文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷03·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C B C C D C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ABC BCD ABD ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，18^22每题12分.解答应写出必要的文字说明、证明
过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】（1）若选①，则由 同除以 得， ，
所以数列 为公差为1，首项为 的等差数列，
故 ，故 ，若选②，则由 得 ，
所以 为公差为2，首项为3的等差数列，
故 ，故
（2）由（1）知 ，所以 ，
，
，
故
18． （12分）
【答案】(1) ； (2)
【解析】（1）如图，
因为 ， ， ，
则 为等腰直角三角形，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ， ，
，
在 中，由余弦定理可得:
，
故 .
（2）在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，即 .
19．（12分）
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】（1）证明：因为底面ABCD和侧面 都是矩形，
所以AD⊥CD，AD⊥ ，
又CD∩ ＝D，CD， 平面 ，
⊂
所以AD⊥平面 ，又 平面 ，
⊂
所以 .
（2）取 为 的中点，连接 ，因为AD⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ，
⊂又因为 ，所以 ，
又AD∩ ＝D，AD， 平面 ，
⊂
所以 平面 ，
取 的中点 ， 为 的中点，底面 是矩形，
所以 ,以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示:
设 ，则 ， ， ， ， ，
，设平面 的法向量 ， ， ．
由 可得： ，
令 可得 ， ，所以 ，
设平面 的法向量 ， ， ．
由 可得， ，令 可得 ，所以
由于平面 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，
所以 ，可得： ，则 ，
解得 ．
因为AD⊥平面 ， ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以
.
20．（12分）
【答案】（1） ；（2） 元.
【解析】（1）由题意知：
中间值
频率
样本的平均数为 ，
所以 ，所以 ，
而 .
故 万户农户中， 落在区间 内的户数约为 ；
（2）设中奖次数为 ，则 的可能取值为 、 、 、 、 、 ，
则 ，所以 .
令 ，①
，②
由① ②得： ，
，
所以 （元）.
所以参与调查的某农户所获奖金 的数学期望为 元.
21．（12分）
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .
【解析】（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．
试题解析：（Ⅰ）因为 ， ，故 ，
所以 ，故 .
又圆 的标准方程为 ，从而 ，所以 .
由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：
（ ）.
（Ⅱ）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， ， .
由 得 .则 ， .
所以 .
过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，所以
.故四边形 的面积
.
可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 .
当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为12.
综上，四边形 面积的取值范围为 .
22．（12分）
【答案】(1) 在 ， 上单调递增，在 上单调递减
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【解析】（1）当 时， ，则 ；
令 ，解得： 或 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）（i）由 得： ，恰有 个正实数根 ， 恰有 个正实数根 ，
令 ，则 与 有两个不同交点，
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
当 从 的右侧无限趋近于 时， 趋近于 ；当 无限趋近于 时， 的增速远大于 的增速，则
趋近于 ；
则 图象如下图所示，
当 时， 与 有两个不同交点，
实数 的取值范围为 ；
（ii）由（i）知： ， ，
， ，
，不妨设 ，则 ，
要证 ，只需证 ，
， ， ，则只需证 ，
令 ，则只需证当 时， 恒成立，
令 ，
，
在 上单调递增， ，
当 时， 恒成立， 原不等式 得证.
