文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷02·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C B D D A C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ABD BD ABD ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．23 14． 15． 16． 或 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】（1）证明见解析； （2） .
【解析】（1）由题可知： ， ，
故可得 ，又 ，∴ ，
∴ ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列.
（2）方法一：
∵ 是递增数列，∴ 对任意 恒成立，
∵ ，∴
则 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
由（1）知 ，
∴ 对任意 恒成立，
因为当 时 取得最大值，且最大值为1，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
方法二：
得
即 ，又 ，
故数列 为首项 ，公差 的等差数列，
所以 ，
又由（1）知 ，所以 ，
因为 是递增数列，所以 对任意 恒成立.所以 ，
所以 ，所以 ，
因为当 时 取得最大值，且最大值为1，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
18．（12分）
【答案】（1） （2） 或1．
【解析】（1）由正弦定理 ，得 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，则 ，可得 ，所以 ，
则 ，所以 ．
（2）方法一：因为 ，由正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以
，
即 ．
因为 ，则 ，所以 或 ，
所以 或 ，故 或1．
方法二：因为 ，由余弦定理得 ，
将 代入（*）式得 ，整理得 ，
因式分解得 ，解得 或 ，
①当 时， ，
所以
因为 ，所以 ，
②当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以sinA的值为 或1．
19．（12分）
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为四边形 为正方形，点 为 的中点，点 为 的中点，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为点 为 的中点，所以 .
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ， ，所以 平面 ，
以 为基底建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ，可得 ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，
取 ，得 ，所以 ，
由 平面 ，可得平面 的一个法向量为 ，
则 ，
由图知二面角 为钝二面角，所以其余弦值为 .20．（12分）
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）若 ，则 ， ，
所以 ，又 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值即最小值，所以 .
（2）因为 ， ， ，
所以 ，显然 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
当 时 ， 时 ，
所以存在 使得 ，
所以当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，由（1）可知 时有 ，此时 ，显然符合 ；
①若 时 ，有 ，
由 上单调递增，且 ，
所以存在 使得 ，要使 的解集为集合 的子集，
而 的解集为 ，因为 ，所以 ，
又 上单调递增，所以 ，即有 ，
则 ，令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，此时 ；
②若 时 ，所以 ，
又 在 上单调递减， 时 ，所以
所以存在 使得 ，则不等式 的解集为 ，
因 为，又 ，所以只需 ，
又 显然成立，所以 ，符合题意；
综上可得 .21．（12分）
【答案】（1） （2）（i）分布列见解析，期望最大值为 ；（ii） .
【解析】（1）用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则
， ， ，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件ABAA，BAAA， ACCA，CACA，
CCAA共5种，
所以
．
（2）（i）因为 ，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即 ，
由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则
，
，
．
所以X的分布列为
X 2 4 5
P
所以X的期望
，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，
所以 ，
故 的最大值为 ．
（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则 ．
由（1）得前两局比赛结果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB
表示“乙学员赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数
相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同．
所以
所以 ，即 ，
因 ，所以 ．
为
22．（12分）
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）因为 ，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以 ，
所以直线AB和直线CD的斜率相等，即 ，设 ， ， ， ，
则点M的横坐标 ，点N的横坐标 ，
由 ，得 ，
因式分解得 ，约分得 ，
所以 ，即 ，
所以MN垂直于x轴．
（2）设 ，则 ，且 ，
当 时，C为PA中点，则 ， ，
因为C在抛物线上，所以 ，整理得 ，
当 时，D为PB中点，同理得 ，
所以 是方程 的两个根，
因为 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，所以PM也垂直于x轴，
所以 ，因为 ，
所以
， ，
当 时， 取得最大值 ，
所以 ，
所以四边形ABDC面积的最大值为 ．
