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第十章 二元一次方程组含参问题 8 个必考点
【人教版2024】
【必考点1 根据二元一次方程的定义求参】.........................................................................................................1
【必考点2 根据二元一次方程的解求代数式的值】.............................................................................................1
【必考点3 根据二元一次方程固定解求参】.........................................................................................................1
【必考点4 二元一次方程组同解问题】.................................................................................................................2
【必考点5 二元一次方程组解看错问题】.............................................................................................................2
【必考点6 根据二元一次方程组的解满足条件求参】.........................................................................................3
【必考点7 根据二元一次方程组的解的情况求参】.............................................................................................3
【必考点8 根据二元一次方程组的整数解求参】.................................................................................................4
【必考点1 根据二元一次方程的定义求参】
1
【例1】若− x|m−2|+(m−3)y=7是关于x、y的二元一次方程，则m的值为 ．
2
m
【变式1】若mx3m﹣3n﹣nym+2n＝1是关于x、y的二元一次方程，则 = ．
n
【变式2】若方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3） 6是关于x，y的二元一次方程，则mn＝ ．
yn2−8=
【变式3】若（m﹣1）xy+9x+3yn﹣2＝7是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ，n＝ ．
【必考点2 根据二元一次方程的解求代数式的值】
{ x=3 ) 1
【例1】若 是二元一次方程ax+by=− 的一个解，则6a﹣4b+2025的值为 ．
y=−2 2
{x=2a)
【变式1】已知 是二元一次方程2x﹣5y+7＝0的一个解，则代数式9﹣8a+10b的值为 ．
y=b
1 3
【变式2】已知x＝2，y＝﹣1是关于x、y的二元一次方程ax+by＝1的一组解，则 b−a+ = ．
2 2
{ x=2 ) 5 3
【变式3】已知 是二元一次方程ax+by＝1的一组解，则 b−5a+ = ．
y=−1 2 2
【必考点3 根据二元一次方程固定解求参】
【例1】已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固
定不变的解，这个解是 ．【变式1】若关于x、y的二元一次方程（m+1）x+（2m﹣1）y+1﹣5m＝0无论实数m取何值，此二元一次
方程都有一组相同的解，则这个解是 ．
【变式2】已知关于x，y的方程（m﹣2）x+（m﹣1）y＝3m+a，不论m是怎样的常数，总有一组解为
{x=2)
(其中a，b是常数），则a的值为 ．
y=b
m x
【变式3】关于x，y的方程mx+ny＝m﹣2n，其中m，n是常数．若 =2，则 的值是 ．不论m，n
n y
取何值，该方程始终成立，则x﹣y的值是 ．
【必考点4 二元一次方程组同解问题】
{ 2x+ y=5 ) { x−y=1 )
【例1】已知关于x、y的方程组 与 有相同的解，则a和b的值为（ ）
ax+3 y=−1 4x+by=11
{ a=2 ) { a=4 ) {a=−2) {a=−4)
A． B． C． D．
b=−3 b=−6 b=3 b=6
{3x+4 y=2
)
{a
x+by=4)
【变式1】若方程组 b 与 3 有相同的解，则a、b的值为（ ）
ax− y=5
2 2x−y=5
A．2，﹣3 B．2，﹣1 C．3，﹣2 D．﹣1，2
{5x−2y=3) {x−4 y=−3)
【变式2】已知关于x，y的方程值 与关于x，y的方程组 的解相同，则m+n的
mx+5 y=4 5x+ny=1
值为 ．
{3x−5 y=36) {2x+5 y=−26)
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解．
bx+ay=−8 ax−by=−4
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求（2a+b）2025的值．
【必考点5 二元一次方程组解看错问题】
{ax+5 y=15①)
【例1】甲乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为
4x−by=−2②
{x=−3)
；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
{x=5)
；计算a2024+(−
1
b)
2025
= ．
y=−1 y=4 10
{ mx+ y=5① )
【变式1】小米、大豆两人同时解方程组 ，小米一边做作业一边看电视，不小心看错了
2x−ny=13②{ x= 7 ) { x=3 )
①中的m，解得 2 ，大豆一边做作业一边吃零食，一走眼，看错了②中的n，解得 ．
y=−7
y=−2
求原方程组的解．
{ mx+ y=5① ) { x= 7 )
【变式2】甲、乙两人同时解方程组 ，甲解题看错了①中的m，解得 2 ，乙解题
2x−ny=13②
y=−2
{ x=3 )
时看错②中的n，解得 ．
y=−7
（1）求m，n的值；
（2）求原方程组的解．
{■x+■y=2) { x=3 )
【变式3】一个被墨水污染的方程组如下： ，小刚回忆说：这个方程组的解是 ，而
■x−7 y=8 y=−2
{x=−2)
我求出的解是 ，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根
y=2
据小刚的回忆，把方程组复原出来．
【必考点6 根据二元一次方程组的解满足条件求参】
{3x−2y=k−3)
【例1】若关于x，y的方程组 的解满足x+y＝2024，则k等于（ ）
x+6 y=3k−1
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
{ 2x+3 y=k )
【例2】已知关于x，y的方程组 的解满足x+y＝k﹣1，则k＝（ ）
3x+2y=k+1
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
{ 4x+9 y=15 )
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足3x+15y＝16+2a，则a的值是
x+3 y=2−2a
．
{3x+4 y=4m+3)
【变式2】如果关于x，y的二元一次方程组 的解满足方程5x﹣2y＝3m+10，则m的值
11x+6 y=4
为 ．
{3x−4 y=5−k)
【变式3】关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣3y＝10+k，则k的值是 ．
2x−y=2k+3【必考点7 根据二元一次方程组的解的情况求参】
{x+2ay=3−a)
{x=−1
)
【例1】对于二元一次方程组 ，①当a＝2时，方程组的解是 1 ，②当a＝3时，
−ax−2y=1 y=
2
1
x+2y= ；③若该方程组无解，则a＝±1，以上结论中正确的个数有（ ）
2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
{ x−by=1 )
【变式1】关于x、y的二元一次方程组 ，则下列说法中正确的是（ ）
ax+3 y=2
7
{x= )
①当a＝1，b＝2时，该方程组的解是 5 ；②当ab＝﹣3时，该方程组无解；③当a＝2，b 3
=−
1 2
y=
5
时，该方程组有无数个解；④当ab≠﹣3时，该方程组有唯一解．
A．②④ B．①③ C．①②④ D．①③④
{ x+ay+1=0 )
【变式2】关于x，y的方程组 有无数组解，则a+b的值为 ．
bx+2y+1=0
{ax+2y=3)
【变式3】关于x，y的二元一次方程组 ，下列说法正确的是 ．
2x−by=4
7
{ x= )
①当a＝b＝2时，方程组的解为 4 ．
1
y=−
4
②当a＝b＝0时，方程组无解．
③当a≠0时，b无论为何值，方程组均有解．
a 2
④当 ≠− 时，方程组有解．
2 b
【必考点8 根据二元一次方程组的整数解求参】
{mx−2y=9)
【例1】若关于x，y的方程组 的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为 ．
3x−2y=5
{ x+2y−6=0 )
【变式1】已知关于x，y的方程组
x−2y+mx+5=0
（1）若方程组的解满足x+y＝0，则m＝ ．（2）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，m＝ ．
{ mx+ y=3 )
【变式2】若关于x，y的二元一次方程组 的解是整数，则满足条件的整数m的和是
5x+3 y=15
．
{nx+(n+1)y=n+2)
【变式3】已知关于x，y的方程组 （n是常数）．
x−2y+mx=−5
{ x+2y=3 )
（1）当n＝1时，则方程组可化为 ．
x−2y+mx=−5
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值．
（2）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
{ax+2y=a+1)
【变式4】已知关于x，y的方程组 ，其中a，b为整数．
2x+2by=3
（1）若方程组有无穷多组解，求实数a与b的值；
（2）当b＝a﹣1时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
