以继续用提公因式法分解．解：
探究2：分解因式：（2）
分析：甲发现先将 看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出
因式，从而达到分解因式的目的．
解：
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式
分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”
继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
【拓展提升】：
（3）分解因式： ．
