文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设 ，则 .
故选：C
2．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】 且 时， ， 不成立，不充分，
，则 且 即 ，必要性成立，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
3．定义在 上的偶函数 在 上是增函数，若 ， ，则 的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ， ， ，因为定义在 上的偶函数 在 上是增函数，
所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
又 ，
故 .
故选：D
4．已知正项等比数列 中， 为 前n项和， ，则 （ ）
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】C
【详解】由 ， 得 ，
即 ，由等比数列 ，
得 ，即 .
由题知 ，所以 .
所以 .
故选：C.
5．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取
出一球放入乙罐，分别以 、 和 表示从甲罐中取出红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一球，以
表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意， ，A选项正确.，B选项错误，
，C选项错误，
，D选项错误.
故选：A
6．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，
另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂
巢的正六边形开口 ，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】A
【详解】连接 ， 与 交于点 ，如图所示，
对于A： ，显然由图可得 与 为相反向量，故A错误；
对于B：由图易得 ，直线 平分角 ，且 为正三角形，根据平行四边形法则有
， 与 共线且同方向，
易知 ， 均为含 角的直角三角形，
故 ， ，即 ，
所以 ，又因为 ，故 ，
故 ，故B正确；
对于C：设正六边形 的边长为 ，
则 ， ，
所以 ，故C正确；
对于D：易知 ，则 在 上的投影向量为 ，故D正确，
故选：A．
7．已知双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则双曲线的离心
率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】一方面：设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为 ,圆的半径为 ，圆心到渐近线的距离为 ，
又根据题意有 ，因此根据垂径定理可得 ，
另一方面：不妨设渐近线方程为 （其中 ），又圆 的圆心坐标为圆 ，
因此根据点到直线之间的距离公式有圆 .
结合以上两方面有 ，解得 ，又 ，所以双曲线的离心率为 .
故选：B.
8．若三棱锥 中，已知 底面 ， ， ，若该三棱雉的顶点都
在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】三棱锥 中，已知 底面 ， ， ，
故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥 ，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
所以外接球的直径 ，则 ，
所以该球的表面积为 ．
故选：C．
9．函数 ，关于x的方程 有2个不相等的实数根，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，即关于x的方程 始终有一个根为 ，当 时，由 ，得 ，
由题意可知当 时，直线 与函数 仅有一个交点，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取到最大值 ，
当 时， ，
作出函数 的图象如下图所示，
由图象可知，要使直线 与函数 仅有一个交点，则
，或 ，或
故选：A
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对
的给5分。
10．若 （ 为虚数单位），则 ．
【答案】【详解】由 可得 ，
所以 ，
故答案为：
11．甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中
互不影响.设事件 为“两人至少命中一次”，事件 为“甲命中”，则条件概率 的值为 .
【答案】
【详解】 ，
，
所以 .
故答案为： .
12．直线 经过点 ，与圆 相交截得的弦长为 ，则直线 的方程为
．
【答案】 或
【详解】圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
因为直线与圆相交截得的弦长为 ，
所以圆心到直线的距离 ，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为 ，满足圆心 到直线 的距离为 ，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为 ，则直线方程为 ，即 ，则 ，解得 ，所以直线方程为 ，即 ，
综上可得直线方程为 或 .
故答案为： 或
13．已知函数 则满足 的 的取值范围是 .
【答案】
【详解】当 时， 即 ，则 ；
当 时， 即 ，解得 ，即 ，
故满足 的 的取值范围是 ，
故答案为：
14．在边长为2的菱形 中， ，若 为 的中点，则 值为 ；若点 为
边上的动点，点 是 边上的动点，且 ， ， ，则 的最大
值为 .
【答案】 1 /
【详解】由题意，以 ， 交点 为原点建立如图直角坐标系，
因为菱形边长为2， ，所以 ， ， ， ，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
又 ， ， ，
所以 ，
，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取到最大值为 .
故答案为：1；
15．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆
建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，
小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球
的完整表面积为 平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为 米，地面到球顶部高度
约为16米，估计此时球的完整体积为 立方米，你认为哪种方案好呢？【答案】
【详解】方案甲: 过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图,
则 , ,
所以 ,
即 ,
所以
方案乙，由周长可得截面圆半径 ，
过球心作重直于地面的截面，如图，
由直角三角形可得 ,
代入可解得： ，
，
方案乙好. 由于球太大,方案甲不太好实施.
故答案为： ；
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 ．
(1)求 ；(2)若 ，求 的值；
(3)若 的面积为 ， ，求 的周长．
【详解】（1） ．
由正弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
为三角形内角， ，解得 ， ，
．
（2）由已知 ， ，所以 ，
， ，
.
（3） ，
，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
的周长为 ．
17．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形.已知 ， ， ， ，
.(1)证明 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成的角的正切值；
(3)求二面角 的正切值.
【详解】（1）证明：在 中，由题设 ， 可得 .
于是 .
在矩形 中， .
又 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）证明：由题设， ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角.
在 中，由余弦定理得
由（1）知 平面 ， 平面 ，
所以 ，因而 ，于是 是直角三角形，
故 .
所以异面直线 与 所成的角的正切值为 .
解法二：
由（1）可知， 平面 , 平面 ，
所以平面 平面 ，作 于M， 交 于 点，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
以M为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成的角为 ，
，则 .
所以异面直线 与 所成的角的正切值为
（3）
过点M做 于E，连接 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
又 ，因而 平面 ，
又 平面 ，所以
从而 是二面角 的平面角.
由题设可得，
， ，
， ，
，于是在 中， .
所以二面角 的正切值为 .
解法二：由（2）知 ， .
设平面PBD的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，
又平面 的一个法向量可以是 .
由图知二面角 的大小为锐角，
所以 ，则
所以二面角 的正切值为 .
18．设椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，已知椭圆的离心率 ， ．
(1)求椭圆方程；
(2)设过点 且斜率为 的直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ），与直线 交于点 ，点 关于 轴
的对称点为 ，直线 与 轴交于点 ，若 的面积为 ，求直线 的方程．
【详解】（1）由 可得： ， ， ，又 ， ， ，
椭圆方程为： .
（2）
由（1）知： ，设直线 ，
由 得： ，则 ，
，即 ， ，
即 ， ；
在直线 的方程 中，令 可得 ， ，
，则直线 ，
令 可得： ， ，
，即 ，整理可得： ，解得： ，
直线 或 ．
19．已知数列 是公比 的等比数列，前三项和为13，且 恰好分别是等差数列 的第一
项，第三项，第五项.
(1)求数列 和 通项公式；
(2)设数列 的通项公式 ，求数列 的前 项和 ；
(3)求 .
【详解】（1）由题意得 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
（2）设奇数项的和为 ，
，
设偶数项的和为 ，所以 .
（3） ，
所以 .
20．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线的方程；
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围；
(3)记 的两个极值点为 ，且 ，求证： 时， .
【详解】（1）由题设 ，当 时 ， ，
∴所求切线方程为 ，即 .
（2）函数 在 上单调递减，则 恒成立，
即 恒成立，令
当 ，即 时， 恒成立，所以 满足题意.
当 ，即 时，函数 的图象是开口向下的抛物线，
必存在 有 成立，所以 不合题意；
当 ，即 时，使 恒成立，
则 ，解得 ，又 ，即 .
综上，若函数 在 上单调递减， 的取值范围是 .（3）令 ，即 ，
易知 时 ，
∴ 的两根，即函数 的两个极值点 ，
∴ ， ，且 ，则
，
∵ ，则 ，故 ，
∴ ，得证.
