文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷01·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D D B C D A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AD BCD AC ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．216 14．93 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由已知及正弦定理得， …………………………………………… 2分
由余弦定理可得 …………………………………………… 4
分
又 ， …………………………………………… 5分
（2） 由已知及正弦定理得，
由 得………………………… 6分
△ABC是锐角三角形，得 得 ．
，…………………………………………… 8分
所以 面积的取值范围是 ．…………………………………………… 10分
18．（12分）
【解析】（1）（方法一)当 时， ，即 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
两式相减得： ．又 ，满足上式．
所以当 时， ， ………………………………………………………… 1分
又当 时， ，
两式相减得： ，………………………………………………………… 2分
所以数列 的奇数项是以 为首项，4为公差的等差数列，
所以 (n为奇数)， …………………………………… 3分
数列 的偶数项是以 为首项，4为公差的等差数列，
所以 (n为偶数)， …………………………………… 4分
所以 ，即 的通项公式是 ．………………………………………… 5分
（方法二）因为 ，所以 ， ……… 2分因为 ，所以 ，即 ，……………………………………………… 3分
当 时， ，………………………………………… 4分
当 时， 适合上式，所以 的通项公式是 ． ………………………… 5分
（2）因为 ，所以：
当 时， ……①
当 时， ……②
①、②两式相减得： ，………………………………………………… 6分
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以当 为奇数时， ， ………………………………… 7分
当 为偶数时， ，
所以 ，………………………………………………………… 8分
所以 ， ………………………………………………………………… 9分
(i)当n为偶数时，
． ………… 10分
(ii)当n为奇数时，
． ……… 11分
综上, ． ……………………………………………………… 12分
19．（12分）AC⊂
【解析】（1）因为平面 平面 ，平面PDB 平面ABCD=BD， ， 平面ABCD
所以AC⊥平面PDB，………………………………………………………………………… 1分
又因为PD⊂平面PDB，所以AC⊥PD， ………………………………………………… 2分
又因为 ， ，AC⊂平面 ，AB⊂平面 ，
所以PD⊥平面 ，……………………………………………………………………… 4分
（2）由（1）知PD⊥平面 ，
z
又AD 平面 ，AB 平面 ，
所以PD⊥AD，PD⊥AB，
过A作 ，则有AZ⊥AD，AZ⊥AB，
AB⊥AD
又因为 ，即 ，
以A为原点，以AB为x轴，以 为y轴，以AZ为z轴建立空间直角坐标系， …… 5分
A(0,0,0) B(t,0,0) C(t,1,0)
设 ，则 ， ， ， ， ,
⃗AC=(t,1,0) ⃗BD=(−t,2,0) ⃗DP=(0,0,√2)
所以 ， ， ,
⃗AC⋅¿¿ ⃗BD=0
由于 ，所以 ，
所以 ，即 ，……………………………………………………………………… 7分
C(√2,1,0) ⃗DC=(√2,−1,0)
从而 ，则 ，……………………………………………………… 8分
设平面PDC的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，则有 即
取 ，解得 即 ， ……………………………………………… 9分
PBC
⃗m=(1,0,1)
同理，可求得平面 的一个法向量为 ， ………………………………… 10分
所以 ………………………………………………………… 11分设二面角D−PC−B的平面角为θ，θ为钝角，
所以二面角 的平面角余弦值为 ． ………………………………………… 12分
D−PC−B
20．（12分）
【答案】(1) ， (2)第二次，证明见解析
【解析】（1）记该顾客第 次摸球抽中奖品为事件A，依题意， ，
．……………………… 2分
因为 ， ， ，
所以 ，………………………………………… 3分
所以 ，………………………………………… 4分
所以 ，
又因为 ，则 ，………………………………………… 5分
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ．………………………………………… 6分
（2）证明：当n为奇数时， ，…………………………………………8分
当n为偶数时， ，则 随着n的增大而减小，……………………………… 10分
所以， ．………………………………………… 11分
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．………………………………………… 12分
21．（12分）【答案】(1) 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
(2)
【解析】（1） ，……………………………………2分
当 时， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，…………………………………… 4分
故 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；………………… 6分
（2）因为当 时，恒有 成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，…………………………………… 8分
当 时， 在 上单调递减，
，满足题意，
当 时， 在 上单调递增，当 时， ，………………10分
当 时， 在 上单调递增， ，
故 ．…………………………………… 12分
22．（12分）
【答案】（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析
【解析】（1）依题意设抛物线 ，
，…………………………………… 2分所以抛物线 的方程为 ， 与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；……………………………………4分
（2）（方法一）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，…………………………………… 5分
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，…………………………………… 6分
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，…………………………………… 8分
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，与圆 相切， ，整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，…………………………………… 10分
到直线 的距离为： ，
所以直线 与圆 相切；
综上，若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切．…………………………… 12分
（方法2）【最优解】设 ．
当 时，同解法1．
当 时，直线 的方程为 ，即 ．………………6分
由直线 与 相切得 ，化简得 ，
同理，由直线 与 相切得 ．…………………………………… 8分
因为方程 同时经过点 ，
所以 的直线方程为 ，…………………………………… 10分点M到直线 距离为 ．
所以直线 与 相切．
综上所述，若直线 与 相切，则直线 与 相切．…………………… 12分
