文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷06·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B B A C A A D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AC AD BD AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
4√30
13．0.39 14．-1 15． 16．14
7
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1)a =n
n
1
(2)λ≥
2
【详解】（1）当 时， a2+a ，所以 ；
n=1 a = 1 1 a =1
1 2 1
当 时， a2+a 且 a2 +a ，两式相减并整理可得 ．
n≥2 S = n n S = n−1 n−1 (a +a )(a −a −1)=0
n 2 n−1 2 n n−1 n n−1
因为 为正项数列，所以 ，所以 ．
{a } a −a =1 a =1+(n−1)=n
n n n−1 n
n2+n n(n+1)
（2）有（1）可知S = = ，
n 2 21 2 1 1
∴ = = − ，
(n+2)S n(n+1)(n+2) n(n+1) (n+1)(n+2)
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ + +⋯+ = − + − +⋯+ −
3S 4S (n+2)S 2 2×3 2×3 3×4 (n+1)n (n+1)(n+2)
1 2 n
1 1
= − ，
2 (n+1)(n+2)
1 1 1 1 λ n
故 + +⋯+ > − ，可化为λ> ，
3S 4S (n+2)S 2 S 2(n+2)
1 2 n n
n 1 1 1 1
因为 = − < 恒成立，所以λ≥ ．
2(n+2) 2 n+2 2 2
18．（12分）
π
【答案】(1)A=
3
√3
(2)tanθ=
6
sinB−sin A c
【详解】（1）因为 = ，.
sinB−sinC a+b
b−a c
由正弦定理得： = ，
b−c a+b
即b2+c2−a2=bc，
b2+c2−a2 1
由余弦定理，cosA= = ，
2bc 2
π
因为A∈(0,π)，所以A= .
3
（2）因为⃗PB⋅⃗PC=0，所以PB⊥PC，在△PBC中，PC=BCcos(C−θ)，
PC AC
在△APC中，由正弦定理得 = ，
sin∠PAC sin∠APC
BCcos(C−θ) 3
= =2❑√3 π
即
sin (
π
−θ ) sin
2
π
，即BCcos(C−θ)=2√3sin (
3
−θ ) ，（*）
3 3
又因为在 △ABC 中， BC= √ 22+32−2×2×3×cos π =√7 ， cosC= (√7)
2+32−22
= 2 ，
3 2×3×√7 √7
√3
从而sinC= ，
√7
代入（*）式得3cosθ−√3sinθ=2cosθ+√3sinθ，
即cosθ=2√3sinθ，√3
所以tanθ= .
6
19．（12分）
【答案】(1)52.5(mm)
15
(2)①12 ；②
64
【详解】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.2,0.3,0.35,0.1，
故这20个乡镇的平均降雨量为 (25+35) (35+45)
0.05× +0.2× +
2 2
(45+55) (55+65) (65+75) ．
0.3× +0.35× +0.1× =52.5(mm)
2 2 2
（2）①24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为( 0.03) ，
0.01+0.035+ ×10=0.6
2
故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为0.6×20=12个．
②若按分层抽样抽取5个乡镇，
故降雨强度为暴雨的有5×0.6=3个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇，
设事件M表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”．
分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨，
所以 P(M)=C1(1) 1
×
(2) 1
×
(3) 3 +C1(3) 2
×
1
×
(1) 2
=
15，
2 3 3 4 3 4 4 3 64
15
故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为 ．
64
20．（12分）
PN 1
【答案】(1)棱PB上存在点N， = ；
NB 3
2√5
(2)
5
【详解】（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E，连接PE，过点M在平面BEP内作直线
FN//PE，交BE于点F，BP于点N，因为MN//PE，PE⊂平面PDC，所以MN//平面PDC，
因为BC//AD，BC=2AD，所以A，D分别为线段BE，CE的中点，
EF PN 1
又FN//PE，M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以 = = ．
FB NB 3
PN 1
综上，棱PB上存在点N，使MN//平面PDC，且 = ．
NB 3
（2）设AD=1，又AB⊥BC，BC=DC=2，所以AB=√3，BD=2，
又CP=PD=DC=2，所以△PCD和△BCD为等边三角形，
设O为CD的中点，连接OP，OB，则OP=OB=√3，OP⊥DC，OB⊥DC，
又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PO⊂平面PDC，PO⊥平面ABCD，
又OB⊂平面ABCD，PO⊥OB，
综上，OP，OB，OC两两垂直．
以O为坐标原点，⃗OB，⃗OC，⃗OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， (√3 3 )， (√3 3 √3)，
B(√3,0,0) C(0,1,0) P(0,0,√3) D(0,−1,0) A ,− ,0 M ,− ,
2 2 4 4 2
(√3 1 √3)， ， ，
⃗DM= , , ⃗DB=(√3,1,0) ⃗DC=(0,2,0)
4 4 2
设平面MDC的法向量为 ，
⃗n=(x ,y ,z )
1 1 1
则¿即¿可取⃗n=(2,0,−1)，设平面MDB的法向量为 ，
⃗m=(x ,y ,z )
2 2 2
则 即 可取 ，
¿ ¿ ⃗m=(1,−√3,0)
⃗n⋅⃗m 2 √5
所以cos⟨⃗n,⃗m⟩= = = ，
|⃗n||⃗m| 2√5 5
2√5
故二面角B−MD−C的正弦值为√1−cos2⟨⃗n,⃗m⟩= ．
5
21．（12分）
x2
【答案】(1) −y2=1
3
9√3
(2)
4
c 2√3 4
【详解】（1）由题意得 = ，故c2= a2，
a 3 2
b
又a2+b2=c2，C的两条渐近线方程分别为y=± x，
a
|b | | b | |b2 | |x2 y2|
x −y − x −y x2 −y2 a2b2 1− 1
设P(x ,y ) ，则 a 1 1 ⋅ a 1 1 = 3 ，即 a2 ❑ 1 ❑ 1 = a2 b2 = a2b2 = 3
1 1 √b2 √b2 4 b2 b2+a2 c2 4
+1 +1 +1
a2 a2 a2
3 3 4 x2
所以a2b2= c2= × a2，所以b2=1，a2=3，故C的方程为 −y2=1．
4 4 3 3
（2）由（1）知 ，设直线PF的方程为 ， ， ， ，
F(−2,0) x=my−2 Q(x ,y ) A(x ,y ) B(x ,y )
2 2 3 3 4 4
联立 得 ，
¿ (m2−3)y2−4my+1=0
4m 1
则y + y = ，y y = ，
1 2 m2−3 1 2 m2−3
因为P是C右支上的点，所以m2>3，
|PQ|=√(1+m2)[(y + y ) 2−4 y y ]= √ (1+m2) [ ( 4m ) 2 − 4 ] =2√3× m2+1 = 2√3(m2+1) ，
1 2 1 2 m2−3 m2−3 |m2−3| m2−3
联立 ，得 ，
¿ (m2−3)y2−4my+4=04m 4
则y + y = ，y y = ，
3 4 m2−3 3 4 m2−3
|AB|=√(1+m2)[(y + y ) 2−4 y y ]= √ (1+m2) [ ( 4m ) 2 − 16 ] =4√3× √m2+1 = 4√3√m2+1 ，
3 4 3 4 m2−3 m2−3 |m2−3| m2−3
又 ，所以
m2+1 √m2+1，解得
，
3|AB|=|PQ| 2√3× =12√3× m2=35
m2−3 m2−3
所以 m2+1 9√3．
|PQ|=2√3× =
m2−3 4
【点睛】关键点睛：第（2）小问求|AB|的运算能力是关键，本题考查了直线与双曲线的位置关系，以及
双曲线的综合应用，属于较难题.
22.(12分）
【答案】(1)函数f (x)在R上单调递增
(2)证明见解析
【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
f (x) R f'(x)=2−2cosx
由于 ，故 ，
cosx≤1 f'(x)=2−2cosx≥0
所以函数f (x)在R上单调递增.
（2）由（1）得g(x)=2x−2sinx−4x+2mlnx=−2sinx−2x+2mlnx(x>0)，
又 ，即 ，
g(x )=g(x ) −2sinx −2x +2mlnx =−2sinx −2x +2mlnx
1 2 1 1 1 2 2 2
所以 .
m(lnx −lnx )=(sinx −sinx )+(x −x )
2 1 2 1 2 1
不妨设x >x >0，所以lnx >lnx .
2 1 2 1
由（1）得：当x>0时，函数f (x)单调递增，故有：2x −2sinx <2x −2sinx ，
1 1 2 2
即sinx −sinx 0, 即函数 ℎ(m) 在 (1,+∞) 上是增加的.
m
又m>1, 所以 ℎ(m)>f(1)=1−1−ln1=0,即 m−1−lnm>0,
所以m>1+lnm，
故要证：x +x >1+lnm，可证：x +x >m，
1 2 1 2
要证 x +x >m ，可证： x +x > 2(x 2 −x 1 )
1 2 1 2 lnx −lnx
2 1
下证 x +x > 2(x 2 −x 1 ) ，
1 2 lnx −lnx
2 1
x
( )
2 2−1
2(x −x ) 2(x −x ) x x
由于 x +x > 2 1 ⇔lnx −lnx > 2 1 ⇔ln 2> 1 ，
1 2 lnx −lnx 2 1 x +x x x
2 1 2 1 1 2+1
x
1
设 x 2=t>1 ，令 ℎ(t)=lnt− 2(t−1) (t>1) ，则 ℎ '(t)= (t−1) 2 >0 ，
x t+1 t(t+1) 2
1
所以函数ℎ(t)在区间(1,+∞)上单调递增，所以ℎ(t)> ℎ(1)=0，
故 lnt> 2(t−1)，即 x +x > 2(x 2 −x 1 ) 成立.
t+1 1 2 lnx −lnx
2 1
综上有： x +x > 2(x 2 −x 1 ) >m>1+lnm ，
1 2 lnx −lnx
2 1
故有x +x >1+lnm，得证.
1 2
【点睛】关键点睛：第（2）问中，由函数
f (x)
单调递增，化简得
m<
2(x
2
−x
1
) ，再利用转化思想和换
lnx −lnx
2 1元法是解题关键.本题考查转化思想，整体换元思想，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题..
