普通高中教科书·数学（B版）选择性必修第一册(1)_高中全套电子教材及答案。_01高中电子教材全套_数学_人教版（B版）（主编：高存明）_高中年级_选择性必修第一册

普
®
通 普 通 高 中 教 科 书
高
中
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科
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数学
数
学 选择性必修
PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU 选
择
SHUXUE 第一册
性
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数数学学BB版版封封面面选选择择性性必必修修一一..iinndddd 11 22002200//77//2222 下下午午22::5511数学
普 通 高 中 教 科 书
选择性必修
第一册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组
B
版
·北京·
第五章 抛体运动 1主 编：高存明
副 主 编：王殿军 龙正武 王旭刚
本册主编：朱利平 范登晨
其他编者：黄志勇 杨鲜枝 李 诚 祝广文 王洪军 谢李杉
普通高中教科书 数学（B版） 选择性必修 第一册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组
出 版
（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）
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2 高中物理必修第二册!"#
人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美；
人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在规律，用简洁、优
美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维……
我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：数学是一切科学的得力助手和工具；任何一门科学缺少
了数学这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来，
因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度．
事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑．互联网的普及、
共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学
知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似 “逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概
率”“相关性”等数学术语，在政府文件、新闻报道中比比皆是．
正如 《普通高中数学课程标准 （２０１７年版）》（以下简称 “课程标准”）所指出的：数学在形成
人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用．数学素养是现代社
会每一个人应该具备的基本素养．高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习
奠定基础．
为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写了这套高中数学
教材．在编写过程中，我们着重做了以下几项工作．
１
$%&’()*+,-./0
教材在选取内容的背景素材时，力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的
成长提供支撑．例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的 “秘密”，用生
活中的例子说明学习逻辑知识以及理性思考的重要性，从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴
媒体等报道中出现的 “线性增长”“爆炸式增长”等名词．
教材中还提到了 “网络搜索”“人工智能”“自主招生”“环境保护”“大数据”“按揭贷款”“电
子商务”“创业创新”等．我们相信，这些能引起大家的共鸣．
此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方
程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等．
在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示．例如，教材中精选了多
道我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解 “失败乃成功之母”“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”
等语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有关的调查数据，介绍了 《九章算术》在代数上
的成就以及我国古代的统计工作，等等．
２
123456*789,:;
在教材编写过程中，编者认真学习和讨论了当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改
变教材呈现方式来加以体现，力图真正做到 “以学习者为中心”．
前言 ｉ
书书书例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过 “情
境与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用；利用 “尝试与发现”栏目，鼓励
大家大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结；通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；
选择与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读，以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性；等等．
３
<=>?@A*BCDE?F
数学学习必须循序渐进是一种共识．基础不扎实是很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编
写时特别考虑了这一点．
事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式
等内容；另一方面，在呈现新知识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐
步引入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果．
例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数
指数幂、二次根式等后引入了分数指数幂，等等．
正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最
终达到理想的效果．这在本套教材试教过程中已得到印证．
４
GHIJKL*MNOP5Q
数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径．揭示内容本质，培养大家对数学
内容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一．
首先，教材内容的安排突出主线，强调 “通性通法”．例如，多次强调了配方法的使用，自始至
终贯彻函数的研究应从特殊到一般、从性质到图象，等等．
其次，尽量自然地引入新内容或新方法．例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性，
通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等．
最后，注重培养大家的数学学科核心素养．课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、
直观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实．仅以数学抽象为例，教材处处强调了自
然语言与符号语言之间的相互转化等．
总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世
界”并不容易．为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易
教易学的数学教材，以帮助大家学习．
本书是这套教材选择性必修部分的第一册，呈现了空间向量与立体几何以及平面解析几何的内
容．通过本书的目录与每章的 “本章导语”，可以大致了解本书的全貌，这里不再重复．
由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善．
编者
２０１９年４月
ｉｉ 前言!"
１
!"#$%&’()*+,-
１１ 空间向量及其运算 ３
１．１．１ 空间向量及其运算 ３
１．１．２ 空间向量基本定理 １３
１．１．３ 空间向量的坐标与空间直角坐标系 １８
１２ 空间向量在立体几何中的应用 ３０
１．２．１ 空间中的点、直线与空间向量 ３０
１．２．２ 空间中的平面与空间向量 ３８
１．２．３ 直线与平面的夹角 ４４
１．２．４ 二面角 ４９
１．２．５ 空间中的距离 ５４
本章小结 ６４
６９
!.#$/012,-
２１ 坐标法 ７１
２２ 直线及其方程 ７５
２．２．１ 直线的倾斜角与斜率 ７５
２．２．２ 直线的方程 ８３
２．２．３ 两条直线的位置关系 ９１
２．２．４ 点到直线的距离 ９７
目录 ｉ２３ 圆及其方程 １０３
２．３．１ 圆的标准方程 １０３
２．３．２ 圆的一般方程 １０７
２．３．３ 直线与圆的位置关系 １１０
２．３．４ 圆与圆的位置关系 １１６
２４ 曲线与方程 １２３
２５ 椭圆及其方程 １２９
２．５．１ 椭圆的标准方程 １２９
２．５．２ 椭圆的几何性质 １３５
２６ 双曲线及其方程 １４４
２．６．１ 双曲线的标准方程 １４４
２．６．２ 双曲线的几何性质 １４９
２７ 抛物线及其方程 １５８
２．７．１ 抛物线的标准方程 １５８
２．７．２ 抛物线的几何性质 １６２
２８ 直线与圆锥曲线的位置关系 １６８
本章小结 １７５
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
$$3456789:
立体几何与物质的性质／３５
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆／１３４
圆锥曲线的光学性质／１７２
ｉｉ 目录书书书在必修的立体几何初步中，我们结合棱柱、棱锥、棱台、圆柱、
圆锥、圆台、球等空间几何体，研究了空间中直线与直线、直线与平
面、平面与平面之间平行和垂直的位置关系．不过，现实生活中，上
述对象之间既不平行也不垂直的形象随处可见．
图１ 图２
如图１所示，标枪运动员在投掷标枪时，标枪所在直线与地面所
在平面既不平行也不垂直，二者呈现出成一定夹角的形象；如图２所
示，在用太阳能光板吸收太阳光时，光板所在平面与地面所在平面同
样既不平行也不垂直，二者也呈现出成一定夹角的形象．
事实上，我们已经学过的必修内容中，类似的
O
关系也比比皆是．如图３所示的正四棱锥犗犃犅犆犇
中，直线犗犃与底面犃犅犆犇既不平行也不垂直，平
面犗犃犇与底面犃犅犆犇既不平行也不垂直……
C
本章我们要探讨的就是空间中类似的位置关 D
系．为此，我们首先会将必修内容中的平面向量推 A B
图３
广到空间向量，然后借助空间向量的运算来讨论上
述位置关系以及空间中的距离等．．
! !!"#$%&’()
1.1.1 

/K F+ 
我们在必修内容中已经学习过平面向量的有关知识，知道在平面内：
既有大小又有方向的量称为向量 （也称为矢量），向量的大小也称为向
量的模 （或长度）．
可以用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大
小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向．有向线段不带箭头的端点称
为向量的始点 （或起点），带箭头的端点称为向量的终点．有向线段始点和
终点的相对位置确定向量的大小与方向．始点为犃终点为犅的向量，记为
→ →
犃犅，向量的模用｜犃犅｜表示．还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，
通常用加粗的斜体小写字母如犪，犫，犮来表示向量；在书写时，用带箭头
的小写字母如犪→，犫→，犮→ 来表示向量．此时，向量犪的模也用｜犪｜或｜犪→｜来
表示．
始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的．零向量
在印刷时，通常用０表示；书写时，用０→表示．零向量的模为０，即｜０｜＝０．
模等于１的向量称为单位向量．因此，犲是单位向量的充要条件是｜犲｜＝１．
大小相等、方向相同的向量称为相等
的向量．向量犪和犫相等，记作犪＝犫．
D C
特别地，如图１１１所示，在平面四
→ →
边形犃犅犆犇中， “犃犅＝犇犆”是 “四边形
A B
犃犅犆犇为平行四边形”的充要条件．
如果两个非零向量的方向相同或者相 图１１１
反，则称这两个向量平行．通常规定零向
量与任意向量平行．
两个向量犪和犫平行，记作犪∥犫．两个向量平行也称为两个向量共线．
１．１ 空间向量及其运算 ３A(
观察上述平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中．
如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，说明理由．
不难看出，上述有关向量的概念与约定，只要去掉 “在平面内”的限
定，就都可以原封不动地推广到空间中．因此在空间中，我们仍使用上述向
量的概念与约定．例如，空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 （简称
为向量），大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，方向相同或者相反
的两个非零向量互相平行 （此时，表示这两个非零向量的有向线段所在的直
线平行或重合），等等．
这样一来，如图１１２所示，对于平行六面
体犃犅犆犇犃犅犆犇 来说，因为犃犃，犅犅，
１ １ １ １ １ １ D 1 C 1
犆犆，犇犇 互相平行而且长度都相等，因此
A
１ １ 1 B
→ → → → 1
犃犃＝犅犅＝犆犆＝犇犇．
１ １ １ １
空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨
D
C
论共面的情形．一般地，空间中的多个向量，如
A B
果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同
图１１２
一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向
量不共面．
→
例如，图１１２中，虽然直线犃犃 与直线犅犆 异面，但向量犃犃，
１ １ １ １
→ → → →
犅犆，犇犇 是共面的，因为犅犆 经过平移后可以到达犃犇的位置，而
１ １ １ １ １
→ → → → → →
犃犃，犃犇，犇犇 都在平面犃犇犇犃 内；向量犃犃，犃犅，犃犇不共面，因
１ １ １ １ １
为这三个向量有一个公共点犃，而犃，犅，犇都在平面犃犅犆犇内，点犃 在
１
平面犃犅犆犇外．
可以看出，空间中任意两个向量都是
共面的，但空间中任意三个向量不一定
共面．
空间向量可以用来描述空间中既有大
小又有方向的量．例如，当空间中的物体
所受的力不全在同一个平面内时，可以借
助空间向量来对该物体进行受力分析，如 图１１３
图１１３所示是吊在空间中的物体所受力的
示意图．
４ 第一章 空间向量与立体几何
/K F+"D0
A(
回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向
量的加法运算与平面向量的加法运算有何不同．
我们知道，给定两个平面向量犪，犫，在该平面内任取一点犃，作
→ → → → →
犃犅＝犪，犅犆＝犫，作出向量犃犆，则犃犆是向量犪与犫的和 （也称犃犆为向
量犪与犫的和向量）．向量犪与犫的和向量记作犪＋犫，因此
→ → →
犃犅＋犅犆＝犃犆．
当平面向量犪与犫不共线时，犪，犫，犪＋犫正好能构成一个三角形，如图
１１４所示，因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．
C
b a+b
b
A a B
a
图１１４
因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了犃
点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样．特别地，向量
加法的三角形法则在空间中也成立．
→
例如，图１１５所示的长方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，因为犃犇 ＝
１ １ １ １ １ １
→
犅犆，所以
１ １
→ → → → →
犃犃＋犅犆＝犃犃＋犃犇＝犃犇．
１ １ １ １ １ １ １
空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意 D 1 C 1
A
给定两个不共线的向量犪，犫，在空间中任取一点 1 B
1
→ →
犃，作犃犅＝犪，犃犆＝犫，以犃犅，犃犆为邻边作一
→ D
个平行四边形犃犅犇犆，作出向量犃犇，则 C
→ → → A B
犃犇＝犃犅＋犃犆．
例如，图１１５的长方体中， 图１１５
→ → → →
犃犃＋犅犆＝犃犃＋犃犇＝ ．
１ １ １ １
不难看出，空间向量的加法也满足交换律和结合律，即对于任意的向量
犪，犫，犮，都有
１．１ 空间向量及其运算 ５犪＋犫＝犫＋犪，
（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）．
O
空间向量加法的结合律可以借助图１１６所示
的三棱锥犗犃犅犆来理解，其中犃  犅 → ＝犪，犅  犆 → ＝犫， a+b+c c
→ b+c
犆犗＝犮，而且
a+b
A C
→ → →
犃犆＝犃犅＋犅犆＝犪＋犫，
a b
→ → → B
犅犗＝犅犆＋犆犗＝犫＋犮，
图１１６
所以
→ → →
犃犗＝犃犆＋犆犗＝（犪＋犫）＋犮，
→ → →
犃犗＝犃犅＋犅犗＝犪＋（犫＋犮）．
因此
（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）．
从图１１６也可以看出，为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空
间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终
点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如，
→ → → →
犃犅＋犅犆＋犆犗＝犃犗．
如图１１７所示是一个平行六面体


犃犅犆犇犃犅犆犇，化简
D C
１ １ １ １ 1 1
→ → →
犇犃＋犇犆＋犇犇． A
1 B
１ 1
因为底面犃犅犆犇是一个平行四边形，

→ → → → →
所以犇犃＋犇犆＝犇犅，又因为犇犇 ＝犅犅，
１ １ D C
所以
A B
→ → → → →
犇犃＋犇犆＋犇犇＝犇犅＋犅犅
１ １
图１１７
＝ ．
例１说明，三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六
面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量．

/K F+3D0
任意两个空间向量总是共面的，因此可以用类似平面向量中的方法来定
义两个空间向量的减法运算、数乘运算．
→ → → →
在空间中任取一点犗，作犗犃＝犪，犗犅＝犫，作出向量犅犃，则向量犅犃
→
就是向量犪与犫的差 （也称犅犃为向量犪与犫的差向量），即
→ → →
犗犃－犗犅＝犅犃．
６ 第一章 空间向量与立体几何当犪与犫不共线时，向量犪，犫，犪－犫正好能构成一个三角形，因此这种求
两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则．
例如，图１１８所示的四棱锥犗犃犅犆犇中，有
→ → →
犗犃－犗犆＝犆犃，
O
→ →
犗犅－犗犇＝ ．
同平面中的情形一样，给定一个空间向量，我
D
C
们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它
A B
的相反向量，向量犪的相反向量记作－犪．因此，
图１１８
→ → → →
犃犅的相反向量是－犃犅，而且－犃犅＝犅犃．因为零
向量的始点与终点相同，所以－０＝０．
不难看出，空间向量的减法也可以看成向量的加法，即
犪－犫＝犪＋（－犫），
也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量．
同平面中的情形一样，给定一个实数λ与任意一个空间向量犪，规定它
们的乘积是一个空间向量，记作λ犪，其中：
（１）当λ≠０且犪≠０时，λ犪的模为｜λ｜｜犪｜，而且λ犪的方向：
①当λ＞０时，与犪的方向相同；
②当λ＜０时，与犪的方向相反．
（２）当λ＝０或犪＝０时，λ犪＝０．
上述实数λ与空间向量犪相乘的运算简称为数乘向量．
数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得犫＝λ犪，则犫∥犪．而且，
→ → → →
如果存在实数λ，使得犃犅＝λ犃犆，则犃犅与犃犆平行且有公共点犃，从而
犃，犅，犆三点一定共线．
１ → １→
特别地，当λ＝ 时，即犃犅＝ 犃犆时，犅为线段犃犆的中点．
２ ２
对于实数λ与
μ
，向量犪与犫，有如下运算律：
λ犪＋μ犪＝（λ＋μ ）犪，λ（犪＋犫）＝λ犪＋λ犫．
同平面向量一样，空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合
运算，统称为空间向量的线性运算．
设犃犅是空间中任意一条线段，犗是空间中任意一点，求证：犕


为犃犅中点的充要条件是
→ １ → →
犗犕＝ （犗犃＋犗犅）．
２
因为

→ →
犕为犃犅中点犃犕＝犕犅
１．１ 空间向量及其运算 ７→ → → →
犗犕－犗犃＝犗犅－犗犕
→ １ → →
犗犕＝ （犗犃＋犗犅），
２
所以结论成立．
如图１１９所示，如果棱锥犗犃犅犆犇的底面
犃犅犆犇是一个平行四边形，则犖既是犃犆的中
O
点，也是犅犇的中点，从而由例２的结论可知
→ １ → → → １ → →
犗犖＝ （犗犃＋犗犆）， 犗犖＝ （犗犅＋犗犇）． D
２ ２ C
当然，同样也有 N
A B
犇

犖
→
＝
１
（犇

犃
→
＋犇

犆
→
）
图１１９
２
等．
如图１１１０所示三棱锥犃犅犆犇中，犗


为犆犇的中点，化简
A
→ １ → →
犃犅＋ （犅犆＋犅犇），
２
C
并在图中作出表示化简结果的向量． O
B D
因为犗为犆犇中点，所以
 图１１１０
１ → → →
（犅犆＋犅犇）＝犅犗，
２
从而有
→ １ → → →
犃犅＋ （犅犆＋犅犇）＝犃犅＋ ＝ ．
２
化简结果的向量如图１１１０所示．

/K F+F/
平面内，给定两个非零向量犪，犫，任意在平面内选定一点犗，作
→ →
犗犃＝犪，犗犅＝犫，则大小在［０，π］内的∠犃犗犅称为犪与犫的夹角，记作
〈犪，犫〉．
A(
观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义，
并尝试总结两者的不同之处．
由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间中两个非零向量
８ 第一章 空间向量与立体几何之间的夹角也可按类似上述的方式定义，但 “任意在平面内选定一点”应改
π
成 “任意在空间中选定一点”．特别地，如果〈犪，犫〉＝ ，则称向量犪与犫
２
垂直，记作犪⊥犫；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都垂直．
如图１１１１所示是一个正方体，求


下列各对向量的夹角：
D C
1 1
→ →
（１）犃犅与犃犆；
１ １ A B
→ → 1 1
（２）犃犅与犆犃；
１ １
（３）犃  犅 → 与犃  犇 → ； D C
１ １
→ →
（４）犃犅与犅犃．
A B
１ １
→ →
（１）由于犃犆 与犃犆的方向相同， 图１１１１
 １ １
所以
→ → → →
〈犃犅，犃犆〉＝〈犃犅，犃犆〉＝４５°．
１ １
→ → → →
（２）〈犃犅，犆犃〉＝〈犃犅，犆犃〉＝１３５°．
１ １
→ → → →
（３）〈犃犅，犃犇〉＝〈犃犅，犃犇〉＝ ．
１ １
→ →
（４）〈犃犅，犅犃〉＝ ．
１ １
平面内，两个非零向量犪与犫的数量积 （也称为内积）定义为
犪·犫＝｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉．
而且，两个向量数量积的几何意义与投影有关，
如图１１１２所示，过犪的始点和终点分别向犫所
a
在的直线作垂线，即可得到向量犪在向量犫上的
b
投影犪′，犪与犫的数量积等于犪在犫上的投影犪′的
a′
数量与犫的长度的乘积．特别地，犪与单位向量犲
图１１１２
的数量积等于犪在犲上的投影犪′的数量．规定零向
量与任意向量的数量积为０．
A(
观察上述平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间
中．如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，说明理由．
同样，空间中向量的数量积也是按上述方式定义的，而且空间向量的数
量积也具有类似的性质．不过，空间向量犪在向量犫上的投影犪′，除了按照
上述方式得到之外，还可以过犪的始点和终点分别作与犫所在直线垂直的平
面得到．这可以从图１１１３所示的长方体中看出来，其中向量犫在棱犃犅
１．１ 空间向量及其运算 ９→ → →
上，犪＝犃′犆′，因为犃犆＝犃′犆′，犅犆⊥犃犅，
所以犪在向量犫上的投影
D' C'
→ a
犪′＝犃犅．
A'
B'
一般地，给定空间向量犪和空间中的直 D C
线犾（或平面α），过犪的始点和终点分别作直 A B
b a′
线犾（或平面α）的垂线，假设垂足为犃，犅，
图１１１３
→
则向量犃犅称为犪在直线犾（或平面α）上的
投影．
同平面的情形一样，空间向量的数量积具有以下性质：
（１）犪⊥犫犪·犫＝０；
（２）犪·犪＝｜犪｜２＝犪２；
（３）｜犪·犫｜≤｜犪｜｜犫｜；
（４）（λ犪）·犫＝λ（犪·犫）；
（５）犪·犫＝犫·犪（交换律）；
（６）（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮（分配律）．
第 （６）条性质可以按如下方式理解．
当犪，犫，犮共面时，根据平面向量数量积的性质可知，结论成立．
犮
当犪，犫，犮不共面时，显然｜犮｜≠０，设犮＝ ，即犮 是与犮同向的
０ ｜犮｜ ０
单位向量．如图１１１４所示，设犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′是一个长方体，点犗与犮
０
都在直线犃犅上，且
→ →
犗犃′＝犪， 犃′犆′＝犫．
D' C'
b
A'
B'
a+b
a C
D
O B
a¢ c A b¢
0
图１１１４
→ →
因此，犪在犮上的投影为犪′＝犗犃，犫在犮上的投影为犫′＝犃犅，且
０ ０
→ → →
犗犆′＝犗犃′＋犃′犆′＝犪＋犫，
→
犪＋犫在犮上的投影为犗犅．
０
→ → →
注意到犗犅＝犗犃＋犃犅＝犪′＋犫′，这就说明
（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮，
０ ０ ０
在这个式子两边同时乘以｜犮｜，即可知
１ ０ 第一章 空间向量与立体几何（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮．
如图１１１５所示长方体犃犅犆犇


犃′犅′犆′犇′中，犈 是犃犃′的中点，犃犃′＝
D' C'
B'
犃犇＝２，犃犅＝４，求： A'
（１）犅  犆′ → ·犃  犈 → ； （２）犅  ′犇 → ·犃  犈 → ． E D C
A B
（１）（方法一）因为是长方体，而且

图１１１５
犃犃′＝犃犇＝２，所以
→ →
〈犅犆′，犃犈〉＝∠犅′犅犆′＝４５°，
→ １
｜犃犈｜＝ 犃犃′＝１，
２
→
｜犅犆′｜＝犅犆′＝槡２２＋２２＝２槡２，
因此
→ → → → → → 槡２
犅犆′·犃犈＝｜犅犆′｜｜犃犈｜ｃｏｓ〈犅犆′，犃犈〉＝２槡２×１× ＝２．
２
→ → →
（方法二）由图可以看出，犅犆′在犃犈上的投影是犃犃′，而且
→ １
｜犃犈｜＝ 犃犃′＝１，
２
→ → → → →
注意到犃犃′与犃犈的方向相同，所以犅犆′·犃犈等于犃犃′的长，即
→ → →
犅犆′·犃犈＝｜犃犃′｜＝２．
→ → →
（２）由图可以看出，犅′犇在犃犈上的投影是犃′犃，而且
→ １
｜犃犈｜＝ 犃犃′＝１，
２
→ → → → →
注意到犃′犃与犃犈的方向相反，所以犅′犇·犃犈等于犃′犃的长的相反
数，即
→ → →
犅′犇·犃犈＝－｜犃′犃｜＝ ．
"
? 在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，判断下列各组向量是否共面：
１ １ １ １
→ → → → →
（１）犃犅，犇犆； （２）犃犅，犅犆，犃犇；
１ １ １ １
→ → →
（３）犃犅，犅犆，犇犇．
１ （ ）
１ ２ １ ２
? 化简： （犪＋２犫－３犮）＋５ 犪－ 犫＋ 犮－３（犪－２犫＋犮）．
２ ３ ２ ３
? 已知犃犅犆犇犃犅犆犇 是一个正方体，写出下列向量夹角的大小：
１ １ １ １
→ → → →
（１）〈犃犅，犆犆〉； （２）〈犇犇，犅犃〉．
１ １ １
１．１ 空间向量及其运算 １１? 如果犪，犫，犮不共面，那么这三个向量中能有两个互相平行吗？为什么？
? 已知犪，犫均为空间向量，分别判断下列各式是否恒成立：
（１）（犪＋犫）２＝犪２＋２犪·犫＋犫２； （２）（犪－犫）２＝犪２－２犪·犫＋犫２；
（３）（犪＋犫）·（犪－犫）＝犪２－犫２．
#
? 如果犪，犫都是空间向量，判断
｜｜犪｜－｜犫｜｜≤｜犪＋犫｜≤｜犪｜＋｜犫｜
是否成立，并说明等号何时成立．
? 已知空间四边形犃犅犆犇中，犕，犖分别是棱犃犅，犆犇的中点，化简下列各向
量表达式：
→ → → → １ → →
（１）犅犕＋犃犅＋犕犖＋犆犖； （２） （犃犇＋犅犆）．
２
? 构造始点、终点都是平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′顶点的向量，使它与下列各
式所表示的向量分别相等：
→ → → →
（１）犃犅＋犅′犆′； （２）犃犅－犃′犇′；
→ → → → → →
（３）犃犅＋犆犅＋犃犃′； （４）犅犃＋犅犆＋犆犆′；
→ → →
（５）犃犇＋犆犆′－犅犃．
? 已知正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱长为１，求：
→ → → →
（１）犃犅·犅′犆′； （２）犃犅·犇′犆′；
→ → → →
（３）犃犅·犃′犆′； （４）犅′犇·犃犅．
? 已知犪，犫都是空间向量，且｜犪－犫｜＝｜犪＋犫｜，求犪·犫．
２π
? 已知｜犪｜＝４，向量犲为单位向量，〈犪，犲〉＝ ，求向量犪在向量犲方向上的投
３
影的数量．
→ → → → →
 犃犇  犇犅  犇犅  犅犗  犃犗 ９０°
１ １
→ →
 〈犃犅，犅犃〉＝１８０°  －２
１ ２ 第一章 空间向量与立体几何1.1.2  

L F)
在平面向量中，我们已经学过如下结论．
共线向量基本定理 如果犪≠０且犫∥犪，则存在唯一的实数λ，使得犫＝
λ犪．
平面向量基本定理 如果平面内两个向量犪与犫不共线，则对该平面内
任意一个向量犮，存在唯一的实数对（狓，狔），使得犮＝狓犪＋狔犫．
A(
上述结论在空间中仍成立吗？如何判断空间中的三个向量是否共面？
可以看出，共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立．
例如，如图１１１６所示的正方体犃犅犆犇
犃犅犆犇 中，犘在直线犃犃 上的充要条件
D C
１ １ １ １ １ 1 1
是，存在实数λ，使得
A B
犃  犘 → ＝λ犃  犃 → ； 1 1
１ P
如果犕在底面犃犅犆犇内，则一定存在实数狊
D
C
E
与狋，使得 M
→ → → A F B
犃犕＝狊犃犅＋狋犃犇，
而且，若犕犈⊥犃犇，犕犉⊥犃犅，则 图１１１６
→ → → →
犃犉＝狊犃犅，犃犈＝狋犃犇．
另外，在空间中，由平面向量基本定理以及空间向量加法的平行四边形
法则，还可以得到如下空间中三个向量是否共面的判别方法．
共面向量定理 如果两个向量犪，犫不共线，则向量犪，犫，犮共面的充
要条件是，存在唯一的实数对（狓，狔），使犮＝狓犪＋狔犫．
这个定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要注意到
当狓犪与狔犫不共线时，狓犪，狔犫，狓犪＋狔犫分别是平行四边形的两条邻边和一
条对角线即可．
→
如图１１１７所示，已知斜三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，犃犅＝犪，

 １ １ １
→ →
犃犆＝犫，犃犃＝犮，在犃犆 上和犅犆上分别有一点犕和犖，且
１ １
→ → → →
犃犕＝犽犃犆，犅犖＝犽犅犆，
１
１．１ 空间向量及其运算 １３→
其中０≤犽≤１．求证：犕犖，犪，犮共面．
A C
因为 1 1
 B
→ → 1
犃犕＝犽犃犆＝犽犫＋犽犮， c
１ M
→ → → →
犃犖＝犃犅＋犅犖＝犪＋犽犅犆
b
A C
＝犪＋犽（－犪＋犫）
a N
＝（１－犽）犪＋犽犫， B
所以 图１１１７
→ → →
犕犖＝犃犖－犃犕＝（１－犽）犪＋犽犫－犽犫－犽犮＝（１－犽）犪－犽犮．
→
由共面向量定理可知，犕犖，犪，犮共面．
由共面向量定理还可得到判断空间中四点是否共面的方法：如果犃，
犅，犆三点不共线，则点犘在平面犃犅犆内的充要条件是，存在唯一的实数
对（狓，狔），使
→ → →
犃犘＝狓犃犅＋狔犃犆．

/K F )
A(
共线向量基本定理表明，给定直线上的一个非零向量犪，那么直线上任意一个
向量犫都可以唯一地写成数乘向量犪的形式；平面向量基本定理表明，在给定的平
面内，当向量犪与犫不共线时，任意一个向量犮都可以写成犪与犫的线性运算，而
且表达式唯一．空间向量有没有类似的结论？如果有，尝试归纳出来；如果没有，
说明理由．
空间向量基本定理 如果空间中的三个向量犪，犫，犮不共面，那么对
空间中的任意一个向量狆，存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使得
狆＝狓犪＋狔犫＋狕犮．
空间向量基本定理可以通过作图的方式来理解．
因为犪，犫，犮不共面，所以它们两两都
不平行，过点犗作犗  犃 → ＝犪，犗  犅 → ＝犫，犗  犆 → ＝ C N
1
犮，则平面犗犃犅，犗犃犆，犗犅犆是两两相交的 zc M P
C
三个平面，如图１１１８所示．
c
如果狆与犪，犫，犮的某两个向量共面， b yb B
O 1
a A B
则根据共面向量定理可知结论成立．否则，作 xa
A P
→ 1 1
犗犘＝狆，过点犘作直线犘犘 平行于犗犆，交
１ 图１１１８
１ ４ 第一章 空间向量与立体几何平面犗犃犅于点犘；在平面犗犃犅内，过犘 作直线犘犃 平行于犗犅，作直
１ １ １ １
线犘犅 平行于犗犃，且分别与直线犗犃，犗犅相交于点犃，犅；在犗犆上
１ １ １ １
→ →
取一点犆，使得犗犆＝犘犘．于是存在三个实数狓，狔，狕，使得
１ １ １
→ → → → → →
犗犃＝狓犗犃＝狓犪，犗犅＝狔犗犅＝狔犫，犗犆＝狕犗犆＝狕犮．
１ １ １
→ → →
作犃犕＝犅犖＝犘犘，则犗犃犘犅犆犕犘犖是一个平行六面体，
１ １ １ １ １ １ １
因此
→ → → → → → →
犗犘＝犗犃＋犗犅＋犗犆＝狓犗犃＋狔犗犅＋狕犗犆，
１ １ １
即狆＝狓犪＋狔犫＋狕犮．
下面来说明定理中的有序实数组（狓，狔，狕）是唯一的．设
狆＝狓犪＋狔犫＋狕犮且狆＝狓′犪＋狔′犫＋狕′犮，
则（狓－狓′）犪＋（狔－狔′）犫＋（狕－狕′）犮＝０．如果狓≠狓′，则
狔－狔′ 狕－狕′
犪＝－ 犫－ 犮，
狓－狓′ 狓－狓′
由此可知犪，犫，犮共面，这与已知矛盾，因此狓＝狓′．同理狔＝狔′，狕＝狕′．
这也就说明，空间向量基本定理中，狆用犪，犫，犮表示的表达式狆＝
狓犪＋狔犫＋狕犮唯一．特别地，当犪，犫，犮不共面时，可知
狓犪＋狔犫＋狕犮＝０狓＝狔＝狕＝０．
表达式狓犪＋狔犫＋狕犮一般称为向量犪，犫，犮的线性组合或线性表达式．上述
空间向量基本定理说明，如果三个向量犪，犫，犮不共面，则它们的线性组合
狓犪＋狔犫＋狕犮能生成所有的空间向量．因此，空间中不共面的三个向量犪，犫，犮
组成空间向量的一组基底，记为｛犪，犫，犮｝．此时，犪，犫，犮都称为基向量；如
果狆＝狓犪＋狔犫＋狕犮，则称狓犪＋狔犫＋狕犮为狆在基底｛犪，犫，犮｝下的分解式．
如图 １１１９ 所示平行六面体


→ →
犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，设犃犅＝犪，犃犇＝犫，
D'
A'
→
犃犃′＝犮，试用基底｛犪，犫，犮｝表示向量
→ → → → C'
犃犆′，犅犇′，犃′犆，犇犅′．
c
B'
因为是平行六面体，所以
 A D
→ → → → b
犃犆′＝犃犅＋犅犆＋犆犆′ a
→ → → C
＝犃犅＋犃犇＋犃犃′ B
＝犪＋犫＋犮． 图１１１９
类似地，有
→ → → → → → →
犅犇′＝犅犃＋犃犇＋犇犇′＝－犃犅＋犃犇＋犃犃′＝－犪＋犫＋犮，
→ → → →
犃′犆＝犃′犅′＋犅′犅＋犅犆＝ ，
→ → → →
犇犅′＝犇犃＋犃犅＋犅犅′＝ ．
１．１ 空间向量及其运算 １５如图１１２０所示，已知直三棱柱


犃犅犆犃犅犆 中，犇 为 犃犆 的 中 点，
D
１ １ １ １ １ A C
1 1
∠犃犅犆＝６０°，犃犅＝２，犅犆＝犆犆＝１，求
１
→ →
犃犅·犆犇． B
1
１
由题意可知， A C

→ → →
｜犅犃｜＝２，｜犅犆｜＝｜犅犅｜＝１，
１ B
→ →
〈犅犃，犅犆〉＝６０°，
图１１２０
→ → → →
〈犅犅，犅犃〉＝〈犅犅，犅犆〉＝９０°，
１ １
所以
→ → → → → →
犅犃·犅犆＝２×１×ｃｏｓ６０°＝１，犅犅·犅犃＝犅犅·犅犆＝０．
１ １
又因为
→ → → → →
犃犅＝犃犅＋犅犅＝－犅犃＋犅犅，
１ １ １
→ → → → １→ → １→
犆犇＝犆犆＋犆犇＝犆犆＋ 犆犃＝犅犅＋ 犆犃
１ １ １ ２ １ １ １ ２
→ １ → →
＝犅犅＋ （犅犃－犅犆），
１ ２
所以
［ ］
→ → → → → １ → →
犃犅·犆犇＝（－犅犃＋犅犅）·犅犅＋ （犅犃－犅犆）
１ １ １ ２
→ → １→ → １→ → → →
＝－犅犃·犅犅－ 犅犃·犅犃＋ 犅犃·犅犆＋犅犅·犅犅＋
１ ２ ２ １ １
１→ → １→ →
犅犅·犅犃－ 犅犅·犅犆
２ １ ２ １
＝ ．
例３说明，如果空间向量中，有三个不共面的向量的长度和相互之间的
角度都已知，那么以这三个向量为一组基底，可以研究其他向量之间的数量
积等问题．
"
? 如果空间向量犪，犫，犮满足犪＝２犫－３犮，那么这三个向量是否一定共面？
→ →
? 如果犃，犅，犆是空间中的三点，且犃犅＝２犅犆，那么这三个点是否一定共线？
→ → →
? 如果犃，犅，犆，犇是空间中的四点，且犃犅＝２犃犆－３犃犇，那么这四个点是否
一定共面？
? 如果空间向量犪，犫不共线，且犪－狔犫＝狓犪＋３犫，求狓，狔的值．
１ ６ 第一章 空间向量与立体几何? 如果空间向量犪，犫，犮不共面，且３犪－２犫＋犮＝狓犪＋狔犫＋狕犮，求狓，狔，狕的值．
#
→ →
? 如果犃，犅，犆，犇是空间中的四点，且犃犅＝２犆犇，那么这四个点是否一定共线？
→ → →
? 如图，四面体犗犃犅犆中，犗犃＝犪，犗犅＝犫，犗犆＝犮，犇为犅犆的中点，犈为
→
犃犇的中点，将犗犈用向量犪，犫，犮表示出来．
O O
C
A B
A C
E
D
B
（第２题） （第３题）
? 如图，已知犃，犅，犆三点不共线，犗为平面犃犅犆外任意一点，且平面犃犅犆
中的小方格均为单位正方形，在图中标出点犘，犙，犚，犛，使得
→ → → → → → → →
犗犘＝犗犃＋犃犅＋２犃犆，犗犙＝犗犃＋２犃犅－犃犆，
→ → → → → → → →
犗犚＝犗犃＋３犃犅－４犃犆，犗犛＝犗犃－犃犅－３犃犆．
? 已知平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，点犈是上底面犃′犅′犆′犇′的中心，求下列
各题中狓，狔的值：
→ → → → → → → →
（１）犃犆′＝狓（犃犅＋犅犆＋犆犆′）； （２）犃犈＝犃犃′＋狓犃犅＋狔犃犇．
? 已知直三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，∠犃犅犆＝６０°，犃犅＝２，犅犆＝犆犆＝１，求
１ １ １ １
→ →
犃犅·犅犆．
１ １
→ → → → → →
 犃犅－犃犃′＋犃犇＝犪＋犫－犮  －犃犇＋犃犅＋犃犃′＝犪－犫＋犮
１ １ １
 － ×４＋ ×１＋１＝－
２ ２ ２
１．１ 空间向量及其运算 １７1.1.3   

/K F+
平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向
量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标？这就是本
小节我们要研究的内容．
A(
如图 １１２１ 所 示，已 知 C F
e
→ → → 3
犗犃＝犲，犗犅＝犲，犗犆＝犲， E
１ ２ ３ D G
1 A
且犗犃犇犅犆犈犌犉是棱长为１的 1
b a
C
正 方 体，犗犉犈犃犃犇犆犅 1 B
１ １ １ １ １ １ 1 B
F O e 2
是一个长方体，犃 为犗犆的中 1 e
1
１
E A D
点，犉犗＝２． 1
１ 图１１２１
→ →
（１）设犗犌＝犪，犗犆＝犫，
１
将向量犪与犫都用犲，犲，犲表示；
１ ２ ３
（２）如果狆是空间中任意一个向量，怎样才能写出狆在基底｛犲，犲，犲｝下的
１ ２ ３
分解式？
不难看出，尝试与发现中，
１
犪＝犲＋犲＋犲，犫＝犲－２犲＋ 犲．
１ ２ ３ １ ２ ２ ３
而且，对于任意一个空间向量狆来说，只要将它的始点平移到点犗，然后
过它的终点分别作与犲，犲，犲 所在直线垂直的平面，就可以写出它在基
１ ２ ３
底｛犲，犲，犲｝下的分解式．
１ ２ ３
一般地，如果空间向量的基底｛犲，犲，犲｝中，犲，犲，犲 都是单位向
１ ２ ３ １ ２ ３
量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交
基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果狆＝狓犲＋狔犲＋
１ ２
狕犲，则称有序实数组（狓，狔，狕）为向量狆的坐标，记作
３
狆＝（狓，狔，狕），
其中狓，狔，狕都称为狆的坐标分量．
１ ８ 第一章 空间向量与立体几何已知｛犲，犲，犲｝是单位正交基底，分别写出下列空间向量的

 １ ２ ３
坐标：
（１）狆＝２犲＋３犲＋犲； （２）狇＝－犲＋犲－２犲；
１ ２ ３ １ ２ ３
（３）狉＝－２犲－犲； （４）０．
２ ３
（１）狆＝（２，３，１）．

（２）狇＝ ．
（３）狉＝ ．
（４）因为０＝０犲＋０犲＋０犲，所以０＝（０，０，０）．
１ ２ ３

/K F+D0 +2
与平面向量的坐标类似，空间向量有了坐标之后，一个自然的问题就
是，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？
假设空间中两个向量犪，犫满足犪＝（狓，狔，狕），犫＝（狓，狔，狕），
１ １ １ ２ ２ ２
也就是说
犪＝狓犲＋狔犲＋狕犲，犫＝狓犲＋狔犲＋狕犲．
１ １ １ ２ １ ３ ２ １ ２ ２ ２ ３
则当犪＝犫时，有狓犲＋狔犲＋狕犲＝狓犲＋狔犲＋狕犲，由｛犲，犲，犲｝
１ １ １ ２ １ ３ ２ １ ２ ２ ２ ３ １ ２ ３
是单位正交基底和空间向量基本定理可知
狓＝狓，狔＝狔，狕＝狕；
１ ２ １ ２ １ ２
反之结论也成立．这就是说，空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标
分量对应相等．
另一方面，因为
犪＋犫＝狓犲＋狔犲＋狕犲＋狓犲＋狔犲＋狕犲
１ １ １ ２ １ ３ ２ １ ２ ２ ２ ３
＝（狓＋狓）犲＋（狔＋狔）犲＋（狕＋狕）犲，
１ ２ １ １ ２ ２ １ ２ ３
所以
犪＋犫＝（狓＋狓，狔＋狔，狕＋狕）．
１ ２ １ ２ １ ２
类似地，可以得出，如果狌，狏是两个实数，那么
狌犪＋狏犫＝（狌狓＋狏狓，狌狔＋狏狔，狌狕＋狏狕）．
１ ２ １ ２ １ ２
又因为｛犲，犲，犲｝是单位正交基底，所以
１ ２ ３
犲·犲＝犲·犲＝犲·犲＝１，犲·犲＝犲·犲＝犲·犲＝０，
１ １ ２ ２ ３ ３ １ ２ ２ ３ ３ １
因此
犪·犫＝（狓犲＋狔犲＋狕犲）·（狓犲＋狔犲＋狕犲）
１ １ １ ２ １ ３ ２ １ ２ ２ ２ ３
＝狓狓犲·犲＋狔狔犲·犲＋狕狕犲·犲＋（狓狔＋狓狔）犲·犲＋
１ ２ １ １ １ ２ ２ ２ １ ２ ３ ３ １ ２ ２ １ １ ２
（狔狕＋狔狕）犲·犲＋（狓狕＋狓狕）犲·犲
１ ２ ２ １ ２ ３ １ ２ ２ １ １ ３
１．１ 空间向量及其运算 １９＝狓狓＋狔狔＋狕狕，
１ ２ １ ２ １ ２
即
犪·犫＝狓狓＋狔狔＋狕狕．
１ ２ １ ２ １ ２
特别地，
｜犪｜＝槡犪·犪＝槡狓２＋狔２＋狕２．
１ １ １
当犪≠０且犫≠０时，由向量数量积的定义可知
犪·犫 狓狓＋狔狔＋狕狕
ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ ＝ １ ２ １ ２ １ ２ ．
｜犪｜｜犫｜ 槡狓２＋狔２＋狕２ 槡狓２＋狔２＋狕２
１ １ １ ２ ２ ２
已知犪＝（－２，３，５），犫＝（３，－３，２），求下列向量的坐标：


（１）犪－犫； （２）２犪＋犫； （３）－５犫．
（１）犪－犫＝（－２，３，５）－（３，－３，２）

＝（－２－３，３＋３，５－２）＝（－５，６，３）．
（２）２犪＋犫＝２（－２，３，５）＋（３，－３，２）
＝（－４，６，１０）＋（３，－３，２）＝（－１，３，１２）．
（３）－５犫＝－５（３，－３，２）＝ ．
已知犪＝（１，０，１），犫＝（２，－２，０），求〈犪，犫〉．


因为

犪·犫＝１×２＋０×（－２）＋１×０＝２，
｜犪｜＝槡１２＋０２＋１２＝槡２，
｜犫｜＝槡２２＋（－２）２＋０２＝２槡２，
所以
犪·犫 ２ １
ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ ＝ ＝ ，
｜犪｜｜犫｜
槡２×２槡２
２
因此〈犪，犫〉＝ ．

/K F+ /K F+= ,
A(
我们已经知道，如果犪，犫是空间向量：
（１）当犪≠０时，犪∥犫的充要条件是存在实数λ，使得犫＝λ犪；
（２）犪⊥犫的充要条件是犪·犫＝０．
２ ０ 第一章 空间向量与立体几何如果已知犪，犫的坐标，即
犪＝（狓，狔，狕），犫＝（狓，狔，狕），
１ １ １ ２ ２ ２
那么上述结论怎样用它们的坐标表示？
可以看出，当犪≠０时，
烄狓＝λ狓，
２ １
犪∥犫犫＝λ犪（狓，狔，狕）＝λ（狓，狔，狕）烅狔＝λ狔，
２ ２ ２ １ １ １ ２ １
烆狕＝λ狕．
２ １
更进一步，当犪的每一个坐标分量都不为零时，有
狓 狔 狕
犪∥犫 ２＝ ２＝ ２．
狓 狔 狕
１ １ １
而且
犪⊥犫犪·犫＝０狓狓＋狔狔＋狕狕＝０．
１ ２ １ ２ １ ２
（１）已知犪＝（１，－１，１），犫＝（狓，狔，狕），且犪∥犫，求狓，狔，


狕所要满足的关系式；
（２）已知犮＝（－１，－１，１），犱＝（２，－２，６），求一个非零空间向
量狀，使得狀⊥犮且狀⊥犱．
（１）因为犪＝（１，－１，１）的每一个坐标分量均不为零，因此

狓 狔 狕
犪∥犫 ＝ ＝ 狓＝－狔＝狕．
１ －１ １
（２）设狀＝（狓，狔，狕），则
烄狀·犮＝０， 烄－狓－狔＋狕＝０，
狀⊥犮且狀⊥犱烅 烅
→ →
烆狀·犱＝０犃犇烆２狓－２狔＋６狕＝０．犃犇
１ １
将狕看成已知数，求解方程组可得狓＝－狕，狔＝２狕．因此
狀＝（－狕，２狕，狕）＝狕（－１，２，１），
取狕＝１，可得满足条件的一个非零空间向量狀＝（－１，２，１）．
例４的 （２）说明，空间中同时垂直于两个不共线向量的空间向量有无
数个，而且这无数个向量是相互平行的．

/K,> 2
由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底的始点是同一个点
犗，而且空间向量的始点也是犗时，空间向量的坐标实际上是由它的终点位
置确定的．
１．１ 空间向量及其运算 ２１
（１）如图１１２２所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间
中的位置？
（２）我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数
来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之
后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置．那么，
怎样才能刻画空间中点的位置呢？ 图１１２２
为了刻画空间中点的位置，我们可以按照如下方式建立空间直角坐标
系：在空间中任意选定一点犗作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面
直角坐标系狓犗狔，然后过犗作一条与狓犗狔平面垂直的数轴狕轴．这样建立
的空间直角坐标系记作犗狓狔狕．
在空间直角坐标系犗狓狔狕中，狓轴、狔轴、狕轴是两两互相垂直的，它
们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为
狓犗狔平面、狔犗狕平面、狕犗狓平面．狕轴的正方向一般按照如下方式确定：在
狕轴的正半轴看狓犗狔平面，狓轴的正半轴绕犗点沿逆时针方向旋转９０°能与
狔轴的正半轴重合．
在平面内画空间直角坐标系犗狓狔狕时，一般把狓轴、狔轴画成水平放
置，狓轴正方向与狔轴正方向夹角为１３５°（或４５°），狕轴与狔轴 （或狓轴）
垂直，如图１１２３ （１）（２）所示．
z z
M M
R
R
P P
Q O y O Q y
x x
 
图１１２３
建立了空间直角坐标系犗狓狔狕之后，如图１１２３所示，设犕为空间中
的一个点，过犕分别作垂直于狓轴、狔轴、狕轴的平面，设这些平面与狓
轴、狔轴、狕轴依次交于点犘，犙，犚，且犘，犙，犚在狓轴、狔轴、狕轴上
的坐标分别为狓，狔，狕，那么点犕就对应唯一确定的有序实数组（狓，狔，
狕）；反过来，给定有序实数组（狓，狔，狕），可以在狓轴、狔轴、狕轴上依次
取坐标为狓，狔，狕的点犘，犙，犚，分别过犘，犙，犚作垂直于狓轴、狔轴、
２ ２ 第一章 空间向量与立体几何狕轴的一个平面，则有序实数组（狓，狔，狕）就与这三个平面唯一的公共点
对应．
这样一来，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对
应关系，空间一点犕的位置完全由有序实数组（狓，狔，狕）确定，因此将（狓，
狔，狕）称为点犕的坐标，记作犕（狓，狔，狕）．此时，狓，狔，狕都称为点犕
的坐标分量，且狓称为点犕的横坐标 （或狓坐标），狔称为点犕的纵坐标
（或狔坐标），狕称为点犕的竖坐标 （或狕坐标）．
另外，空间中建立了空间直角坐标系之
后，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成 z
了八个部分，如图１１２４所示．习惯上，每一


 

部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标 
 



y
O
平面狓犗狔的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦


 

限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在狓犗狔的下方， 
 x 


分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ
图１１２４
卦限．事实上，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦
限的点集用集合可表示为
｛（狓，狔，狕）｜狓＞０，狔＞０，狕＞０｝，
其他卦限的点集可用类似的方法表示．由此可以看出，图１１２３ （１）中的
点犕在第Ⅲ卦限，图１１２３ （２）中的点犕在第Ⅱ卦限．
已知棱长为１的正方体犃犅犆犇


犃犅犆犇 中，犈是犆犆 的中点，犉是 z
１ １ １ １ １
犃犅 的中点．以犇为原点，犇  犃 → ，犇  犆 → ， D 1 C
１ １ 1
犇  犇 → 的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴正 F
A B
１ 1 1 E
方向，建立如图１１２５所示的空间直角
坐标系．求以下各点的坐标：犃，犅，
D C
O y
犅，犈，犉．
１ A
注意到正方体的棱长为１，因此 B
x

犃（１，０，０），犅（１，１，０），犅（１，１，１）．
图１１２５
１
又因为犈，犉分别是犆犆，犃犅 的
１ １ １
中点，所以
（ ） （ ）
１ １
犈０，１， ，犉１， ，１ ．
２ ２
可以看出，在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单
位向量犲，犲，犲的始点都在原点犗，且它们的方向分别与狓轴、狔轴、狕
１ ２ ３
→
轴的正方向相同，则｛犲，犲，犲｝是单位正交基底，且向量犗犘的坐标与犘
１ ２ ３
１．１ 空间向量及其运算 ２３点的坐标相同，即
→
犗犘＝狓犲＋狔犲＋狕犲＝（狓，狔，狕）犘（狓，狔，狕）；
１ ２ ３
反之，如果｛犲，犲，犲｝为单位正交基底，则任意选定一点作为原点犗，并
１ ２ ３
使得狓轴、狔轴、狕轴的正方向分别与犲，犲，犲的方向相同，则可以建立
１ ２ ３
→
空间直角坐标系，而且其中向量犗犘的坐标与犘点的坐标仍然相同．
为了方便起见，以后谈到空间直角坐标系时，总是默认为已经按照上述
方式指定了单位正交基底｛犲，犲，犲｝；谈到空间中向量的坐标时，总是认
１ ２ ３
为已经按照单位正交基底｛犲，犲，犲｝建立了空间直角坐标系．可以看出，
１ ２ ３
在空间直角坐标系中，同样可以讨论轴对称、中心对称等，它们的意义与平
面直角坐标系中的类似．与两点关于直线对称类似，如果连接两点的线段的
中点在一个平面内，且这两点确定的直线垂直于该平面，则称这两点关于该
平面对称．

/K F +*
利用空间向量的坐标与空间直角坐标系的关系，我们可以得到空间直角
坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式．
事实上，设犃（狓，狔，狕），犅（狓，狔，狕）为空间直角坐标系中的两
１ １ １ ２ ２ ２
→ →
点，则犗犃＝（狓，狔，狕），犗犅＝（狓，狔，狕），所以
１ １ １ ２ ２ ２
→ → →
犃犅＝犗犅－犗犃＝（狓，狔，狕）－（狓，狔，狕）
２ ２ ２ １ １ １
＝（狓－狓，狔－狔，狕－狕），
２ １ ２ １ ２ １
因此
→
犃犅＝｜犃犅｜＝槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２＋（狕－狕）２．
２ １ ２ １ ２ １
这就是空间直角坐标系中两点之间的距离公式．上面的推导过程也说
明，空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线
段的终点坐标减去始点坐标．
→
另一方面，设线段犃犅的中点为犕（狓，狔，狕），则犗犕＝（狓，狔，狕），
又因为
→ １ → → １
犗犕＝ （犗犃＋犗犅）＝ （狓＋狓，狔＋狔，狕＋狕）
２ ２ １ ２ １ ２ １ ２
（ ）
狓＋狓 狔＋狔 狕＋狕
＝ １ ２， １ ２， １ ２ ，
２ ２ ２
所以犕的坐标为
２ ４ 第一章 空间向量与立体几何（ ）
狓＋狓 狔＋狔 狕＋狕
１ ２， １ ２， １ ２ ．
２ ２ ２
这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式．
在空间直角坐标系中，已知犃（－２，－３，５），犅（０，２，２），


犆（２，７，－１），求证：犃，犅，犆三点共线．
因为

→
犃犅＝（０＋２，２＋３，２－５）＝（２，５，－３），
→
犃犆＝ ，
→ → → →
所以犃犆＝２犃犅，因此犃犆∥犃犅，又因为这两个向量有公共的始点，所以
犃，犅，犆三点共线．
如图１１２６所示，已知直三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，犆犃＝犆犅＝

 １ １ １
犆犆＝２，犃犆⊥犆犅，且犇，犈分别是棱犃犅，犅犆 的中点．建立适当的
１ １ １
空间直角坐标系，求犃犅与犇犈的长．
１
z
C E
C E 1 B
1 B 1
1
A
A 1
1
C
C B O B y
A D
D
A
x
图１１２６ 图１１２７
→ → →
以犆为坐标原点，犆犃，犆犅，犆犆 的方向分别为狓轴、狔轴、狕
 １
轴正方向，建立如图１１２７所示的空间直角坐标系．由题意可知
犆（０，０，０），犃（２，０，０），犅（０，２，０），
犃（２，０，２），犅（０，２，２），犆（０，０，２）．
１ １ １
因此
犃犅＝槡（０－２）２＋（２－０）２＋（０－２）２＝２槡３．
１
又因为犇是犃犅的中点，所以犇的坐标为
（ ）
２＋０ ０＋２ ０＋０
， ， ＝（１，１，０），
２ ２ ２
即犇（１，１，０）．同理可得犈（０，１，２）．从而
犇犈＝ ．
例７说明，给定空间几何体后，建立适当的空间直角坐标系，就可以借
助点的坐标研究有关的几何问题．
１．１ 空间向量及其运算 ２５"
? 已知｛犲，犲，犲｝是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：
１ ２ ３
（１）狆＝－犲＋犲－２犲； （２）狇＝犲－犲； （３）狉＝２犲＋３犲．
１ ２ ３ １ ２ ２ ３
? 已知犪＝（３，２，－１），犫＝（５，－３，２），求：
（１）犪＋２犫； （２）犪·犫； （３）（２犪＋犫）·（犪－３犫）．
? 分别判断下列各对向量是否平行：
（１）（０，０，５），（０，０，７）； （２）（４，０，３），（８，０，６）．
? 分别判断下列各对向量是否垂直：
（１）（３，４，０），（０，０，５）； （２）（３，１，３），（１，０，－１）．
? 根据点的特征，用集合分别表示空间直角坐标系中：
（１）第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限的点集；
（２）狔轴、狓犗狔平面、狔犗狕平面的点集．
? 已知犕（狓，狔，狕）为空间直角坐标系中的一点，犗为坐标原点，求犗犕的长．
? 已知点犃（１，５，３），犅（３，１，４），求线段犃犅中点的坐标．
? 分别求满足下列条件的向量狓：
（１）２（－１，５，１）＋４狓＝（２，１４，－２）；
（２）（３，７，１）＋２狓＝（６，１０，４）－狓．
→
? 根据下列条件，分别求向量犃犅的坐标：
（１）犃（２，－３，－１），犅（－６，５，３）；
（２）犃（－２，３，６），犅（－８，－６，４）．
#
? 已知犪，犫是空间向量，根据下列各条件分别求〈犪，犫〉：
（１）ｃｏｓ〈犪，犫〉＝１； （２）ｃｏｓ〈犪，犫〉＝－１； （３）ｃｏｓ〈犪，犫〉＝０；
１ 槡３ 槡２
（４）ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ ； （５）ｃｏｓ〈犪，犫〉＝－ ； （６）ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ ．
２ ２ ２
? 已知犪＝（２，－３，１），犫＝（２，０，３），犮＝（０，０，２），求：
（１）犪·（犫＋犮）； （２）（犪＋６犫）·（犪－６犫）．
? 求下列两个空间向量夹角的余弦：
（１）犪＝（２，－３，槡３），犫＝（１，０，０）；
（２）犪＝（－１，－１，１），犫＝（－１，０，１）．
? 已知犪，犫是空间向量，根据下列各条件分别求ｃｏｓ〈犪，犫〉：
（１）犪＝（１，２，０），犫＝（２，０，５）； （２）犪＝（３，４，５），犫＝（２，－１，０）．
２ ６ 第一章 空间向量与立体几何? 已知犪＝（狓，－２，５）与犫＝（１，狔，－３）平行，求狓，狔．
? 已知犪＝（－２，狓，５）与犫＝（－８，狔，０）垂直，求狓，狔应满足的条件．
? 已知犪＝（５，－３，１２），犫＝（－２，０，５），求｜犪＋犫｜２，｜犪－犫｜２．
? 已知犪＝（－２，１，３），犫＝（－１，２，１），若犪⊥（犪－λ犫），求实数λ的值．
? 已知向量犪＝（１，０，－１），犫＝（０，１，－１），求一个空间向量狀，使狀⊥犪且
狀⊥犫．
 （－１，１，－２）  （０，－２，－１）  （－１５，１５，－１０） ６０°
 （２＋２，７＋３，－１－５）＝（４，１０，－６）  槡（０－１）２＋（１－１）２＋（２－０）２＝槡５
"
→
? 已知四棱柱犃犅犆犇犃犅犆犇 的底面犃犅犆犇是平行四边形，且犃犅＝犪，
１ １ １ １
→ → →
犃犇＝犫，犃犃＝犮，则犅犇＝ （ ）．
１ １
（Ａ）犪＋犫＋犮 （Ｂ）－犪＋犫＋犮 （Ｃ）犪－犫＋犮 （Ｄ）－犪＋犫－犮
? 分别求下列各组向量夹角的余弦值：
（１）犪＝（３，－５，１），犫＝（３，２，０）；
（２）犮＝（－１，３，－５），犱＝（３，１２，０）．
? 一个棱长为１的正方体，对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面，写
出这个正方体８个顶点的坐标．
→ → →
? 已知正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱长为１，且犃犅＝犪，犃犇＝犫，犃犃′＝
犮，求：
（１）犪·（犫＋犮）； （２）犪·（犪＋犫＋犮）；
（３）（犪＋犫）·（犫＋犮）； （４）｜犪＋犫＋犮｜．
→ →
? 已知点犃（１，０，１），犅（１，１，１），犆（－３，１，５），求向量犃犅，犃犆的
长度．
? 分别求与犪方向相同的单位向量：
（１）犪＝（２，－３，５）； （２）犪＝（０，－３，４）．
? 在空间直角坐标系中，已知点犘（狓，狔，狕），下列叙述正确的序号有
．
①点犘关于狓轴的对称点是犘（狓，－狔，狕）
１
②点犘关于狔犗狕平面的对称点是犘（狓，－狔，－狕）
２
１．１ 空间向量及其运算 ２７③点犘关于狔轴的对称点是犘（狓，－狔，狕）
３
④点犘关于原点的对称点是犘（－狓，－狔，－狕）
４
? 已知犃犅，犃犆，犃犇为长方体的三条棱，且犃（１，２，１），犅（１，５，１），
犆（１，２，７），犇（３，２，１），求长方体这三条棱的长和体对角线的长．
→ → →
? 任作一个平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′，设犃犅＝犪，犃犇＝犫，犃犃′＝犮，分
→
别作出向量犃犕，使它等于如下向量：
１ １ １ １ １ １
（１）犪＋ 犫； （２） 犪＋ 犫＋ 犮； （３） 犪＋ 犫＋犮．
２ ２ ２ ２ ２ ２
#
? 在空间四边形犃犅犆犇中，连接犃犆，犅犇，设犕，犌分别是犅犆，犆犇的中点，
化简下列各向量表达式：
→ → → → １ → →
（１）犃犅＋犅犆＋犃犇； （２）犃犇－ （犃犅＋犃犆）．
２
π
? 已知犪，犫都是空间向量，且〈犪，犫〉＝ ，求〈２犪，－３犫〉．
４
? 已知向量犪，犫均为单位向量，且它们的夹角为６０°，求｜犪＋３犫｜．
? 如果犪＋２犫－３犮＝狓犪＋狔犫＋狕犮，那么一定有狓＝１，狔＝２，狕＝－３吗？为
什么？
? 已知空间直角坐标系中，平行六面体犃犅犆犇犃犅犆犇 满足：犃（－２，１，３），
１ １ １ １
犅（２，２，１），犆（３，４，２），犇（－１，３，４），且平行六面体的体对角线的交
点为犕（１，１，１），求犃，犅，犆，犇 的坐标．
１ １ １ １
? 在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，点犕，犖分别是面对角线犃犅与犅犇 的
１ １ １ １ １ １ １
→ → → →
中点，若犇犃＝犪，犇犆＝犫，犇犇＝犮，将犕犖用向量犪，犫，犮表示出来．
１
? 已知犪，犫是空间向量，根据下列各条件分别求〈犪，犫〉：
（１）犪·犫＝－｜犪｜｜犫｜； （２）｜犪｜＝｜犫｜＝｜犪－犫｜；
（３）｜犪｜＝｜犫｜＝｜犪＋犫｜； （４）｜犪＋犫｜＝｜犪－犫｜．
? 已知｛犻，犼，犽｝为单位正交基底，且向量犪的坐标为（犪，犪，犪）．
１ ２ ３
（１）求证：犪·犻＝犪，犪·犼＝犪，犪·犽＝犪；
１ ２ ３ z
（２）分别求犪与基向量犻，犼，犽夹角的余弦． D 1 C 1
? 已知正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 的棱长为１，犘为犅犇 上
１ １ １ １ １ A 1 B 1
１ P
一点，且犅犘＝ 犅犇．建立如图所示的空间直角坐标系， O C
３ １ D y
A
求点犘的坐标． B
x
（第９题）
２ ８ 第一章 空间向量与立体几何﹣ 已知点犃（２，３，－１），犅（８，－２，４），犆（３，０，５），是否存在实数狓，使
→ → →
犃犅与犃犅＋狓犃犆垂直？
﹣ 若犃犅犆犇为平行四边形，且犃（４，１，３），犅（２，－５，１），犆（－３，７，－５），
求顶点犇的坐标．
﹣ 已知犃（２，－５，１），犅（２，－２，４），犆（１，－４，１），求：
→ →
（１）〈犃犅，犃犆〉；
→ →
（２）犃犆在犃犅上的投影的数量．
﹣ 已知犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′是长方体，犃犅＝犃犃′＝２，犃犇＝４，且犈为侧面犃犃′犅′犅
→ → → → → →
的中心，犉为犃′犇′的中点，分别求犅犆·犈犇′，犅犉·犃犅′，犈犉·犉犆′．
$
? 如果存在三个不全为０的实数狓，狔，狕，使得狓犪＋狔犫＋狕犮＝０，那么向量犪，
犫，犮是否一定共面？为什么？
? 已知空间向量犪，犫，犮不共面，且狆＝犪＋犫，狇＝犪＋犮，狉＝犫－犮，判断向量
狆，狇，狉是否共面，并说明理由．
→ → →
? 已知向量犗犃，犗犅，犗犆可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪
→ → → →
一个向量可以与向量犗犃＋犗犅和向量犗犃－犗犅构成空间向量的另一组基底？
? 已知犃，犅，犆是空间中不共线的三点，犗是空间中任意一点，求证：犘在
平面犃犅犆内的充要条件是，存在满足狓＋狔＋狕＝１的实数狓，狔，狕，使得
→ → → →
犗犘＝狓犗犃＋狔犗犅＋狕犗犆．
? 已知四面体犃犅犆犇的每条棱长都等于犪，点犈，犉，犌分别是棱犃犅，犃犇，
犇犆的中点，求下列向量的数量积：
→ → → → → →
（１）犃犅·犃犆； （２）犃犇·犇犅； （３）犌犉·犃犆；
→ → → → → →
（４）犈犉·犅犆； （５）犉犌·犅犃； （６）犌犈·犌犉．
１．１ 空间向量及其运算 ２９．
! "!"#$%*+,-./012
从本章前面的内容中，我们已经初步学会怎样用空间向量处理立体几何
问题，这里我们将探讨怎样借助空间向量来处理立体几何中更复杂的问题．
由于立体几何主要研究的是空间中点、线、面的位置关系以及空间几何体的
性质等，因此我们首先要了解怎样用空间向量来刻画空间中点、线、面的
位置．
1.2.1 


/K+%/K F
A(
（１）如图１２１所示的四面体犃犅犆犇中，怎样借助空间向
A
量来描述犃，犅，犆在空间中是不同的点？
D
（２）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？
B C
图１２１
→ → →
在图１２１中，可以借助向量犇犃，犇犅，犇犆的不同，来描述犃，犅，
犆在空间中是不同的点．
一般地，如果在空间中指定一点犗，那么空间中任意一点犘的位置，
→ →
都可以由向量犗犘唯一确定，此时，犗犘通常称为点犘的位置向量．特别
地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由
它的坐标唯一确定．
３ ０ 第一章 空间向量与立体几何
/K+,3/K F
A(
（１）如图１２２所示的长方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，
１ １ １ １ D C
1 1
→
设犃犅＝狏．如果只借助狏，能不能确定直线犃犅在空间中
A
1 B
1
的位置？
D C
（２）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的 A B
图１２２
位置？
图１２２中，因为
→ → →
狏＝犃犅＝犇犆＝犇犆，
１ １ １ １
所以只借助向量狏不能确定直线犃犅在空间中的位置，但是向量狏可以描述
所有与直线犃犅平行或重合的直线．
一般地，如果犾是空间中的一条直线，狏是空间中的一个非零向量，且
表示狏的有向线段所在的直线与犾平行或重合，则称狏为直线犾的一个方向
向量．此时，也称向量狏与直线犾平行，记作狏∥犾．
按照空间中直线的方向向量的定义可知：
→
（１）如果犃，犅是直线犾上两个不同的点，则狏＝犃犅就是直线犾的一
个方向向量；
（２）如果狏是直线犾的一个方向向量，则对任意的实数λ≠０，空间向量
λ狏也是直线犾的一个方向向量，而且直线犾的任意两个方向向量都平行；
（３）如果狏为直线犾的一个方向向量，犃为直线犾上一个已知的点，则
→
对于直线犾上任意一点犅，向量犃犅一定与非零向量狏平行，从而可知存在
→
唯一的实数λ，使得犃犅＝λ狏，这就是说，空间中直线犾的位置可由狏和点
犃唯一确定；
（４）如果狏 是直线犾 的一个方向向量，狏 是直线犾 的一个方向向
１ １ ２ ２
量，则
狏∥狏犾∥犾，或犾与犾重合．
１ ２ １ ２ １ ２
已知正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈为犆犇 的中点，求证：

 １ １ １ １ １ １
直线犅犇 与直线犆犈不平行．
１
→ → →
以犇为原点，犇犃，犇犆，犇犇 的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴
 １
正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图１２３所示的空间直角坐标
系．则
犅（１，１，０），犇（０，０，１），
１
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ３１（ ）
１
犆（０，１，０），犈０， ，１ ，
２
z
→ →
所以犅犇 ＝ （－１，－１，１），犆犈＝
D E
（ １ ） 1 C
1
１
０，－ ，１ ．
２ A
1 B
1
１
－
又因为 ０ ≠ ２ ，所以犅  犇 → 与 D C
－１ －１ １ O y
犆  犈 → 不平行． A B
x
→
因为犅犇 为直线犅犇 的一个方向
１ １ 图１２３
→
向量，犆犈为直线犆犈的一个方向向量，
→ →
当犅犇∥犆犈时，必有犅犇∥犆犈．由上可知直线犅犇 与直线犆犈不平行．
１ １ １

/K ,3+>
我们已经知道，空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所
得到的不大于直角的角的大小；两条异面直线犪，犫所成角的大小，等于两
条相交直线犪′，犫′所成角的大小，其中犪′∥犪且犫′∥犫；空间中两条平行直线
所成角的大小规定为０°．这就是说，空间中任意两条直线所成角 （即它们之
间的夹角）的大小都是确定的．特别地，当空间中两条直线犾，犿所成角的
大小为９０°时，犾与犿垂直，记作犾⊥犿．
A(
设狏，狏分别是空间中直线犾，犾 的方向向量，且犾 与犾 所成角的大小为
１ ２ １ ２ １ ２
θ，通过作图讨论θ与〈狏，狏〉的关系．
１ ２
如图１２４ （１）（２）所示，可以看出
θ＝〈狏，狏〉或θ＝π－〈狏，狏〉．
１ ２ １ ２
特别地，
ｓｉｎθ＝ｓｉｎ〈狏，狏〉，ｃｏｓθ＝｜ｃｏｓ〈狏，狏〉｜．
１ ２ １ ２
v l l
2 1 1
Æv , v æ q v q v
1 2 1 2
v l Æv , v æ l
1 2 1 2 2
 
图１２４
３ ２ 第一章 空间向量与立体几何而且
π
犾⊥犾〈狏，狏〉＝ 狏·狏＝０．
１ ２ １ ２ ２ １ ２
利用上述直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系，可
以方便地证明我们在必修部分中归纳出的线面垂直的判定定理：如果一条直
线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．证明过
程如下．
已知犪，犫是平面α内的两条相交直线，直线狀满足狀⊥犪，狀⊥犫．


求证：狀⊥α．
设犿是α内的任意一条直线，且

狀，犪，犫，犿分别为直线狀，犪，犫，犿的方
n
向向量，如图１２５所示．则根据已知有 n
狀·犪＝０，狀·犫＝０． b b m m
因为犪与犫相交，所以犪，犫不共线， α a a
又因为犪，犫，犿共面，所以由共面向量定
图１２５
理可知，存在唯一的实数对（狓，狔），使犿＝
狓犪＋狔犫，因此
狀·犿＝狓狀·犪＋狔狀·犫＝０，
从而可知狀⊥犿，所以狀⊥犿．
因为直线狀垂直于平面α内的任意一条直线，所以狀⊥α．
如图１２６所示，在三棱锥犗犃犅犆


中，犗犃，犗犅，犗犆两两互相垂直，犈为犗犆
C
的中点，且犗犅＝犗犆＝２犗犃＝２，求直线犃犈
与犅犆所成角的大小．
E
→ →
（方法一）根据已知可得犗犃，犗犅，

→ O
犗犆不共面，且 B
A
→ → →
｜犗犃｜＝１，｜犗犅｜＝｜犗犆｜＝２，
→ → → → → → 图１２６
犗犃·犗犅＝犗犅·犗犆＝犗犆·犗犃＝０．
又因为
→ → → １→ → → → →
犃犈＝犗犈－犗犃＝ 犗犆－犗犃，犅犆＝犗犆－犗犅，
２
所以
（ ）
→ → １→ → → →
犃犈·犅犆＝ 犗犆－犗犃·（犗犆－犗犅）
２
１→ １→ → → → → →
＝ 犗犆２－ 犗犆·犗犅－犗犃·犗犆＋犗犃·犗犅
２ ２
＝２．
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ３３类似地，
（ ） （ ）
→ １→ → １→ → １→ → → →
｜犃犈｜２＝ 犗犆－犗犃· 犗犆－犗犃＝ 犗犆２－犗犆·犗犃＋犗犃２＝２，
２ ２ ４
→ → → → → → → → →
｜犅犆｜２＝（犗犆－犗犅）·（犗犆－犗犅）＝犗犆２－２犗犆·犗犅＋犗犅２＝８．
所以
→ →
→ → 犃犈·犅犆 ２ １
ｃｏｓ〈犃犈，犅犆〉＝ ＝ ＝ ，
｜犃  犈 → ｜｜犅  犆 → ｜ 槡２×槡８ ２
→ → π π
因此〈犃犈，犅犆〉＝ ，即直线犃犈与犅犆所成角的大小为 ．
３ ３
（方法二）因为犗犃，犗犅，犗犆两两互
→ →
相垂直，所以能以犗为原点，犗犃，犗犅， z
→
犗犆的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴正方 C
向，建立如图１２７所示空间直角坐标系．
E
则由犗犅＝犗犆＝２犗犃＝２可知
犃（１，０，０），犈（０，０，１），
O
犅（０，２，０），犆（０，０，２）， A B y
所以犃  犈 → ＝ ，犅  犆 → ＝ x
 ，因此 图１２７
→ →
→ →
犃犈·犅犆
ｃｏｓ〈犃犈，犅犆〉＝
→ →
｜犃犈｜｜犅犆｜
１×２ １
＝ ＝ ，
槡（－１）２＋１２×槡（－２）２＋２２ ２
→ → π π
从而〈犃犈，犅犆〉＝ ，即直线犃犈与犅犆所成角的大小为 ．
３ ３
（方法三）设犗犅的中点为犉，连接犈犉，
犃犉．由犈，犉分别为犗犆，犗犅中点可知犈犉
C
为△犗犅犆的中位线，从而犈犉∥犅犆，因此直
线犃犈与犅犆所成角的大小等于直线犃犈与
E
犈犉所成角的大小．
O F
又易知犗犃＝犗犈＝犗犉＝１，而且犗犃， B
A
犗犈，犗犉两两互相垂直，因此
图１２８
犃犈＝犈犉＝犃犉＝槡１２＋１２＝槡２，
π
所以△犃犈犉是等边三角形，从而∠犃犈犉＝ ．
３
π
因此，直线犃犈与犅犆所成角的大小为 ．
３
３ ４ 第一章 空间向量与立体几何例３说明，在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可以根据有关
几何条件直接构造出相应的角求解，也可以借助空间向量求解．在使用空间
向量求解时，既可以选择合适的基底来计算，也可以通过建立空间直角坐标
系来计算．请大家自行总结这些方法的优缺点以及一般步骤．
KA
立体几何与物质的性质
从化学学科中可以知道，即使组成物质 接．从立体几何的角度来看，可以认为４个
的元素完全一样，物质的性质也有可能完全 碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱
不一样． 锥的４个顶点处，而中间的那个碳原子处于
例如，石墨和金刚石都是由碳元素组成 与这４个碳原子距离都相等的位置，如图３
的，但是它们的性质差异很大：石墨是一种 所示．
有金属光泽且不透明的细鳞片状固体，石墨
A
很软；纯净的金刚石是无色透明的正八面体
形状的固体，金刚石是天然存在的最硬的物
质．为什么会这样呢？这是因为组成这两种 E D
物质的碳原子在空间中的排列方式不同，如
B C
图１所示是组成石墨的碳原子在空间中排列
图３
的结构示意图，如图２所示则是组成金刚石
这就是说，图３中有犃犈＝犅犈＝犆犈＝
的碳原子在空间中排列的结构示意图．
犇犈．有意思的是，再根据犃犅犆犇是边长都
相等的正三棱锥，借助立体几何的知识，就
可以算出图３中以点犈为顶点的６个角的余
１
弦值均为－ （即大小约为１０９°２８′，请读者
３
自行计算）．
图１ 图２
从化学学科的物质结构与性质中，可以
事实上，组成金刚石的每个碳原子，都 找到很多与立体几何有关的知识，感兴趣的
与其相邻的４个碳原子以完全相同的方式连 读者可以进一步查阅有关资料．

L,3/K F
我们已经知道，异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线．这里
我们要讨论的是怎样用空间向量来研究异面直线．
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ３５A(
设狏，狏分别是空间中直线犾，犾的方向向量．
１ ２ １ ２
（１）如果犾与犾异面，那么狏与狏可能平行吗？
１ ２ １ ２
（２）如果狏与狏不平行，那么犾与犾一定异面吗？
１ ２ １ ２
显然，如果犾与犾异面，则狏 与狏 是不可能平行的；反之，如果狏
１ ２ １ ２ １
与狏不平行，则犾与犾可能异面，也可能相交．这就是说，“狏与狏 不平
２ １ ２ １ ２
行”是 “犾与犾异面”的必要不充分条件．
１ ２
更进一步，如图１２９ （１）（２）所示，如果犃∈犾，犅∈犾：则犾与犾
１ ２ １ ２
→ →
异面时，可知狏，狏，犃犅是不共面的；反之，如果狏，狏，犃犅不共面，
１ ２ １ ２
→
则犾与犾是异面的．也就是说，此时，“狏，狏，犃犅不共面”是 “犾与犾
１ ２ １ ２ １ ２
异面”的充要条件．
l
2
v
2
B B a
v v
a 1 A l 1 l 2 v A l 1
2 1
 
图１２９
在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，判断满足下列条件的点犕，犖

 １ １ １ １
是否存在：犕∈犃犇，犖∈犅犇，犕犖⊥犃犇，犕犖⊥犅犇．
１ １
→ → →
以犇为原点，犇犃，犇犆，犇犇
 １
的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴正方向，
z
正方体的棱长为单位长度，建立如图 D
1 C
1
１２１０所示的空间直角坐标系．则
A
1 B
犃（１，０，０），犇（０，０，１）， 1
１
犅（１，１，０），犇（０，０，０），
D C
所以犃  犇 → ＝（－１，０，１），犅  犇 → ＝（－１， O y
１
→ A
－１，０），犃犅＝（０，１，０）． B
x
假设满足条件的犕，犖存在，而且
图１２１０
→ →
犃犕＝狋犃犇＝ ，
１
→ →
犅犖＝狊犅犇＝ ，
则
→ → → → → → →
犕犖＝犕犃＋犃犅＋犅犖＝－犃犕＋犃犅＋犅犖＝（狋－狊，－狊＋１，－狋）．
３ ６ 第一章 空间向量与立体几何→ → → →
因为犕犖⊥犃犇，犕犖⊥犅犇，所以犕犖⊥犃犇，犕犖⊥犅犇，从而
１ １
→ → →
烄犕犖·犃犇＝０， 烄－（狋－狊）－狋＝０，犕犖
１ １
烅 烅
→ → →
烆犕犖·犅犇＝０ 烆－（狋－狊）－（－狊＋１）＝０，犕犖
１
解得狋＝ ，狊＝ ．
因此，满足条件的犕，犖是存在的．
一般地，如果犾与犾是空间中两条异面直线，犕∈犾，犖∈犾，犕犖⊥
１ ２ １ ２
犾，犕犖⊥犾，则称犕犖为犾与犾的公垂线段．利用例４中的方法，可以证
１ ２ １ ２
明空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．两条异面直线的公
垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
"
? 设（２，－２，１），（３，－３，１）是空间直线犾上的点，求直线犾的一个方向向量．
? 设狏，狏分别是空间中两条不重合的直线犾，犾的方向向量，分别根据下列条
１ ２ １ ２
件判断直线犾，犾的位置关系．
１ ２
（１）狏＝（０，０，１），狏＝（０，０，－３）；
１ ２
（２）狏＝（２，－１，－２），狏＝（６，－３，－６）．
１ ２
? 设狏＝（１，２，－２），狏＝（－２，３，２）分别是空间中直线犾，犾 的方向向量，
１ ２ １ ２
求直线犾，犾所成角的大小．
１ ２
→ →
? 已知点犃（３，４，５），犅（３，４，０），犅犆＝２犗犃，且犗为坐标原点，求点犆的坐标．
? 如果直线犾与直线犿平行，狏是直线犾的一个方向向量，那么狏也是直线犿的
一个方向向量吗？
#
? 已知非零向量狏，狏分别有狏∥犾，狏∥犾，是否一定存在非零实数λ，使得狏＝
１ ２ １ ２ ２
λ狏？为什么？
１
? 已知点犃（－２，３，０），犅（１，３，２），犘为线段犃犅上一点，且犃犘∶犘犅＝２∶３，
求点犘的坐标．
? 如图，在长方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中： A' D'
（１）哪些棱所在直线与直线犃犃′互为异面直线且互相垂直？
B'
C'
（２）若犃犅＝槡３，犃犃′＝１，求向量犅  犃′ → 分别与犆  犆′ → ， A D
犇  ′  犆′ → ，犅  ′犆′ → 的夹角． B C
（第３题）
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ３７? 如图，已知长方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犃犇＝犃犅＝
１ １ １ １ D C
1 1
２犇犇，判断满足下列条件的点犕，犖是否存在：犕∈
１
犃犇，犖∈犅犇，犕犖⊥犃犇，犕犖⊥犅犇． A 1 B 1 C
１ １
D
? 已知空间四边形犃犅犆犇中，犃犇⊥犅犆，犃犅⊥犆犇，求
A B
证：犃犆⊥犅犇． （第４题）
 （－１，０，１）  （０，－２，２）  （－狋，０，狋）  （－狊，－狊，０）
１ ２
 
３ ３
1.2.2 

L+" F
A(
我们已经知道，空间中的直线，根据它的方向向量和一个点，可以描述这条直
线的位置．那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？
如果α是空间中的一个平面，狀是空间中的一个非零向量，且表示狀的
有向线段所在的直线与平面α垂直，则称狀为平面α的一个法向量．此时，
也称狀与平面α垂直，记作狀⊥α．
例如，如 图 １２１１ 的 长 方 体 犃犅犆犇
→
犃犅犆犇 中，犃犃 是平面犃犅犆犇的一个法
D C
１ １ １ １ １ 1 1
→
向量，犃犃 也是平面犃犅犆犇 的一个法向 A
1 B
１ １ １ １ １ 1
量；类似地，犃  犅 → 是平面犃犇犇犃 和平面 D C
１ １
犅犆犆犅 的一个法向量． A B
１ １
图１２１１
根据定义可知，平面的法向量有如下
性质：
（１）如果直线犾垂直平面α，则直线犾的任意一个方向向量都是平面α
的一个法向量；
３ ８ 第一章 空间向量与立体几何（２）如果狀是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠０，空间向量
λ狀也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行；
（３）如果狀为平面α的一个法向量，犃为平面α上一个已知的点，则对
→ →
于平面α上任意一点犅，向量犃犅一定与向量狀垂直，即犃犅·狀＝０，从而
可知平面α的位置可由狀和犃唯一确定．
A(
（１）如果狏是直线犾的一个方向向量，狀是平面α的一个法向量，分别探讨狀∥
狏与狀⊥狏时，直线犾与平面α的关系；
（２）如果狀 是平面α 的一个法向量，狀 是平面α 的一个法向量，分别探讨
１ １ ２ ２
狀⊥狀 与狀∥狀 时，平面α 与平面α 的关系．
１ ２ １ ２ １ ２
尝试与发现 （１）中，如图１２１２ （１）（２）所示，可以看出
狀∥狏犾⊥α；
狀⊥狏犾∥α，或犾α．
l l
n v v
n
α α
 
图１２１２
尝试与发现 （２）中，如图１２１３ （１）（２）所示，可以看出
狀⊥狀α⊥α；
１ ２ １ ２
狀∥狀α∥α，或α 与α 重合．
１ ２ １ ２ １ ２
α
2
α 2 n 2 n 1
n n
2 1
α α
1 1
 
图１２１３
已知正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犕，犖分别是犃犅与犃犆

 １ １ １ １ １ １ １
的中点．求证：犕犖∥平面犃犇犇犃．
１ １
→ → →
以犃为原点，犃犅，犃犇，犃犃 的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴
 １
正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图１２１４所示的空间直角坐
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ３９标系．则
犅（１，０，０），犃（０，０，１），
z
１
犆（１，１，１）， A
1 D
１ 1
N
又因为犕是犃犅的中点，所以犕的坐标为
（ １ ） （ ） B C
1 1
１＋０ ０＋０ ０＋１ １ １
， ， ＝ ，０， ， M
２ ２ ２ ２ ２
（ ） （ A D
１ １ １ y
即犕 ，０， ．类似地，可得犖 ， O
２ ２ ２
B
）
C
１ → x
，１ ．因此犕犖＝ ．
２
图１２１４
又因为犃犅⊥平面犃犇犇犃，所以
１ １
→ →
犃犅是平面犃犇犇犃 的一个法向量，而且犃犅＝ ，因此
１ １
→ → １ １
犕犖·犃犅＝０×１＋ ×０＋ ×０＝０，
２ ２
→ →
即犕犖⊥犃犅，由图可知犕犖不在平面犃犇犇犃 内，因此
１ １
犕犖∥平面犃犇犇犃．
１ １
例１也可以通过添加辅助线来证明，请读者自行尝试．不过，例１的向
量证明方法表明，可以借助平面的法向量来讨论空间中的直线与平面、平面
与平面的平行和垂直等．
怎样才能求得空间中平面的一个法向量呢？根据直线与平面垂直的判定
定理可知：如果犃，犅，犆是平面α内不共线的三点，非零空间向量狀满足
→ →
狀⊥犃犅，狀⊥犃犆，
则狀是平面α的一个法向量．根据这一结论，通过设未知数解方程组，即可
求得平面的一个法向量．
如图１２１５所示，已知空间直角


坐标系中的三棱锥犗犃犅犆中，犗（０，０，
z
０），犃（犪，０，０），犅（０，犫，０），犆（０， C
０，犮），其中犪犫犮≠０，求平面犃犅犆的一个
法向量．
B
由已知可得
 O y
→ → → A
犃犅＝犗犅－犗犃
x
＝（０，犫，０）－（犪，０，０）
图１２１５
＝（－犪，犫，０），
→ → →
犃犆＝犗犆－犗犃
＝（０，０，犮）－（犪，０，０）
＝（－犪，０，犮）．
４ ０ 第一章 空间向量与立体几何设平面犃犅犆的一个法向量为狀＝（狓，狔，狕），则
→
烄狀·犃犅＝－犪狓＋犫狔＝０，
烅
→
烆狀·犃犆＝－犪狓＋犮狕＝０，
犪 犪
将狓看成常数，可解得狔＝ 狓，狕＝ 狓．
犫 犮
令狓＝犫犮，则狔＝犪犮，狕＝犪犫．因此，狀＝（犫犮，犪犮，犪犫）为平面犃犅犆
的一个法向量．

 3)E)
我们知道，已知空间中的平面α以及点犃，过犃作α的垂线犾，设犾与
α相交于点犃′，则犃′就是点犃在平面α内的射影 （也称为投影）．不难看
→ →
出，当犃不是平面α内的点时，如果犃的射影为犃′，则犃′犃与犃犃′都是
平面α的一个法向量．
空间中，图形犉上所有点在平面α内的射影
所组成的集合犉′，称为图形犉在平面α内的射影．
C B
例如，如图１２１６所示，如果△犃犅犆的顶点犃在
C'
平面α内，犅与犆都在平面α外，则分别过犅与 α A B'
犆作α的 垂 线，设 交 点 分 别 为 犅′，犆′，则
图１２１６
△犃犅′犆′就是△犃犅犆在平面内的射影．而且，此
→ →
时犅′犅与犆′犆都是平面α的一个法向量．
A(
已知犃犅是平面α的一条斜线且犅为斜足 （即犃犅不垂直
A
于α，且犃犅∩α＝犅），设其中犃′是犃在平面α内的射影，而犾
是平面α内的一条直线，如图１２１７所示．判断下列命题是否 B l
α A'
成立，并用空间向量证明： 图１２１７
（１）当犾⊥犃′犅时，犾⊥犃犅；
（２）当犾⊥犃犅时，犾⊥犃′犅．
→ → →
设狏∥犾，则由犃′犃⊥α且犾α可知犃′犃⊥狏，即犃′犃·狏＝０．
→ → → → →
如果犾⊥犃′犅，则狏⊥犃′犅，狏·犃′犅＝０，又因为犃犅＝犃犃′＋犃′犅＝
→ →
－犃′犃＋犃′犅，所以
→ → → → →
犃犅·狏＝（－犃′犃＋犃′犅）·狏＝－犃′犃·狏＋犃′犅·狏＝０，
因此犾⊥犃犅．
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ４１→ → → → →
如果犾⊥犃犅，则狏⊥犃犅，狏·犃犅＝０，又因为犃′犅＝犃′犃＋犃犅，所以
→ → → → →
犃′犅·狏＝（犃′犃＋犃犅）·狏＝犃′犃·狏＋犃犅·狏＝０，
因此犾⊥犃′犅．
尝试与发现中的两个结论一般称为三垂线定理及其逆定理．
三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射
影垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂
直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
如图１２１８所示，已知犃犅犆犇


犃犅犆犇 是一个正方体，求证：犃犇⊥
D C
１ １ １ １ １ 1 1
犅犇．
１
A
连接犃犇． 1 B
1
 １
因为犃犅犆犇犃犅犆犇 是正方体，
１ １ １ １
D
所以犃犅⊥平面犃犇犇犃，因此犅犇 在平 C
１ １ １
面犃犇犇犃 内的射影为犃犇．
A B
１ １ １
又因为 犃犇犇犃 是正方形，所以
１ １ 图１２１８
犃犇⊥犃犇，因此根据 可
１ １
知犃犇⊥犅犇．
１ １
如图１２１９所示的三棱锥犗犃犅犆中，


犆犗⊥犗犃，犆犗⊥犗犅，且犆犇为△犆犃犅的犃犅
C
边上的高，求证：犗犇⊥犃犅．
因为

犆犗⊥犗犃，犆犗⊥犗犅， ， O B
所以犆犗⊥平面犗犃犅．
D
A
因此犆犇在平面犗犃犅内的射影为犗犇，又
图１２１９
因为犆犇⊥犃犅，所以根据 可知
犗犇⊥犃犅．
"
? 设狀，狀 分别是空间中两个不重合的平面α， β 的法向量，分别根据下列条件
１ ２
判断平面α，
β
的位置关系．
（１）狀＝（－２，１，２），狀＝（６，－３，－６）；
１ ２
（２）狀＝（１，２，３），狀＝（３，６，９）．
１ ２
４ ２ 第一章 空间向量与立体几何? 设狀＝（－２，２，５），狀＝（３，－２，２）分别是空间中平面α， β 的法向量，判
１ ２
断平面α，
β
是否垂直．
? 如果平面α与平面 β 平行，狀是平面α的一个法向量，那么狀是平面 β 的一个法
向量吗？
#
? 已知狀⊥α，狀⊥α，是否一定存在非零实数λ，使得狀＝λ狀？为什么？
１ ２ ２ １
? 用平面的法向量证明平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交
直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
? 已知犃（３，０，０），犅（０，４，０），犆（０，０，５），求平面犃犅犆的一个法向量的坐标．
? 如图所示，已知四棱锥犘犃犅犆犇的底面犃犅犆犇是平行四边形，且犘犃⊥底面
犃犅犆犇，如果犅犆⊥犘犅，求证：犃犅犆犇是矩形．
P
P
A D A
D
O
B C B C
（第４题） （第５题）
? 如图所示，已知△犃犅犆中，犃犆＝犅犆，犇为犃犅的中点，犗为犆犇上一点，
犘犗⊥平面犃犅犆，求证：犃犅⊥犘犆．
（ ）
１ １
 ０， ，  （１，０，０）  三垂线定理 犗犃∩犗犅＝犗
２ ２
 三垂线定理的逆定理
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ４３1.2.3 

,3L+>

日常生活中，很多场景中都有直线
与平面成一定角度的形象．例如，如图
１２２０ （１）所示，握笔写字时，如果
把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则
直线与平面成一定角度；如图１２２０
（２）所示，地球仪的地轴 （即旋转轴）
（１） （２）
与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌
图１２２０
面成一定角度．那么，怎样来刻画直线
与平面所成的角呢？
这一小节我们要学习的就是空间中直线与平面所成的角．
先从特殊情况入手．如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这
个平面所成的角为９０°；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，
则称这条直线与这个平面所成的角为０°．
A(
如图１２２１所示，设犾是平面α的一条斜线，犿是平面α内
l
的任意一条直线．能否将犿与犾所成的角定义为直线犾与平面α
所成的角？如果不能，该怎样规定直线犾与平面α所成的角？
α m
图１２２１
图１２２１中，当犿的位置不同时，犿与犾所
成角的大小可能也不同，因此不能将其定义为直
A
线犾与平面α所成的角．
注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯 B
α A'
一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射
影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角． 图１２２２
４ ４ 第一章 空间向量与立体几何例如，如图１２２２所示，如果直线犃犅是平面α的一条斜线，犅为斜足，
犃′犅是直线犃犅在平面α内的射影，则∠犃犅犃′就是直线犃犅与平面α所成
的角．
下面我们来讨论斜线与平面所成角的性质．
A(
如图１２２３所示，设犃犗是平面α的一条斜线段，犗
A
为斜足，犃′为犃在平面α内的射影，而犗犕是平面α内的
一条射线，犃′犕⊥犗犕．记
θ
∠犃犗犃′＝θ，∠犃′犗犕＝θ，∠犃犗犕＝θ． θ
１ ２ O 1 A'
θ
2
（１）从直观上判断θ与θ的大小关系；
α M
１
图１２２３
（２）说明犃犕⊥犗犕是否成立，探究θ，θ，θ三者
１ ２
之间的等量关系．
图１２２３中，注意到犃犃′⊥α，所以△犃犃′犗，△犃犃′犕都是直角三角
形，而且犃′犕是犃犕在平面α内的射影．因此，根据犃′犕⊥犗犕与三垂线
定理可知犃犕⊥犗犕，所以△犃犕犗也是直角三角形．
如果设犗犃＝１，则在Ｒｔ△犃犃′犗中，
犗犃′＝犗犃ｃｏｓθ＝ｃｏｓθ，
１ １
因此在Ｒｔ△犗犕犃′中，
犗犕＝犗犃′ｃｏｓθ＝ｃｏｓθｃｏｓθ；
２ １ ２
另一方面，在Ｒｔ△犃犕犗中，有
犗犕＝犗犃ｃｏｓθ＝ｃｏｓθ．
因此
ｃｏｓθ＝ｃｏｓθｃｏｓθ．
１ ２
一般地，因为０≤ｃｏｓθ≤１，所以由上式可知ｃｏｓθ≤ｃｏｓθ，因为θ和
２ １ １
θ都是锐角，所以可得θ≤θ．这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是
１
斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
引进了平面的斜线与平面所成的角之后，空间中任意一条直线与任意一个
平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角．
如图１２２４所示，已知∠犅犃犆在平面α内，过该角的顶点犃引


平面α的斜线犃犘，且使∠犘犃犅＝∠犘犃犆，求证：斜线犃犘在平面α内的
射影平分∠犅犃犆．
设点犘在平面α内的射影为点犕，则犃犕为犃犘在平面α内的

１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ４５射影．
根据前面的结论有
P
ｃｏｓ∠犘犃犅＝ｃｏｓ∠犘犃犕ｃｏｓ∠犅犃犕，
ｃｏｓ∠犘犃犆＝ｃｏｓ∠犘犃犕ｃｏｓ∠犆犃犕，
B
由∠犘犃犅＝∠犘犃犆可得
A M
ｃｏｓ∠犅犃犕＝ｃｏｓ∠犆犃犕， α C
因此∠犅犃犕＝∠犆犃犕，即犃犕平分∠犅犃犆．
图１２２４
A(
如图１２２５所示，犘是平面α外一点，犘在平面α内的 P
射影为犘′．过犘作平面α的斜线段犘犃，犘犃，且犃，犃
１ ２ １ ２
均为斜足，设犘犃，犘犃 与平面α所成角分别为θ，θ．试
１ ２ １ ２
判断犘犃 １ ＝犘犃 ２ 是θ １ ＝θ ２ 的什么条件，犘′犃 １ ＝犘′犃 ２ 是 A 1 θ 1 P' θ 2 A 2 α
θ＝θ的什么条件． 图１２２５
１ ２
注意到犘犘′⊥α，所以△犘犘′犃 与△犘犘′犃 都是直角三角形，从而
１ ２
犘犘′＝犘犃ｓｉｎθ＝犘犃ｓｉｎθ，
１ １ ２ ２
再根据θ，θ都是锐角可知犘犃＝犘犃 是θ＝θ的充要条件；类似地，因为
１ ２ １ ２ １ ２
犘犘′＝犘′犃ｔａｎθ＝犘′犃ｔａｎθ，
１ １ ２ ２
所以犘′犃＝犘′犃 也是θ＝θ的充要条件．
１ ２ １ ２
这一结果可以总结为，经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜
线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对
应相等．
从上面还可以看出，当线段犃犅所在的直线与平面α所成的角为θ，且
犃犅在平面α内的射影为犃′犅′时，有
犃′犅′＝犃犅ｃｏｓθ，
请读者自行作图理解这一结论．

*/K F!,3L+>
不难想到，可以借助直线的方向向量和平面的法向量来研究直线与平面
所成的角．
A(
如果狏是直线犾的一个方向向量，狀是平面α的一个法向量，设直线犾与平面
α所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与〈狏，狀〉的关系．
４ ６ 第一章 空间向量与立体几何如图１２２６ （１）（２）所示，可以看出
π π
θ＝ －〈狏，狀〉或θ＝〈狏，狀〉－ ，
２ ２
特别地，
ｃｏｓθ＝ｓｉｎ〈狏，狀〉，ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈狏，狀〉｜．
l l
v v
n n
θ θ
α α
 
图１２２６
已知犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′是正方


z
体，求犅′犇′与平面犃′犅犆犇′所成角的
大小． D' C'
→
（方法一）以犇为原点，犇犃， A'
B'

→ →
犇犆，犇犇′的方向分别为狓轴、狔轴、狕
轴正方向，正方体的棱长为单位长度， D C
y
O
建立如图１２２７所示的空间直角坐标
A
B
系．则
x
犃′（１，０，１），犅（１，１，０），
图１２２７
犇′（０，０，１），犅′（１，１，１），
所以
→ → →
犃′犅＝（０，１，－１），犃′犇′＝（－１，０，０），犇′犅′＝ ．
设平面犃′犅犆犇′的一个法向量为狀＝（狓，狔，狕），则
→
烄狀·犃′犅＝狔－狕＝０，
烅
→
烆狀·犃′犇′＝－狓＝０，
取狕＝１，可得狀＝ ．
又因为
→
→ 犇′犅′·狀 １ １
ｃｏｓ〈犇′犅′，狀〉＝ ＝ ＝ ，
｜犇  ′  犅′ → ｜｜狀｜ 槡２×槡２ ２
→ π
所以〈犇′犅′，狀〉＝ ，从而可知犅′犇′与平面犃′犅犆犇′所成角的大小为
３
π π π
－ ＝ ．
２ ３ ６
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ４７（方法二）设犃′犅的中点为犈，连接
D' C'
犅′犈，犇′犈，如图１２２８所示．
因为犃犅犅′犃′是正方形，所以犅′犈⊥犃′犅． A'
B'
又因为犇′犃′⊥平面犃犅犅′犃′，且犅′犈
E
平面犃犅犅′犃′，所以犇′犃′⊥犅′犈．
D C
再根据犇′犃′∩犃′犅＝犃′可知犅′犈⊥平
A B
面犃′犅犆犇′．
图１２２８
因此，犅′犇′在平面犃′犅犆犇′内的射影为
犇′犈，所以∠犅′犇′犈就是犅′犇′与平面犃′犅犆犇′所成角．
因为正方体中有犅′犇′＝２犅′犈，所以在Ｒｔ△犅′犈犇′中，ｓｉｎ∠犅′犇′犈＝
 ，又因为∠犅′犇′犈是一个锐角，所以∠犅′犇′犈＝ ，
即犅′犇′与平面犃′犅犆犇′所成角的大小为 ．
例２中的方法一利用的是空间向量，方法二是根据直线与平面所成角的
定义找出相应角之后再求出，请读者自行总结两种方法的优缺点，并总结每
种方法的一般步骤．
"
? 如果θ是直线与平面所成的角，写出θ的取值范围．
? 已知直线犾与平面α所成的角为θ，且犃，犅是直线犾上两点，分别根据以下条
件，求线段犃犅在平面α内的射影的长：
π π
（１）犃犅＝６，θ＝ ； （２）犃犅＝１０，θ＝ ．
６ ４
? 如果狏是直线犾的一个方向向量，狏是直线犾在平面α内的射影的一个方向向
１ ２
量，设直线犾与平面α所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与〈狏，狏〉的关系．
１ ２
#
? 已知犃犅犆犇犃犅犆犇 是正方体，找出体对角线犅犇 分别
１ １ １ １ １
与平面犃犅犆犇、平面犃犅犅犃、平面犅犆犆犅 所成的角，并
１ １ １ １
求这些角的余弦值．
D C
1 1
? 已知犾是平面α内的一条直线，犿是平面α的一条斜线，且
A
犿在平面α内的射影为犿′，若犾与犿的夹角为６０°，犾与犿′ 1 B
1
的夹角为４５°，求犿与平面α所成角的大小． M
D C
? 如图所示，已知正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犕是犅犅 的
１ １ １ １ １
A B
中点，求直线犃犕与平面犃犕犆 所成角的正弦值． （第３题）
１ １
４ ８ 第一章 空间向量与立体几何１ π π
 （１，１，０）  （０，１，１）   
２ ６ ６
1.2.4 

L>F

日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象．例如，如图１２２９
（１）所示，在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角
度；如图１２２９ （２）所示，很多屋顶都是二面角的形象．
（１） （２）
图１２２９
你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？
我们已经知道，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一
部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二
面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．
如图１２３０所示，在二面角α犾β 的棱上
任取一点犗，以犗为垂足，分别在半平面α和
α
β
内作垂直于棱的射线犗犃和犗犅，则射线犗犃 A
l
和犗犅所成的角称为二面角的平面角．二面角 O
β B
的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大
图１２３０
小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直
角的二面角称为直二面角．
本书中，我们约定，二面角及其平面角的大小不小于０°，不大于１８０°．
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ４９而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面
角中，不小于０°且不大于９０°的角的大
小．这样约定后，一个二面角的大小及两
个相交平面所成角的大小都是唯一确定的．
事实上，我们在地理学科中所学过的
黄赤交角，指的就是黄道平面 （即地球公
转的轨道所在平面）与赤道平面之间的夹
图１２３１
角，它的大小为２３°２６′，如图１２３１所示．
如图１２３２所示，已知二面角α犾β 的棱上有犃，犅两个点，


犃犆α，犃犆⊥犾，犅犇β ，犅犇⊥犾，若犃犅＝６，犃犆＝３，犅犇＝４，犆犇＝
７，求二面角α犾β 的大小．
α C α C
B B
l l
A A
β D β E D
图１２３２ 图１２３３
如图１２３３所示，在平面
β
内过犃作犅犇的平行线犃犈，且使得

犃犈＝犅犇，连接犆犈，犈犇．
因为四边形犃犈犇犅是一个矩形，∠犆犃犈是二面角α犾β 的一个平面
角，且犃犅⊥面犃犈犆，所以犈犇⊥面犃犈犆，从而
犆犈＝槡犆犇２－犈犇２＝槡犆犇２－犃犅２＝槡７２－６２＝槡１３．
在△犃犈犆中，由余弦定理可知
犃犆２＋犃犈２－犆犈２ ３２＋４２－１３ １
ｃｏｓ∠犆犃犈＝ ＝ ＝ ，
２犃犆×犃犈 ２×３×４ ２
π
因此∠犆犃犈＝ ．
３
π
即所求二面角的大小为 ．
３
A(
如图１２３４所示，设犛为二面角α犃犅β 的半平面α上
α
S
的一点，过点犛作半平面
β
的垂线犛犛′，设犗为棱犃犅上
β
一点． S'
（１）判断犛犗⊥犃犅是犛′犗⊥犃犅的什么条件； A O B
图１２３４
（２）由二面角的平面角作法，你能得到什么启发？
５ ０ 第一章 空间向量与立体几何因为犛′是犛在平面
β
内的射影，所以犛′犗是犛犗在平面
β
内的射影，从
而根据三垂线定理及其逆定理可知，犛犗⊥犃犅是犛′犗⊥犃犅的充要条件．
当二面角α犃犅β 是一个锐角时，由此我们能得到作出它的平面角的另
一种方法：过其中一个半平面内一点犛，作另一个半平面的垂线段犛犛′，过
犛（或犛′）作棱的垂线犛犗（或犛′犗），连接犛′犗（或犛犗）即可．
在图１２３４中，如果二面角α犃犅β 的大小为θ，则可以看出△犛′犃犅
与△犛犃犅在犃犅边上的高之比为ｃｏｓθ，因此这两个三角形的面积之比也为
ｃｏｓθ．
如图１２３５所示三棱锥犛犃犅犆中，平面犛犃犆⊥平面犃犅犆，犛犃


＝犛犆＝槡３，犃犅＝犅犆＝２，且犃犅⊥犅犆，求二面角犛犃犅犆的大小．
S S
A C A C
O
E
B B
图１２３５ 图１２３６
设犗，犈分别为犃犆，犃犅的中点，连接犛犗，犗犈，犛犈，如图１２３６

所示．
因为犛犃＝犛犆，所以犛犗⊥犃犆，又因为平面犛犃犆⊥平面犃犅犆，所以
犛犗⊥平面犃犅犆，
因此犛犈在平面犃犅犆内的射影为 ．又因为犗犈为△犃犅犆
的中位线，犃犅⊥犅犆，所以犃犅⊥犗犈，从而由三垂线定理可知犃犅⊥犛犈，
因此∠犛犈犗为二面角犛犃犅犆的一个平面角．
由犃犅＝犅犆＝２且犃犅⊥犅犆可知犃犆＝槡２２＋２２＝ ，
又因为
犛犗＝槡犛犃２－犃犗２＝ ，
１
而且犈犗＝ 犅犆＝１，从而可知∠犛犈犗＝４５°，即所求二面角大小为４５°．
２

*/K F!L>+
同前面一样，可以借助平面的法向量来研究平面与平面所成的角．
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ５１A(
如果狀，狀 分别是平面α，α 的一个法向量，设α 与α 所成角的大小为θ，
１ ２ １ ２ １ ２
通过作图讨论θ与〈狀，狀〉的关系．
１ ２
如图１２３７ （１）（２）所示，可以看出
θ＝〈狀，狀〉或θ＝π－〈狀，狀〉，
１ ２ １ ２
特别地，
ｓｉｎθ＝ｓｉｎ〈狀，狀〉．
１ ２
α α
2 2
n
1
n n
2 2
n α α
θ 1 1 θ 1
 
图１２３７
如图１２３８所示，已知四棱锥犛


犃犅犆犇中，犛犃⊥平面犃犅犆犇，犃犅犆犇为 z
直角梯形，∠犇犃犅＝∠犃犅犆＝９０°，且 S
犛犃＝犃犅＝犅犆＝３犃犇，
y
求平面犛犃犅与犛犆犇所成角的正弦值．
C
B
依题意，犃犇，犃犅，犃犛两两互相
O
 → → → A D x
垂直．以犃为原点，犃犇，犃犅，犃犛的方向
图１２３８
分别为狓轴、狔轴、狕轴正方向，犃犇的长
为单位长度，建立如图１２３８所示的空间直角坐标系．则
犃（０，０，０），犛（０，０，３），犆（３，３，０），犇（１，０，０），
所以
→ → →
犃犇＝（１，０，０），犇犛＝（－１，０，３），犇犆＝ ．
→
显然，犃犇是平面犛犃犅的一个法向量．
设平面犛犆犇的一个法向量为狀＝（狓，狔，狕），则
→
烄狀·犇犛＝－狓＋３狕＝０，
烅
→
烆狀·犇犆＝２狓＋３狔＝０，
令狓＝３，可得狔＝－２，狕＝１，此时狀＝（３，－２，１）．
因为
５ ２ 第一章 空间向量与立体几何→
→ 犃犇·狀 ３ ３槡１４
ｃｏｓ〈犃犇，狀〉＝ ＝ ＝ ，
｜犃  犇 → ｜｜狀｜ １×槡１４ １４
槡
９ 槡７０
所以可知所求角的正弦值为 １－ ＝ ．
１４ １４
如图 １２３９ 所示，已知直三棱柱


犃犅犆犃犅犆 中，∠犃犆犅＝９０°，犃犆＝犅犆＝１， z
１ １ １
犃犃＝２，且犇是犃犃 的中点．求平面犅犇犆与 C
1 B
１ １ 1
A
平面犅犇犆 所成角的大小． 1
１
依题意，犆犃，犆犅，犆犆 两两互相垂直．
 １
D
→ → →
以犆为原点，犆犃，犆犅，犆犆 的方向分别为狓
１ C
轴、狔轴、狕轴正方向，建立如图１２３９所示 O B y
A
的空间直角坐标系．则 x
犆（０，０，０），犅（０，１，０）， 图１２３９
犇（１，０，１），犆（０，０，２），
１
所以
→ →
犆犅＝（０，１，０），犆犇＝（１，０，１），
→ →
犇犆＝（－１，０，１），犅犆＝（０，－１，２）．
１ １
设平面犅犇犆的一个法向量为狀＝（狓，狔，狕），则
１ １ １
→
烄狀·犆犅＝狔＝０，
１
烅
→
烆狀·犆犇＝狓＋狕＝０，
１ １
令狕＝１，则得狓＝－１，狔＝０，此时狀＝（－１，０，１）．
１ １ １
设平面犅犇犆 的一个法向量为犿＝（狓，狔，狕），则
１ ２ ２ ２
→
烄犿·犇犆＝－狓＋狕＝０，
１ ２ ２
烅
→
烆犿·犅犆＝－狔＋２狕＝０，
１ ２ ２
令狕＝１，则得狓＝１，狔＝２，此时犿＝（１，２，１）．
２ ２ ２
因为
狀·犿＝ ，
所以〈狀，犿〉＝９０°，从而可知平面犅犇犆与平面犅犇犆 所成角的大小为
１
９０°，也就是说，这两个平面是互相垂直的．
需要说明的是，例３与例４都可以不借助空间向量求解，请读者自行尝
试，并分别总结各种方法的优缺点与一般步骤．
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ５３"
π
? 已知二面角犘犃犅犘′的大小为 ，且犘犘′⊥平面犃犅犘′，△犃犅犘的面积为３，
６
求△犃犅犘′的面积．
? 已知直二面角α犾β 的棱上有犃，犅两个点，犃犆α，犃犆⊥犾，犅犇β ，犅犇⊥
犾，若犃犅＝５，犃犆＝３，犅犇＝８，求犆犇的长．
? 如果狀，狀 分别是平面α，α 的一个法向量，设α 与α 所成角的大小为θ，
１ ２ １ ２ １ ２
写出ｃｏｓθ与ｃｏｓ〈狀，狀〉之间的关系．
１ ２
#
? 已知犃（１，０，０），犅（０，２，０），犆（０，０，３），分别求平面犃犅犆与三个坐标平
面所成角的余弦值．
? 已知正三棱锥犛犃犅犆的所有棱长都为１，求其侧面与底面所 P
成角的余弦值．
? 如图，已知犃犅是圆的直径，且犃犅＝４，犘犃垂直于圆所在的 M
A B
平面，且犘犃＝２槡３，犕是圆周上一点，且∠犃犅犕＝３０°，求
（第３题）
二面角犃犅犕犘的大小．
犗犈 ２槡２  槡３－２＝１  （２，３，０）  （－１）×１＋０×２＋１×１＝０
1.2.5 

“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的
刹车距离是多少，等等．数学中的 “距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来
的，要求具有准确的定义，以避免歧义．到目前为止，你学过哪些平面内的 “距离”？
这些 “距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具
有的性质吗？
５ ４ 第一章 空间向量与立体几何在小学和初中阶段，我们就已经学习过：
两点间的所有连线中，线段最短，连接两点间的线段的长度称为两点间
的距离；
从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短，它的长度称为这
个点到直线的距离；
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，称为这两条
平行线之间的距离．
由上可以看出，这些距离都可以归结为点与点
的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度．
A
例如，如图１２４０所示△犃犅犆中，犅犆边上的高
犃犇的长就是顶点犃到直线犅犆的距离，也就是犃
D B C
与直线犅犆上的点的最短连线的长度．
显然，空间中任意两个图形之间的距离也具有 图１２４０
类似的性质，此距离要小于等于两个端点分别在这
两个图形上的线段长．

/K%K+C.
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长．因为向量的长
度表示的是向量的始点与终点之间的距离，所以可通过向量来求空间中两点
之间的距离．
如图１２４１所示，已知犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′


是平行六面体，犃犇＝３，犃犅＝４，犃犃′＝５，
B'
A'
∠犅犃犇＝９０°，∠犅犃犃′＝ ∠犇犃犃′＝６０°，求
D' C'
犃犆′的长．
→ → →
由已知可得犃犇，犃犅，犃犃′不共面， A B

而且 C
D
→ → →
｜犃犇｜＝３，｜犃犅｜＝４，｜犃犃′｜＝５，
图１２４１
从而
→ →
犃犇·犃犅＝０，
→ →
犃犇·犃犃′＝３×５×ｃｏｓ６０°＝７．５，
→ →
犃犅·犃犃′＝ ．
又因为
→ → → → → → →
犃犆′＝犃犇＋犇犇′＋犇′犆′＝犃犇＋犃犃′＋犃犅，
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ５５所以
→ → → →
｜犃犆′｜２＝（犃犇＋犃犃′＋犃犅）２
→ → → → → → →
＝｜犃犇｜２＋｜犃犃′｜２＋｜犃犅｜２＋２犃犇·犃犃′＋２犃犇·犃犅＋
→ →
２犃犃′·犃犅
＝３２＋５２＋４２＋２×７．５＋２×１０
＝８５，
→
因此｜犃犆′｜＝槡８５，即所求长为槡８５．
例１也可以不借助向量而通过构造三角形或建立空间直角坐标系来求
解，请读者自行尝试，并分别总结不同解法的一般步骤与联系．

%,3+C.
给定空间中一条直线犾及犾外一点犃，因为犾与犃能确定一个平面，所
以过犃可以作直线犾的一条垂线段，这条垂线段的长称为点犃到直线犾的
距离 ①．点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度．
例如，如图１２４２所示，点犃是直线犾外一点，
若犃犅是直线犾的垂线段，则犃犅的长度就是点犃 A
→
到直线犾的距离，这一距离也等于｜犃犅｜．
已知正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 的棱长 l
B

 １ １ １ １
为１，求点犆 到直线犅犇 的距离．
图１２４２
１ １
→ → →
以犇为原点，犇犃，犇犆，犇犇
 １
的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴正方
z
向，建立如图１２４３所示的空间直角坐 D C
1 1
标系，则
A B
1 1
犅（１，１，０）， E
犇（０，０，１），
１ O D C
犆（０，１，１）， y
１
A
因此犅  犇 → ＝（－１，－１，１）． B
x
１
→ →
设犈满足犅犈＝λ犅犇 且犆犈⊥
图１２４３
１ １
犅犇，则
１
→ → →
犇犈＝犇犅＋λ犅犇＝（１，１，０）＋λ（－１，－１，１）
１
＝（１－λ，１－λ，λ），
① 如果点犃是直线犾上的点，则约定犃到直线犾的距离为０．
５ ６ 第一章 空间向量与立体几何即犈（１－λ，１－λ，λ），所以
→
犆犈＝（１－λ，－λ，λ－１）．
１
→ →
又因为犆犈⊥犅犇，所以犆犈·犅犇＝０，即
１ １ １ １
（－１）×（１－λ）＋（－１）×（－λ）＋１×（λ－１）＝０，
（ ）
２ → １ ２ １
解得λ＝ ，因此犆犈＝ ，－ ，－ ，从而可知点犆 到直线犅犇
３ １ ３ ３ ３ １ １
的距离为
（ ） （ ） （ ）
→ 槡 １ ２ ２ ２ １ ２ 槡６
｜犆犈｜＝ ＋ － ＋ － ＝ ．
１ ３ ３ ３ ３
例２中，也可不借助空间向量求点犆 到直线犅犇 的距离，请读者自行
１ １
尝试，并总结出不同方法的优缺点．

%L+C.
给定空间中一个平面α及α外一点犃，过犃可以作平面α的一条垂线
段，这条垂线段的长称为点犃到平面α的距离 ①．点到平面的距离也是这个
点与平面内点的最短连线的长度．
例如，如图１２４４所示，点犃是平面α外
一点，若犃犃′是平面α的垂线段 （即犃′为犃在
A
n
平面α内的射影），则平面α内不同于犃′的任 0
意一点犅，一定满足
B A'
α
犃犅＞犃犃′．
这是因为犃犅与犃犃′分别是Ｒｔ△犃犃′犅的斜边 图１２４４
与一条直角边．
A(
（１）在图１２４４中，设狀 是平面α的一个单位法向量 （即｜狀｜＝１），因为
０ ０
→
犃犃′⊥α，所以表示狀 的有向线段可以在直线犃犃′上，指出犅犃·狀 的几何意义
０ ０
与犃犃′的关系；
→
（２）一般情况下，若犃是平面α外一点，犅是平面α内一点，如何根据犅犃
和平面α的一个法向量狀表示出点犃到平面α的距离？
因为犪与犫的数量积等于犪在犫上的投影的数量与犫的长度的乘积，而
① 如果点犃是平面α内一点，则约定犃到平面α的距离为０．
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ５７→ →
狀 是平面α的一个单位法向量，所以犅犃·狀 等于犅犃在狀 上的投影的数
０ ０ ０
→
量，因此在图１２４４中，有犅犃·狀＝犃′犃．
０
一般地，若犃是平面α外一点，犅是平面α内一点，狀是平面α的一个
法向量，则点犃到平面α的距离
→
｜犅犃·狀｜
犱＝ ．
｜狀｜
如图１２４５所示，四棱锥犘犃犅犆犇


中，底面犃犅犆犇是一个边长为１的正方 z
P
形，犘犃⊥平面犃犅犆犇，犘犃＝１．求点犇
到平面犘犅犆的距离．
依题意，犃犅，犃犇，犃犘是两两

→ →
互相垂直的．以犃为原点，犃犅，犃犇， D
A
y
→ O
犃犘的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴正方
B
向，建立如图１２４５所示的空间直角坐 x C
标系．则
图１２４５
犅（１，０，０），犆（１，１，０），
犇（０，１，０），犘（０，０，１），
所以
→ → →
犅犆＝（０，１，０），犅犘＝ ，犘犇＝ ．
设平面犘犅犆的一个法向量为狀＝（狓，狔，狕），则
→
烄狀·犅犆＝狔＝０，
烅
→
烆狀·犅犘＝－狓＋狕＝０，
令狕＝１，则得狓＝１，狔＝０，此时狀＝（１，０，１）．
因为
→
｜犘犇·狀｜ ｜０×１＋１×０＋（－１）×１｜ 槡２
＝ ＝ ，
｜狀｜ 槡１２＋０２＋１２ ２
槡２
所以点犇到平面犘犅犆的距离为 ．
２
→ →
例３中，也可借助犆犇或犅犇来计算点犇到平面犘犅犆的距离，请读者
自行尝试，并总结出用向量法求点到平面距离的一般方法．

,=+,3LK,=+LLK+C.
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这
５ ８ 第一章 空间向量与立体几何个平面之间的距离；当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平
面的距离称为这两个平行平面之间的距离．一般地，与两个平行平面同时垂
直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为
这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂
线段的长．
这就是说，直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离，都可以归
结成点到平面的距离，因此同样可以通过空间向量来求得．
例如，如图１２４６所示，如果直线犾与平面α平行，狀是平面α的一个
法向量，犃，犅分别是犾上和α内的点，则直线犾与平面α之间的距离为
→
｜犅犃·狀｜
犱＝ ；
｜狀｜
如图１２４７所示，如果平面α与平面
β
平行，狀是平面
β
的一个法向量 （当
然也是平面α的一个法向量），犃和犅分别是平面α与平面
β
内的点，则平
面α与平面
β
之间的距离为
→
｜犅犃·狀｜
犱＝ ．
｜狀｜
A A
l
n α
n
B B
α A' β A'
图１２４６ 图１２４７
已知棱长为２的正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈，犕，犖分别

 １ １ １ １
为犃犅，犃犇，犆犆 的中点，判断直线犃犆与平面犈犕犖的关系．如果平
１ １ １
行，求出犃犆与平面犈犕犖之间的距离；如果不平行，说明理由．
→ → →
以犇为原点，犇犃，犇犆，犇犇
 １
的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴正方向， z
建立如图１２４８所示的空间直角坐标系． D 1 C 1
由正方体的棱长为２个单位长度，有
A
E
B
1 1
N
犕（１，０，０），犈（２，１，２），
犖（０，２，１），犃（２，０，０）， D C
y
M O
犆（０，２，０），
A
B
所以
x
图１２４８
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ５９→
犕犈＝（１，１，２），
→
犕犖＝（－１，２，１），
→
犃犆＝（－２，２，０）．
设平面犈犕犖的一个法向量为狀＝（狓，狔，狕），则
→
烄狀·犕犈＝狓＋狔＋２狕＝０，
烅
→
烆狀·犕犖＝－狓＋２狔＋狕＝０，
令狕＝１，则得狀＝ ．
因为
→
犃犆·狀＝（－２）×（－１）＋２×（－１）＋０×１＝０，
→
所以犃犆⊥狀，又因为点犃显然不在平面犈犕犖内，所以犃犆与平面犈犕犖
平行．
→
又因为犕犃＝（１，０，０），所以
→
｜犕犃·狀｜
＝ ，
｜狀｜
因此点犃到平面犈犕犖的距离为 ，这也是犃犆与平面
犈犕犖之间的距离．
"
? 已知平面α外一点犃到平面α的距离为犱，且点犃到平面α内一点犅的距离为
５，写出犱的取值范围．
? 空间中到已知平面α的距离等于３ｃｍ的所有点组成的集合是什么图形？
? 已知平面α与平面 β 平行，且这两个平面之间的距离为４ｃｍ，
O
则到α，
β
的距离相等的所有点组成的集合是什么图形？
? 已知二面角α犾β 的大小为４５°，点犃∈α，点犃到犾的距
离等于２，求点犃到半平面
β
的距离．
C
B
? 如图所示，已知Ｒｔ△犃犆犅在平面α内，犇是斜边犃犅的中
α A D
（第５题）
点，犗犆⊥α，且犗到平面α的距离为１２ｃｍ，犃犆＝６ｃｍ，
犅犆＝８ｃｍ，求线段犗犃，犗犅，犗犇的长．
#
? 已知正四面体犃犅犆犇的棱长都为１，点犕，犖分别是犃犅，犆犇的中点，求犕，
犖这两点间的距离．
６ ０ 第一章 空间向量与立体几何? 如图所示，已知正三角形犃犅犆的中心为犗，犗犘⊥平面犃犅犆
P
且犃犅＝２犗犘＝２ｃｍ，求点犘到这个正三角形各边的距离．
? 已知三棱锥犗犃犅犆中，犗犃，犗犅，犗犆的长度均为２，且 C
两两互相垂直，求点犗到平面犃犅犆的距离． O
A B
? 已知犃（２，２，０），犅（１，４，２），犆（０，０，５），求原点犗
（第２题）
到平面犃犅犆的距离．
? 已知正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱长为１．
（１）求犅′到平面犃′犆′犅的距离；
（２）求平面犃′犆′犅与平面犇′犃犆之间的距离．
４×５×ｃｏｓ６０°＝１０  （－１，０，１）  （０，１，－１）  （－１，－１，１）
｜（－１）×１＋（－１）×０＋１×０｜ 槡３ 槡３
 ＝ 
槡（－１）２＋（－１）２＋１２ ３ ３
"
? 已知犃犅犆犇犃犅犆犇 是正方体，求直线犃犇与直线犅犇 所成角的大小．
１ １ １ １ １ １
? 已知犃（１，０，１），犅（０，１，０），犆（０，０，１），求平面犃犅犆的一个单位法向
量的坐标．
π
? 如果直线犾与平面α所成的角为 ，且犃，犅是直线犾上两点，线段犃犅在平
６
面α内的射影的长为３，求线段犃犅的长．
? 如图所示三棱锥犘犃犅犆中，已知犃犆⊥犅犆，且犆犇⊥犃犅，犘犆⊥平面犃犅犆，
分别写出图中所有：
P
C B
D
A
（第４题）
（１）所在直线与犘犆垂直的线段；
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ６１（２）所在直线与犃犘垂直的线段；
（３）直角三角形．
? 已知四面体犃犅犆犇中，犃犅＝犃犆，犇犅＝犇犆，点犕为棱犅犆的中点，指出平
面犃犇犕的一个法向量．哪两个平面互相垂直？为什么？
? 已知线段犃犅在平面α内的射影是犃′犅′，分别根据下列条件求直线犃犅与平
面α所成角的大小：
（１）犃犅＝６，犃′犅′＝３； （２）犃犅＝槡２，犃′犅′＝１；
（３）犃犅＝２，犃′犅′＝２； （ ４） 犃犅＝２，犃′犅′＝０．
? 如图所示，在正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，求直线犇犃′与直线犃犆的所成角
的大小．
D' C'
A'
B'
D
C
A B
（第７题）
π
? 已知二面角犘犃犅犘′的大小为 ，且犘′犘⊥平面犃犅犘，△犃犅犘的面积为５，
４
求△犃犅犘′的面积．
#
? 已知犃犅是平面α的一条斜线且犅为斜足，设犃犅的射影是犃′犅，而犾是与
平面α平行的一条直线．判断下列命题是否成立，并用空间向量证明：
（１）当犾⊥犃′犅时，犾⊥犃犅； （２）当犾⊥犃犅时，犾⊥犃′犅．
? 已知犃犅犆犇犃犅犆犇 是正方体，分别写出犃犅与犃犇，犃犇与犇犆，
１ １ １ １ １ １ １ １
犃犆 与犅犇的公垂线段．
１ １
? 如图所示，已知四棱锥犘犃犅犆犇中，犃犅犆犇为矩形，
P
犘犇⊥平面犃犅犆犇，犘犇＝３，犃犅＝５，犅犆＝４，求下列
各对异面直线所成角的余弦值：
D C
（１）犘犆与犃犅；
A B
（２）犘犇与犃犅；
（第３题）
（３）犘犃与犅犆．
６ ２ 第一章 空间向量与立体几何? 如图所示，直三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，犃犆⊥犅犆，点犕在线段犃犅上，犃犆＝
１ １ １
犅犆＝犆犆＝３，犃犕＝槡２，求直线犃犆 与平面犅犕犆所成角的正弦值．
１ １ １
C B E
1 1
A
1
A D
C B
B C
A M
（第４题） （第５题）
? 如图所示，已知四棱锥犈犃犅犆犇中，犃犅犆犇是直角梯形，∠犃犅犆＝∠犅犃犇＝
９０°，犅犈⊥平面犃犅犆犇，犃犅＝犅犆＝犅犈＝２犃犇＝６．
（１）求点犅到平面犆犇犈的距离；
（２）求二面角犃犆犇犈的正切值．
$
? 已知直线犾经过犃（３，３，３），犅（０，６，０）两点，求点犘（０，０，６）到犾的
距离．
? 已知正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犈为犃′犅′的中点，犉为犆犇的中点．
（１）求证：犅犈∥平面犃′犉犇′；
（２）若正方体的棱长为１，求犅犈到平面犃′犉犇′的距离．
? 已知平面α与平面 β 互相平行，点犃（０，０，１）在平面α内，犅（２，１，０），
犆（０，１，１），犇（１，０，０）三点都在平面
β
内．求α，
β
之间的距离．
? 已知三棱锥犛犃犅犆中，犛犃⊥底面犃犅犆，∠犃犅犆＝９０°，犛犃＝犃犅＝４，
犅犆＝３，犈是犃犅的中点，点犉在犅犆上且犉犆＝２犅犉．求点犃到平面犛犈犉
的距离．
１．２ 空间向量在立体几何中的应用 ６３
  
本章我们首先将平面向量推广到了空间向量，了解了空间向量的运算、空间向
量基本定理、空间向量的坐标以及空间直角坐标系等；然后我们学习了空间向量在
立体几何中的应用，其中包括怎样用空间向量刻画空间中的直线、平面以及怎样用
空间向量来求空间中的角和距离等．
依照知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图．
 
  


 


 

上述知识结构图也还可以细化．你能创作出其他形式的知识结构图吗？
 
由本章的内容可以看出，立体几何中的一些问题，既可以借助空间向量求解，
也可以直接利用有关定义、判定定理、性质定理等求解．请结合必修中的立体几何
内容，总结上述两类立体几何问题解法的优缺点，指出每一类方法的一般步骤，并
用实例加以说明．
 
犃组
１已知向量犪＝（－３，２，５），犫＝（１，－３，０），犮＝（７，－２，１），求：
（１）犪＋犫＋犮；
６ ４ 第一章 空间向量与立体几何（２）（犪＋犫）·犮；
（３）犪＋犫＋犮；
（４）｜犪｜＋｜犫｜＋｜犮｜．
２若犪＝（２狓，１，３），犫＝（１，－２狔，９），且犪与犫共线，求狓，狔的值．
→ →
３已知空间三点犃（１，１，１），犅（－１，０，４），犆（２，－２，３），求〈犃犅，犆犃〉．
→ →
４已知点犃（１，２，１），犅（－１，３，４），犇（１，１，１），若犃犘＝２犘犅，求
→
｜犘犇｜．
５在空间直角坐标系中，分别求点犘（－２，１，４）关于狓轴、狓犗狔平面、坐标
原点对称的点的坐标．
６已知犃（－１，０，１），犅（２，４，３），犆（５，８，５），则这三点 （ ）．
（Ａ）构成等腰三角形
（Ｂ）构成直角三角形
（Ｃ）构成等腰直角三角形
（Ｄ）不能构成三角形
７求到点犃（２，３，０），犅（５，１，０）距离相等的点的坐标（狓，狔，狕）满足的
条件．
８已知犃（１，－２，１），犅（２，２，２），点犘在狕轴上，且犘犃＝犘犅，求点犘的
坐标．
→ →
９已知犃（０，０，０），犅（２，５，０），犆（１，３，５），求犃犆在犃犅上投影的
数量．
１０已知犃犅犆犇犃犅犆犇 是正方体，求平面犃犅犆的一个法向量．
１ １ １ １ １
１１空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合是什么图形？
１２如图所示，已知犃犅犆犇犃犅犆犇 是正方体，犈，犉分别是棱犃犅，犆犆
１ １ １ １ １
的中点，求直线犈犉与犅犇 所成角的余弦值．
１
D C
1 1
A
1 B 1 F
D C
A E B
（第１２题）
本章小结 ６５犅组
１已知犌是正方形犃犅犆犇的中心，点犘为正方形犃犅犆犇所在平面外一点，则
→ → → →
犘犃＋犘犅＋犘犆＋犘犇＝（ ）．
→ → → →
（Ａ）４犘犌 （Ｂ）３犘犌 （Ｃ）２犘犌 （Ｄ）犘犌
２已知犪＝（１，１，０），犫＝（－１，０，２），且犽犪＋犫与２犪－犫互相垂直，求犽的值．
３已知三棱锥犗犃犅犆中，犕，犖分别是犗犃，犅犆的中点，点犌在犕犖上，
→ → → →
且犕犌＝２犌犖．设犗犃＝犪，犗犅＝犫，犗犆＝犮，试用基底｛犪，犫，犮｝表示向量犗犌．
→ → → →
４已知正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱长为１，求犅犇′·犃犇，ｃｏｓ〈犃犆′，犇犅′〉．
５已知犪，犫都是空间向量，且｜犪｜＝｜犫｜＝｜犪＋犫｜＝１，求｜犪－犫｜．
６已知犃（３，４，０），犅（２，５，５），犆（０，３，５），且犃犅犆犇是平行四边形，
求顶点犇的坐标．
７已知正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犕与犖分别是棱犅犅 与对角线犆犃 的
１ １ １ １ １ １
１
中点．求证：犕犖∥犅犇且犕犖＝ 犅犇．
２
８已知犗为坐标原点，犗犃犅犆是四面体，犃（０，３，５），犅（２，２，０），犆（０，
５，０），直线犅犇与直线犆犃平行，并且与坐标平面狓犗狕相交于点犇，求点犇的
坐标．
９如图所示，已知三个平面犃犗犅，犅犗犆，犃犗犆相交于点犗，且∠犃犗犅＝
∠犅犗犆＝∠犃犗犆＝６０°，求直线犗犃与平面犅犗犆所成角的余弦值．
O
A C
B
（第９题）
１０如图所示，三棱锥犃犅犆犇中，平面犃犅犆与平面犇犅犆互相垂直，且犃犅＝
犅犆＝犅犇，∠犆犅犃＝∠犆犅犇＝１２０°．求：
A
C
B
D
（第１０题）
６ ６ 第一章 空间向量与立体几何（１）犃犇所在直线和平面犅犆犇所成角的大小；
（２）犃犇所在直线与直线犅犆所成角的大小；
（３）二面角犃犅犇犆的正弦值．
１１已知犃∈α，直线犃犅与平面α所成的角为３０°，直线犃犆与平面α所成的角
为６０°，犃犅＝６ｃｍ，犃犆＝８ｃｍ，且斜线段犃犅，犃犆在平面α内的射影相互垂直，
求犅犆的长．
１２已知犃犅垂直于平面α，垂足为点犅，且犃犗与α相交于点犗，∠犃犗犅＝
６０°，射线犗犆在α内，且∠犅犗犆＝３０°，犗犃＝６，求点犃到直线犗犆的距离．
犆组
１已知犪＝犻－２犼＋犽，犫＝－犻＋３犼＋２犽，犮＝－３犻＋７犼，证明这三个向量共面．
２已知向量犪，犫，犮不共面，并且狆＝犪＋犫－犮，狇＝２犪－３犫－５犮，狉＝－７犪＋
１８犫＋２２犮，判断向量狆，狇，狉是否共面，并说明理由．
→
３已知△犃犅犆是边长为２的等边三角形，犘为平面犃犅犆内的一点，求犘犃·
→ →
（犘犅＋犘犆）的最小值．
４如图所示，已知四棱锥犘犃犅犆犇中，犘犅⊥犃犇，侧面犘犃犇为边长等于２的
正三角形，底面犃犅犆犇为菱形，侧面犘犃犇与底面犃犅犆犇所成的二面角为１２０°．
P
C
D
B
A
（第４题）
（１）求点犘到平面犃犅犆犇的距离；
（２）求二面角犃犘犅犆的余弦值．
５如图所示，在三棱锥犘犃犅犆中，△犘犃犅是等边三角形，∠犘犃犆＝∠犘犅犆＝９０°．
（１）证明：犃犅⊥犘犆；
（２）若犘犆＝４，且平面犘犃犆⊥平面犘犅犆，求三棱锥犘犃犅犆的体积．
P
A
C
B
（第５题）
本章小结 ６７６如图所示，四棱锥犛犃犅犆犇的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长
的槡２倍，犘为侧棱犛犇上的点．
S
P
A
D
B C
（第６题）
（１）求证：犃犆⊥犛犇；
（２）若犛犇⊥平面犘犃犆，求二面角犘犃犆犇的大小；
（３）在 （２）的条件下，侧棱犛犆上是否存在一点犈，使得犅犈∥平面犘犃犆．若
存在，求犛犈∶犈犆的值；若不存在，试说明理由．
６ ８ 第一章 空间向量与立体几何书书书在初中阶段我们就已经知道：线段犃犅的垂直平分线，可以看成
与犃，犅的距离相等的所有点组成的集合．当时，我们是通过全等
三角形的知识证明如下两个命题后得到这个结论的：线段垂直平分线
上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分线上．那么，上述结论能不能用其他
方式得到呢？答案是肯定的．
给定一个平面，选定原点建立平面直角坐标系后，平面内点的位
置可以用坐标来刻画．此时，平面内的直线是否可以通过直线上点的
坐标来刻画？平面内其他几何对象能否也用类似的方法来描述？这些
都是本章我们要探讨的问题．利用点的坐标来刻画几何对象、研究几
何对象的性质以及探讨几何对象之间的关系，是解析几何的内容．
本章我们要学习利用直线上点的坐标来刻画直线，研究点与直
线、直线与直线之间的位置关系．
除了直线以外，我们还会研究圆、椭圆、双曲线、抛物线等几何对
象及其性质．如图所示，因为这些几何对象都能通过用平面截两个顶点
相同、顶角相等、轴相同的圆锥面得到，所以通常被称为圆锥曲线．．
! "!"#$

L,> 2+ 
我们已经知道，给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴，数轴上
的点与实数是一一对应的，如图２１１所示．
A(x) B(x )
1 2
−3 −2 −1 O 1 2 3 x
图２１１
如果数轴上点犃对应的数为狓 （即犃的坐标为狓，记作犃（狓）），且
１ １ １
→
犅（狓），则向量犃犅的坐标为狓－狓，从而可以得到数轴上两点之间的距
２ ２ １
离公式
→
｜犃犅｜＝｜犃犅｜＝｜狓－狓｜；①
２ １
→ →
如果犕（狓）是线段犃犅的中点，则犃犕＝犕犅，从而可以得到数轴上的中点
坐标公式
狓＋狓
狓＝ １ ２．
２
另一方面，给定一个平面，选定原点
犗、单位长度以及狓轴和狔轴的正方向之 y
B(x , y)
后，可以建立平面直角坐标系狓犗狔，此 2 2
时平面内的点与有序实数对是一一对应
1
的．如图２１２所示，如果犃点对应的有 M
序实数对为（狓，狔） （即犃的坐标为
O 1 x
１ １
A(x, y)
（狓，狔），记作犃（狓，狔），其中狓 为 1 1
１ １ １ １ １
犃的横坐标，狔 为犃的纵坐标），且
１ 图２１２
→
犅（狓，狔），则向量犃犅＝（狓－狓，狔－
２ ２ ２ １ ２
狔），从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式
１
① 解析几何中，点犃与点犅的距离用符号｜犃犅｜表示，下同．
２．１ 坐标法 ７１→
｜犃犅｜＝｜犃犅｜＝槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２；
２ １ ２ １
→ →
若犕（狓，狔）是线段犃犅的中点，则犃犕＝犕犅，从而可以得到平面直角坐
标系内的中点坐标公式
狓＋狓
狓＝ １ ２，狔＝ ．
２
一般地，平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式都称为
平面直角坐标系中的基本公式．不难看出，利用平面直角坐标系中的基本公
式，可以解决一些有关距离和中点的问题．
已知犃（１，２），犅（３，４），犆（５，０）是△犃犅犆的三个顶点，求这


个三角形犃犅边上中线的长．
设犃犅的中点为犕（狓，狔），则

１＋３
狓＝ ＝２，狔＝ ，
２
从而可知所求中线长为
｜犆犕｜＝槡（２－５）２＋（３－０）２＝３槡２．
由例１可以看出，如果知道三角形的三个顶点的坐标，可以求出三角形
的中线长、边长等信息，更进一步，可以判断三角形的形状等．

 "
A(
D C
如图２１３所示犃犅犆犇中，如果要证明
犃犆２＋犅犇２＝２（犃犅２＋犃犇２），
A
B
你能想到什么办法？
图２１３
尝试与发现中结论的证明，可以借助解三角形的知识来完成 （请读者自
行尝试），但如果注意到所要证明的式子中，
只含有线段的长度，就可以想到能借助平面
y
直角坐标系通过距离公式来完成．
D C
例如，取犃为坐标原点，犃犅所在的直
O
线为狓轴，建立如图２１４所示的平面直角坐
A B x
标系．则犃（０，０），设犅（犪，０），犆（犫，犮），
从而由平行四边形的性质可知犇（犫－犪，犮）． 图２１４
因此
７ ２ 第二章 平面解析几何｜犃犆｜２＝犫２＋犮２
｜犅犇｜２＝（犫－２犪）２＋犮２＝犫２－４犪犫＋４犪２＋犮２，
｜犃犆｜２＋｜犅犇｜２＝２犫２－４犪犫＋４犪２＋２犮２；
类似地
｜犃犅｜２＝ ，
｜犃犇｜２＝ ，
｜犃犅｜２＋｜犃犇｜２＝犫２－２犪犫＋２犪２＋犮２．
由此可以看出
｜犃犆｜２＋｜犅犇｜２＝２（｜犃犅｜２＋｜犃犇｜２），
从而可知结论成立．
这里我们实际上是通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问
题，然后通过代数运算等解决了问题．这种解决问题的方法称为坐标法．上
面的例子中，我们借助坐标法证明了有关的几何结论．在本章后续的内容
中，我们会逐渐体会到用坐标法研究几何问题的特点．
已知犃犅犆犇是一个长方形，犃犅＝４，犃犇＝１．判断线段犆犇上


是否存在点犘，使得犃犘⊥犅犘．如果存在，指出满足条件的犘有多少个；
如果不存在，说明理由．
以犃犅的中点为原点，犃犅所在直

线为狓轴，建立如图２１５所示平面直角 y
D P 1 C
坐标系．依据已知可得
犃（－２，０），犅（２，０），
A O 1 B x
犆（２，１），犇（－２，１）．
设犘（狋，１）是线段犆犇上一点，则
图２１５
－２≤狋≤２，而且
→ →
犘犃＝（－２－狋，－１），犘犅＝（２－狋，－１）．
→ → → →
因为犃犘⊥犅犘的充要条件是犘犃⊥犘犅，即犘犃·犘犅＝０，这也等
价于
（－２－狋）（２－狋）＋１＝０．
又因为上述方程的解为狋＝槡３或狋＝ ，所以满足条件的犘
点存在，而且有两个．
"
? 已知数轴上犃（－２），犅（１０），求这两点之间的距离以及它们的中点坐标．
? 已知犃（３，０），犅（０，－４），求这两点之间的距离以及它们的中点坐标．
２．１ 坐标法 ７３? 已知犃（－１，３），犅（３，３），犆（１，２槡３＋３），证明△犃犅犆是等边三角形．
? 已知△犃犅犆的三个顶点分别为犃（２，１），犅（－２，３），犆（０，－１），求△犃犅犆
三条中线的长．
? 已知数轴上犃（－１），犅（２），且犃关于犅的对称点为犆，求犆的坐标．
#
? 已知数轴上的点犘到犃（－９）的距离是它到犅（－３）的距离的２倍，求点犘的
坐标．
? 已知犃（犪，０），犅（０，１０），且｜犃犅｜＝１７，求犪的值．
? 已知犃（３，１），犅（－２，２），在狔轴上的点犘满足犘犃⊥犘犅，求犘的坐标．
? 已知犃犅犆犇是一个长方形，且犕是犃犅犆犇所在平面上任意一个点，求证：
犃犕２＋犆犕２＝犅犕２＋犇犕２．
? 已知函数狔＝犳（狓）的图象与函数狔＝狓２＋１的图象关于犕（２，０）对称，求
犳（狓）的解析式．
$
? 在数轴上，对坐标分别为狓 和狓 的两点犃和犅，用绝对值定义两点间的距
１ ２
离，表示为犱（犃，犅）＝｜狓－狓｜．
１ ２
（１）在数轴上任意取三点犃，犅，犆，证明犱（犃，犅）≤犱（犃，犆）＋犱（犅，犆）．
（２）设犃和犅两点的坐标分别为－３和２，分别找出 （１）中不等式等号成立
和等号不成立时点犆的范围．
? 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的
地，只能按直角拐弯的方式行走．如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直
角坐标系，对两点犃（狓，狔）和犅（狓，狔），定义两点间距离为犱（犃，犅）＝
１ １ ２ ２
｜狓－狓｜＋｜狔－狔｜．
１ ２ １ ２
（１）在平面直角坐标系中任意取三点犃，犅，犆，证明犱（犃，犅）≤犱（犃，犆）＋
犱（犅，犆）；
（２）设犃（狓，狔），犅（狓，狔），分别找出 （１）中不等式等号成立和等号不
１ １ ２ ２
成立时点犆的范围．
狔＋狔 ２＋４
 １ ２  ＝３ 犪２  （犫－犪）２＋犮２＝犫２－２犪犫＋犪２＋犮２  －槡３
２ ２
７ ４ 第二章 平面解析几何．
! !!%&’()*
2.2.1   

,3+>(
A(
我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线．
如图２２１所示，过同一点的直线犾，犾，犾，犾，它们彼此之间的不同点是
１ ２ ３ ４
什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两
条不同的直线都有不同的取值吗？
y
l
4
l
3
O x
l l
1 2
图２２１
图２２１中的四条直线，任意两条相对于坐标轴 （比如狓轴）的倾斜程
度都不一样．
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与狓轴相
交，将狓轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小
正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与狓轴平行或重
合，则规定这条直线的倾斜角为０°．
这样一来，平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角，而且倾
斜角的取值范围是０°～１８０°．特别地，与狓轴平行或重合 （即与狔轴垂直）
的直线，倾斜角为０°，例如图２２１中的犾；与狓轴垂直的直线，倾斜角为
３
９０°，例如图２２１中的犾．在图２２１中，犾的倾斜角是一个锐角，犾的倾
１ ４ ２
斜角是一个钝角．
２．２ 直线及其方程 ７５A(
y
l
3
平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那
F D
么这两点当然也可以确定直线的倾斜角．
1
如图２２２所示，分别写出以下直线的倾斜角，
C
并总结出一般的结论： E 1
O x
（１）经过犃（－１，－１），犅（３，－１）的直线犾； B
１
A l
（２）经过犆（２，１），犇（２，２）的直线犾； 1
２
l
（３）经过犈（－１，０），犉（１，２）的直线犾． 图２２２ 2
３
因为犃，犅两点的纵坐标相同而横坐标不同，所以直线犾的倾斜角为
１
０°；因为犆，犇两点的横坐标相同而纵坐标不同，所以直线犾 的倾斜角为
２
９０°；对于犈，犉来说，如果过犉点作狓轴的垂线犉犖且犖为垂足，则可以
看出△犈犖犉是等腰直角三角形，因此犾的倾斜角为４５°．
３
一般地，如果犃（狓，狔），犅（狓，狔）是直线犾上两个不同的点，直线
１ １ ２ ２
犾的倾斜角为θ，则：
（１）当狔＝狔 时 （此时必有狓≠狓），θ＝ ；
１ ２ １ ２
（２）当狓＝狓 时 （此时必有狔≠狔），θ＝ ；
１ ２ １ ２
（３）当狓≠狓 且狔≠狔 时，可以构造以犃犅为斜边且两直角边分别
１ ２ １ ２
平行于坐标轴或在坐标轴上的直角三角形，如图２２３ （１）（２）所示，此时
狔－狔
ｔａｎθ＝ ２ １，
狓－狓
２ １
而且，这个式子在狓≠狓 且狔＝狔 时也成立．
１ ２ １ ２
y y
B B
θ
A
C
θ
θ
O x O x
π −θ
C A
 
图２２３
一般地，如果直线犾的倾斜角为θ，则当θ≠９０°时，称
犽＝ｔａｎθ
７ ６ 第二章 平面解析几何为直线犾的斜率；当θ＝９０°时，称直线犾的斜率不存在．
从上面也可以看出，若犃（狓，狔），犅（狓，狔）是直线犾上两个不同的
１ １ ２ ２
点，则当狓≠狓 时，直线犾的斜率为
１ ２
狔－狔
犽＝ ２ １，
狓－狓
２ １
当狓＝狓 时，直线犾的斜率不存在．
１ ２
已知直线犾经过点犃（－１，３）与犅（２，０），求直线犾的斜率犽与


倾斜角θ．
因为犃，犅两点的横坐标不相等，所以斜率

０－３
犽＝ ＝－１．
２－（－１）
因此ｔａｎθ＝－１，由θ∈［０，π）可知倾斜角θ＝ ．
已知平面直角坐标系中的四条直


线犾，犾，犾，犾 如图２２４所示，设它
１ ２ ３ ４ l y l
们的倾斜角分别为θ，θ，θ，θ，而且 3 2 l
1
１ ２ ３ ４
l
斜率分别为犽，犽，犽，犽．分别将倾斜 4
１ ２ ３ ４
角和斜率按照从小到大的顺序排列．
按照倾斜角的定义，从图上可以 O x

看出
θ＜θ＜θ＜θ．
图２２４
１ ２ ３ ４
因为
犽＝ｔａｎθ，犻＝１，２，３，４，
［ 犻） 犻 （ ）
π π
又因为正切函数在 ０， 递增且函数值大于０，在 ，π 递增且函数值
２ ２
小于０，所以
犽＜犽＜犽＜犽．
３ ４ １ ２
A(
从直线的倾斜角与斜率都反映了直线相对于狓轴的倾斜程度这一点出发，考
察平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件，并举例说明．
注意到平面直角坐标系中每一条直线的倾斜角与斜率都是唯一的，因此
可以看出，平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件，从倾斜角考
虑，是任意两点确定的直线的倾斜角都相等；从斜率考虑，是任意两点确定
的直线的斜率，要么都不存在，要么都相等．
２．２ 直线及其方程 ７７例如，如图２２５ （１）中，对于犃（－２，０），犅（０，２），犆（１，３），有
２－０ ３－０
犽 ＝ ＝１，犽 ＝ ＝１，①
犃犅 ０－（－２） 犃犆 １－（－２）
因此犽 ＝犽 ，从而直线犃犅与直线犃犆的倾斜角也相等，因此犃，犅，犆
犃犅 犃犆
三点共线．
y y
C F
B E
1 1
A O 1 x D O 1 x
1 2
图２２５
而如图２２５ （２）中，对于犇（－２，０），犈（－１，２），犉（０，３），有
０－３ ３
犽 ＝ ＝ ，犽 ＝ ，
犉犇 －２－０ ２ 犉犈
因此犽 ≠犽 ，从而直线犉犈与直线犉犇的倾斜角也不相等，因此犈，犉，
犉犇 犉犈
犇三点不共线．
已知犃（－２，－１），犅（０，－３），犆（１，－４），犇（２，－６），则


犃，犅，犆共线吗？犃，犅，犇呢？
因为

－３－（－１） －４－（－１）
犽 ＝ ＝－１，犽 ＝ ＝－１，犽 ＝ ，
犃犅 ０－（－２） 犃犆 １－（－２） 犃犇
所以犽 ＝犽 ≠犽 ，因此犃，犅，犆共线，而犃，犅，犇不共线．
犃犅 犃犆 犃犇

,3+ F
给定平面直角坐标系中的一条直线犾，在
犾上任意取犃，犅两个不同的点，显然，向量 y
→
犃犅也能描述直线犾相对于狓轴的倾斜程度，
B
→
如图２２６所示．此时，我们称犃犅是直线犾
1
的一个方向向量．
一般地，如果表示非零向量犪的有向线段 A O 1 x
所在的直线与直线犾平行或重合，则称向量犪
图２２６
① 为了方便起见，以后均用犽 表示由犃，犅两点确定的直线的斜率．
犃犅
７ ８ 第二章 平面解析几何为直线犾的一个方向向量，记作犪∥犾．
例如，犪＝（１，０）是所有倾斜角为０°（即与
狔轴垂直）的直线的一个方向向量，犫＝（０，１）是
y
所有倾斜角为９０°（即与狓轴垂直）的直线的一
个方向向量，犮＝（１，１）是所有倾斜角为４５°的直
c 1
线的一个方向向量，如图２２７所示．
b
a
可以看出： O 1 x
（１）如果犪为直线犾的一个方向向量，那么
图２２７
对于任意的实数λ≠０，向量λ犪都是犾的一个方向
向量，而且直线犾的任意两个方向向量一定共线；
（２）如果犃（狓，狔），犅（狓，狔）是直线犾上两个不同的点，则
１ １ ２ ２
→
犃犅＝（狓－狓，狔－狔）
２ １ ２ １
是直线犾的一个方向向量．
A(
（１）如图２２８所示，设犾是平面直角坐标系中的一条直线，
y
→ → l
且倾斜角为６０°，设犗犘是直线犾的一个方向向量，且｜犗犘｜＝１，
1
你能写出犗  犘 → 的坐标吗？ P
o o
60 60
（２）一般地，如果直线犾的倾斜角为θ，斜率为犽，你能写出 O x
直线犾的一个方向向量吗？
图２２８
→ １
如图２２８所示，因为｜犗犘｜＝１，所以点犘的横坐标为ｃｏｓ６０°＝ ，纵
２
（ ）
槡３ → １ 槡３
坐标为ｓｉｎ６０°＝ ，因此犗犘＝ ， ．
２ ２ ２
y y
l
P P l
θ θ
θ θ
O x O x
 
图２２９
一般地，如图２２９ （１）（２）所示，当θ为直线犾的倾斜角时，如果
→ →
犗犘是直线犾的一个方向向量，而且｜犗犘｜＝１，则根据三角函数的定义可知
２．２ 直线及其方程 ７９点犘的坐标为
（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）．
→
这就是说，此时犗犘＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）一定是直线犾的一个方向向量．
→
当然，此时对于任意的实数λ≠０，λ犗犘＝（λｃｏｓθ，λｓｉｎθ）也是直线犾
的一个方向向量．当θ≠９０°时，直线的斜率犽是存在的，而且
ｓｉｎθ
犽＝ｔａｎθ＝ ，
ｃｏｓθ
１
因此，此时如果令λ＝ ，则可知（１，犽）也一定是直线犾的一个方向
ｃｏｓθ
向量．
（ ）
（ ）
π π π 槡３ １
例如，如果直线犾的倾斜角为 ，则ｃｏｓ ，ｓｉｎ ＝ ， 是直线
６ ６ ６ ２ ２
π 槡３
犾的一个方向向量；另一方面，因为直线的斜率为ｔａｎ ＝ ，所以
６ ３
（ ）
槡３
１，
也是直线犾的一个方向向量．
３
A(
y
（１）如图２２１０所示，如果犪＝（－１，１）为直线犾的一个方向 l
向量，你能写出犾的斜率犽和倾斜角θ吗？ 1
a
（２）一般地，如果已知犪＝（狌，狏）为直线犾的一个方向向量， θ
O x
你能由此写出犾的斜率犽和倾斜角θ吗？
图２２１０
在图２２１０中，当犪＝（－１，１）是犾的一个方向向量时，若直线犾的斜
率为犽，则（１，犽）也是直线犾的一个方向向量，因此犪＝（－１，１）与（１，犽）
共线．从而
（－１）×犽＝１×１，
从而可求得斜率犽＝－１．然后再根据ｔａｎθ＝－１可知θ＝１３５°．
一般地，如果已知犪＝（狌，狏）为直线犾的一个方向向量，则：
（１）当狌＝０时，显然直线犾的斜率不存在，倾斜角为９０°；
（２）当狌≠０时，直线犾的斜率是存在的，而且此时（１，犽）与犪＝（狌，狏）
都是直线犾的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知１×狏＝
犽×狌，从而
狏
犽＝ ，
狌
狏
因此可知倾斜角满足ｔａｎθ＝ ．
狌
８ ０ 第二章 平面解析几何已知直线犾通过点犃（０，１）与犅（１，１－槡３），求直线犾的一个方


向向量，并确定直线犾的斜率与倾斜角．
由已知可得

→
犃犅＝（１，１－槡３）－（０，１）＝（１，－槡３）
是直线犾的一个方向向量．
因此，直线的斜率
犽＝ ，
直线的倾斜角θ满足ｔａｎθ＝－槡３，从而可知θ＝１２０°．
由上可以看出，通过直线的方向向量能够确定直线的斜率与倾斜角，而
且一条直线的所有方向向量都共线，因此也可得到：如果犃，犅，犆是平面
→ →
直角坐标系中的三个不同的点，则这三点共线的充要条件是犃犅与犃犆
共线．
已知犃（－３，－１），犅（１，３），犆（５，８），判断犃，犅，犆是否


共线．
因为

→
犃犅＝（１－（－３），３－（－１））＝（４，４），
→
犃犆＝（５－（－３），８－（－１））＝（８，９），
→ →
又因为４×９≠４×８，所以犃犅与犃犆不共线，从而犃，犅，犆不共线．

,3+" F
一般地，如果表示非零向量狏的有向线段所在直线与直线犾垂直，则称
向量狏为直线犾的一个法向量，记作狏⊥犾．
不难看出，一条直线的方向向量与法向量互相垂直．特别地，当狓 与
０
狔 不全为０时，因为向量（狓，狔）与（狔，－狓）是互相垂直的，所以，如果
０ ０ ０ ０ ０
其中一个为直线犾的一个方向向量，则另一个一定是直线犾的一个法向量．
例如，如果犪＝（１，２）是直线犾的一个方向向量，则狏＝（２，－１）就是
１
直线犾的一个法向量；如果狏＝（－２，－３）是直线犾 的一个法向量，则
１ １
犪＝ 就是直线犾的一个方向向量．
１
"
? 分别写出下列直线的倾斜角：
（１）垂直于狓轴的直线； （２）垂直于狔轴的直线；
（３）第一、三象限的角平分线； （４）第二、四象限的角平分线．
２．２ 直线及其方程 ８１? 根据下列直线的倾斜角α，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：
（１）α＝０°； （２）α＝６０°； （３）α＝９０°； （４）α＝１５０°．
? 已知直线犾经过点犃（－２，０）与犅（－５，３），求直线犾的一个方向向量、斜率犽
与倾斜角θ．
? 已知犃（－１，－３），犅（０，－１），犆（１，２），犇（３，５），则犃，犅，犆共线吗？
犃，犅，犇呢？
? 判断命题 “如果犃，犅，犆是平面直角坐标系中的三个不同的点，则这三点共
→ →
线的充要条件是犃犅与犅犆共线”的真假．
#
［ ）
π
? （１）如果直线的倾斜角θ∈ ０， ，则当θ增大时，直线的斜率将怎样变化？
２
（ ）
π
如果θ∈ ，π 呢？
２
（２）能否说直线的倾斜角增大时斜率也增大？为什么？
? 分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出
倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
（１）犆（－３，４），犇（２，４）； （２）犘（０，０），犙（－１，槡３）；
（３）犕（－３，槡２），犖（－槡２，３）； （４）犈（７，０），犙（７，－槡２）．
? 已知直线犾的斜率为－１，直线犾的倾斜角比直线犾的倾斜角小３０°，求直线
１ ２ １
犾的斜率．
２
? 已知经过犃（犪，－１），犅（２，犪＋１）的直线的斜率为３，求实数犪的值．
槡３
? 已知直线犾的斜率的绝对值为 ，求这条直线的倾斜角．
３
２－３ －６－（－１） ５
０° ９０° １３５°  ＝１  ＝－
－１－０ ２－（－２） ４
－槡３
 ＝－槡３  （－３，２）（或（３，－２）等）
１
８ ２ 第二章 平面解析几何2.2.2  

,3+%//
A(
设犾，犾是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的犾，犾是否
１ ２ １ ２
唯一．如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标（狓，狔）应该满
足什么条件．
（１）已知犾的斜率不存在；
１
（２）已知犾的斜率不存在且犾过点犃（－２，１）；
１ １
（３）已知犾的斜率为槡３；
２
（４）已知犾的斜率为槡３且犾过点犅（１，２）．
２ ２
不难看出，满足条件 （１）的直线犾有无数条，但满足条件 （２）的直
１
线犾是唯一的，如图２２１１所示．此时若犘（狓，狔）为直线犾上的点，则必
１ １
有狓＝－２；另外，任意横坐标为－２的点，一定都在直线犾上．
１
y y
l l
1 2
P(x
y)
B
1 1
A P(x
y)
−2 O x O 1 x
图２２１１ 图２２１２
满足条件 （３）的直线犾，只要倾斜角为６０°即可，因此犾也有无数条，
２ ２
但满足条件 （４）的直线犾是唯一的，如图２２１２所示．此时若犘（狓，狔）
２
狔－２
为直线犾上不同于犅的点，则犽 ＝槡３，即 ＝槡３，化简可得
２ 犅犘 狓－１
狔－２＝槡３（狓－１），
容易验证，犅（１，２）的坐标也能使上式成立，因此直线犾 上的点都使得上
２
式成立；另外，如果狓，狔能使得上式成立，则要么犘（狓，狔）就是点犅（１，２），
要么犽 ＝槡３，也就是说，点犘一定在直线犾上．
犅犘 ２
２．２ 直线及其方程 ８３如果我们将狓＝－２与狔－２＝槡３（狓－１）都看成关于狓，狔的方程，则
由上可以看出，平面内的点是否在直线犾，犾 上，只要看坐标是否能满足
１ ２
对应的方程即可．
一般地，如果直线犾上点的坐标都是方程犉（狓，狔）＝０的解，而且以方
程犉（狓，狔）＝０的解为坐标的点都在直线犾上，则称犉（狓，狔）＝０
为直线犾的方程，而直线犾称为方程犉（狓，狔）＝０的直线．此时，
“二次函数狔＝
为了简单起见，“直线犾”也可说成 “直线犉（狓，狔）＝０”，并且记作犾：
（狓－１）２ 的图象的
犉（狓，狔）＝０．
对称轴为狓＝１”，
因此，前述直线犾的方程为狓＝－２，且犾的方程是狔－２＝ 其中的狓＝１表示
１ ２
槡３（狓－１）．由直线方程的定义可以看出，平面直角坐标系中的一
的是什么？
个点是否在直线上，只要看它的坐标是否是直线方程的解即可．例如，点
（２，３）不在直线狔－２＝槡３（狓－１）上，因为
３－２≠槡３（２－１）．
从前面的实例也可以看出，在平面直角坐标系中，如果已知犘（狓，狔）
０ ０ ０
是直线犾上一点，而且知道犾的斜率信息，就可以写出直线犾的方程：
（１）如果直线犾的斜率不存在，则直线犾的方程为
狓＝狓．
０
（２）如果直线犾的斜率存在且为犽，设犘（狓，狔）为直线犾上不同于犘
０
狔－狔
的点，则犽 ＝犽，即 ０＝犽，化简可得
犘犘 狓－狓
０ ０
狔－狔＝犽（狓－狓）， ①
０ ０
而且犘（狓，狔）的坐标也能使上式成立；另外，如果狓，狔能使得上式成
０ ０ ０
立，则要么犘（狓，狔）就是点犘（狓，狔），要么犽 ＝犽，也就是说，点犘
０ ０ ０ 犘犘
０
一定在直线犾上，从而①就是直线犾的方程．因为方程①由直线上一点和直
线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程．
直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到：如果已知犘（狓，狔）是
０ ０ ０
直线犾上一点，而且犾的斜率为犽，则直线的一个方向向量为犪＝（１，犽）；
另一方面，设犘（狓，狔）为平面直角坐标系中任意一点，则犘在直线犾上的
→ →
充要条件是犘犘与犪共线，又因为犘犘＝（狓－狓，狔－狔），所以
０ ０ ０ ０
狔－狔＝犽（狓－狓）．
０ ０
８ ４ 第二章 平面解析几何已知直线犾经过点犘，且犾的斜率为犽，分别根据下列条件求直


线犾的方程：
（１）犘（０，３），犽＝２； （２）犘（１，０），犽＝－３．
（１）根据已知可得直线犾的点斜式方程为

狔－３＝２×（狓－０），
化简得狔＝２狓＋３．
（２）根据已知可得直线犾的点斜式方程为
 ，
化简得 ．
例１说明，在直线的点斜式方程中，如果已知的点是坐标轴上的点，则
点斜式方程可以方便地化为狔＝犽狓＋犫的形式．
一般地，当直线犾既不是狓轴也不是狔轴时：若犾与狓轴的交点为（犪，０），
则称犾在狓轴上的截距为犪；若犾与狔轴的交点为（０，犫），则称犾在狔轴上
的截距为犫．一条直线在狔轴上的截距简称为截距．
因此，如果已知直线的斜率为犽，截距为犫，则意味着这条直线过了
（０，犫）这个点，从而可知直线的方程为狔－犫＝犽（狓－０），化简可得
狔＝犽狓＋犫． ②
方程②由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程．
从直线的斜截式方程狔＝犽狓＋犫，可以方便地看出直线的斜率犽和截距
犫．事实上，此时若（狓，狔），（狓，狔）是直线上两个不同的点，则
１ １ ２ ２
烄狔＝犽狓＋犫，
１ １
烅
烆狔＝犽狓＋犫，
２ ２
第二式减去第一式可得狔－狔＝犽（狓－狓），因此当狓－狓≠０时有 直线方程的斜
２ １ ２ １ ２ １
截式与一次函数的
狔－狔
犽＝ ２ １．
狓－狓 表达式有什么联系
２ １
从而犽就是直线的斜率．在方程狔＝犽狓＋犫中，令狓＝０得狔＝犫， 与区别？
因此直线与狔轴的交点为（０，犫），这就是说，犫为直线的截距
（即直线在狔轴上的截距）．
从上面可以看出，平面直角坐标系中直线的方程，要么可以写成狓＝狓
０
的形式，要么可以写成狔＝犽狓＋犫的形式．正因为如此，在求直线的方程
时，如果直线的斜率存在，最后总可将直线的方程写成斜截式的形式．
已知直线犾经过点犘（－２，３），且犾的倾斜角为４５°，求直线犾


的方程，并求直线犾的截距．
因为直线犾的斜率犽＝ｔａｎ４５°＝１，所以可知直线犾的方程为

２．２ 直线及其方程 ８５狔－３＝１×［狓－（－２）］，
即狔＝狓＋５．因此直线犾的截距为 ．

,3+%/
我们在初中学过 “两点确定一条直线”，下面来探讨如何利用代数等式
来表达这个几何事实．
A(
根据条件求出下列直线的方程：
（１）经过犃（０，１）与犅（１，３）两点的直线犾；
１
（２）经过犘（狓，狔）与犘（狓，狔）两点的直线犾．
１ １ １ ２ ２ ２ ２
为了得到直线犾的方程，我们首先可以通过犃，犅两点得到犾的斜率
１ １
３－１
犽＝ ＝２，再根据直线的点斜式方程得到直线犾的方程为
１－０ １
狔－３＝２（狓－１），
即狔＝２狓＋１．
直线犾的方程可以用同样的方法来求，但是需要对它的斜率是否存在
２
→
进行讨论．下面我们换种方式来推导：注意到犘犘＝（狓－狓，狔－狔）
１ ２ ２ １ ２ １
→
是直线犾的一个方向向量．设犘（狓，狔）为平面直角坐标系中一点，则犘犘＝
１
→ →
（狓－狓，狔－狔），犘在直线犾上的充要条件是犘犘与犘犘 共线，即
１ １ ２ １ １ ２
（狓－狓）（狔－狔）＝（狓－狓）（狔－狔）， ③
１ ２ １ ２ １ １
这就是直线犾的方程．
２
当狓－狓≠０且狔－狔≠０时，③式可以变形为
２ １ ２ １
狔－狔 狓－狓
１＝ １， ④
狔－狔 狓－狓
２ １ ２ １
这种形式的直线方程由直线上的两点确定，称为直线的两点式方程．
已知直线犾经过点犃（－２，１），犅（３，－３），求直线犾的方程，


并求直线犾的截距．
因为犃，犅两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直

线的两点式方程为
狔－１ 狓－（－２）
＝ ，
－３－１ ３－（－２）
４ ３
整理得狔＝－ 狓－ ．因此直线犾的截距为 ．
５ ５
８ ６ 第二章 平面解析几何已知直线犾在狓轴、狔轴上的截距分别为犪，犫，且犪犫≠０，求直


线犾的方程．
根据已知可得直线犾通过点（犪，０），（０，犫），而且犪≠０，犫≠０，

因此直线的两点式方程为
狔－犫 狓－０
＝ ，
０－犫 犪－０
这一方程可以整理为
狓 狔
＋ ＝１． ⑤
犪 犫
⑤式通常称为直线的截距式方程，需要特别注意的是，这只有直线在狓
轴与在狔轴上的截距都存在且不为０时才成立．

,3+7/
A(
所有直线的方程都能表示成点斜式吗？都能表示成斜截式吗？都能表示成两点
式吗？如果能，说明理由；如果不能，举出反例，并思考直线的方程都能写成什么
样的形式．
显然，并不是所有的直线方程都能表示成点斜式、斜截式和两点式．例
如，过（１，２）且垂直于狓轴的直线，其直线方程为
狓＝１，
这条直线的斜率不存在，在狔轴上的截距也不存在，任意两点的横坐标都
相同，因此该方程不可能表示成点斜式、斜截式和两点式．
但我们已经知道，平面直角坐标系中直线的方程，要么可以写成狓＝狓
０
的形式，要么可以写成狔＝犽狓＋犫的形式，因此可以看出，所有的直线方程
都可以写成
犃狓＋犅狔＋犆＝０ ⑥
的形式，其中犃，犅，犆都是实常数，而且犃与犅不同时为零 （即犃２＋犅２≠０）．
⑥式一般称为直线的一般式方程．在求直线方程时，最后一般都将直线
的方程化为一般式方程．例如，直线方程狓＝－３写成一般式方程是狓＋３＝０，
直线方程狔＝－２狓－５写成一般式方程是２狓＋狔＋５＝０．
习惯上，也将形如⑥式的方程称为关于狓，狔的二元一次方程．那么，
关于狓，狔的二元一次方程⑥是否一定表示的是直线呢？答案是肯定的．这
是因为在⑥式中：如果犅≠０，则方程可以化为
２．２ 直线及其方程 ８７犃 犆
狔＝－ 狓－ ，
犅 犅
犆
它表示的是斜率为 且截距为－ 的直线；如果犅＝０，则由
犅
犃与犅不同时为零可知犃≠０，从而方程可以化为
犆
狓＝－ ，
犃
（ ）
犆
它表示的是斜率 且过点 － ，０ 的直线．
犃
已知直线犾的一般式方程为２狓－３狔＋６＝０，求直线犾的斜率以


及在狓轴和狔轴上的截距．
直线犾的一般式方程可以化为

２
狔＝ 狓＋２，
３
２
所以直线犾的斜率为 ，在狔轴上的截距为２．
３
在方程中令狔＝０可得狓＝－３，因此犾在狓轴上的截距为 ．
直线方程的一般形式也可以从③中直接得到．而且，如果直线犾的一般
式方程为
犃狓＋犅狔＋犆＝０ （犃２＋犅２≠０），
设犘（狓，狔）为直线犾上一个固定的点，犘（狓，狔）为直线犾上任意一
０ ０ ０
点，则
烄犃狓＋犅狔＋犆＝０，
０ ０
烅
烆犃狓＋犅狔＋犆＝０，
第二式减去第一式可得
犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＝０． ⑦
０ ０
若记狏＝（犃，犅），则⑦式说明狏与向量
→
犘犘＝（狓－狓，狔－狔）
０ ０ ０
→
的内积为０，因此狏⊥犘犘，即狏＝（犃，犅）为直线犃狓＋犅狔＋犆＝０的一个
０
法向量．
已知直线犾经过点犃（３，２），而且狏＝（３，－４）是直线犾的一个


法向量，求直线犾的一般式方程．
（方法一）设犘（狓，狔）为平面直角坐标系中任意一点，则犘在直

→ →
线犾上的充要条件是犃犘与狏＝（３，－４）垂直．又因为犃犘＝（狓－３，狔－２），
所以
３×（狓－３）＋（－４）×（狔－２）＝０，
８ ８ 第二章 平面解析几何整理可得一般式方程为３狓－４狔－１＝０．
（方法二）因为狏＝（３，－４）是直线犾的一个法向量，所以可以设犾的
方程为
３狓－４狔＋犆＝０，
代入点犃（３，２），可求得犆＝－１，因此所求方程为３狓－４狔－１＝０．

* /,3
根据直线的方程，利用计算机软件可以方便地在平面直角坐标系中作出
直线．
例如，在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，输入直线的方程，即可得到直线，而且还可以
选择方程的不同形式，如图２２１３所示．
图２２１３
"
? 判断下列各点是否在直线狔＝－６狓＋７上：犃（０，７），犅（２，５），犆（１，１）．
? 已知点（犪，１），（－１，犫）确定的直线方程是狔＝－３狓＋１，求犪，犫的值．
? 根据下列条件求直线的点斜式方程：
（１）经过点犃（２，５），斜率为４；
（２）经过点犅（－２，２），倾斜角为３０°．
? 根据下列条件求直线的斜截式方程：
槡３
（１）斜率是 ，截距是－２； （２）倾斜角是１３５°，截距是３．
２
２．２ 直线及其方程 ８９? 分别求下列直线的方程：
（１）经过犃（０，－１），犅（－１，１）的直线犾；
１
（２）经过犆（３，－１），犇（－２，－１）的直线犾；
２
（３）经过犈（１，３），犉（１，－２）的直线犾．
３
? 根据下列条件，求直线的方程：
（１）过点犃（－３，２），且截距是－２；
（２）过点犃（３，０），且在两坐标轴上的截距和为５．
? 根据下列直线方程，分别求出直线的斜率及截距：
（１）狔－２＝狓＋１； （２）狔＋４＝槡３（狓－２）； （３）４狓＋狔－３＝０．
#
? 判断下列命题的真假：
（１）如果直线犾的斜率不存在，则直线犾在狓轴上的截距唯一；
（２）如果直线犾的斜率存在，则直线犾的截距唯一；
（３）存在直线犾，使得犾在狓轴上的截距与在狔轴上的截距都为０．
? 已知直线犾的倾斜角为３０°，直线犾与犾垂直，求直线犾的倾斜角．
１ ２ １ ２
狔－２
? 判断 ＝１是否是某条直线的方程．
狓－３
? 在同一个平面直角坐标系中，作出经过原点且斜率分别为１，－１，２，－２的直
线，并总结斜率分别为犽和－犽的两条直线的倾斜角有什么关系．
? （１）如果直线犾过点犘（－１，－２），且直线犾的方向向量为犪＝（１，－２），求直
线犾的方程；
（２）如果直线犾过点犘（狓，狔），且直线犾的方向向量为犪＝（狌，狏），求直线犾
０ ０
的方程．
? （１）如果直线犾过点犘（１，３），且直线犾的法向量为犪＝（－３，１），求直线犾的方程；
（２）如果直线犾过点犘（狓，狔），且直线犾的法向量为犪＝（狌，狏），求直线犾的方程．
０ ０
３ 犃
狔－０＝（－３）×（狓－１） 狔＝－３狓＋３ ５  －  －
５ 犅
 不存在  －３
９ ０ 第二章 平面解析几何2.2.3  

 ,3+,=F
从初中平面几何中我们就已经知道，两条不重合的直线犾与犾：如果
１ ２
它们没有公共点，那么犾与犾平行；否则，犾与犾相交，而且有唯一的交
１ ２ １ ２
点．在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两
条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢？这就是下面我们要讨论的
问题．
A(
（１）已知直线犾：狓－狔＋１＝０，直线犾：狓＋狔＋３＝０，判断犾与犾之间的
１ ２ １ ２
关系．如果相交，求出交点的坐标；如果不相交，说明理由．
（２）总结怎样依据两条直线的方程来考察它们之间的位置关系．
因为平面直角坐标系中，一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能
满足直线的方程，所以为了考察犾与犾之间的位置关系，只要看它们的方
１ ２
程组成的方程组的解的情况即可．又因为解方程组
烄狓－狔＋１＝０，
０
烅
烆狓＋狔＋３＝０，
０
可得狓＝－２，狔＝－１，所以可知犾 与犾 是相交的，而且交点的坐标
１ ２
为 ．
类似地，可以用同样的方法来考察平面直角坐标系中任意两条直线的位
置关系．
若直线犾：狔＝犽狓＋犫，犾：狔＝犽狓＋犫，则可得方程组
１ １ １ ２ ２ ２
烄狔＝犽狓＋犫，
１ １
烅
烆狔＝犽狓＋犫，
２ ２
消去未知数狔并整理，可得
（犽－犽）狓＝－（犫－犫）． ①
１ ２ １ ２
犫－犫
（１）当且仅当犽－犽≠０，即犽≠犽 时，①式有唯一的解狓＝－ １ ２，
１ ２ １ ２ 犽－犽
１ ２
犫犽－犫犽
因此可知方程组有唯一的解，且狔＝ ２ １ １ ２．此时，直线犾与犾有唯
犽－犽 １ ２
１ ２
２．２ 直线及其方程 ９１一的交点 （称为相交），且交点坐标为
（ ）
犫－犫 犫犽－犫犽
－ １ ２， ２ １ １ ２ ．
犽－犽 犽－犽
１ ２ １ ２
（２）当且仅当犽－犽＝０且－（犫－犫）≠０，即犽＝犽 且犫≠犫 时，①
１ ２ １ ２ １ ２ １ ２
式无解，因此方程组也无解．此时，直线犾与犾没有交点，因此它们相互
１ ２
平行．
（３）当且仅当犽－犽＝０且－（犫－犫）＝０，即犽＝犽 且犫＝犫 时，任
１ ２ １ ２ １ ２ １ ２
意实数都是①式的解，方程组有无数组解．此时，直线犾与犾的方程完全
１ ２
一样，它们有无穷多个交点，因此重合．
综上，若直线犾：狔＝犽狓＋犫，犾：狔＝犽狓＋犫，则：
１ １ １ ２ ２ ２
犾与犾相交 犽≠犽；
１ ２ １ ２
犾与犾平行 犽＝犽 且犫≠犫；
１ ２ １ ２ １ ２
犾与犾重合 犽＝犽 且犫＝犫．
１ ２ １ ２ １ ２
这个结论也可从斜率反映的是直线相对于狓轴的倾斜程度等来直观理
解，请读者自行尝试．
例如，直线狔＝－狓与狔＝２狓相交，直线狔＝３与狔＝－１平行．
A(
上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括
所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论．
前面的讨论中并没有包括斜率不存在的直线．为此，可以考虑直线的一
般式方程．
设直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０．虽然同样可
１ １ １ １ ２ ２ ２ ２
以通过方程组的解的情况来考察犾 与犾 的关系，但这里我们用法向量来
１ ２
处理．
因为狏＝（犃，犅）是直线犾的一个法向量，狏＝（犃，犅）是直线犾
１ １ １ １ ２ ２ ２ ２
的一个法向量，如图２２１４ （１）（２）所示，不难看出：
（１）犾与犾 相交 （即只有一个交点）的充要条件是狏 与狏 不共线，
１ ２ １ ２
即犃犅≠犃犅；
１ ２ ２ １
（２）犾与犾平行或重合的充要条件是狏与狏共线，即犃犅＝犃犅．
１ ２ １ ２ １ ２ ２ １
９ ２ 第二章 平面解析几何y y
l l
1 v 2
2 l
v 1
2 l
2
O x O x
v v
1 1
1 2
图２２１４
在狏与狏共线时，存在实常数λ，使得狏＝λ狏，因为狏与狏 都不是
１ ２ １ ２ １ ２
零向量，所以λ≠０，且
烄犃＝λ犃，
１ ２
烅
烆犅＝λ犅，
１ ２
犆
此时犾的方程可以改写为λ（犃狓＋犅狔）＋犆＝０，即犃狓＋犅狔＋ １＝０．
１ ２ ２ １ ２ ２ λ
可以看出，方程组
犆
犃狓＋犅狔＋ １＝０，
烄 ２ ２ λ
０
烅
烆犃 狓＋犅狔＋犆＝０
２ ２ ２
犆
要么有无穷多组解，要么无解，而且有无穷多组解的充要条件为犆＝ １．
２ λ
因此犃狓＋犅狔＋犆＝０与犃狓＋犅狔＋犆＝０重合的充要条件是，存在实
１ １ １ ２ ２ ２
数λ，使得
烄犃＝λ犃，
１ ２
烅犅＝λ犅，
１ ２
烆犆＝λ犆．
１ ２
１
例如，直线狓－１＝０与直线２狓－２＝０重合，直线狓＋狔＋ ＝０与直线
２
２狓＋２狔＋１＝０也重合．
上述结论也说明，直线犃狓＋犅狔＋犆＝０与直线犃狓＋犅狔＋犆＝０，平
１ ２
行的充要条件是犆≠犆，重合的充要条件是 ．
１ ２
判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：


（１）犾：狓－狔＋１＝０，犾：２狓－２狔＋１＝０；
１ ２
（２）犾：狓－２狔＋１＝０，犾：狓＋２狔＋５＝０．
１ ２
（１）将犾与犾的方程分别化为斜截式可知
 １ ２
１
犾：狔＝狓＋１，犾：狔＝狓＋ ．
１ ２ ２
因此犾与犾的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
１ ２
２．２ 直线及其方程 ９３（２）解方程组
烄狓－２狔＋１＝０，
０
烅
烆狓＋２狔＋５＝０，
０
可得狓＝－３，狔＝－１．
因此犾与犾相交，而且交点的坐标为 ．
１ ２
已知直线犾过点（１，－４）且与直线２狓＋３狔＋５＝０平行，求直线


犾的方程．
依题意可设犾的方程为２狓＋３狔＋犆＝０．由于犾过点（１，－４），因此

２×１＋３×（－４）＋犆＝０，
解得犆＝１０．
因此直线犾的方程为２狓＋３狔＋１０＝０．
例２中所求得的直线只有一条，这实际上也能说明，通过直线外一点，
有且只有一条直线与已知直线平行．

 ,3+ ,
我们知道，平面内的两条相交直线，如果相交所得的角是四个直角，则
它们互相垂直．因此，两条直线垂直是两条直线相交的一种特殊情形，能否
根据直线的方程来判断两条直线是否垂直呢？这就是下面我们要讨论的问题．
A(
如果要根据两条直线的方程来判断它们是否垂直，可以从哪些方面来考虑？用
你想到的方法判断直线犾：２狓－狔＋１＝０与犾：狓＋２狔＋２＝０是否垂直．
１ ２
因为直线的方程给定之后，直线的法向量、斜率、倾斜角都能确定，所
以至少可以从这些方面进行考虑．
可以看出，两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直．对于尝
试与发现中的犾与犾来说，因为狏＝（２，－１），狏＝（１，２）分别是犾，犾
１ ２ １ ２ １ ２
的法向量，而且
狏·狏＝２×１＋（－１）×２＝０， y
１ ２
l
即狏⊥狏，所以犾与犾垂直． 1
１ ２ １ ２
另一方面，如果设犾与犾的倾斜角分
１ ２ 1
别为α 与α，斜率分别为犽 与犽，则由
α
１ ２ １ ２ α 2 x
图２２１５可以看出，犾 与犾 垂直的充要条 1
１ ２ O 1
l
π 2
件是α＝α＋ ，从而
２ １ ２
图２２１５
９ ４ 第二章 平面解析几何（ ）
π
（ ） ｓｉｎα＋
π １ ２ ｃｏｓα
ｔａｎα＝ｔａｎα＋ ＝ （ ）＝ １
２ １ ２ π －ｓｉｎα
ｃｏｓα＋ １
１ ２
１
＝－ ，
ｔａｎα
１
１
即ｔａｎαｔａｎα＝－１，故犽犽＝－１．又因为犽＝２，犽＝－ ，所以可知犾
１ ２ １ ２ １ ２ ２ １
与犾垂直．
２
一般地，若已知平面直角坐标系中的直线犾：狔＝犽狓＋犫，犾：狔＝
１ １ １ ２
犽狓＋犫，用类似方法考察它们的法向量或倾斜角之间的关系，可得
２ ２
犾⊥犾犽犽＝－１．
１ ２ １ ２
A(
上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括
所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论．
显然，前面的讨论中并没有包括斜率不存在的直线．为此，可以考虑直
线的一般式方程．
设直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，犾：犃狓＋
１ １ １ １ ２ ２
犅狔＋犆＝０．因为狏＝（犃，犅）是直线犾的
２ ２ １ １ １ １ y
一个法向量，狏＝（犃，犅）是直线犾 的一个 l
2
２ ２ ２ ２
法向量，如图２２１６所示，不难看出，犾与犾 v
1
１ ２
l
垂直的充要条件是狏与狏垂直，即狏·狏＝０， 1
１ ２ １ ２ v O x
2
因此
犃犃＋犅犅＝０．
１ ２ １ ２
即 图２２１６
犾⊥犾犃犃＋犅犅＝０．
１ ２ １ ２ １ ２
由此也可以看出，在平面直角坐标系中，直线犃狓＋犅狔＋犆＝０与直线
１
犅狓－犃狔＋犆＝０一定是垂直的，因为犃犅＋犅（－犃）＝０．
２
判断下列各对直线是否垂直：


（１）犾：狔＝２狓－２，犾：狓－２狔＋１＝０；
１ ２
（２）犾：狓＝２，犾：狔－３＝０．
１ ２
１ １
（１）将犾 的方程化为斜截式为狔＝ 狓＋ ．因此犾 的斜率为
 ２ ２ ２ ２
２．２ 直线及其方程 ９５ ，又因为犾的斜率为２，而且
１
１
×２＝１≠－１，
２
从而可知犾与犾不垂直．
１ ２
（２）显然，犾的倾斜角为９０°，犾 的倾斜角为０°，从而可知犾 与犾
１ ２ １ ２
垂直．
分别求下列直线的方程：


（１）过点（３，１）且与直线狔＝３狓－１垂直的直线犾；
１
（２）过点（１，２）且与直线２狓＋狔－１０＝０垂直的直线犾．
２
（１）因为直线狔＝３狓－１的斜率为３且与犾垂直，所以犾的斜率
 １ １
为 ，因此直线犾的点斜式方程为
１
１
狔－１＝－ （狓－３），
３
整理得狓＋３狔－６＝０．
（２）依题意可设犾 的方程为狓－２狔＋犆＝０．由于犾 过点（１，２），
２ ２
因此
１－２×２＋犆＝０，
解得犆＝３．
因此直线犾的方程为狓－２狔＋３＝０．
２
例４每一问中所求得的直线只有一条，这实际上也能说明，通过平面上
一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
"
? 判断下列各对直线是否平行：
（１）３狓＋４狔－５＝０，６狓＋８狔－７＝０； （２）狔＝３狓＋４，２狔－６狓＋１＝０；
（３）狓＝３，３狓＋５＝０； （４）狓＋狔＝０，狓－狔＝０．
? 判断下列各对直线是否相交，如果相交，求出交点坐标：
（１）犾：２狓＋狔＝７，犾：４狓＋２狔＝１；
１ ２
（２）犾：狓－３狔＋２＝０，犾：狔＝３狓＋４．
１ ２
? 根据下列条件，分别求过点犘且平行于直线犾的直线的方程：
（１）犘（－１，３），犾：狓－３狔＋６＝０； （２）犘（３，－５），犾：狓＋５狔＋２＝０；
（３）犘（２，３），犾：２狓＋狔－５＝０．
? 判断下列各对直线是否垂直：
（１）犾：３狓＋４＝０，犾：５＋２狔＝０；
１ ２
（２）犾：（槡２－１）狓＋狔＝３，犾：狓＋（槡２＋１）狔＝２．
１ ２
９ ６ 第二章 平面解析几何? 求下列过点犘且与直线犾垂直的直线的方程：
（１）犘（４，－３），犾：狓＋５狔－３＝０； （２）犘（３，－５），犾：狓＋狔＝０；
（３）犘（２，３），犾：狓＋狔－２＝０．
#
? 已知直线２狓＋狔－８＝０与直线３狓＋（１－犪）狔＋３＝０平行，求犪的值．
? 方程２狓＋狔＋犪＝０在犪取不同实数时，对应不同的直线，这些不同的直线的位
置关系如何？在平面直角坐标系中，分别作出犪＝０，１，２时方程表示的直线．
? 已知直线２狓＋犪狔－１＝０与狓＋４狔－２＝０的交点在第一象限，求犪的取值范围．
? 求经过２狓＋狔－８＝０与狓－２狔＋１＝０的交点，且平行于直线４狓－３狔－７＝０的
直线的方程．
? 已知直线犪狓＋２狔－１＝０与直线２狓－３狔＋５＝０垂直，求犪的值．
? 已知犃（－１，２），犅（３，－２），犆（１，５），求过点犆且与直线犃犅垂直的直线的方程．
１ －１ １
 （－２，－１） 犆＝犆  （－３，－１）   ＝－
１ ２ ２ ３ ３
2.2.4 

%,3+C.
我们知道，平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂
线段的长度．那么，如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，
能不能快速地求出点到直线的距离呢？这就是本小节我们要解决的问题．
A(
你能想办法求出犘（－１，２）到直线犾：２狓＋狔－５＝０的距离吗？用你的方法
１
能得出一般的结论吗？
如图２２１７所示，设犘（狓，狔）是直线犾上的点，且犘犘⊥犾，则犘
１ １ １ １ １ １
２．２ 直线及其方程 ９７到犾的距离等于犘犘 的长．
１ １
→ y
注意到犘犘＝（狓＋１，狔－２），而且狏＝（２，１）
１ １ １
→
是直线犾 的一个法向量，因此犘犘 与狏共线，
P
１ １ 1
从而
P
２×（狔－２）＝１×（狓＋１），
1
１ １
整理得 O 1 x
l
1
狓－２狔＋５＝０． ①
１ １ 图２２１７
又因为犘（狓，狔）是直线犾上的点，所以
１ １ １ １
２狓＋狔－５＝０． ②
１ １
→
联立①与②，解方程组可得狓＝１，狔＝３．即犘（１，３），所以犘犘＝
１ １ １ １
 ，因此
→
｜犘犘｜＝槡２２＋１２＝槡５，
１
即所求距离为槡５．
下面我们来求犘（狓，狔）到直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０的距离犱．设
０ ０
犘（狓，狔）是直线犾上的点，且犘犘⊥犾，因此所要求的就是
１ １ １ １
犱＝槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２． ③
１ ０ １ ０
→
注意到犘犘＝（狓－狓，狔－狔），而且狏＝（犃，犅）是直线犾的一个法
１ １ ０ １ ０
→
向量，因此犘犘 与狏共线，从而犃（狔－狔）＝犅（狓－狓），整理得
１ １ ０ １ ０
犅（狓－狓）－犃（狔－狔）＝０． ④
１ ０ １ ０
又因为犘（狓，狔）是直线犾上的点，所以
１ １ １
犃狓＋犅狔＋犆＝０． ⑤
１ １
如果联立④和⑤求出狓，狔，再代入③中求犱，将是非常烦琐的 （请
１ １
读者自行尝试）．注意到为了求出③，我们只需求出狓－狓 与狔－狔 的平
１ ０ １ ０
方和即可，而④中正好有这两个式子，但⑤中没有．为此，在⑤的左右两边
同时减去犃狓，犅狔，并整理，得
０ ０
犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＝－（犃狓＋犅狔＋犆）． ⑥
１ ０ １ ０ ０ ０
将④与⑥两边平方后相加可得
（犃２＋犅２）［（狓－狓）２＋（狔－狔）２］＝（犃狓＋犅狔＋犆）２，
１ ０ １ ０ ０ ０
（犃狓＋犅狔＋犆）２
因此（狓－狓）２＋（狔－狔）２＝ ０ ０ ，从而
１ ０ １ ０ 犃２＋犅２
犃狓＋犅狔＋犆
犱＝ ０ ０ ．
槡犃２＋犅２
这称为点到直线的距离公式．
９ ８ 第二章 平面解析几何例如，利用点到直线的距离公式，可以算得犘（－１，２）到直线犾：２狓＋
１
狔－５＝０的距离为
｜２×（－１）＋２－５｜ ５
＝ ＝槡５，
槡２２＋１２ 槡５
这与前面我们计算的结果是一致的．
点犘（狓，狔）到直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０的距离公式也可通过向量数量
０ ０
积来推导：因为狏＝（犃，犅）是直线犾的一个法向量，设犘（狓，狔）是直线犾
１
上任意一点，则按照向量数量积的几何意义可知，犘（狓，狔）到直线犾的距
０ ０
离犱满足
→
｜犘犘·狏｜
犱＝ １ ．
狏
→
注意到犘犘＝（狓－狓，狔－狔），所以
１ ０ ０
→
｜犘犘·狏｜ ｜犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）｜
犱＝ １ ＝ ０ ０
狏 槡犃２＋犅２
｜犃狓＋犅狔－（犃狓＋犅狔）｜
＝ ０ ０ ，
槡犃２＋犅２
又因为犘（狓，狔）是直线犾上一点，所以犃狓＋犅狔＋犆＝０，因此犃狓＋犅狔＝－犆，
１
从而
｜－犆－（犃狓＋犅狔）｜ ｜犃狓＋犅狔＋犆｜
犱＝ ０ ０ ＝ ０ ０ ．
槡犃２＋犅２ 槡犃２＋犅２
已知△犃犅犆的三个顶点犃（２，２），犅（２，０），犆（０，１），求


△犃犅犆的犅犆边上的高．
所求犅犆边上的高等于点犃到直线犅犆的距离．

因为犅犆所在直线的截距式方程为
 ，
所以一般式方程为 ，因此所求高为
｜２＋２×２－２｜ ４槡５
＝ ．
槡１２＋２２ ５

 =,3K+C.
我们知道，两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另
一条直线的距离，因此，可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的
距离．
２．２ 直线及其方程 ９９求平行线犾：３狓－４狔＋３＝０与犾：６狓－８狔－５＝０之间的距离．

 １ ２
在犾的方程中，令狔＝０，则可得狓＝－１，因此（－１，０）是直线
 １
犾上一点．
１
又因为（－１，０）到６狓－８狔－５＝０的距离为
｜６×（－１）－８×０－５｜
＝ ，
槡６２＋（－８）２
所以所求距离为 ．
已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，求证：

 １ １ ２ ２
犾与犾之间的距离为
１ ２
｜犆－犆｜
犱＝ ２ １ ．
槡犃２＋犅２
设犘（狓，狔）为犾上一点，则犃狓＋犅狔＋犆＝０，从而犃狓＋
 １ １ １ １ １ １ １
犅狔＝－犆．
１ １
因为犘到犾的距离为
２
犃狓＋犅狔＋犆 ｜犆－犆｜
犱＝ １ １ ２ ＝ ２ １ ，
槡犃２＋犅２ 槡犃２＋犅２
所以结论成立．
"
? 分别求下列点到直线的距离：
（１）犗（０，０），犾：４狓－３狔＋１０＝０； （２）犃（２，－３），犾：狓＋狔－１＝０．
? 如果点犘（犿，狀）到直线狓＋狔－１＝０的距离为０，写出犿，狀满足的关系式．
? 求平行线２狓－３狔＋５＝０与２狓－３狔－８＝０之间的距离．
? 如果点犘到直线犾的距离为犱，且点犘与直线犾上一点犃的距离为３，求犱的
取值范围．
#
? 分别写出点犘（狓，狔）到狓＝犪，狔＝犫的距离．
０ ０
? 已知点犅（犿，６）到直线狔＝３狓＋６的距离为３，求实数犿的值．
? 求平行线３狓－２狔－３＝０与６狓－４狔＋１＝０之间的距离．
? 已知点犃（１，３），犅（２，１），犆（－１，０），求△犃犅犆的面积．
狓 狔 １１ １１
 （２，１）  ＋ ＝１ 狓＋２狔－２＝０  
２ １ １０ １０
１ ００ 第二章 平面解析几何"
? 判断犃（１，３），犅（３，７），犆（４，９）三点是否共线，并说明理由．
? 分别求下列直线的倾斜角：
（１）狔＝槡３狓－２； （２）狓＋槡３狔＋１＝０；
１
（３）狓＝－３； （４）狔＝ ．
２
? 根据下列条件分别求出直线的方程：
（１）经过点犃（４，２），平行于狓轴；
（ ）
１
（２）经过点犅－ ，０ ，平行于狔轴；
２
２
（３）在狓轴、狔轴上的截距分别为－ ，３．
３
? （１）求过点犘（５，２）且平行于直线犾：３狓－狔＋１＝０的直线的方程；
（２）求过点犘（－２，１）且垂直于直线犾：狓－３狔－４＝０的直线的方程．
? 已知三角形的顶点是犃（－１，０），犅（３，１），犆（０，５），求这个三角形三边所
在直线的方程．
? 分别判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
（１）２狓＋狔－１１＝０，狓＋３狔－１８＝０；
（２）２狓＋５狔－６＝０，２狓－５狔－６＝０．
? 分别求下列点到直线的距离：
（１）犗（０，０），３狓＋４狔－５＝０； （２）犃（１，－３），狓＋狔－１＝０；
（３）犅（１，０），３狓＋狔＝０； （４）犆（１，２），狔－７＝０．
? 求在狔轴上且到直线３狓＋４狔＋５＝０的距离等于５的点的坐标．
? 已知菱形的两条对角线分别在狓轴和狔轴上，并且它们的长分别等于８和６，
求菱形各边所在直线的方程．
﹣ 分别求直线３狓－４狔－５＝０关于狓轴、狔轴对称的直线的方程．
﹣ 已知犃（１，３）关于直线犾：狔＝狓－３的对称点为犅，求犅到直线犾的距离．
﹣ 函数狔＝狓＋３ 的图象由两条射线组成，求这两条射线所在直线的方程．
#
? 已知犪，犫，犮是两两不相等的实数，分别求经过下列两点的直线的倾斜角：
（１）犃（犪，犮），犅犫（，犮）； （２）犆（犪，犫），犇（犪，犮）；
（３）犘犫（，犫＋犮），犙（犪，犮＋犪）．
? 已知犃（－２，犪），犅（犪＋１，３），犆（－１，２）三点共线，求实数犪的值．
２．２ 直线及其方程 １０１? 方程狔－１＝犽（狓＋１）在犽取遍所有实数时，可对应无数条直线，这无数条直
线有什么共同点？
槡３
? 一条直线犾经过点犘（２，－３），并且倾斜角是直线狔＝ 狓的倾斜角的２倍，
３
求直线犾的方程．
? 已知犃（－３，２），犅（１，－４），求线段犃犅的垂直平分线的方程．
? 求经过点犃（３，２），并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
? 已知点犃（－１，２），犅（２，１），犆（０，４），求△犃犅犆三条高所在直线的方程．
? 已知直线犾：（犿＋２）狓－（犿－２）狔＋２＝０，直线犾：３狓＋犿狔－５＝０，且犾⊥犾，
１ ２ １ ２
求犿的值．
? 直线２狓－狔＋犮＝０与直线２狓－狔＋２＝０之间的距离为槡５，求犮的值．
﹣ 直线的方程犃狓＋犅狔＋犆＝０ （犃２＋犅２≠０）中的犃，犅，犆满足什么条件时，
直线分别具有如下性质？
（１）过坐标原点； （２）与两条坐标轴都相交；
（３）与狓轴无交点； （４）与狔轴无交点；
（５）与狓轴垂直； （６）与狔轴垂直．
﹣ 向量（狓，狔）与（－狔，狓）中，如果其中一个为直线犾的一个方向向量，则
０ ０ ０ ０
另一个一定是直线犾的一个法向量吗？
﹣ 已知犘是直线犾上一点，且狀是直线犾的一个方向向量，分别根据下列条件
求直线犾的方程：
（１）犘（３，－５），狀＝（１，２）； （２）犘（０，５），狀＝（３，－４）．
﹣ 已知犘是直线犾上一点，且狏是直线犾的一个法向量，分别根据下列条件求
直线犾的方程：
（１）犘（１，２），狏＝（３，－４）； （２）犘（－１，２），狏＝（３，４）．
$
? 已知犌（－１，０）为正方形的中心，且这个正方形的一条边所在的直线方程为
狓－３狔－５＝０，求这个正方形其他三条边所在的直线的方程．
? 已知直线犾经过点犘（２，１），且犃（２，３），犅（４，－５）两点到直线犾的距离相
等，求直线犾的方程．
? 求点犃（１，３）关于直线狓－狔＋３＝０的对称点的坐标．
１ ０２ 第二章 平面解析几何．
! #!+’()*
2.3.1   
我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点
是圆心，定长是圆的半径．在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个
二元一次方程来表示．平面直角坐标系中的一个圆，是否也可以用方程表示
呢？这就是本节我们要探讨的问题．
A(
y
如图２３１所示，设平面直角坐标系中的⊙犆的圆心坐标为 M
犆（１，２），而且半径为２．
A
C
（１）判断点犃（３，２）是否在⊙犆上； 1
（２）设犕（狓，狔）是平面直角坐标系中任意一点，那么犕在
O 1 x
⊙犆上的充要条件是什么？此时狓，狔要满足什么关系式？ 图２３１
根据圆的定义可知，一个点在⊙犆上的充要条件是这个点到圆心的距离
等于半径．因为
｜犆犃｜＝槡（３－１）２＋（２－２）２＝２，
所以可知点犃（３，２）在⊙犆上．
同样，犕（狓，狔）在⊙犆上的充要条件是｜犆犕｜＝２，由两点间的距离公
式有槡（狓－１）２＋（狔－２）２＝２，因此狓，狔要满足
（狓－１）２＋（狔－２）２＝４．
一般地，如果平面直角坐标系中⊙犆的圆心为犆（犪，犫），半径为狉（狉＞０），
设犕（狓，狔）为平面直角坐标系中任意一点，则点犕在⊙犆上的充要条件是
｜犆犕｜＝狉，即槡（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉，两边平方，得
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２． ①
２．３ 圆及其方程 １０３上述充要条件表明，⊙犆上任意一点犕的坐标（狓，狔）满足方程①；如
果平面上一点犕的坐标（狓，狔）满足方程①，可得｜犆犕｜＝狉，则点犕在
⊙犆上．因此方程①能表示以点犆（犪，犫）为圆心，狉为半径的圆，①式通常
称为圆的标准方程．为了方便起见，同直线中的情形一样，我们称圆
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２ 时，指的是方程为（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２ 的圆．
当然，类似地，我们也可得到一个点在圆内还是圆外的判断方法：如果
⊙犆的圆心为犆（犪，犫），半径为狉（狉＞０），则点犕（狓，狔）在⊙犆外的充
１ １ １
要条件是
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＞狉２；
１ １
点犕（狓，狔）在⊙犆内的充要条件是
２ ２ ２
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＜狉２．
２ ２
根据下列条件，求圆的标准方程：


（１）圆心在点犆（－２，１），且过点犃（２，－２）；
（２）过点（０，１）和点（２，１），半径为槡５．
为了求得圆的标准方程，只要确定圆心坐标和半径就可以了．

（１）所求圆的半径

狉＝｜犆犃｜＝槡（２＋２）２＋（－２－１）２＝５．
又因为圆心为（－２，１），所以所求圆的方程为
（狓＋２）２＋（狔－１）２＝２５．
（２）设圆心坐标为（犪，犫），则圆的方程为（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝５．因
为（０，１），（２，１）是圆上的点，所以
烄犪２＋（１－犫）２＝５，
烅
烆
（２－犪）２＋（１－犫）２＝５，
解得
烄犪＝１， 烄犪＝１，
０ 或 ０
烅 烅
烆犫＝－１ 烆犫＝３．
因此，所求圆的方程为
（狓－１）２＋（狔＋１）２＝５或（狓－１）２＋（狔－３）２＝５．
如图２３２所示，设⊙犆的圆


心犆在直线犾：２狓－７狔＋８＝０上，且 y
B
犃（６，０），犅（１，５）都是⊙犆上的点，
l
求圆的标准方程． C
（方法一）设所求圆的方程为

O 1 A x
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２，由题意得
图２３２
１ ０４ 第二章 平面解析几何烄（６－犪）２＋（０－犫）２＝狉２，
烅（１－犪）２＋（５－犫）２＝狉２，
烆２犪－７犫＋８＝０，
解得犪＝ ，犫＝ ，狉２＝ ．
因此所求圆的方程为
 ．
（方法二）设线段犃犅的垂直平分线为犿，则犆既在直线犿上，又在
直线犾上，所以犆是直线犿与犾的交点．
５－０
因为直线犃犅的斜率为 ＝－１，所以犿的斜率为 ；
１－６
又因为犃犅中点的横坐标和纵坐标分别为
６＋１ ７ ０＋５ ５
＝ ， ＝ ，
２ ２ ２ ２
（ ）
５ ７
所以直线犿的方程为狔－ ＝１×狓－ ，即狓－狔－１＝０．
２ ２
解方程组
烄狓－狔－１＝０，
０
烅
烆２狓－７狔＋８＝０，
得狓＝３，狔＝２．因此，圆心犆的坐标为（３，２），又圆的半径为
｜犆犃｜＝槡（６－３）２＋（０－２）２＝槡１３，
从而所求圆的方程是
（狓－３）２＋（狔－２）２＝１３．
赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱


桥．如图２３３所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何
的方法，用赵州桥的跨度犪和圆拱高犫表示出赵州桥圆弧所在圆的半径．
y
C
A O B x
图２３３ 图２３４
作出示意图如图２３４所示，其中犃犅表示跨度，犗为犃犅中点，

犗犆为圆拱高．以犗为原点，犃犅所在直线为狓轴建立平面直角坐标系，
２．３ 圆及其方程 １０５（ ）
犪
根据已知条件有犅 ，０ ，犆（０，犫）．
２
可以看出，圆弧所在圆的圆心在狔轴的负半轴上，因此可设圆心的
坐标为（０，狋），半径为狉，则因为犅，犆都在圆上，所以
（ ）
烄犪２
＋狋２＝狉２，
２
烅
烆
（犫－狋）２＝狉２，
４犫２＋犪２
由此可解得狉＝ ．
８犫
感兴趣的同学可以从网上查得犪与犫的值，然后算出狉．
"
? 分别写出满足下列条件的圆的标准方程：
（１）圆心为坐标原点，半径为２；
（２）圆心为点（０，１），半径为２；
（３）圆心为点（－２，１），半径为槡３．
? 求出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径：
（１）狓２＋狔２＝５；
（２）（狓－３）２＋狔２＝４；
（３）狓２＋（狔＋１）２＝２；
（４）（狓＋２）２＋（狔－１）２＝３．
? 判断犃（１，１），犅（１，槡３），犆（１，２）与圆狓２＋狔２＝４的位置关系．
? 写出圆心为点（３，４）且过坐标原点的圆的方程．
? 写出圆心在坐标原点且半径为狉（狉＞０）的圆的标准方程．
#
? 分别求满足下列条件的圆的方程：
（１）以犃（２，３），犅（４，９）为直径的两个端点的圆；
（２）过点（０，１）和（０，３），半径等于１的圆．
? 求经过点犃（１，０），犅（０，１），且圆心在直线狓＋狔＝０上的圆的方程．
? 已知犘（－１，－１），点犙是圆（狓－２）２＋（狔－３）２＝１上任意一点，求｜犘犙｜的最大值．
３ ２ １３  （狓－３）２＋（狔－２）２＝１３ １
１ ０６ 第二章 平面解析几何2.3.2  
A(
把圆的标准方程
（狓－１）２＋（狔－２）２＝９
中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化
成这种形式？
显然，（狓－１）２＋（狔－２）２＝９可以化为
狓２－２狓＋狔２－４狔－４＝０．
一般地，圆的标准方程（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２ 可以化为
狓２＋狔２－２犪狓－２犫狔＋犪２＋犫２－狉２＝０．
在这个方程中，如果令犇＝－２犪，犈＝－２犫，犉＝犪２＋犫２－狉２，则这个方程
可以表示成
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０ ①
的形式，其中犇，犈，犉都是常数．形如①式的圆的方程称为圆的一般方程．
不难看出，圆的标准方程明确指出了圆的圆心坐标与半径，而圆的一般
方程表明了圆的方程形式上的特点．要给出圆的标准方程，需要确定圆心坐
标和半径；而要给出圆的一般方程，则需要确定一般方程中的犇，犈，犉．
已知犃（０，５），犅（１，－２），犆（－３，－４）都是⊙犘上的三点，


求这个圆的方程．
设所求圆的方程为狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０，因为犃（０，５），

犅（１，－２），犆（－３，－４）都是圆上的点，所以它们的坐标都是方程的解，
因此可得
烄５犈＋犉＋２５＝０，
烅犇－２犈＋犉＋５＝０，
烆－３犇－４犈＋犉＋２５＝０，
解方程组可得犇＝ ，犈＝ ，犉＝ ．
因此所求圆的方程为狓２＋狔２＋６狓－２狔－１５＝０．
例１同样也可以通过设圆的标准方程来求解，请读者自行尝试．
圆的一般方程是一个二元二次方程，因为所有圆的方程都可以化成①的
形式，所以一个二元二次方程表示圆的必要条件，就是能化成①的形式．例
２．３ 圆及其方程 １０７如，方程
狓２＋２狔２－２狓－３狔＋７＝０与狓２＋狓狔＋狔２－３狓－４狔＋５＝０
都不是圆的方程，因为第一个方程中，狓２，狔２ 的系数不相等，而第二个方
程中狓狔项的系数不为０，它们都不能化成①的形式．但是
２狓２＋２狔２－４狓－４狔＋１＝０与狓２＋狔２－２狓－２狔＋２＝０
都有可能是圆的方程，因为它们都能化为①的形式．
A(
分别判断
２狓２＋２狔２－４狓－４狔＋１＝０与狓２＋狔２－２狓－２狔＋２＝０
是否是圆的方程，然后总结出狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０是圆的方程的充分条件．
不难想到，一个二元二次方程是否是一个圆的方程，取决于这个方程能
否化成圆的标准方程．
因为
２狓２＋２狔２－４狓－４狔＋１＝０
１
狓２＋狔２－２狓－２狔＋ ＝０
２
３
狓２－２狓＋１＋狔２－２狔＋１＝
２
３
（狓－１）２＋（狔－１）２＝ ，
２
所以上述方程是圆心在（１，１），半径为 的圆；又因为
狓２＋狔２－２狓－２狔＋２＝０
狓２－２狓＋１＋狔２－２狔＋１＝０
（狓－１）２＋（狔－１）２＝０，
显然，满足上述方程的实数只有狓＝１，狔＝１，因此不是圆的方程．
一般地，
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０
（ ） （ ） （ ） （ ）
犇２ 犈２ 犇２ 犈２
狓２＋犇狓＋ ＋狔２＋犈狔＋ ＝ ＋ －犉
２ ２ ２ ２
（ ） （ ）
犇２ 犈２ 犇２＋犈２－４犉
狓＋ ＋狔＋ ＝ ，
２ ２ ４
因此：
（ ）
犇 犈 １
（１）当犇２＋犈２－４犉＞０时，方程是以 － ，－ 为圆心， 槡犇２＋犈２－４犉
２ ２ ２
１ ０８ 第二章 平面解析几何为半径的圆的方程；
犇 犈
（２）当犇２＋犈２－４犉＝０时，满足方程的实数只有狓＝－ ，狔＝－ ，
２ ２
所以原方程不是圆的方程；
（３）当犇２＋犈２－４犉＜０时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的
方程．
判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半


径；如果不是，说明理由：
（１）狓２＋狔２＋４狓－６狔－１２＝０； （２）４狓２＋４狔２－８狓＋４狔－１５＝０；
（３）狓２＋狔２－６狓＋１０＝０．
（１）原方程可以化为

狓２＋４狓＋４＋狔２－６狔＋９＝２５，
即（狓＋２）２＋（狔－３）２＝２５，所以是圆心坐标为 ，半径为５
的圆的方程．
１５
（２）方程两边除以４，得狓２＋狔２－２狓＋狔－ ＝０．将左边配方，得
４
（ ）
１ ２
（狓－１）２＋狔＋ ＝５，
２
（ ）
１
所以是圆心坐标为１，－ ，半径为 的圆的方程．
２
（３）因为原方程可以化为狓２－６狓＋９＋狔２＝－１，即
（狓－３）２＋狔２＝－１，
又因为满足上述方程的实数狓，狔不存在，所以原方程不是圆的方程．
"
? 写出下列圆的圆心坐标和半径：
（１）狓２＋狔２－６狓＝０； （２）２狓２＋２狔２－４狓＋８狔＋５＝０．
? 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，
说明理由：
（１）狓２＋狔２＝０； （２）狓２＋狔２－２狓＋４狔－６＝０；
（３）狓２＋狔２－２狓－２狔－３＝０．
? 判断点犃（０，０），犅（－１，５），犆（１，－２）与圆狓２＋狔２＋２狓－４狔－４＝０的位置
关系．
２．３ 圆及其方程 １０９#
? 已知犪，犫为实数，判断狓２＋狔２＋２犪狓－犫２＝０是否是圆的方程，并说明理由．
? 已知圆狓２＋狔２＋２狓－犪狔－４＝０的半径为３，求实数犪的值．
? 写出圆２狓２＋２狔２＋３狓－犪狔＝０ （犪∈犚）的圆心坐标和半径．
? 已知坐标原点不在圆狓２＋狔２－犪狔＋犪－１＝０的内部，求实数犪的取值范围．
? 求经过犃（０，０），犅（－２，０），犆（０，２）三点的圆的方程．
槡６
６  －２  －１５   （－２，３）  槡５
２
2.3.3 

在日常生活中，可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图２３５ （１）（２）
所示．
（１） （２）
图２３５
我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是
否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可．那么，能否利用
直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？
情境中的问题就是本小节要讨论的．
初中几何中曾介绍过：如图２３６ （１）所示，直线与圆有两个公共点
时，称直线与圆相交，且称直线为圆的割线；如图２３６ （２）所示，直线与
１ １０ 第二章 平面解析几何圆只有一个公共点时，称直线与圆相切，且称直线为圆的切线，称公共点为
切点；如图２３６ （３）所示，直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离．
  
图２３６
A(
判断直线犾：狔＝－狓＋５与圆犆：狓２＋狔２＝１２的位置关系，并说明理由．
在平面直角坐标系中作出直线犾与圆犆，如
y
图２３７所示，可以看出它们没有公共点，因此
直线犾与圆犆相离．作图的方法虽然直观，但是
l
1
借助计算机作图才会比较精确．考虑到直线的方
OO C x
程、圆的方程的意义，不难想到，可以借助直线
与圆的方程组成的方程组来探讨它们的位置
关系．
图２３７
因为从方程组
烄狔＝－狓＋５，
烅
烆狓２＋狔２＝１２
中消去狔可得狓２＋（－狓＋５）２＝１２，即
２狓２－１０狓＋１３＝０， ①
又因为（－１０）２－４×２×１３＝－４＜０，所以方程①无实数解，这说明方程组
也无实数解，因此直线犾：狔＝－狓＋５与圆犆：狓２＋狔２＝１２没有公共点，从
而也就说明了它们相离．
另外，初中几何中，大家根据归纳与试验，曾经总结出下述结论：如图
２３８所示，如果⊙犆的半径为狉，圆心犆到直线犾的距离为犱，则
直线犾与⊙犆相交 犱＜狉；
直线犾与⊙犆相切 犱＝狉；
直线犾与⊙犆相离 犱＞狉．
２．３ 圆及其方程 １１１C C C
r r r
d d
d
  
图２３８
因为根据圆的方程与直线的方程能方便地算出圆心到直线的距离，所以
我们也可利用这个结论来快速地得到直线与圆的位置关系．例如，前述尝试
与发现中的圆心（０，０）到直线狔＝－狓＋５的距离
犱＝ ，
５槡２
而圆的半径为槡１２＝２槡３，因为２槡３＜ ，所以直线狔＝－狓＋５与圆狓２＋
２
狔２＝１２相离．
事实上，利用坐标法，我们能给出初中所得结
论的严格证明．
y
给定平面中的一条直线犾与⊙犆，以⊙犆的圆 l
心为原点，以不垂直于直线犾的直线为狓轴，建立
C
O x
平面直角坐标系，如图２３９所示．设直线犾的方
程为狔＝犽狓＋犫，⊙犆的方程为狓２＋狔２＝狉２．
图２３９
从方程组
烄狔＝犽狓＋犫，
烅
烆狓２＋狔２＝狉２
中消去狔可得狓２＋（犽狓＋犫）２＝狉２，即
（１＋犽２）狓２＋２犽犫狓＋犫２－狉２＝０， ②
因为方程②的判别式
Δ＝（２犽犫）２－４（１＋犽２）（犫２－狉２）
＝４犽２犫２－４犫２＋４狉２－４犽２犫２＋４犽２狉２
＝４［（１＋犽２）狉２－犫２］，
所以
犫２ 犫
Δ＞０４［（１＋犽２）狉２－犫２］＞０狉２＞ 狉＞ ，
１＋犽２ 槡１＋犽２
犫
注意到 表示的正好是圆心（０，０）到直线狔＝犽狓＋犫的距离，而Δ＞０
槡１＋犽２
说明方程②有两个不同的实数解，此时说明原方程组也有两组不同的实数
１ １２ 第二章 平面解析几何解，因此当且仅当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交．
类似地，可以得到直线与圆相切和相离的充要条件．
已知直线狔＝狓＋犫，圆狓２＋狔２＝２，分别求直线与圆相交、相


切、相离时犫的取值范围．
（方法一）联立直线的方程与圆的方程，得方程组

烄狔＝狓＋犫，
烅
烆狓２＋狔２＝２，
从方程组中消去狔，整理得
２狓２＋２犫狓＋犫２－２＝０， ③
这个方程的判别式
Δ＝（２犫）２－４×２（犫２－２）＝－４（犫＋２）（犫－２）．
当且仅当－２＜犫＜２时，Δ＞０，方程③有两个不相等的实数解，此时
直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当且仅当犫＝２或犫＝－２时， ，方程③有两个相等的
实数解，此时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当且仅当犫＜－２或犫＞２时， ，方程③没有实数解，
此时直线与圆没有公共点，直线与圆相离．
（方法二）因为圆的半径狉＝槡２，圆心犗（０，０）到直线狔＝狓＋犫的距
离为
犫
犱＝ ．
槡２
犫
当且仅当犱＜狉，即 ＜槡２，－２＜犫＜２时，直线与圆相交；
槡２
犫
当且仅当犱＝狉，即 ＝槡２，犫＝２或犫＝－２时，直线与圆相切；
槡２
犫
当且仅当犱＞狉，即 ＞槡２，犫＜－２或犫＞２时，直线与圆相离．
槡２
已知犕（１，２）是圆狓２＋狔２＝５上一点，求圆的过点犕的切线


方程．
（方法一）如果切线的斜率不存在，则切线方程为狓＝１，但圆心

犗（０，０）到狓＝１的距离为 ，不等于圆的半径槡５，矛盾．
因此切线的斜率一定存在，设为犽，从而切线方程为狔－２＝犽（狓－１），
即犽狓－狔＋２－犽＝０，从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知
｜２－犽｜
＝槡５，
槡犽２＋１
２．３ 圆及其方程 １１３解得犽＝ ，所以切线的点斜式方程为
１
狔－２＝－ （狓－１），
２
因此所求方程为狓＋２狔－５＝０．
（方法二）圆的圆心为犗，而且犗犕是与切
线垂直的，如图２３１０所示．
y
２－０ M
因为犽 ＝ ＝２，所以切线的斜率为
犗犕 １－０
 ，从而可知切线的点斜式方 O 1 x
程为
１
狔－２＝－ （狓－１），
２ 图２３１０
因此所求方程为狓＋２狔－５＝０．
例２的方法二说明，利用圆的几何性质，有时可以有效地减少运算量．
已知直线犾：狓＋狔＋２＝０与圆犆：狓２＋狔２＝９相交于犃，犅两点．


（１）求线段犃犅的长；
（２）求线段犃犅中点的坐标．
（１）（方法一）如图２３１１所示，设犃犅

的中点为犕，根据垂径定理可知犗犕⊥犃犅，因 y
此△犃犕犗是个直角三角形．
B
由点到直线的距离公式可知 O
1 x
２
M
｜犗犕｜＝ ＝槡２，
槡１２＋１２
A
又犗犃是圆的半径，因此｜犗犃｜＝槡９＝３，从而
图２３１１
在Ｒｔ△犃犕犗中，有
｜犃犕｜＝槡 ｜犗犃｜２－｜犗犕｜２＝ 槡 ３２－（槡２）２＝槡７．
因此｜犃犅｜＝２｜犃犕｜＝２槡７．
（方法二）设犃（狓，狔），犅（狓，狔），则
１ １ ２ ２
｜犃犅｜２＝（狓－狓）２＋（狔－狔）２．
２ １ ２ １
因为犃（狓，狔），犅（狓，狔）都是直线狓＋狔＋２＝０上的点，所以
１ １ ２ ２
烄狓＋狔＋２＝０，
１ １
烅
狓＋狔＋２＝０，
烆
２ ２
第二式减去第一式可得狓－狓＋狔－狔＝０，因此狔－狔＝－（狓－狓），
２ １ ２ １ ２ １ ２ １
从而
｜犃犅｜２＝（狓－狓）２＋［－（狓－狓）］２＝２（狓－狓）２．
２ １ ２ １ ２ １
１ １４ 第二章 平面解析几何又因为从方程组
烄狓＋狔＋２＝０，
烅
烆狓２＋狔２＝９
中消去狔，整理可得２狓２＋４狓－５＝０，而且狓，狓 是这个方程的两个根，
１ ２
因此由韦达定理可知
４
狓＋狓＝－ ＝－２，
烄 １ ２ ２
烅
－５ ５
烆狓狓＝ ＝－ ，
１ ２ ２ ２
所以
（ ）
５
（狓－狓）２＝（狓＋狓）２－４狓狓＝（－２）２－４× － ＝１４，
２ １ ２ １ １ ２ ２
因此｜犃犅｜２＝２×１４＝２８，从而可知｜犃犅｜＝２槡７．
（２）设犃（狓，狔），犅（狓，狔），且线段犃犅的中点坐标为（狓，狔），则
１ １ ２ ２ ０ ０
狓＋狓 狔＋狔
狓＝ １ ２，狔＝ １ ２．
０ ２ ０ ２
由 （１）中的方法二可知
狓＋狓 －２
狓＝ １ ２＝ ＝－１，
０ ２ ２
又因为直线犾的方程可以化为狔＝－狓－２，所以
狔＋狔 （－狓－２）＋（－狓－２） 狓＋狓
狔＝ １ ２＝ １ ２ ＝－ １ ２－２＝－（－１）－２＝－１，
０ ２ ２ ２
因此所求中点坐标为（－１，－１）．
例３ （１）中的方法二以及 （２）的解法中，我们设了犃，犅两点的坐
标，但是解题过程中并没有实际求出，这种方法在解析几何中通常称为 “设
而不求”．请读者结合这个例题，自行总结什么时候可以使用设而不求的方
法，使用过程中应该注意些什么，等等．
"
? 已知直线２狓＋狔－５＝０和圆（狓－１）２＋（狔＋２）２＝６．
（１）求圆心到直线的距离犱； （２）判断直线与圆的位置关系．
? 直线狓－狔－１＝０与圆狓２＋狔２＝１３是否相交？如果相交，求出交点．
? 判断下列直线与圆的位置关系：
（１）直线４狓－３狔＋６＝０与圆狓２＋狔２－８狓＋２狔－８＝０；
（２）直线２狓－狔＋５＝０与圆狓２＋狔２－４狓＋３＝０．
２．３ 圆及其方程 １１５? 求圆心为坐标原点且与直线４狓＋２狔－１＝０相切的圆的方程．
? 已知直线狔＝犿狓＋４与圆狓２＋狔２＝４相切，求犿的值．
#
? （１）已知圆狓２＋狔２＝２，求经过圆上的点（－１，１）的切线方程；
（２）已知犕（狓，狔）是圆狓２＋狔２＝狉２上一点，求证：过点犕的圆的切线方程
０ ０
为狓狓＋狔狔＝狉２．
０ ０
? 当犆为何值时，直线狓－狔－犆＝０与圆狓２＋狔２＝４有两个公共点、一个公共
点、无公共点？
? 求斜率为２且与圆狓２＋狔２－２狔－４＝０相切的直线的方程．
? 已知直线狓－狔＋１＝０与圆犆：狓２＋狔２－４狓－２狔＋犿＝０交于犃，犅两点．
（１）求线段犃犅的垂直平分线的方程；
（２）若｜犃犅｜＝２槡２，求犿的值；
（３）在 （２）的条件下，求过点犘（４，４）的圆犆的切线方程．
（ ）
１ ２ ５
? 求圆狓－ ＋（狔＋１）２＝ 关于直线狓－狔＋１＝０对称的圆的方程．
２ ４
５ ５槡２ １ １
 ＝ Δ＝０ Δ＜０ １  －  －
槡１２＋１２ ２ ２ ２
2.3.4 

在日常生活中，可以见到很多有关圆与
圆位置关系的形象，如图２３１２ （１）（２）
所示．
前面我们已经借助直线与圆的方程研
究了它们之间的位置关系，那么能否借助
（１） （２）
圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？
图２３１２
１ １６ 第二章 平面解析几何情境中的问题就是本小节要讨论的．
在初中几何内容中，大家曾探究过圆与圆的位置关系，知道圆与圆的位
置关系有相离、相切、相交三种：当圆与圆没有公共点时，圆与圆相离；当
圆与圆只有一个公共点时，圆与圆相切；当圆与圆有两个公共点时，圆与圆
相交．
A(
判断圆犆：狓２＋狔２＝２与圆犆：（狓－２）２＋狔２＝１的位置关系，并说明理由．
１ ２
在平面直角坐标系中作出圆犆 与圆犆，如
１ ２
图２３１３所示，可以看出它们有两个公共点，因
y
此圆犆 与圆犆 相交．
１ ２
1
因为判断一个点是否在圆上，只要看这个点
O C C x
1 2
的坐标是否满足圆的方程，所以我们也可以借助
圆与圆的方程组成的方程组来探讨它们的位置关
系．对于上述圆犆 与圆犆 来说，因为方程组 图２３１３
１ ２
烄狓２＋狔２＝２，
烅
烆
（狓－２）２＋狔２＝１
５
的第一式减去第二式可得４狓－４＝２－１，从而可知狓＝ ，将此代入圆犆
４ １
（ ）
５ ２ 槡７
的方程可得 ＋狔２＝２，因此狔＝± ．这就说明圆犆 与圆犆 有两个公
４ ４ １ ２
共点，而且公共点的坐标为
 ．
从而可知圆犆 与圆犆 相交．
１ ２
更进一步，初中几何中还将两个圆的位置关系细分成了５种，即外离、
外切、相交、内切、内含 （如下页图２３１４所示），并且在试验的基础上总
结出了根据两个圆的半径狉，狉 以及两个圆的圆心距犱来判断两个圆位置
１ ２
关系的方法：
两个圆外离 犱＞狉＋狉；
１ ２
两个圆外切 犱＝狉＋狉；
１ ２
两个圆相交 ｜狉－狉｜＜犱＜狉＋狉；
１ ２ １ ２
两个圆内切 犱＝｜狉－狉｜；
１ ２
两个圆内含 犱＜｜狉－狉｜．
１ ２
２．３ 圆及其方程 １１７r r r r r r
2 d 1 2 1 2 1
d d
  
r r
2 2
d r 1 d r 1
 
图２３１４
因为根据两个圆的方程能方便地算出圆心距，所以我们也可利用这个结
论来快速地得到圆与圆的位置关系．例如，前述尝试与发现中圆犆 与圆犆
１ ２
的圆心距为槡（０－２）２＋（０－０）２＝２，而两个圆的半径分别为１，槡２，又
因为
槡２－１＜２＜槡２＋１，
所以圆犆 与圆犆 相交．
１ ２
事实上，利用坐标法，我们能给出上述结论的严格证明．
给定平面中的⊙犆 与⊙犆，以犆 为原点，
１ ２ １
犆犆 所在直线为狓轴，建立平面直角坐标系，如 y
１ ２
图２３１５所示．此时，设两圆的圆心距为犱，则
⊙犆 的圆心坐标为（犱，０），设两圆的方程分别为狓２ OC C x
２ 1 2
＋狔２＝狉２，（狓－犱）２＋狔２＝狉２，将它们联立，得方
１ ２
程组
图２３１５
烄狓２＋狔２＝狉２，
１
烅
烆
（狓－犱）２＋狔２＝狉２，
２
狉２－狉２＋犱２
第一式减去第二式，整理可得狓＝ １ ２ ，将狓的值代入狓２＋狔２＝狉２，
２犱 １
可得
（狉２－狉２＋犱２）２
狔２＝狉２－ １ ２
１ ４犱２
（２犱狉＋狉２－狉２＋犱２）（２犱狉－狉２＋狉２－犱２）
＝ １ １ ２ １ １ ２
４犱２
［（狉＋犱）２－狉２］［狉２－（狉－犱）２］
＝ １ ２ ２ １
４犱２
（狉＋狉＋犱）（狉－狉＋犱）（狉＋狉－犱）（狉－狉＋犱）
＝ １ ２ １ ２ １ ２ ２ １
４犱２
１ １８ 第二章 平面解析几何［（狉＋狉）２－犱２］［犱２－（狉－狉）２］
＝ １ ２ １ ２ ．
４犱２
因此，当且仅当
｜狉－狉｜＜犱＜狉＋狉
１ ２ １ ２
时，有两个不同的实数狔满足方程组，从而⊙犆 与⊙犆 相交．
１ ２
其他情况可类似得到．
分别判断下列两个圆的位置关系：


（１）犆：（狓－１）２＋狔２＝４，犆：（狓－２）２＋（狔＋１）２＝２；
１ ２
（２）犆：狓２＋狔２－２狔＝０，犆：狓２＋狔２－２槡３狓－６＝０．
１ ２
（１）由方程可知圆犆 的圆心为（１，０），半径狉＝２；圆犆 的圆心
 １ １ ２
为 ，半径狉＝ ．
２
因此两圆的圆心距
犱＝槡（２－１）２＋（－１－０）２＝槡２，
又因为２－槡２＜槡２＜２＋槡２，所以狉－狉＜犱＜狉＋狉，从而两个圆相交．
１ ２ １ ２
（２）将两圆的方程化为标准方程，分别为
狓２＋（狔－１）２＝１２，（狓－槡３）２＋狔２＝３２，
由此可知圆犆 的圆心为（０，１），半径狉＝１；圆犆 的圆心为 ，
１ １ ２
半径狉＝ ．
２
因此两圆的圆心距
槡
犱＝ （０－槡３）２＋（１－０）２＝２，
又因为３－１＝２，所以狉－狉＝犱，从而可知两圆内切．
２ １
判断圆犆：狓２＋狔２＝４与圆犆：（狓－２）２＋（狔－１）２＝１的位置

 １ ２
关系，如果相交，求出它们交点所在的直线的方程．
两圆的圆心距为

槡（０－２）２＋（０－１）２＝槡５，
又因为２－１＜槡５＜２＋１，所以犆 与犆 相交．
１ ２
解方程组
烄狓２＋狔２＝４，
烅
烆
（狓－２）２＋（狔－１）２＝１，
６
狓＝ ， （ ）
烄狓＝２， 烄 ５
６ ８
可得 烅 ０或 烅 因此两圆的交点为（２，０）， ， ，从而可以求
烆狔＝０
烆 狔＝
８
．
５ ５
５
得交点所在的直线方程为
２．３ 圆及其方程 １１９２狓＋狔－４＝０．
例２中直线的方程也可按如下方法得到：设犆 与犆 的交点为犃，犅，
１ ２
则犃，犅的坐标都满足方程组
烄狓２＋狔２＝４，
烅
烆
（狓－２）２＋（狔－１）２＝１，
将方程组的第一式减去第二式，整理可得
２狓＋狔－４＝０．
显然，犃，犅的坐标都满足上式，又因为两点能确定一条直线，所以上
式就是所求直线的方程．
同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线，探索平面内两个圆的公切线条数
与它们的位置有什么关系，并求出圆犆：狓２＋狔２＝２与圆犆：（狓－２）２＋狔２＝８的
１ ２
公切线．
"
? 求圆狓２＋狔２－２狓－３＝０与圆狓２＋狔２－４狓＋２狔＋３＝０的交点的坐标．
? 分别指出下列两圆的位置关系 （外离、外切、相交、内切、内含）：
（１）狓２＋狔２－４狓－６狔＋９＝０和狓２＋狔２＋１２狓＋６狔－１９＝０；
（２）狓２＋狔２＋２狓－２狔－２＝０和狓２＋狔２－４狓－６狔－３＝０．
? 求圆心在（３，４）且与圆狓２＋狔２＝１外切的圆的方程．
? 已知圆犆：（狓－２）２＋狔２＝９，求圆心在坐标原点且与圆犆内切的圆的方程．
? 已知圆犆：狓２＋狔２＝１与圆犆：狓２＋狔２＋２犪狓＋２犪狔＋２犪２－１＝０外切，求实
１ ２
数犪的值．
#
? 已知圆狓２＋狔２＋４狓－６狔＋１２＝０与圆狓２＋狔２－２狓－１４狔＋犽＝０，求这两个圆分
别外离、外切、相交、内切、内含时，实数犽的取值范围．
? 已知圆狓２＋狔２＝１与圆（狓＋４）２＋（狔－犪）２＝２５相切，求实数犪的值．
? 已知圆犆：狓２＋狔２＝２与圆犆：（狓－２）２＋狔２＝８相交于犃，犅两点，求犃犅
１ ２
的中点的坐标．
? 已知圆犆：狓２＋狔２＋６狓＝０与圆犆：狓２＋狔２＋６狔＝０相交，求这两个圆的公
１ ２
共弦长．
１ ２０ 第二章 平面解析几何（ ） （ ）
５ 槡７ ５ 槡７
 ， ， ，－  （２，－１）  槡２  （槡３，０） ３
４ ４ ４ ４
"
１
? 若犘（狓，狔）是圆犆：（狓－１）２＋狔２＝ 上的任意一点，求犘（狓，狔）到原点的
４
距离的最大值和最小值．
? 求圆狓２＋狔２＋２狓－２犪狔－４＝０ （犪∈犚）的半径的最小值．
? 判断直线４狓－３狔＋６＝０与圆（狓－４）２＋（狔＋１）２＝２５的位置关系．
? 若犘（狓，狔）是圆犆：（狓－３）２＋狔２＝１上的任意一点，求犘（狓，狔）到直线
狓－狔＋１＝０的距离的最大值和最小值．
? 已知圆犆：狓２＋狔２＋６狓－４＝０与圆犆：狓２＋狔２＋８狔－２８＝０相交，求交点
１ ２
所在直线的方程．
? 已知某４００ｍ标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为３６ｍ的半
圆弧．（设４００ｍ标准跑道最内圈周长为４００ｍ．）
（第６题）
（１）求每条直道的长度；
（２）建立平面直角坐标系狓犗狔，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式．
#
? 求过点（８，１）且与两坐标轴都相切的圆的方程．
? 求通过圆（狓－３）２＋（狔－４）２＝２５上的一点犃（６，８）所作该圆的切线方程．
? 已知犪＞０，且
圆犆：狓２＋狔２－２犪狓－２狔＋犪２－１５＝０，
１
圆犆：狓２＋狔２－４犪狓－２狔＋４犪２＝０．
２
分别求这两圆外离、外切、相交、内切、内含时，实数犪的取值范围．
? 求圆心在狔轴上，经过点（－２，２）且与狓轴相切的圆的方程．
? 求经过圆（狓－２）２＋狔２＝１６内一点（１，１）且被圆截得弦长最短的直线的方程．
? 已知犃（狓，狔），犅（狓，狔）是圆的一条直径的两个端点，证明圆的方程是
１ １ ２ ２
（狓－狓）（狓－狓）＋（狔－狔）（狔－狔）＝０．
１ ２ １ ２
２．３ 圆及其方程 １２１? 已知圆犆和狔轴相切，圆心在直线狓－３狔＝０上，且在直线狔＝狓上截得的
弦长为２槡７，求圆犆的方程．
$
? 已知△犃犅犆中，犃犅＝３，犃犆＝２犅犆，求△犃犅犆的面积的最大值．
? 已知△犃犅犆的面积为犛，外接圆的半径为犚，且∠犃，∠犅，∠犆的对边分
别为犪，犫，犮，用坐标法证明
犪犫犮
犚＝ ．
４犛
１ ２２ 第二章 平面解析几何．
! $!,&-)*

 3+//+ 3
前面我们学习了直线与圆的方程，知道平面直角坐标系中的一个点在直
线或圆上的充要条件是它的坐标满足直线或圆的方程．我们还借助直线与圆
的方程讨论了直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系．不难想到，借助
方程，应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其性质等．
A(
（１）如图２４１所示，设犾，犾是平面内两条互相垂直的直
l
１ ２ 2
线，且犕是所有到犾，犾的距离相等的点组成的集合，在图２４１
１ ２ l
1
中找出犕中的所有元素．如果以犾，犾 分别为坐标轴建立平面
１ ２
直角坐标系，那么犕中的点的坐标有什么特点？
（２）将｜狔｜＝｜狓｜看成狓与狔的方程，如果狓＝犪且狔＝犫 图２４１
（犪，犫为实数）能使方程｜狔｜＝｜狓｜成立，则称（犪，犫）是方程
｜狔｜＝｜狓｜的一组实数解，你能找出满足这个方程的３组实数解吗？这个方程有多
少组实数解？如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点，那么所有实数
解表示的点组成的集合与 （１）中的集合犕有什么关系？
根据角平分线的性质可知犕是直线犾，犾所
１ ２
形成的四个角的角平分线上的点组成的集合 （包 y
l
2
括犾与犾的交点），建立如图２４２所示的平面直
P
１ ２
l
角坐标系． 1
x
O
一方面，如果点犘（狓，狔）在集合犕中，即
在第一、三象限和第二、四象限的角平分线上，
则它的坐标狓，狔必须满足 图２４２
｜狔｜＝｜狓｜． ①
另一方面，如果狓，狔是方程①的解，则点（狓，狔）一定在第一、三象限
或第二、四象限的角平分线上，即都在集合犕中．例如，（０，０），（１，１），
（－２，２），（－３，－３）所表示的点都在集合犕中．
２．４ 曲线与方程 １２３因此，方程｜狔｜＝｜狓｜的所有解表示的点的集合就是集合犕，也就是第
一、三象限和第二、四象限的角平分线构成的曲线，一般地，这一曲线称为
方程狔＝狓的曲线，方程狔＝狓称为这一曲线的方程．
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线犆与方程犉（狓，狔）＝０之间
具有如下关系：
（１）曲线犆上的点的坐标都是方程犉（狓，狔）＝０的解；
（２）以方程犉（狓，狔）＝０的解为坐标的点都在曲线犆上．
则称曲线犆为方程犉（狓，狔）＝０的曲线，方程犉（狓，狔）＝０为曲线犆的
方程．
这就是说，如果曲线犆的方程是犉（狓，狔）＝０，且犘（狓，狔）是平面直
角坐标系中的任意一点，则
犘（狓，狔）∈犆犉（狓，狔）＝０．
因此，方程犉（狓，狔）＝０可用来描述曲线犆的特征性质，曲线犆用集合的
特征性质描述法，可以描述为犆＝｛犘（狓，狔）犉（狓，狔）＝０｝．
同前面一样，以后我们将不再区分曲线及其方程，因此可以说曲线
犉（狓，狔）＝０等．
前面我们学习的直线与圆，都可以看成特殊的曲线，因此直线的方程与
圆的方程都是曲线方程的特殊形式．另外，尝试与发现中的集合犕可以看
成曲线，按照上述定义可知，犕的方程是｜狔｜＝｜狓｜，且
犕＝｛犘（狓，狔）｜狔｜＝｜狓｜｝．
需要注意的是，有些函数的解析式可以看成一种特殊的方程，此时，解
析式与函数图象之间的关系，实际上是方程与曲线的关系．例如，若一次函
数狔＝３狓＋１的图象是直线犾，就说明把一次函数看成方程３狓－狔＋１＝０
时，这个方程对应的曲线就是直线犾．不过，曲线的方程并不一定是函数，例
如，圆的方程狓２＋狔２＝１中，狔不是狓的函数，狓也不是狔的函数．
已知平面直角坐标系中，犆是端点为原点且其他所有点都在狓轴


正半轴上的射线，判断狔＝０以及狔＝０ （狓＞０）是否是犆的方程，如果都
不是，写出犆的方程．
可以看出，犆上的点的纵坐标必为０，即如果犘（狓，狔）为犆上的

点，则必有狔＝０；另一方面，纵坐标为０的点，当横坐标小于０时，在
狓轴的负半轴上，不在犆上．因此狔＝０不是犆的方程．
类似地，因为犆上的点的横坐标大于等于０，所以犆上的点（０，０）
不满足方程狔＝０ （狓＞０），因此这也不是犆的方程．
由上述分析可知，犆的方程是
狔＝０ （狓≥０）．
１ ２４ 第二章 平面解析几何例１说明，曲线的方程的定义中，（１）与 （２）缺一不可，而且两者是
对曲线上的任意一点以及方程的任意一组实数解而言的．从集合的角度来
看，设犃是曲线犆上的所有点组成的点集，犅是所有以方程犉（狓，狔）＝０
的实数解为坐标的点组成的点集，则由定义中的 （１）可知犃犅，由定义
中的 （２）可知 ；同时具有关系 （１）和 （２），就有犃＝犅．
已知曲线犆 的方程是狓２－狔＝０，曲线犆 的方程是｜狔｜＝｜狓｜，

 １ ２
判断犆 与犆 是否有交点．如果有，求出交点坐标；如果没有，说明
１ ２
理由．
由曲线的方程的定义可知，一个点是两条曲线的交点的充要条件

是，该点的坐标是这两条曲线的方程的公共实数解，因此可以通过解方程
组来判断两条曲线是否有交点等．
联立两个方程得方程组

烄狓２－狔＝０，
烅
烆｜狔｜＝｜狓｜，
烄狓＝０， 烄狓＝１， 烄狓＝－１，
解方程组可得 ０或 或 ０
烅 烅 烅
烆狔＝０ 烆 狔＝１ 烆狔＝１．
０
因此犆 与犆 有三个交点，且交点坐标为
１ ２
 ．
例２说明，曲线犉（狓，狔）＝０与犌（狓，狔）＝０是否有交点的问题，可以
转化为方程组
烄犉（狓，狔）＝０，
烅
犌（狓，狔）＝０
烆
０
是否有实数解的问题．

! 3+/ /-/ 3+B
从直线、圆以及上述内容中可以看出，得到曲线的方程之后，可以借助
方程来研究曲线的性质以及曲线之间的关系等．因此，如何得到曲线的方程
是用这种方法解决问题的第一步．
A(
已知犾，犾是平面内两条互相垂直的直线，且曲线犆是到犾，犾的距离的乘
１ ２ １ ２
积等于１的点组成的集合．
（１）建立适当的平面直角坐标系，写出曲线犆的方程；
（２）根据曲线犆的方程，说出曲线犆具有的性质，然后作出曲线犆．
２．４ 曲线与方程 １２５如果以犾与犾分别为狓轴与狔轴建立平面直角坐标系，设犘（狓，狔）
１ ２
是平面直角坐标系中的任意一点，则犘到狓轴的距离为｜狔｜，到狔轴的距离
为 ．因此犘（狓，狔）在曲线犆上的充要条件是
｜狔｜｜狓｜＝１． ②
因此，②就是曲线犆的方程．
另一方面：
（１）狓＝０或狔＝０时，方程②不可能成立，这说明曲线犆与两坐标轴
都没有交点．
（２）如果（狓，狔）是方程②的一组解，则（－狓，狔）也是方程②的一组
解，又因为（－狓，狔）与（狓，狔）关于狔轴对称，这说明曲线犆关于狔轴对
称．类似地，可知曲线犆关于狓轴以及原点都对称．
（３）由于｜狔｜｜狓｜＝１，所以｜狓｜越来越大时，｜狔｜越来越小且接近于０；
｜狓｜越来越小且接近于０时，｜狔｜越来越大．
为了作出曲线犆，根据上述性质 （２），可以先作出曲线犆在第一象限
内的部分，然后根据对称性作出其他部分，而第一象限内的部分可以由描点
作图作出，如下表和图２４３所示．
１ １
狓 … １ ２ ３ …
３ ２
１ １
狔 … ３ ２ １ …
２ ３
就像直线可以看成动点做直线运动的轨迹、
圆可以看成动点做圆周运动的轨迹一样，曲线一 y
般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以
C
曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹
1
x
方程． O
例如，尝试与发现中的曲线犆，可以看成动
点犕的运动轨迹，且动点犕到犾，犾的距离的乘
１ ２
积等于１，因此动点犕的轨迹方程就是｜狔｜｜狓｜＝１．
图２４３
已知动点犕到犃（１，２）的距离与到犅（３，６）的距离相等，求犕


的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状．
设犕的坐标为（狓，狔），依照条件可知｜犕犃｜＝｜犕犅｜．由两点之

间的距离公式可知
槡（狓－１）２＋（狔－２）２＝槡（狓－３）２＋（狔－６）２，
两边平方并化简，得狓＋２狔－１０＝０．
可以检验，上式就是犕的轨迹方程，因此轨迹曲线是直线．
１ ２６ 第二章 平面解析几何利用类似例３的方法，实际上可以证明我们在初中归纳出的结论：平面
上所有到线段两端点的距离相等的点组成一条直线，而且这条直线是线段的
垂直平分线．
１
已知动点犕到犗（０，０）的距离与到犃（３，０）的距离之比是 ，

 ２
求犕的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状．
｜犕犗｜ １
设犕的坐标为（狓，狔），依照条件可知 ＝ ．
 ｜犕犃｜ ２
由两点之间的距离公式可知，上式可用坐标表示为
槡狓２＋狔２ １
＝ ，
槡（狓－３）２＋狔２ ２
两边平方并化简，得狓２＋狔２＋２狓－３＝０．
可以检验，上式就是犕的轨迹方程．
又因为将轨迹方程左边配方，可得（狓＋１）２＋狔２＝４，所以可知轨迹
曲线是圆心为 且半径为 的圆．
例３、例４实际上是在不知道轨迹曲线形状的前提下，通过用代数等式
表示几何条件，求出了轨迹方程 （即曲线的方程），从而明确了曲线的形状，
更进一步，还可以研究曲线的性质，这都是坐标法以及解析几何的优点．从
这两个例题中也可以看出求动点犕轨迹方程的一般步骤：
（１）设动点犕的坐标为（狓，狔）（如果没有平面直角坐标系，需先建立）；
（２）写出犕要满足的几何条件，并将该几何条件用犕的坐标表示
出来；
（３）化简并检验所得方程是否为犕的轨迹方程．
"
? 判断犘（槡３，０），犙（－２，３）是否在方程４狓２＋３狔２＝１２的曲线上．
? 已知方程（狓＋２）２＋（狔－３）２＝狉２的曲线通过点（－１，５），求狉２的值．
? 到两坐标轴距离相等的点组成的轨迹的方程是狓－狔＝０吗？为什么？
１０
? 判断直线２狓＋５狔－１５＝０与曲线狔＝－ 是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
狓
? 设犃（－１，－１），犅（３，７），求线段犃犅的垂直平分线的方程．
? 求到狔轴的距离等于４的点的轨迹的方程．
２．４ 曲线与方程 １２７#
? 求到两定点犃（－１，２），犅（３，２）的距离之比为槡２的点的轨迹方程．
→ →
? 已知犃，犅是平面上两个定点，犃犅＝６，动点犕满足条件犕犃·（２犕犅）＝－１，
求点犕的轨迹方程．
? 已知动点犕到点（犪，０）的距离等于到点（犫，０）的距离的２倍 （其中犪≠犫），
求点犕的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状．
? 已知动点犕到狓轴的距离与到点犉（０，４）的距离相等，求点犕的轨迹方程，
并根据方程给出轨迹曲线的一些性质．
? 已知点犅（－２，１）和点犆（３，２），Ｒｔ△犃犅犆以犅犆为斜边，求直角顶点犃的
轨迹方程．
? 已知点犕到两条互相垂直的直线的距离的平方和等于常数犽（犽＞０），求点
犕的轨迹方程，并根据方程研究曲线的性质．
? 求通过圆狓２＋狔２＝１与狓２＋狔２－４狓－４狔－１＝０的交点，并且过点（２，－１）
的圆的方程．
$
? 已知圆犆：狓２＋狔２＋６狓－１６＝０，犆：狓２＋狔２－４狓－５＝０．求证：对任意不
１ ２
等于－１的实数λ，方程
狓２＋狔２＋６狓－１６＋λ（狓２＋狔２－４狓－５）＝０
是通过两个已知圆交点的圆的方程．
? 已知犃，犅是平面内的两点，且犃犅＝６，分别判断平面内满足下列条件的动
点犘是否存在，并说明理由．
（１）｜犘犃｜＋｜犘犅｜＝６； （２）｜犘犃｜－｜犘犅｜＝６； （３）｜犘犅｜－｜犘犃｜＝６；
（４）｜犘犃｜＋｜犘犅｜＝３； （５）｜犘犅｜－｜犘犃｜＝７．
? 已知犃，犅是平面内的两点，且｜犃犅｜＝６，用坐标法判断平面内满足下列条
件的动点犘是否存在．如果存在，求出轨迹方程；如果不存在，说明理由．
（１）｜犘犃｜２＋｜犘犅｜２＝３６； （２）｜犘犃｜２＋｜犘犅｜２＝１０．
犅犃  （０，０），（１，１），（－１，１）  狓  （－１，０） ２
１ ２８ 第二章 平面解析几何．
! %!.+’()*
2.5.1   

在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图２５１（１）（２）所示．
（１） （２）
图２５１
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征
是：任意一点到圆心的距离都等于半径．那么，你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上
任意一点的特征是什么？
椭圆给人的印象是 “压扁的圆”，但这不是数学上椭圆的定义，事实上：
如果犉，犉 是平面内的两个定点，犪是一个常数，且２犪＞｜犉犉｜，则平
１ ２ １ ２
面内满足
｜犘犉｜＋｜犘犉｜＝２犪
１ ２
的动点犘的轨迹称为椭圆，其中，两个定点犉，犉 称为椭圆的焦点，两个
１ ２
焦点之间的距离｜犉犉｜称为椭圆的焦距．另外，从本章导语中可以看出，
１ ２
椭圆也可以通过用平面截圆锥面得到，因此椭圆是一种圆锥曲线．
A(
你能利用日常生活中的物品作出一个椭圆吗？
２．５ 椭圆及其方程 １２９如图２５２所示，在平的画板上取两个定点犉 和犉，在这两个点上都
１ ２
钉上一个图钉，将一条长度大于｜犉犉｜的
１ ２
细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细
绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，
则画出的图形是一个椭圆．
这种作椭圆的方法实际上是验证了椭圆
F F
1 2
定义中的犘点一定存在而且有无数多个．
那么，从数学上能不能证明这一点呢？
图２５２
A(
设犉，犉 是平面内的两个定点，｜犉犉｜＝８，证明平面上满足
１ ２ １ ２
｜犘犉｜＋｜犘犉｜＝１０
１ ２
的动点犘有无数多个，并求犘的轨迹方程．
不难想到，可以通过坐标法来探讨上述满足条件的犘点是否存在．
以犉犉 所在直线为狓轴，线段犉犉 的垂直平分线为狔轴，建立平面
１ ２ １ ２
直角坐标系狓犗狔，设椭圆的焦点分别为犉（－４，０），犉（４，０）．
１ ２
设犘的坐标为（狓，狔），因为｜犘犉｜＋｜犘犉｜＝１０，而且｜犘犉｜＝
１ ２ １
槡（狓＋４）２＋狔２，｜犘犉｜＝ ，所以
２
槡（狓＋４）２＋狔２＋槡（狓－４）２＋狔２＝１０．
①
当狓≠０时，槡（狓＋４）２＋狔２≠ 槡（狓－４）２＋狔２，此时，由①得
（狓＋４）２＋狔２－［（狓－４）２＋狔２］
＝１０，
槡（狓＋４）２＋狔２－槡（狓－４）２＋狔２
整理得
８
槡（狓＋４）２＋狔２－槡（狓－４）２＋狔２＝ 狓． ②
５
①＋②整理得
４
槡（狓＋４）２＋狔２＝５＋ 狓， ③
５
将③式平方，再整理得
狓２ 狔２
＋ ＝１． ④
２５ ９
当狓＝０时，由①可知２槡４２＋狔２＝１０，即狔２＝９，此时④也成立．
可以验证，如果犘的坐标（狓，狔）满足④式，则可得｜犘犉｜＋｜犘犉｜＝１０．
１ ２
不难看出，方程④有无穷多组实数解，这说明坐标满足｜犘犉｜＋｜犘犉｜＝１０
１ ２
１ ３０ 第二章 平面解析几何的点有无数多个，而且犘的轨迹方程为④式．
一般地，如果椭圆的焦点为犉 和犉，焦距为２犮，而且椭圆上的动点
１ ２
犘满足
｜犘犉｜＋｜犘犉｜＝２犪，
１ ２
其中犪＞犮＞０．则以犉犉 所在直线为狓轴，线
１ ２
段犉犉 的垂直平分线为狔轴，建立平面直角坐
y
１ ２
P
标系，如图２５３所示．此时，椭圆的焦点分别
为犉（－犮，０），犉（犮，０）． x
F O F
１ ２ 1 2
设犘（狓，狔）是椭圆上任意一点，则｜犘犉｜＋
１
｜犘犉｜＝２犪，因为｜犘犉｜＝槡（狓＋犮）２＋狔２，
２ １ 图２５３
｜犘犉｜＝ ，所以
２
槡（狓＋犮）２＋狔２＋槡（狓－犮）２＋狔２＝２犪．
⑤
当狓≠０时，槡（狓＋犮）２＋狔２≠ 槡（狓－犮）２＋狔２，由⑤得
（狓＋犮）２＋狔２－［（狓－犮）２＋狔２］
＝２犪，
槡（狓＋犮）２＋狔２－槡（狓－犮）２＋狔２
整理得
２犮
槡（狓＋犮）２＋狔２－槡（狓－犮）２＋狔２＝ 狓． ⑥
犪
⑤＋⑥整理得
犮
槡（狓＋犮）２＋狔２＝犪＋ 狓， ⑦
犪
将⑦式平方，再整理得
犪２－犮２
狓２＋狔２＝犪２－犮２． ⑧
犪２
当狓＝０时，由⑤可知２槡犮２＋狔２＝ ，此时⑧也成立．
因为犪＞犮＞０，所以犪２－犮２＞０，设
犪２－犮２＝犫２
且犫＞０，则⑧式可化为
狓２ 狔２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）． ⑨
犪２ 犫２
可以验证，方程⑨就是椭圆的方程，通常称为焦点在狓轴上的椭圆的
标准方程．
２．５ 椭圆及其方程 １３１A(
设椭圆的焦点为犉 和犉，焦距为２犮，而且椭圆上的动点犘满足
１ ２ y
｜犘犉｜＋｜犘犉｜＝２犪，
１ ２ P F
2
其中犪＞犮＞０．以犉犉 所在直线为狔轴，线段犉犉 的垂直平分
１ ２ １ ２
线为狓轴，建立平面直角坐标系，如图２５４所示．此时： O x
F
（１）椭圆焦点的坐标分别是什么？ 1
（２）能否通过⑨式来得到此时椭圆方程的形式？ 图２５４
显然，此时椭圆的焦点是犉（０，－犮），犉（０，犮），而且只要将方程⑨
１ ２
中的狓与狔互换，就可以得到椭圆的方程为
狔２ 狓２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）， ⑩
犪２ 犫２
其中犫２＝犪２－犮２．这个方程通常称为焦点在狔轴上的椭圆的标准方程．
由上可以看出，椭圆的标准方程由犪，犮以及焦点的位置确定，其中
犪＞犮＞０．如不特别声明，以后总认为椭圆有相应的犪，犮值以及犫值，
其中
犫＝槡犪２－犮２．
而且谈到椭圆的标准方程时，指的总是⑨⑩这两种形式之一．
分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：


（１）两个焦点分别是犉（－３，０），犉（３，０），椭圆上的点犘到两焦
１ ２
点的距离之和等于８；
（２）两个焦点分别是犉 （０，－４），犉 （０，４），并且椭圆经过点
１ ２
（槡３，－槡５）．
（１）由已知得２犪＝８，因此犪＝４．又因为犮＝ ，所以

犫２＝犪２－犮２＝４２－３２＝７，
因为椭圆的焦点在狓轴上，所以所求椭圆的标准方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１．
１６ ７
（２）因为椭圆的焦点在狔轴上，设它的标准方程为
狔２ 狓２
＋ ＝１ （犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
由已知得犮＝ ．又因为犮２＝犪２－犫２，所以犪２＝犫２＋１６．
（－槡５）２ （槡３）２
因为点（槡３，－槡５）在椭圆上，所以 ＋ ＝１，即
犪２ 犫２
１ ３２ 第二章 平面解析几何５ ３
＋ ＝１．
犪２ 犫２
从而有
５ ３
＋ ＝１，
犫２＋１６ 犫２
解得犫２＝４或犫２＝－１２ （舍去）．
因此犪２＝４＋１６＝２０，从而所求椭圆的标准方程为
狔２ 狓２
＋ ＝１．
２０ ４
例１的 （２）中，也可以根据椭圆的定义，由点（槡３，－槡５）与焦点犉，
１
犉 的距离的和等于２犪来求出犪的值，然后再得到椭圆的标准方程，请读者
２
自行尝试．
已知犅，犆是平面内的两个定点，｜犅犆｜＝８，且平面内△犃犅犆


的周长等于１８，求这个三角形的顶点犃的轨迹方程．
由△犃犅犆的周长等于１８且｜犅犆｜＝８，可知点犃到犅，犆两个定

点的距离之和总是等于１０，因此点犃一定在以犅，犆为焦点的椭圆上．
y
A
B O 1 C x
图２５５
以犅犆所在的直线为狓轴，线段犅犆的垂直平分线为狔轴，建立平

面直角坐标系狓犗狔，如图２５５所示．
由｜犅犆｜＝８，可知犅（－４，０），犆（４，０）．又因为｜犃犅｜＋｜犃犆｜＋
｜犅犆｜＝１８，所以
｜犃犅｜＋｜犃犆｜＝１０．
从而点犃在以犅，犆为焦点的椭圆上，而且这个椭圆上的点与两焦
点的距离之和２犪＝１０，又焦距２犮＝ ，因此犪＝５，犮＝４．从而
犫２＝犪２－犮２＝２５－１６＝９．
狓２ 狔２
因此点犃的坐标必须满足 ＋ ＝１，再注意到因为是三角形，所以
２５ ９
犃，犅，犆三点不能共线，因此可知点犃的轨迹方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１ （狔≠０）．
２５ ９
２．５ 椭圆及其方程 １３３KA
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上，你一定曾注意到，当装有 取半径与圆柱底面半径相同的两个球，
液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是 从平面α的两侧放入圆柱面内 （这两个球都
椭圆形的，如图１所示． 称为圆柱面的内切球），并使得两个球都与
平面α相切，切点分别为犉，犉．
１ ２
设犘为交线犆上任意一点，过犘作圆
柱的母线，分别与两个球相切于犃，犅．可
以看出，犘犉 与犘犃是同一个球的两条切
１
线，犘犉 与犘犅也是同一个球的两条切线，
２
因此
图１
｜犘犉｜＝｜犘犃｜，｜犘犉｜＝｜犘犅｜，
１ ２
你知道怎样利用有关的数学知识证明这 从而
一点吗？ ｜犘犉｜＋｜犘犉｜＝｜犘犃｜＋｜犘犅｜＝｜犃犅｜，
１ ２
如图２所示，假设平面α与圆柱相交，而 又因为犃犅的值是不变的，所以犘到
且平面α不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的 犉 与犉 的距离之和是一个常数，且｜犃犅｜＞
１ ２
是：平面α与圆柱表面的交线犆是一个椭圆． ｜犉犉｜，这就证明了犆是一个椭圆！
１ ２
有意思的是，利用类似的方法还能证明
α
我们在本章导语中所提到的结论，即利用平
F
2
面截圆锥面能得到椭圆、双曲线、抛物线，
A B
P
感兴趣的同学请查阅有关资料进一步了
F
1
C 解吧！
图２
"
狓２
? 设椭圆 ＋狔２＝１的两个焦点为犉，犉，且犘为椭圆上一点，求｜犘犉｜＋
２ １ ２ １
｜犘犉｜的值．
２
狓２ 狔２
? 设犕是椭圆 ＋ ＝１上一点，犉，犉 是椭圆的焦点，如果点犕到焦点犉
２５ ９ １ ２ １
的距离为４，那么点犕到焦点犉 的距离是多少？
２
? 分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（１）犪＝槡３，犫＝１，焦点在狓轴上；
（２）犫＝３，经过点（０，－４），焦点在狔轴上．
１ ３４ 第二章 平面解析几何? 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
狓２ 狔２
（１） ＋ ＝１； （２）２狓２＋４狔２＝１．
２８ １２
? 已知椭圆的两个焦点分别为犉（－４，０）和犉（４，０），再添加什么条件，可使
１ ２
狓２ 狔２
得这个椭圆的方程为 ＋ ＝１？
２５ ９
#
? 分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（１）一个焦点坐标为（－５，０），且椭圆上的点到两焦点的距离之和是２６；
（２）一个焦点坐标为（０，２槡３），且椭圆经过点（－槡６，槡５）．
狓２ 狔２
? 设椭圆 ＋ ＝１ （犪＞犫＞０）的两个焦点为犉，犉，椭圆上的点犇，犈满足
犪２ 犫２ １ ２
犇，犈，犉 三点共线，求△犉犇犈的周长．
２ １
? 求经过犘（－３，０），犙（０，２）两点的椭圆的标准方程．
? 求过点（３，－２）且与椭圆４狓２＋９狔２＝３６有相同焦点的椭圆的标准方程．
? 已知曲线犾：狓２＋狔２＝４ （狔≠０），从曲线上任意一点犘向狓轴作垂线段犘犘′，
犘′为垂足，求线段犘犘′的中点犕的轨迹方程．
 槡（狓－４）２＋狔２  槡（狓－犮）２＋狔２ ２犪 ３ ４ ８
2.5.2  

 +B
下面我们由椭圆的方程来研究椭圆具有的几何性质．
A(
狓２
已知椭圆犆的方程为 ＋狔２＝１，根据这个方程完成下列任务：
４
（１）观察方程中狓与狔是否有取值范围，由此指出椭圆犆在平面直角坐标系
中的位置特征；
２．５ 椭圆及其方程 １３５（２）指出椭圆犆是否关于狓轴、狔轴、原点对称；
（３）指出椭圆犆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
A( 狓２ 狓２
因为实数的平方是一个非负数，所以在方程 ＋狔２＝１中，必有 ≤１，
４ ４
即－２≤狓≤２．同理可得， ．因此，椭圆犆位于直线狓＝－２，
狓＝２，狔＝－１，狔＝１所围成的矩形内，如图２５６所示．
狓２
又因为如果（狓，狔）是方程 ＋狔２＝１的
４ y
一组解，则不难看出，（－狓，狔），（狓，－狔）， y = 1
（－狓，－狔）都是方程的解，这说明椭圆犆
O 1 x
关于狔轴、狓轴、坐标原点对称，这也可从 y = −1
x = −2 x = 2
图２５６中看出来．
图２５６
狓２
在方程 ＋狔２＝１中，令狔＝０，得狓＝－２
４
或狓＝２，可知椭圆犆与狓轴有两个交点，且交点坐标分别为（－２，０），
（２，０）；令狓＝０，得 ，可知椭圆犆与狔轴也有两个交
点，且交点坐标分别为 ．
一般地，如果椭圆犆的标准方程是
狓２ 狔２
＋ ＝１ （犪＞犫＞０）， ①
犪２ 犫２
则可以根据方程①来得到椭圆的一些几何性质．
（１）范围
狓２ 狔２
由方程①可知 ≤１且 ≤１，因此
犪２ 犫２
－犪≤狓≤犪且－犫≤狔≤犫．
这说明，椭圆犆位于直线狓＝－犪，狓＝犪，
狔＝－犫，狔＝犫所围成的矩形内，如图２５７ y
y = b
所示．
（２）对称性
F O F x
1 2
如果（狓，狔）是方程①的一组解，则不难
y = −b
看出，（－狓，狔），（狓，－狔），（－狓，－狔）
x = −a x = a
都是方程的解，这说明椭圆犆关于狔轴、狓
图２５７
轴、坐标原点对称，如图２５７所示．
因此，狓轴、狔轴是椭圆犆的对称轴，坐标原点是对称中心．椭圆的对
称中心也称为椭圆的中心，本书中我们只讨论中心在原点的椭圆．
１ ３６ 第二章 平面解析几何（３）顶点
在方程①中，令狔＝０，得狓＝－犪或狓＝犪，可知椭圆犆与狓轴有两个
交点，可以记作犃（－犪，０），犃（犪，０）；令狓＝０，得狔＝－犫或狔＝犫，
１ ２
可知椭圆犆与狔轴也有两个交点，可以记作犅（０，－犫），犅（０，犫）．因
１ ２
此，椭圆犆与它的对称轴共有４个交点，即犃，犃 和犅，犅，如图２５８
１ ２ １ ２
所示，这四个点都称为椭圆的顶点．
注意到｜犃犃｜＝２犪，｜犅犅｜＝２犫，而且犪＞犫＞０，所以线段犃犃 称
１ ２ １ ２ １ ２
为椭圆的长轴，线段犅犅 称为椭圆的短轴．显然，椭圆的两个焦点在它的
１ ２
长轴上，而且椭圆的长轴长为２犪，短轴长为２犫．
于是，犪，犫分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为
２犮，则犮是椭圆的半焦距，由
犪２＝犫２＋犮２
可知长度分别为犪，犫，犮的三条线段构成一个直角三角形，且长度为犪的
线段是斜边．这就说明，以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及
原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长
为犪．
因此，如图２５８所示，有
｜犗犃｜＝｜犗犃｜＝犪，｜犗犅｜＝｜犗犅｜＝犫，｜犗犉｜＝｜犗犉｜＝犮，
１ ２ １ ２ １ ２
而且
y
｜犅犉｜＝｜犅犉｜＝｜犅犉｜＝｜犅犉｜＝犪．
１ １ １ ２ ２ １ ２ ２ B 2
（４）离心率
a
b
A A
一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比 1 2
F O c F x
1 2
犮
犲＝
犪 B
1
称为椭圆的离心率．
图２５８
A(
（１）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围；
（２）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明．
因为犪＞犮＞０，所以
０＜犲＜１．
另外，注意到
犫
＝
槡犪２－犮２
＝ 槡
犪２－犮２
＝槡１－犲２，
犪 犪 犪２
２．５ 椭圆及其方程 １３７犫
这说明犲越趋近于１，则 的值越小，因此椭圆
犪
y
犫
越扁；反之，犲越趋近于０，则 的值越大，这时
犪
椭圆就越接近于圆． O 1 x
当固定犪不变时，椭圆的离心率与椭圆形状
的关系可以从图２５９中看出来，其中橙色、绿
图２５９
槡７ 槡３ 槡１５
色、蓝色椭圆的离心率分别为 ， ， ．
４ ２ ４
A(
如果椭圆的标准方程是
狔２ 狓２
＋ ＝１ （犪＞犫＞０）， ②
犪２ 犫２
那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在狓轴上的椭圆是
有区别的？
显然，②式表示的椭圆，焦点坐标为（０，
y
－犮），（０，犮），椭圆上点的坐标的取值范围是 A
2
F
－犪≤狔≤犪且 ； 2 a
c
B B
长轴的两个端点是犃（０，－犪），犃（０，犪）；短轴 1 2
１ ２ O b x
的两个端点是犅（－犫，０），犅（犫，０）．除了这些
１ ２ F
以外，对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等 1
A
1
都与焦点在狓轴上的椭圆是一致的，如图２５１０
图２５１０
所示．
求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离


心率：
狓２ 狔２
（１） ＋ ＝１； （２）８狓２＋３狔２＝２４．
３６ ２４
（１）由３６＞２４可知这个椭圆的焦点在狓轴上，且犪２＝３６，犫２＝２４，

因此长轴长２犪＝１２，半短轴长犫＝２槡６．
又因为犮２＝犪２－犫２＝３６－２４＝１２，即犮＝２槡３．因此，椭圆的焦点坐
标为
（－２槡３，０），（２槡３，０）．
离心率
１ ３８ 第二章 平面解析几何犮 ２槡３ 槡３
犲＝ ＝ ＝ ．
犪 ６ ３
（２）已知椭圆的方程可化为
狓２ 狔２
＋ ＝１，
３ ８
由８＞３可知这个椭圆的焦点在 轴上，且犪２＝８，犫２＝ ，
因此长轴长２犪＝４槡２，半短轴长犫＝槡３．
又因为犮２＝犪２－犫２＝８－３＝５，即犮＝槡５．因此，椭圆的焦点坐标为
（０，－槡５），（０，槡５）．
离心率
犮 槡５ 槡１０
犲＝ ＝ ＝ ．
犪 ４
２槡２
已知椭圆犆的焦点为犉，犉，短轴的一个端点为犅，且

 １ ２
△犅犉犉 是一个等边三角形，求椭圆犆的离心率．
１ ２
因为｜犅犉｜＝｜犅犉｜＝犪，｜犉犉｜＝２犮，所以依据题意可知

１ ２ １ ２
犪＝２犮，
从而有
犮 １
犲＝ ＝ ．
犪 ２
狓２ 狔２
已知椭圆 ＋ ＝１ （犪＞犫＞０）的左焦点为犉，且犘是椭圆上

 犪２ 犫２
的一点，求｜犘犉｜的最小值与最大值．
记椭圆的焦距为２犮，则犉（－犮，０），而且犮＝槡犪２－犫２．

设犘（狓，狔），则
｜犘犉｜２＝（狓＋犮）２＋狔２，
狓２ 狔２ 犫２
又因为犘是椭圆上一点，所以 ＋ ＝１，即狔２＝犫２－ 狓２，因此
犪２ 犫２ 犪２
（ ）
犫２ 犫２
｜犘犉｜２＝（狓＋犮）２＋犫２－ 狓２＝１－ 狓２＋２狓犮＋犫２＋犮２
犪２ 犪２
（ ）
犮２ 犮２ 犪２ 犪４
＝ 狓２＋２狓犮＋犪２＝ 狓２＋２ 狓＋
犪２ 犪２ 犮 犮２
（ ）
犮２ 犪２ ２
＝ 狓＋ ．
犪２ 犮
犪２ 犪
注意到－犪≤狓≤犪，而且－ ＝－ 犪＜－犪，所以，当狓＝－犪时，
犮 犮
｜犘犉｜２ 最小，此时｜犘犉｜有最小值，且最小值为
２．５ 椭圆及其方程 １３９（ ）
槡 犮２ 犪２ ２
－犪＋ ＝犪－犮；
犪２ 犮
当狓＝犪时，｜犘犉｜２ 最大，此时｜犘犉｜有最大值，且最大值为
（ ）
槡 犮２ 犪２ ２
犪＋ ＝犪＋犮．
犪２ 犮
例３说明，椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别
是长轴的两个端点．
航天器的轨道有很多种，其中的 “地球同步转移轨道”是一个椭


圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点．若地球同步转移轨道的
远地点 （即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为犿，近地点
与地球表面的距离为狀，设地球的半径为狉，试用犿，狀，狉表示出地球同
步转移轨道的离心率．
设椭圆的半长轴长为犪，半焦距为犮，依照题意可知

烄犪－犮＝狀＋狉，
０
烅
烆犪＋犮＝犿＋狉，
狀＋犿＋２狉
解得犪＝ ，犮＝ ，因此离心率
２
犮 犿－狀
犲＝ ＝ ．
犪 狀＋犿＋２狉
狓２ 狔２
方程 ＋ ＝１ （其中犪，犫是正的实常数）表示的一定是椭圆吗？当椭圆的焦
犪２ 犫２
距越来越小时，椭圆的形状将怎样变化？由此探讨椭圆与圆的关系．

*  -/ +B
根据椭圆的方程，利用计算机软件，可以方便地作出椭圆，并研究椭圆
的性质．
狓２ 狔２
例如，在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，输入 “ｘ＾２／１６＋ｙ＾２／４＝１”就可以得到 ＋ ＝１
１６ ４
对应的椭圆；再指定犃（２，０），并在椭圆上任取一点犅，构造线段犃犅，就
可以显示出线段犃犅的长，让点犅沿椭圆运动，则可以观察出线段犃犅的
变化情况，如图２５１１所示．有兴趣的读者可以结合课件 “椭圆及其性
质．ｇｇｂ”进行观察．
１ ４０ 第二章 平面解析几何图２５１１
"
? 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率：
（１）狓２＋９狔２＝８１； （２）２５狓２＋９狔２＝２２５； （３）４狓２＋５狔２＝１．
? 根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（１）长轴长和短轴长分别为８和６，且焦点在狓轴上；
（２）一个焦点坐标为（－３，０），一个顶点坐标为（０，５）．
? 已知椭圆犆上的所有点中，到焦点的距离最小为２，最大为１４，求椭圆的标准方程．
? 已知椭圆的一个焦点为犉（６，０），且犅，犅 是短轴的两个端点，△犉犅犅 是
１ ２ １ ２
等边三角形，求这个椭圆的标准方程．
#
? 根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（１）两顶点坐标为（０，±６），且经过点（５，４）；
（２）焦距是１２，离心率是０．６，焦点在狓轴上．
? 已知椭圆犆的方程为９狓２＋４狔２＝３６：
（１）与椭圆犆有相同焦点的椭圆有多少个？写出其中两个椭圆的方程；
（２）与椭圆犆有相同焦点且经过点（４，槡５）的椭圆有几个？写出符合条件的椭
圆方程．
狓２ 狔２
? 已知犘是椭圆 ＋ ＝１上一点，犃（０，５），求｜犘犃｜的最小值与最大值．
４ ３６
? 已知椭圆的方程为犿２狓２＋４犿２狔２＝１，其中犿为大于零的实常数，求这个椭圆
的焦点坐标与离心率．
９ ２
? 设动点犕到定点犉（２，０）的距离与它到直线犾：狓＝ 的距离之比为 ，求点犕
２ ３
的轨迹方程．
２．５ 椭圆及其方程 １４１ －１≤狔≤１ 狔＝－１或狔＝１  （０，－１），（０，１）  －犫≤狓≤犫
犿－狀
狔 ３ 
２
"
? 如图，犃，犅是平面上的两点，且｜犃犅｜＝１０，图中的一系列圆是圆心分别为
犃，犅的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是１，２，３，…．在两组同心圆
的交点中，找出与犃，犅两点的距离之和等于１４的点，并把这些点用光滑的
曲线顺次连接起来，观察所得曲线的形状．
A B
（第１题）
４狓２ 狔２
? 求椭圆 ＋ ＝１的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标．
２５ １６
狓２ 狔２
? 已知椭圆 ＋ ＝１上一点犘与两个焦点的连线互相垂直，求点犘的坐标．
４５ ２０
? 已知点犃是椭圆狓２＋２狔２＝４的长轴的左端点，以点犃为直角顶点作一个内
接于椭圆的等腰直角三角形犃犅犆，求斜边犅犆的长．
? 求经过犘（槡３，－２），犙（－２槡３，１）两点的椭圆的标准方程．
? 有一椭圆形溜冰场，其中椭圆的长轴长为１００ｍ，短轴长为６０ｍ．现要在该
溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面
积最大，则应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？
#
? 已知椭圆的两个焦点犉（－２槡２，０），犉（２槡２，０），过点犉 且与坐标轴不平
１ ２ １
行的直线犾与椭圆相交于犕，犖两点，如果△犕犖犉 的周长等于１２，求这个
２
椭圆的标准方程．
１ ４２ 第二章 平面解析几何狓２ 狔２ π
? 已知犉，犉 是椭圆 ＋ ＝１的焦点，点犘在椭圆上且∠犉犘犉＝ ，求
１ ２ ９ ５ １ ２ ３
△犉犘犉 的面积．
１ ２
狓２ 狔２ 犪２
? 已知椭圆 ＋ ＝１ （犪＞犫＞０）的左焦点为犉，直线犾：狓＝－ ．设犘是椭
犪２ 犫２ 犮
圆上的一点，求犘到犉的距离与犘到直线犾的距离之比．
$
犪２ 犮
? 设动点犕到定点犉（－犮，０）的距离与它到直线犾：狓＝－ 的距离之比为 ，
犮 犪
犪＞犮＞０，求点犕的轨迹方程，并用得到的轨迹方程解释２．５．２中例３得到
的结果．
? 已知点犅（６，０）和犆（－６，０），过点犅的直线犾和过点犆的直线犿相交于点
４
犃，设直线犾的斜率为犽，直线犿的斜率为犽，如果犽犽＝－ ，求点犃的
１ ２ １ ２ ９
轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线．
狓２ 狔２
? 已知点犃（１，１），而且犉 是椭圆 ＋ ＝１的左焦点，犘是椭圆上任意一
１ ９ ５
点，求｜犘犉｜＋｜犘犃｜的最小值和最大值．
１
２．５ 椭圆及其方程 １４３．
! &!/,&’()*
2.6.1    

如图２６１所示，某中心犗接到其正西、正东、正北方向三个
C
观测点犃，犅，犆的报告：犃，犆两个观测点同时听到了一声巨响，
犅观测点听到的时间比犃观测点晚４ｓ．已知各观测点到该中心的距
A O B
离都是１０２０ｍ．假定当时声音传播的速度为３４０ｍ／ｓ，发出巨响的
图２６１
位置为点犘，且犃，犅，犆，犗，犘均在同一平面内．你能确定该巨
响发生的点的位置吗？
上述情境中，因为观测点犃与犆同时听到响声，说明犘一定在犃犆的
垂直平分线上；因为观测点犅听到的时间比观测点犃晚４ｓ，这说明犘距离
犅更远，而且
｜犘犅｜－｜犘犃｜＝４×３４０＝１３６０．
那么，满足上式的点犘可能的位置有哪些呢？这与本小节我们要讨论的双
曲线有关．
一般地，如果犉，犉 是平面内的两个定点，犪是一个正常数，且２犪＜
１ ２
｜犉犉｜，则平面上满足
１ ２
｜犘犉｜－｜犘犉｜ ＝２犪
１ ２
的动点犘的轨迹称为双曲线，其中，两个定点犉，犉 称为双曲线的焦点，
１ ２
两个焦点的距离｜犉犉｜称为双曲线的焦距．另外，从本章导语中可以看出，双
１ ２
曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．
A(
你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？
１ ４４ 第二章 平面解析几何如图２６２所示，将拉链的一边截去一部
分，并将拉链的两端用图钉固定在画板的犉
１
与犉 处，将笔尖放置在拉锁处，随着拉链沿
２
不同的方向逐渐拉开，笔尖将作出一条曲线；
F F
1 2
调换拉链的两端，按照同样的操作，笔尖也将
作出一条曲线．最终作出的图形是双曲线的一
图２６２
部分，其中每一条曲线都称为双曲线的一支．
这种作双曲线的方法实际上验证了双曲线定义中的犘点一定存在而且
有无数多个．那么，从数学上能不能证明这一点呢？
A(
怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你
能想到什么办法来解决这两个问题？
同椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并
求出双曲线的标准方程．
为了方便，设双曲线的焦距为２犮，则犮＞犪＞０．
y
以犉犉 所在直线为狓轴，线段犉犉 的垂直
１ ２ １ ２ P
平分线为狔轴，建立平面直角坐标系，如图２６３
所示．此时，双曲线的焦点分别为犉 １ （－犮，０）， F 1 O F 2 x
犉（犮，０）．
２
设犘（狓，狔）是双曲线上一点，则 ｜犘犉｜－
１
图２６３
｜犘犉｜＝２犪，因为｜犘犉｜＝槡（狓＋犮）２＋狔２，｜犘犉｜＝
２ １ ２
 ，所以
槡（狓＋犮）２＋狔２－槡（狓－犮）２＋狔２＝±２犪．
①
由①得
（狓＋犮）２＋狔２－［（狓－犮）２＋狔２］
＝±２犪，
槡（狓＋犮）２＋狔２＋槡（狓－犮）２＋狔２
整理得
２犮
槡（狓＋犮）２＋狔２＋槡（狓－犮）２＋狔２＝± 狓． ②
犪
且②与①的右边同时取正号或负号．①＋②整理得
（ ）
犮
槡（狓＋犮）２＋狔２＝±犪＋ 狓， ③
犪
将③式平方，再整理得
２．６ 双曲线及其方程 １４５犮２－犪２
狓２－狔２＝犮２－犪２． ④
犪２
因为犮＞犪＞０，所以犮２－犪２＞０，设
犮２－犪２＝犫２
且犫＞０，则④式可化为
狓２ 狔２
－ ＝１ （犪＞０，犫＞０）． ⑤
犪２ 犫２
可以验证，方程⑤就是双曲线的方程，通常称为焦点在狓轴上的双曲
线的标准方程．显然，满足方程⑤的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对
应的点组成的双曲线如图２６３所示．
A(
设双曲线的焦点为犉 和犉，焦距为２犮，而且双曲线上的 y
１ ２
F
动点犘满足 2 P
｜犘犉｜－｜犘犉｜ ＝２犪，
１ ２ O x
其中犮＞犪＞０．以犉犉 所在直线为狔轴，线段犉犉 的垂直平
１ ２ １ ２ F
1
分线为狓轴，建立平面直角坐标系，如图２６４所示．此时：
图２６４
（１）双曲线焦点的坐标分别是什么？
（２）能否通过⑤式来得到此时双曲线方程的形式？
显然，此时双曲线的焦点是犉（０，－犮），犉（０，犮），而且只要将方程
１ ２
⑤中的狓与狔互换，就可以得到此时双曲线的方程为
狔２ 狓２
－ ＝１ （犪＞０，犫＞０）， ⑥
犪２ 犫２
其中犫２＝犮２－犪２．这个方程通常称为焦点在狔轴上的双曲线的标准方程．
由上可以看出，双曲线的标准方程由犪，犮以及焦点的位置确定，其中
犮＞犪＞０．如不特别声明，以后总认为双曲线有相应的犪，犮值以及犫值，
其中
犫＝槡犮２－犪２．
而且谈到双曲线的标准方程时，指的总是⑤⑥这两种形式之一．
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：


（１）两个焦点的坐标分别是（－５，０），（５，０），且双曲线上的点与两
焦点距离之差的绝对值等于８；
（２）双曲线的一个焦点坐标是（０，－６），且双曲线经过点犃（－５，６）．
１ ４６ 第二章 平面解析几何（１）由已知得犮＝ ，２犪＝８．因此犪＝４，且犫２＝犮２－

犪２＝５２－４２＝９．又因为双曲线的焦点在狓轴上，所以所求的双曲线的标
准方程是
狓２ 狔２
－ ＝１．
１６ ９
（２）由已知得双曲线的焦点在 轴上，且犮＝ ，
所以另一个焦点坐标为 ．
因为点犃（－５，６）在双曲线上，所以点犃与两焦点的距离的差的绝
对值为
２犪＝｜ 槡（－５）２＋（６＋６）２－槡（－５）２＋（６－６）２｜＝｜１３－５｜＝８，
因此犪＝４，从而犫２＝６２－４２＝２０．
因此，所求双曲线的标准方程是
狔２ 狓２
－ ＝１．
１６ ２０
狔２ 狓２
例１的 （２）中，也可以先设双曲线的方程为 － ＝１，然后再通过
犪２ 犫２
已知求出犪，犫的值来求解，请读者自行尝试．
已知犉（－２，０），犉（２，０），动点犘满足

 １ ２
｜犘犉｜－｜犘犉｜＝２，
１ ２
求动点犘的轨迹方程．
２
因为 ＝１＜２，所以根据双曲线的定义可知，犘一定在犪＝ ，
 ２
犮＝ 且焦点在狓轴上的双曲线上．这就是说，点犘的坐标
（狓，狔）一定满足
狔２
狓２－ ＝１．
３
另一方面，由｜犘犉｜－｜犘犉｜＝２＞０可知｜犘犉｜＞｜犘犉｜，因此犘
１ ２ １ ２
的横坐标要大于零，从而可知犘的轨迹方程为
狔２
狓２－ ＝１ （狓＞０）．
３
类似地，对于本节开始部分的情境与问题来
y
说，如果以犗为坐标原点，犃犅，犗犆所在直线为 P
C
狓轴、狔轴建立平面直角坐标系，如图２６５所示．
则可知 A O B x
犃（－１０２０，０），犅（１０２０，０），犆（０，１０２０），
发出巨响的位置犘在以犃，犅为焦点的双曲线上，
图２６５
２．６ 双曲线及其方程 １４７而且双曲线中，
１３６０
犮＝１０２０，犪＝ ＝６８０，
２
因此
犫２＝犮２－犪２＝１０２０２－６８０２＝５×３４０２．
所以点犘的坐标（狓，狔）满足
狓２ 狔２
－ ＝１ （狓＜０）． ⑦
６８０２ ５×３４０２
另一方面，容易求得犃犆的垂直平分线为
狔＝－狓， ⑧
这也是点犘的坐标（狓，狔）要满足的方程．
联立⑦与⑧，可解得－狓＝狔＝６８０槡５．因此，发出巨响的犘点在中心
犗的西偏北４５°的６８０槡１０ｍ处，如图２６５所示．
"
狔２ 狓２
? 已知双曲线犆的方程是 － ＝１：
１６ ２０
（１）求双曲线犆的焦点坐标；
（２）如果双曲线犆上一点犘到其一个焦点的距离等于８，求点犘到其另一个焦
点的距离．
? 分别根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（１）犪＝３，犫＝４，且焦点在狓轴上；
（２）焦点为犉（０，－６）和犉（０，６），且经过点犃（２，－５）．
１ ２
? 已知双曲线狓２－狔２＝犿与椭圆２狓２＋３狔２＝７２有相同的焦点，求犿的值．
狓２ 狔２
? 过双曲线 － ＝１的右焦点作狓轴的垂线，分别求垂线与双曲线的交点到两
１４４ ２５
焦点的距离．
? 写出犪＝３，犫＝４的双曲线的标准方程．
#
狓２ 狔２
? 已知双曲线犆过椭圆 ＋ ＝１的焦点，且以椭圆的顶点为焦点，求双曲线的
４９ ２４
方程．
? 已知双曲线３犿狓２－犿狔２＝３的一个焦点坐标是（－２，０），求实数犿的值．
１ ４８ 第二章 平面解析几何? 求焦点在狓轴上，且经过点犘（４，２）与犙（２槡６，２槡２）的双曲线的标准方程．
? 相距１４００ｍ的犃，犅两个观察站都听到了一声巨响，且在犃处听到的时间比
在犅处听到的时间早４ｓ．已知当时的声速是３４０ｍ／ｓ，发出巨响的点与犃，犅
都在水平面上，求发出巨响的点所在曲线的方程．
 槡（狓－犮）２＋狔２ ５ 狔 ６  （０，６） １ ２
2.6.2   

 3+B
下面我们由双曲线的方程来研究双曲线具有的几何性质．
A(
狔２
已知双曲线犆的方程为狓２－ ＝１，根据这个方程完成下列任务：
４
（１）观察方程中狓与狔是否有取值范围，由此指出双曲线犆在平面直角坐标
系中的位置特征；
（２）指出双曲线犆是否关于狓轴、狔轴、原点对称；
（３）指出双曲线犆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
（４）如果（狓，狔）满足双曲线犆的方程，说出当｜狓｜增大时，｜狔｜将怎样变化，
并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
因为实数的平方是一个非负数，因此在方程狓２－
y
狔２
＝１中，必有狓２≥１，即狓≤－１或 ．
４
1
由此可知，双曲线犆位于直线狓＝－１与
O x
所夹平面区域的外侧，如图２６６所示．
狔２
又因为如果（狓，狔）是方程狓２－ ＝１的一组解，
x = −1x = 1
４
则不难看出，（－狓，狔），（狓，－狔），（－狓，－狔）都是方 图２６６
２．６ 双曲线及其方程 １４９程的解，这说明双曲线犆关于狔轴、狓轴、坐标原点对称，这也可从图
２６６中看出来．
狔２
在方程狓２－ ＝１中，令狔＝０，得狓＝－１或狓＝１，可知双曲线犆与
４
狔２
狓轴有两个交点，且交点坐标分别为 ；令狓＝０，得－ ＝１，
４
这个方程无实数解，可知双曲线犆与狔轴没有交点．
狔２
如果（狓，狔）满足狓２－ ＝１，则可以看出，｜狓｜增大时，｜狔｜也是增大
４
的．这就是说，双曲线犆向四周无限延展，如图２６６所示．
一般地，如果双曲线犆的标准方程是
狓２ 狔２
－ ＝１ （犪＞０，犫＞０）， ①
犪２ 犫２
则可以根据方程①来得到双曲线的一些几何性质．
（１）范围
狓２
由方程①可知 ≥１，即
犪２ y
狓≤－犪或狓≥犪． B
2
A A
因此双曲线犆位于直线狓＝犪与狓＝－犪所夹 1 2
x
F F
1 2
平面区域的外侧，如图２６７所示．
B
1
（２）对称性
x = −a x = a
如果（狓，狔）是方程①的一组解，则不难看出，
图２６７
（－狓，狔）， （狓，－狔）， （－狓，－狔）都是方程的
解，这说明双曲线犆关于狔轴、狓轴、坐标原点对称，如图２６７所示．
因此，狓轴、狔轴是双曲线犆的对称轴，坐标原点是对称中心．双曲线
的对称中心也称为双曲线的中心，本书中我们只讨论中心在原点的双曲线．
（３）顶点
在方程①中，令狔＝０，得狓＝－犪或狓＝犪，可知双曲线犆与狓轴有两
狔２
个交点，可以记作犃（－犪，０），犃（犪，０）；令狓＝０，得－ ＝１，这个方
１ ２ 犫２
程无实数解，可知双曲线犆与狔轴没有交点．
双曲线犆与它的对称轴共有２个交点，即犃，犃，这两个点都称为双
１ ２
曲线的顶点，如图２６７所示．
习惯上，称线段犃犃 为双曲线的实轴．若记犅（０，－犫），犅（０，犫），
１ ２ １ ２
则称线段犅犅 为双曲线的虚轴．显然，双曲线的两个焦点在它的实轴所在
１ ２
的直线上，而且双曲线的实轴长为２犪，虚轴长为２犫．于是，犪，犫分别是双
１ ５０ 第二章 平面解析几何曲线的半实轴长和半虚轴长．
特别地，实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线．
（４）渐近线
由方程①可以看出，如果（狓，狔）是双曲线上一点，则｜狓｜增大时，｜狔｜
也是增大的．这就是说，双曲线向四周无限延展，如图２６７所示．那么，
这种无限延展还有什么性质呢？
考虑到双曲线关于坐标轴和原点对称，因此我们只要了解双曲线在第一
象限内的情况即可．在第一象限内，双曲线的方程可以改写为
犫
狔＝ 槡狓２－犪２ （狓＞犪），
犪
因为狓＞犪时，
槡狓２－犪２＜ 槡狓２＝狓，
犫
这就说明在第一象限内，双曲线一定在直线狔＝ 狓的下方；又因为此时如
犪
果狓越来越大，则
槡狓２－犪２≈ 槡狓２＝狓，
犫
直观上，这说明随着狓的增大，双曲线会越来越接近直线狔＝ 狓．事实上，
犪
犫
如果犘（狓，狔）是双曲线在第一象限的点，则犘到直线狔＝ 狓（即犫狓－犪狔＝０）
犪
的距离
｜犫狓－犪狔｜ ｜犫狓－犫槡狓２－犪２｜
犱＝ ＝
槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２
犪２犫
＝ ，
槡犪２＋犫２（狓＋槡狓２－犪２）
因为当狓＞犪且狓无限增大时，狓＋槡狓２－犪２ 将无限增大，从而犱将无限减
小并接近于０ （但不等于０），即在第一象限内，随着狓的增大，双曲线会越
犫
来越接近直线狔＝ 狓但不与这条直线相交．
犪
根据双曲线的对称性可知，双曲线①向外无
y
犫 犫
限延伸时，总是在由直线狔＝ 狓与直线狔＝－ 狓 B
犪 犪 2
A A
相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域 1 2
x
F O F
1 2
内，并无限接近于这两条直线，但永远不会与它
B
1
们相交，如图２６８所示．
图２６８
２．６ 双曲线及其方程 １５１犫 犫
直线狔＝ 狓和狔＝－ 狓都称为双曲线①的渐近线．由此可知，作双曲
犪 犪
线时，如果先作出它的渐近线，将有利于确定双曲线的大致形状．另外，值
得注意的是，如果过双曲线实轴与虚轴的端点分别作狓轴与狔轴的垂线，
则可以得到一个矩形，而且矩形的对角线所在的直线正好就是渐近线，如图
２６８所示．
（５）离心率
同椭圆的情形一样，双曲线的半焦距与半实轴长之比
犮
犲＝
犪
称为双曲线的离心率．
A(
（１）根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围；
（２）猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系，并尝试证明．
因为犮＞犪＞０，所以可以看出犲＞１．
另外，注意到
犫
＝
槡犮２－犪２
＝ 槡
犮２－犪２
＝槡犲２－１，
犪 犪 犪２
y
犫
这说明犲越趋近于１，则 的值越小，因此双曲
犪
1
线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
OOO x
当固定犪不变时，双曲线的离心率与双曲线
形状的关系可以从图２６９中看出来，其中蓝色、
绿色双曲线的离心率分别为槡５，槡２． 图２６９
A(
如果双曲线的标准方程是
狔２ 狓２
－ ＝１ （犪＞０，犫＞０）， ②
犪２ 犫２
那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，哪些与焦点在狓轴上
的双曲线是有区别的？
显然，②式表示的双曲线，焦点坐标为（０，－犮），（０，犮），双曲线上点
的坐标的取值范围是
１ ５２ 第二章 平面解析几何狔≤－犪或狔≥犪；
实轴的两个端点是犃（０，－犪），犃（０，犪）；虚
１ ２
轴的两个端点是犅（－犫，０），犅（犫，０）；渐近 y
１ ２
线方程是 F
2
A
犪 B 1 2 B 2
狔＝± 狓． O x
犫 A
1
除这些以外，对称性、焦距、实轴长、虚轴长、 F
1
离心率等都与焦点在狓轴上的双曲线是一致的，
图２６１０
如图２６１０所示．
求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近


线方程：
狓２ 狔２
（１） － ＝１； （２）狓２－狔２＝－９．
９ １６
（１）由标准方程可知双曲线的焦点在狓轴上，且犪２＝９，犫２＝ ，

因此实轴长２犪＝６．
又因为犮２＝犪２＋犫２＝９＋１６＝２５，即犮＝５．因此，双曲线的焦点坐标为
（－５，０），（５，０）．
离心率
犮 ５
犲＝ ＝ ．
犪 ３
渐近线方程为
４
狔＝± 狓．
３
（２）已知双曲线的方程可化为
狔２ 狓２
－ ＝１，
９ ９
由此可知这个双曲线的焦点在狔轴上，且犪２＝犫２＝９，因此实轴长２犪＝
 ．
又因为犮２＝犪２＋犫２＝９＋９＝１８，即犮＝３槡２．因此，双曲线的焦点坐
标为
（０，－３槡２），（０，３槡２）．
离心率
犮 ３槡２
犲＝ ＝ ＝槡２．
犪 ３
渐近线方程为
狔＝±狓．
２．６ 双曲线及其方程 １５３已知双曲线犆的顶点为犃，犃，虚轴的一个端点为犅，且

 １ ２
△犅犃犃 是一个等边三角形，求双曲线犆的离心率．
１ ２
设犗为坐标原点，则犃犃 的中点为犗，且｜犗犃｜＝犪，｜犅犗｜＝犫．
 １ ２ １
由△犅犃犃 是等边三角形可知｜犅犗｜＝槡３｜犗犃｜，因此
１ ２ １
犫＝槡３犪，
又因为
犮２＝犪２＋犫２＝犪２＋（槡３犪）２＝４犪２，
所以犮＝２犪，从而
犮
犲＝ ＝２．
犪
狓２ 狔２
已知双曲线 － ＝１ （犪＞０，犫＞０）的左焦点为犉，且犘是双

 犪２ 犫２
曲线上的一点，求｜犘犉｜的最小值．
记双曲线的焦距为２犮，则犉（－犮，０），而且犮＝槡犪２＋犫２．

设犘（狓，狔），则
｜犘犉｜２＝（狓＋犮）２＋狔２，
狓２ 狔２ 犫２
又因为犘是双曲线上一点，所以 － ＝１，即狔２＝－犫２＋ 狓２，因此
犪２ 犫２ 犪２
（ ）
犫２ 犫２
｜犘犉｜２＝（狓＋犮）２－犫２＋ 狓２＝１＋ 狓２＋２犮狓－犫２＋犮２
犪２ 犪２
（ ）
犮２ 犮２ 犪２ 犪４
＝ 狓２＋２犮狓＋犪２＝ 狓２＋２ 狓＋
犪２ 犪２ 犮 犮２
（ ）
犮２ 犪２ ２
＝ 狓＋ ．
犪２ 犮
犪２ 犪
注意到狓≤－犪或狓≥犪，而且０＞－ ＝－ 犪＞－犪，所以，当狓＝
犮 犮
 时，｜犘犉｜２ 最小，且最小值为
（ ）
槡 犮２ 犪２ ２
－犪＋ ＝犮－犪．
犪２ 犮
例３说明，双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦
点最近的实轴的端点．

*  3-/ 3+B
根据双曲线的方程，利用计算机软件，可以方便地作出双曲线，并研究
双曲线的性质．
１ ５４ 第二章 平面解析几何狔２
例如，在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，输入 “ｘ＾２－ｙ＾２／３＝１”就可以得到狓２－ ＝１
３
对应的双曲线；再指定犃（－３，０），并在双曲线上任取一点犅，构造线段
犃犅，就可以显示出线段犃犅的长，让点犅沿双曲线运动，则可以观察出线
段犃犅的变化情况，如图２６１１所示．有兴趣的读者可以结合课件 “双曲
线及其性质．ｇｇｂ”进行观察．
图２６１１
"
狔２
? 写出双曲线狓２－ ＝１的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．
２４
狓２ 狔２
? 已知双曲线 － ＝１的右焦点为犉，且犘是双曲线上一点，写出｜犘犉｜的最小值．
１６ ９
３
? 已知双曲线的渐近线方程为狔＝± 狓，求双曲线的离心率．
４
#
? 求双曲线－９狓２＋狔２＝８１的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线
方程．
? 已知双曲线的一个焦点是（５，０），一条渐近线方程为３狓－４狔＝０，求这个双曲
线的标准方程和离心率．
狓２ 狔２
? 当实数λ≠０时，方程 － ＝λ表示的都是双曲线，这些双曲线的共同点是
犪２ 犫２
什么？
２．６ 双曲线及其方程 １５５? 已知双曲线两顶点间的距离是６，两焦点的连线被两顶点和中心四等分，求双曲
线的标准方程．
? 求证：双曲线的焦点到其渐近线的距离等于半虚轴长．
狓≥１ 狓＝１  （－１，０），（１，０） １６ ６  －犪
"
? 如图，犃，犅是平面上的两点，且｜犃犅｜＝
１０，图中的一系列圆是圆心分别为犃，犅
的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是
１，２，３，…．在两组同心圆的交点中，找
A B
出与犃，犅两点的距离之差的绝对值等于
６的点，并把这些点用光滑的曲线顺次连
接起来，观察所得曲线的形状．
? 求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐
（第１题）
标、顶点坐标以及渐近线方程：
９狓２ 狔２ 狓２ 狔２
（１） － ＝１； （２） － ＝１．
１６ ４ ４ 犿
狓２ 狔２
? 已知双曲线的渐近线方程为３狓±４狔＝０，它的焦点是椭圆 ＋ ＝１的长轴
１０ ５
的端点，求此双曲线的标准方程．
? 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是犉（－４，０），一条渐近线方程是
１
３狓－２狔＝０，求此双曲线的标准方程．
狓２ 狔２
? 求半实轴长为２槡３，且与双曲线 － ＝１有公共焦点的双曲线的标准方程．
１６ ４
#
? 已知直线犾：５狓＋３狔＝０和犾：５狓－３狔＝０．
１ ２
（１）写出两个以直线犾和犾为渐近线的双曲线的标准方程；
１ ２
（２）如果以直线犾和犾为渐近线的双曲线经过点犕（１，３），求双曲线的标
１ ２
准方程．
１ ５６ 第二章 平面解析几何狔２
? 已知犘是双曲线狓２－ ＝１上一点，犃（３，０），求｜犘犃｜的最小值．
３
４ ３
? 设动点犕到定点犉（３，０）的距离与它到直线犾：狓＝ 的距离之比为 ，求点
３ ２
犕的轨迹方程．
狓２ 狔２ 犪２
? 已知双曲线 － ＝１ （犪＞０，犫＞０）的左焦点为犉，直线犾：狓＝－ ．设
犪２ 犫２ 犮
犘是双曲线上的一点，求犘到犉的距离与犘到直线犾的距离之比．
狓２ 狔２ →
? 已知犉，犉 是双曲线 － ＝１的两个焦点，点犕在双曲线上，如果犕犉⊥
１ ２ ９ １６ １
→
犕犉，求△犕犉犉 的面积．
２ １ ２
$
? 如果过点（６，０）的直线与过点（－６，０）的直线相交于点犕，而且两直线斜率
的乘积为犪，其中犪≠０．
（１）求点犕的轨迹方程；
（２）讨论犕的轨迹是何种曲线．
犪２ 犮
? 设动点犕到定点犉（－犮，０）的距离与它到直线犾：狓＝－ 的距离之比为 ，
犮 犪
其中犮＞犪＞０，求点犕的轨迹方程，并用得到的轨迹方程解释２．６．２中例３
得到的结果．
２．６ 双曲线及其方程 １５７．
! ’!01&’()*
2.7.1   

抛物线这个几何对象，我们并不陌生．
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓
球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图２７１所示；二
次函数的图象是一条抛物线；等等．
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、
椭圆或双曲线的定义呢？
图２７１
本小节我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程．
一般地，设犉是平面内的一个定点，犾是不过点犉的一条定直线，则平
面上到犉的距离与到犾的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点犉称
为抛物线的焦点，定直线犾称为抛物线的准线．另外，从本章导语中可以看
出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线．
如图２７２所示，在画板上画一条直线犾，使
犾与画板左侧的边线平行；再在直线犾外画一个
定点犉．取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字
尺和直线犾垂直且相交于点犘，在丁字尺的另一
P Q
端取一点犙，将一条长度等于｜犘犙｜的细绳，一
F
端固定在点犙，另一端固定在点犉，用笔尖靠着
l
丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺， 图２７２
笔尖作出的曲线是抛物线的一部分．
这种作抛物线的方法实际上验证了抛物线定义中的犘点一定存在而且
有无数多个．那么，从数学上能不能证明这一点呢？
１ ５８ 第二章 平面解析几何A(
怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你
能想到什么办法来解决这两个问题？
同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的
问题，并求出抛物线的标准方程．
为了方便，过抛物线的焦点犉作其准线犾的垂线，记垂足为犓，设
｜犓犉｜＝狆（即犉到准线犾的距离为狆），因为直线犾不过点犉，所以狆＞０．
如图２７３所示，以直线犓犉为狓轴，线段犓犉
的垂直平分线为狔轴建立平面直角坐标系．此时，抛 y
l
（ ）
狆 M
物线的焦点为犉 ，０，准线为狓＝ ．
２
设犕（狓，狔）是抛物线上一点，则犕到犉的距离为 K O F x
（ ）
槡 狆２
｜犕犉｜＝ 狓－ ＋狔２，
２
狆 图２７３
犕到直线犾的距离为狓＋ ，所以
２
（ ）
槡 狆２ 狆
狓－ ＋狔２＝狓＋ ．
２ ２
上式两边平方，整理可得
狔２＝２狆狓． ①
可以验证，方程①就是抛物线的方程，通常称为焦点在狓轴正半轴上
的抛物线的标准方程．显然，满足方程①的点的坐标有无穷多组，这无穷多
组解对应的点组成的抛物线如图２７３所示．
A(
如果建立的平面直
y
角坐标系分别如图２７４ l y y
M l K
的 （１） （２） （３）所示， O
M
F K F x
其他条件不变，则抛物线 O x F
O x
的焦点坐标和准线方程有 M
l K
变化吗？此时能否通过①
式得到抛物线的标准方程   
图２７４
具有的形式呢？
２．７ 抛物线及其方程 １５９可以看出，如果按照图２７４ （１）的方式建立平面直角坐标系，则抛物
（ ）
狆
线的焦点为犉－ ，０ ，准线为狓＝ ；只要将①中的狓变
２
为－狓即可得到抛物线的方程为
狔２＝－２狆狓． ②
通常称②为焦点在狓轴负半轴上的抛物线的标准方程．
类似地，如果按照图２７４ （２）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线
（ ）
狆
的焦点为犉０， ，准线为狔＝ ；只要将①中的狓与狔互
２
换即可得到抛物线的方程为
狓２＝２狆狔． ③
通常称③为焦点在狔轴正半轴上的抛物线的标准方程．
如果按照图２７４（３）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为
（ ）
狆
犉０，－ ，准线为狔＝ ；只要将①中的狓变为－狔且狔变
２
为－狓即可得到抛物线的方程为
狓２＝－２狆狔． ④
通常称④为焦点在狔轴负半轴上的抛物线的标准方程．
由上可以看出，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离狆以及焦点
的位置确定的．如不特别声明，以后总认为抛物线有相应的狆（狆＞０）值，
而且以后谈到抛物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一．
分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：


（１）抛物线的焦点到准线的距离是３，而且焦点在狓轴的正半轴上；
（２）抛物线的焦点是犉（－３，０）．
（１）根据题意可知，抛物线的标准方程具有狔２＝２狆狓的形式，而

且狆＝ ，因此所求标准方程为
狔２＝６狓．
３
准线方程为狓＝－ ．
２
（２）因为抛物线的焦点坐标是（－３，０），所以抛物线的标准方程具有
狆
狔２＝－２狆狓的形式，而且 ＝３，因此狆＝６，从而所求抛物线的标准方
２
程是
狔２＝－１２狓．
１ ６０ 第二章 平面解析几何准线方程为狓＝３．
分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：


（１）抛物线的焦点到狓轴的距离是２，而且焦点在狔轴的正半轴上；
狔２ 狓２
（２）抛物线的焦点是双曲线 － ＝１的焦点之一．
９ １６
（１）由已知可得焦点坐标为（０，２），因此抛物线的标准方程具有

狓２＝２狆狔的形式，且狆＝ ，从而所求抛物线的标准方程是
狓２＝８狔．
狔２ 狓２
（２）因为双曲线 － ＝１中，犮＝槡９＋１６＝５，又因为双曲线的焦
９ １６
点在狔轴上，所以焦点坐标为（０，－５）或（０，５）．
如果抛物线的焦点坐标为（０，－５），则抛物线的标准方程具有狓２＝
－２狆狔的形式，且狆＝１０，此时抛物线的标准方程是
狓２＝－２０狔；
如果抛物线的焦点坐标为（０，５），则抛物线的标准方程具有狓２＝２狆狔
的形式，且狆＝ ，此时抛物线的标准方程是
狓２＝２０狔．
已知平面直角坐标系中，动点犕到犉（０，－２）的距离比犕到狓


轴的距离大２，求犕的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线．
设犕的坐标是（狓，狔），则根据题意可知

槡狓２＋（狔＋２）２＝｜狔｜＋２，
化简得狓２＝４（｜狔｜－狔）．
当狔＞０时，方程可变为狓＝０，这表示的
y
是端点在原点、方向为狔轴正方向的射线，且
不包括端点，如图２７５所示；
1
当狔≤０时，方程可变为狓２＝－８狔，这表
O x
示的是焦点为犉（０，－２）的抛物线，如图２７５
F
所示．
图２７５
"
? 已知犕是抛物线上一点，且犕到抛物线的焦点的距离等于３，写出犕到抛物
线的准线的距离．
? 分别根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
３
（１）焦点是犉（２，０）； （２）准线方程是狓＝－ ．
２
２．７ 抛物线及其方程 １６１? 写出抛物线狔２＝４犪狓的焦点坐标．
#
? 已知抛物线的焦点在狓轴的正半轴上，且准线与狔轴之间的距离为６，求此抛
物线的标准方程．
? 写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（１）狔＝２狓２； （２）狔＝犪狓２ （犪≠０）．
? 求焦点在狓轴正半轴上，并且经过点犕（２，－４）的抛物线的标准方程．
? 已知点犕在抛物线狔２＝１２狓上，它到焦点的距离等于９，求点犕的坐标．
? 已知点犕到点犉（４，０）的距离比它到直线犾：狓＋６＝０的距离小２，求点犕的
轨迹方程．
狆 狆 狆 狆
 －   －  ３ ４ １０
２ ２ ２ ２
2.7.2  

'3+B
下面我们由抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质．
A(
已知抛物线犆的方程为狔２＝２狓，根据这个方程完成下列任务：
（１）观察方程中狓与狔是否有取值范围，由此指出抛物线犆在平面直角坐标
系中的位置特征；
（２）指出抛物线犆是否具有对称性；
（３）指出抛物线犆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
因为实数的平方是一个非负数，所以在方程狔２＝２狓中，必有２狓≥０，
即狓≥０．同时，可以看出狔能取任意实数．由此可知，抛物线犆位于狔轴
及狔轴的右侧，如图２７６所示．
１ ６２ 第二章 平面解析几何又因为如果（狓，狔）是方程狔２＝２狓的一组解，
y
则不难看出，（狓，－狔）也是方程的解，这说明抛
1
物 线 关 于 狓 轴 对 称；又 因 为 （－狓，狔），
O x
（－狓，－狔）不一定是方程的解，这就说明抛物线
不关于狔轴对称，也不关于原点对称．这也可从
图２７６中看出来． 图２７６
在方程狔２＝２狓中，令狔＝０，得狓＝０；令狓＝０，得狔＝０．可知抛物
线犆与狓轴、狔轴都只有一个交点，且交点都是原点（０，０）．
一般地，如果抛物线犆的标准方程是
狔２＝２狆狓（狆＞０）， ①
则可以根据方程①来得到抛物线的一些几何性质．
（１）范围
由方程①可知，２狆狓≥０，又因为狆＞０，所以狓≥ ．
因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在狔轴的右侧．
另外，当狓无限增大时，｜狔｜也无限增大，这说明抛物线向右上方和右
下方无限延伸，如图２７７所示．此时，称抛物线犆的开口向右 （或朝右）．
（２）对称性
y
如果（狓，狔）是方程①的一组解，则不难看
出，（狓，－狔）也是方程的解，这说明抛物线犆关
于狓轴对称，如图２７７所示．此时，称狓轴是
O x
抛物线的对称轴 （简称为轴）．
（３）顶点
图２７７
在方程狔２＝２狆狓中，令狔＝０，得狓＝０；令
狓＝０，得狔＝０．可知抛物线犆与狓轴、狔轴都相交于原点（０，０）．此时，
称原点是抛物线的顶点．
（４）离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，
用犲表示．根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率
犲＝１．
A(
如果抛物线的标准方程是
狔２＝－２狆狓（狆＞０）， ②
狓２＝２狆狔（狆＞０）， ③
狓２＝－２狆狔（狆＞０）， ④
２．７ 抛物线及其方程 １６３那么抛物线的范围 （开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛
物线是相同的？哪些是有区别的？
A(
可以看出，②③④所表示的抛物线，顶点坐标、离心率与①所表示的抛
物线是相同的，但是：
②所表示的抛物线中，狓≤０，除顶点外，抛物线上的其余点都在狔轴
的 ，抛物线的开口向左 （或朝左），抛物线关于狓轴对称；
③所表示的抛物线中，狔≥０，除顶点外，抛物线上的其余点都在狓轴
的 ，抛物线的开口向上 （或朝上），抛物线关于狔轴对称；
④所表示的抛物线中，狔≤０，除顶点外，抛物线上的其余点都在狓轴
的 ，抛物线的开口向下 （或朝下），抛物线关于狔轴对称．
已知抛物线的对称轴为狓轴，顶点是坐标原点且开口向左，又


抛物线经过点犕（－４，２槡３），求这个抛物线的标准方程．
根据已知条件可设抛物线的标准方程为

狔２＝－２狆狓（狆＞０），
因为点犕（－４，２槡３）在抛物线上，所以
（２槡３）２＝－２狆×（－４），
因此２狆＝３．
从而可知所求方程为
狔２＝－３狓．
已知点犘在抛物线狓２＝－５狔上，且犃（０，－３），求｜犘犃｜的最小值．


设点犘的坐标为（狓，狔），则狓２＝－５狔，而且

｜犘犃｜２＝狓２＋（狔＋３）２
＝狔２＋狔＋９
（ ）
１ ２ ３５
＝狔＋ ＋ ，
２ ４
３５
又因为狔≤０，所以狔＝ 时，｜犘犃｜２ 取最小值 ．
４
因此所求最小值为 ．
已知直线犾平行于狔轴，且犾与狓轴的交点为（４，０），点犃在


→ →
直线犾上，动点犘的纵坐标与犃的纵坐标相同，且犗犃⊥犗犘，求犘点的
轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
由条件可知，直线犾的方程为狓＝４，因此点犃的横坐标为４．

设犘的坐标为（狓，狔），则点犃的坐标为（４，狔）．因此
１ ６４ 第二章 平面解析几何→ →
犗犃＝（４，狔），犗犘＝ ．
→ → → →
因为犗犃⊥犗犘的充要条件是犗犃·犗犘＝０，所以４狓＋狔２＝０，即动
点犘的轨迹方程为
狔２＝－４狓．
从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线．

* '3-/'3+B
根据抛物线的方程，利用计算机软件，可以方便地作出抛物线，并研究
抛物线的性质．
例如，在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，输入 “ｘ＾２＝－５ｙ”就可以得到狓２＝－５狔对应
的抛物线；再指定犃（０，－３），并在抛物线上任取一点犅，构造线段犃犅，
就可以显示出线段犃犅的长，让点犅沿抛物线运动，则可以观察出线段犃犅
的变化情况，如图２７８所示．有兴趣的读者可以结合课件 “抛物线及其性
质．ｇｇｂ”进行观察．
图２７８
"
? 已知抛物线狔＝４狓２上的一点犕的纵坐标为１，求点犕到焦点的距离．
? 求抛物线狔２＝８狓的焦点到直线狓－槡３狔＝０的距离．
狓２ 狔２
? 若抛物线狔２＝２狆狓的焦点与椭圆 ＋ ＝１的右焦点重合，求狆的值．
６ ２
? 已知正三角形犃犗犅的顶点犃，犅在抛物线狔２＝６狓上，犗是坐标原点，求
△犃犗犅的边长．
２．７ 抛物线及其方程 １６５? 求下列方程表示的抛物线的焦点坐标和准线方程：
（１）狔２－６狓＝０； （２）狓２＋１０狔＝０；
３
（３）狔＝ 狓２； （４）犪狓＋狔２＝０ （犪≠０）．
８
? 设抛物线狔２＝８狓上一点犘到狔轴的距离是４，求点犘到该抛物线焦点的距离．
#
? 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，且过点犘（－２，２槡２），求抛
物线的标准方程．
? 若抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上一点犕到焦点犉的距离｜犕犉｜＝２狆，求点犕的坐标．
? 从抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上各点向狓轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，
并说明轨迹是什么曲线．
? 已知抛物线的顶点是坐标原点犗，对称轴为狓轴，焦点为犉，抛物线上的点犃
→ →
的横坐标为２，且犉犃·犗犃＝１６，求此抛物线的方程．
? 已知抛物线狔２＝１６狓和点犃（４，０），点犕在此抛物线上运动，求点犕到点犃
的距离的最小值，并指出取得最小值时点犕的坐标．
? 设抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上一点犕的横坐标为狓，证明犕到抛物线焦点的
０
狆
距离为狓＋ ，并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论．
０ ２
１ 槡３５
０  左侧  上方  下方  －   （狓，狔）
２ ２
"
? 如图，犾是平面上一条直线，犃在与犾垂直的
l
直线犿上，且犃到犾的距离为２，图中的圆
是以犃为圆心的一组同心圆，它们的半径分
别为１，２，３，…，除直线犿外，图中的直
线都是与直线犿垂直的，相邻两直线之间的 A m
距离为１．在图中直线与圆的交点中，找出
到点犃与到直线犾距离相等的点，并把这些
点用光滑的曲线顺次连接起来，观察所得曲
（第１题）
线的形状．
１ ６６ 第二章 平面解析几何? 已知动点犘到点犉（２，０）的距离与它到直线狓＋２＝０的距离相等，求点犘的
轨迹方程．
? 若抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的准线经过双曲线狓２－狔２＝１的一个焦点，求狆的值．
? 已知抛物线狔＝４狓２上的一点犕到焦点的距离为１，求点犕的纵坐标．
? 如图是一座抛物线型拱桥示意图，拱桥是抛物线的一
部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点距离水面４ｍ
时，量得水面宽１２ｍ，那么当水位升高１ｍ时水面的
宽为多少？ （第５题）
５
? 已知抛物线犆：狔２＝狓的焦点为犉，且犃（狓，狔）是犆上一点，｜犃犉｜＝ 狓，求狓．
０ ０ ４ ０ ０
? 过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点犉的直线与抛物线相交于犃，犅两点，从
π
犃，犅向抛物线的准线作垂线，垂足分别为犃，犅，求证：∠犃犉犅＝ ．
１ １ １ １ ２
#
? 已知抛物线犆：狔２＝８狓的焦点为犉，准线为犾，犘是犾上一点，犙是直线犘犉
→ →
与犆的一个交点，若犉犘＝４犉犙，求｜犙犉｜．
? 已知犉是抛物线狔２＝狓的焦点，犃，犅是该抛物线上的两点，｜犃犉｜＋｜犅犉｜＝３，
求线段犃犅的中点到狔轴的距离．
? 设抛物线犆：狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点为犉，点犕在犆上，｜犕犉｜＝５．若以
犕犉为直径的圆过点（０，２），求犆的方程．
? 求抛物线狓２＝２狔上到点犕（０，２）距离最近的点的坐标．
? 已知点犘是抛物线狔＝狓２上到直线２狓－狔－４＝０的距离最短的点，求犘点
的坐标．
$
? 已知抛物线狔２＝４狓，且犘是抛物线上一点：
（１）设犉为抛物线的焦点，犃（６，３），求｜犘犃｜＋｜犘犉｜的最小值，并求出取
得最小值时点犘的坐标；
（２）设犕的坐标为（犿，０），求｜犘犕｜的最小值 （用犿表示），并求出取得最
小值时点犘的坐标．
? 已知抛物线的顶点在原点，焦点为犉（－３，０），设点犃（犪，０）到抛物线上的
点的距离的最小值为犳（犪），求犳（犪）的表达式．
２．７ 抛物线及其方程 １６７．
! (!%&-+2,&34567
我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与
圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问
题．类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要
条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题
来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题．
狓２ 狔２
判断直线狔＝２狓－２与椭圆 ＋ ＝１是否有公共点．如有，求

 ５ ４
出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线
段长．
A(
你认为应该怎样来判断直线与椭圆是否有公共点？如果有两个公共点，应该怎
样求得对应线段的长？
联立直线与椭圆的方程，可得方程组

烄狔＝２狓－２，
烅狓２ 狔２
＋ ＝１，
烆５ ４
解方程组可得
烄 ５
狓＝ ，
烄狓＝０， ３
０ 或
烅 烅
烆狔＝－２ ４
狔＝ ，
烆 ３
因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为（０，－２）， ．
从而可知所求线段长为
（ ） ［ ］
槡 ５ ２ ４ ２ ５槡５
－０ ＋ －（－２） ＝ ．
３ ３ ３
狓２ 狔２
已知直线犾：狔＝２狓＋犿与椭圆犆： ＋ ＝１，分别求直线犾与

 ４ ２
椭圆犆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时犿的取值范围．
１ ６８ 第二章 平面解析几何联立直线犾的方程与椭圆犆的方程得方程组

烄狔＝２狓＋犿，
烅狓２ 狔２
＋ ＝１，
烆４ ２
消去狔，整理得
９狓２＋８犿狓＋２犿２－４＝０， ①
因为①的判别式为
Δ＝（８犿）２－４×９×（２犿２－４）＝－８犿２＋１４４
＝－８（犿＋３槡２）（犿－３槡２），
所以：
当Δ＞０即－３槡２＜犿＜３槡２时，方程①有两个不同的实数解，此时
原方程组的实数解集中有两个元素，直线犾与椭圆犆有两个公共点；
当Δ＝０即 时，方程①有两个相等的实数解，此时原
方程组的实数解集中只有一个元素，直线犾与椭圆犆有且只有一个公
共点；
当Δ＜０即犿＜－３槡２或犿＞３槡２时，方程①无实数解，此时原方程
组的实数解集为空集，直线犾与椭圆犆没有公共点．
习惯上，当直线与椭圆有两个公共点时，称
直线与椭圆相交；当直线与椭圆有且只有一个公 y
l
1
共点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有 l
2
x
公共点时，称直线与椭圆相离．如图２８１所示的
O
图中，犾与椭圆相交，犾与椭圆相切，犾 与椭圆 l
１ ２ ３ 3
相离．
图２８１
判断直线犾：狔＝狓＋１与双曲线犆：狓２－


狔２＝１是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．
联立直线与双曲线的方程，可得方程组

烄狔＝狓＋１，
烅
烆狓２－狔２＝１，
消去狔，可得狓２－（狓＋１）２＝１，由此可解得狓＝－１．此时，狔＝０．
因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为 ．
如图２８２所示是例３中的直线与双曲线，图中还作出了双曲线的渐近
线．从图中可以看出，直线犾与双曲线犆相交于双曲线的左顶点．此时，虽
然直线犾与双曲线犆只有一个公共点，但并不给人以 “相切”的形象．
一般地，给定直线犾与圆锥曲线犆（圆、椭圆、双曲线、抛物线），如
果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方
２．８ 直线与圆锥曲线的位置关系 １６９程只有一个实数解 （即有两个相等的实数解），
则称直线与圆锥曲线相切． y
由定义可知，例３中的直线与双曲线不相切， l
C
1
而且可以看出，直线与圆、直线与椭圆只有一个
x
OO
公共点是直线与它们相切的充要条件；但直线与
双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线
与它们相切的充分条件． 图２８２
已知点犃（０，２）和抛物线犆：狔２＝


６狓，求过点犃且与抛物线犆相切的直线犾的方程．
当直线犾的斜率不存在时，由直线犾过点犃（０，２）可知，直线犾就

是狔轴，其方程为狓＝０．
由
烄狓＝０，
烅
烆狔２＝６狓
消去未知数狓得狔２＝０．这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所
以直线狓＝０与抛物线犆相切．
如果直线犾的斜率存在，则设直线犾的方程为狔＝犽狓＋２．
由方程组
烄狔＝犽狓＋２，
烅
烆狔２＝６狓
消去狓，整理得犽狔２－６狔＋１２＝０．为了使得这个方程是一元二次方程且
只有一个实数解，必须有
犽≠０且 （－６）２－４×１２犽＝０，
３
因此可解得犽＝ ．
４
３
此时直线犾的方程为狔＝ 狓＋２，即３狓－４狔＋８＝０．
４
综上可知，直线犾的方程为狓＝０或３狓－４狔＋８＝０．
一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的
线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦
就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．
已知直线犾：狔＝狓－２与抛物线犆：狓２＝－６狔相交于犃，犅两


点，且犗为坐标原点．
（１）求弦长｜犃犅｜；
→ →
（２）判断犗犃⊥犗犅是否成立，并说明理由．
１ ７０ 第二章 平面解析几何（１）设犃（狓，狔），犅（狓，狔），则
 １ １ ２ ２
｜犃犅｜２＝（狓－狓）２＋（狔－狔）２．
２ １ ２ １
因为犃（狓，狔），犅（狓，狔）都是直线狔＝狓－２上的点，所以
１ １ ２ ２
烄狔＝狓－２，
１ １
烅
烆狔＝狓－２，
２ ２
第二式减去第一式可得狔－狔＝狓－狓，从而
２ １ ２ １
｜犃犅｜２＝（狓－狓）２＋（狓－狓）２＝２（狓－狓）２．
２ １ ２ １ ２ １
又因为从方程组
烄狔＝狓－２，
烅
烆狓２＝－６狔
中消去狔，整理可得狓２＋６狓－１２＝０，而且狓，狓 是该方程的两个根，
１ ２
因此由韦达定理可知
烄狓＋狓＝－６，
１ ２
烅
烆狓狓＝－１２，
１ ２
所以
（狓－狓）２＝（狓＋狓）２－４狓狓＝（－６）２－４×（－１２）＝８４，
２ １ ２ １ １ ２
因此｜犃犅｜２＝２×８４＝１６８，从而可知｜犃犅｜＝２槡４２．
→ →
（２）设犃（狓，狔），犅（狓，狔），则犗犃＝（狓，狔），犗犅＝（狓，狔），
１ １ ２ ２ １ １ ２ ２
因此
→ →
犗犃·犗犅＝狓狓＋狔狔，
１ ２ １ ２
将狔＝狓－２，狔＝狓－２代入上式可得
１ １ ２ ２
→ →
犗犃·犗犅＝狓狓＋（狓－２）（狓－２）＝２狓狓－２（狓＋狓）＋４．
１ ２ １ ２ １ ２ １ ２
又因为由 （１）可知狓＋狓＝ ，狓狓＝ ，
１ ２ １ ２
所以
→ →
犗犃·犗犅＝２×（－１２）－２×（－６）＋４＝－８≠０，
→ →
所以犗犃⊥犗犅不成立．
例５的解法中，同以前一样，我们设了犃，犅两点的坐标，但是解题过
程中并没有实际求出，因此使用的也是 “设而不求”的方法．该题当然也可
以先求出犃与犅的坐标，然后再求弦长，并验证垂直是否成立．请读者自
行总结两种解法的区别．
２．８ 直线与圆锥曲线的位置关系 １７１KA
圆锥曲线的光学性质
你知道吗？椭圆、双曲线、抛物线这些 具体而言，在图３中，犉为抛物线的焦
圆锥曲线，都具有令人惊奇的光学性质，而 点，设犕是抛物线上一点，犃犕是抛物线的
且这些光学性质都与它们的焦点有关． 切线，犕犅⊥犕犃，设光线犉犕在犕处反射
从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到 后的光线是犕犆（即∠犉犕犅＝∠犅犕犆），则
椭圆上，经反射后都通过椭圆的另一个焦 可以证明，犕犆是平行于狓轴的．
点，如图１所示． 事实上，为了证明这个结论，我们只需
证明直线犕犉的倾斜角是犃犕的倾斜角的两
y
倍即可．设抛物线的方程为狔２＝２狆狓，且
犕（狓，狔），则可以算得直线犃犕的斜率为
０ ０
F O F x 狆 ２狆狔
1 2 ，直线犉犕的斜率为 ０ ，根据这两者
狔 狔２－狆２
０ ０
图１ 之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到
结论．
从双曲线的一个焦点处出发的光线照射
圆锥曲线的这些光学性质，在日常生活
到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会
和科学研究中有着广泛的应用．例如，物理
经过双曲线的另一个焦点，如图２所示．
学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面 （抛
y 物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛
物面），２０１６年９月２５日落成启用的 “中国
天眼”———５００ｍ口径球面射电望远镜，反
F O F x
1 2 射面的主体是一个抛物面，如图４所示．
图２
从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛
物线上，经反射后的光线平行于抛物线的
轴，如图３所示．
y
A
M C 图４
B
类似的应用还有很多，感兴趣的同学请
O F x 利用网络进行搜索吧！
图３
１ ７２ 第二章 平面解析几何"
? 判断直线狔＝－２狓＋４与抛物线狔２＝４狓是否有公共点．如有，求出公共点的
坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长．
? 已知直线狓－２狔＋２＝０与椭圆狓２＋４狔２＝４相交于犃，犅两点，求线段犃犅
的长．
? 举例说明，直线与抛物线只有一个公共点不是它们相切的充分条件．
狓２ 狔２
? 已知直线犾：狔＝犽狓＋２和椭圆犆： ＋ ＝１．分别求直线犾与椭圆犆有两
３ ２
个公共点、只有一个公共点和没有公共点时犽的取值范围．
? 如果直线狔＝犽狓－１与双曲线狓２－狔２＝４没有公共点，求犽的取值范围．
狓２ 狔２
? 过原点的直线犾与双曲线 － ＝１相交于两点，求犾的斜率的取值范围．
４ ３
? 求圆心在抛物线狔２＝２狓上且与狓轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程．
? 已知抛物线狔２＝４狓与过其焦点的斜率为１的直线交于犃，犅两点，犗为坐标
→ →
原点，求犗犃·犗犅．
? 过抛物线狔２＝２狆狓的焦点的一条直线与抛物线相交，且两个交点的纵坐标为
狔，狔，求证：狔狔＝－狆２．
１ ２ １ ２
#
? 已知斜率为２的直线犃犅过抛物线狔２＝８狓的焦点，求弦犃犅的长．
? 已知直线犾：狔＝狓－３与抛物线犆：狓２＝－８狔相交于犃，犅两点，且犗为坐
标原点．
（１）求弦长｜犃犅｜以及线段犃犅的中点坐标；
→ →
（２）判断犗犃⊥犗犅是否成立，并说明理由．
? 已知直线犾的斜率与双曲线犆的渐近线的斜率相等，求证：直线犾与双曲线犆
最多只有一个公共点．
? 求过点犃（０，狆）且与抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）只有一个公共点的直线的
方程．
? 已知斜率为２的直线犾与抛物线狔２＝４狓相交于犃，犅两点，如果线段犃犅的
长等于５，求直线犾的方程．
? 过抛物线狔２＝８狓的焦点犉的一条直线与此抛物线相交于犃，犅两点，已知
犃（８，８），求线段犃犅的中点到抛物线准线的距离．
２．８ 直线与圆锥曲线的位置关系 １７３? 垂直于狓轴的直线与抛物线狔２＝４狓交于犃，犅两点，且｜犃犅｜＝４槡３，求直
线犃犅的方程．
? 过抛物线的焦点的一条直线与它交于犘，犙两点，过点犘和此抛物线顶点的
直线与抛物线的准线交于点犕，求证：直线犕犙平行于此抛物线的对称轴．
? 过抛物线的焦点犉的一条直线与此抛物线相交于犘，犘 两点．求证：以
１ ２
犘犘 为直径的圆与该抛物线的准线相切．
１ ２
﹣ 设抛物线犆：狔２＝４狓的焦点为犉，过犉且斜率为１的直线犾与犆相交于犃，
犅两点，求过点犃，犅且与犆的准线相切的圆的方程．
（ ）
５ ４
 ， 犿＝±３槡２  （－１，０）  －６  －１２
３ ３
１ ７４ 第二章 平面解析几何
  
本章我们主要学习了平面上直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等几何对象及其
方程，并利用它们的方程研究了它们的性质与关系等．
依照知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图．
y −y
k =tanθ= 2 1
x −x
2 1
y−y =k(x−x )
0 0
l  l- ⇔ k ≠k
1 2 1 2
-4 y=kx+b
l  l> ⇔ k=k b ≠b
1 2 1 2 1 2
Ax+By+C=0
l  lG  ⇔ k=k b =b
1 2 1 2 1 2
4
(4
请依据自己的理解，在知识结构图上补充更多的内容吧！你能作出其他形式的
知识结构图吗？
 
几何学的有关知识，早在公元前就已经出现．然而，平面解析几何的出现与发
展，却是十六七世纪以来的事情．但是，平面解析几何的出现，极大地促进了几何
学的发展．在平面解析几何的发展过程中，很多著名数学家都做出了卓越的贡献，
例如笛卡儿、费马等．请与其他同学合作，查阅有关历史资料，总结平面解析几何
本章小结 １７５发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件以及其对人类文明的贡献，并写成小
论文，与其他同学一起交流分享．
 
犃组
１求下列直线的方程：
（１）通过犃（２，３），犅（－１，－２）的直线；
（２）通过犕（４，５），犅（０，０）的直线；
（３）在狓轴上的截距是－２，在狔轴上的截距是－５的直线；
１
（４）在狓轴与狔轴上的截距都是－ 的直线．
２
２分别求经过点犃（２，１）且与直线狓＋３狔－３＝０平行、垂直的直线的一般式
方程．
３求与直线狓－狔－２＝０平行且与它的距离为２槡２的直线的方程．
４判断命题 “如果直线犾在狓轴、狔轴上的截距分别为犪，犫且犪≠０，则犾的斜
犫
率是 ”的真假．
犪
５求下列各点关于直线狔＝狓对称的点的坐标：犃（２，１），犅（－５，－１），
犆（３，－２），犇（－３，４）．
６求半径为５，过点（１，２）且与狓轴相切的圆的方程．
７分别判断点犃（１，１），犅（－１，１），犆（－１，－１），犇（１，－１）是否在方程
狓２＋２狓狔＋狔２－４＝０的曲线上．
８已知等腰三角形的顶点坐标为犃（０，３），犅（－２，０），犆（２，０），则这个三角
形的中线犃犗的方程是狓＝０吗？为什么？
９已知等腰三角形犃犅犆的顶点是犃（４，２），底边的一个端点是犅（３，５），求另
一个端点的轨迹方程．
１０方程狓２－４狓＋１＝０的两个根可分别作为 （ ）．
（Ａ）椭圆和双曲线的离心率
（Ｂ）两抛物线的离心率
（Ｃ）椭圆和抛物线的离心率
（Ｄ）两椭圆的离心率
１ ７６ 第二章 平面解析几何狓２ 狔２ 狓２ 狔２
１１曲线 ＋ ＝１与曲线 ＋ ＝１ （犽＜９）的 （ ）．
２５ ９ ２５－犽 ９－犽
（Ａ）长轴长相等 （Ｂ）焦距相等
（Ｃ）离心率相等 （Ｄ）短轴长相等
１２与两圆狓２＋狔２＝１及狓２＋狔２－８狓＋１２＝０都外切的圆的圆心在 （ ）．
（Ａ）一个椭圆上 （Ｂ）双曲线的一支上
（Ｃ）一条抛物线上 （Ｄ）一个圆上
１３已知△犃犅犆的三边犃犅，犅犆，犆犃满足
２｜犅犆｜＝｜犃犅｜＋｜犆犃｜，｜犃犅｜＞｜犆犃｜，
且犅（－１，０），犆（１，０），求点犃的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
１４若方程（３－犪）狓２＋（犪＋１）狔２＋犪２－２犪－３＝０是双曲线的方程，求实数犪
的取值范围．
槡５ 狓２ 狔２
１５已知双曲线的离心率等于 ，且双曲线与椭圆 ＋ ＝１有公共焦点，求
２ ９ ４
此双曲线的标准方程．
１６求与双曲线狓２－狔２＝８有相同的焦点且经过点犘（４，６）的椭圆的方程．
１７如果椭圆的一个焦点坐标为（２，０），过此焦点且垂直于狓轴的弦的长等于
１０
，求这个椭圆的标准方程．
３
１８已知直线狔＝犽狓＋２与椭圆狓２＋２狔２＝２相交于不同的两点，求犽的取值
范围．
１９直线犾过点犘（２，４）且与抛物线狔２＝８狓只有一个公共点，求直线犾的方程．
犅组
１已知三条直线犿狓＋２狔＋８＝０，４狓＋３狔＝１０，２狓－狔＝１０相交于一点，求犿
的值．
２求犾：２狓－狔＋１＝０，犾：狓＋狔＋５＝０，犾：狓＝０，犾：狓＝３四条直线所
１ ２ ３ ４
围成的图形的面积．
３ （１）已知直线３狓＋（１－犪）狔＋５＝０与直线狓－狔＝０平行，求犪的值；
（２）已知直线（犪－４）狓＋狔＋１＝０与直线２狓＋３狔＋５＝０垂直，求犪的值．
４求证：不论λ为何实数，直线（２狓＋狔－４）＋λ（３狓－２狔＋１）＝０恒过定点．
５判断命题的真假：如果狀，狀 分别是直线犾，犾的一个方向向量，则犾与
１ ２ １ ２ １
犾垂直的充要条件是狀 与狀 垂直．
２ １ ２
本章小结 １７７６光线从点犕（－２，３）发出遇到狓轴上一点犘（１，０）后被狓轴反射，求反射
光线所在直线的方程．
７已知犃（４，１），犅（－３，２），在狔轴上求点犆，使得△犃犅犆的面积为１２．
８过点犘（８，６）作圆狓２＋狔２－８狓＋６狔＝０的两条切线犘犃，犘犅，切点分别为
犃，犅，求直线犃犅的方程．
９已知一条曲线在狓轴的上方，它上面的每一点到点犃（０，２）的距离减去到狓
轴的距离的差都是２，求这条曲线的方程．
狓２ 狔２
１０已知方程 ＋ ＝１，讨论当犽取不同的值时，这个方程所表示的曲线
４－犽 ９－犽
类型，并写出曲线是椭圆和双曲线时的焦点坐标．
１１过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点的一条直线与这条抛物线相交于犃，犅两
点．求证：这两个交点到狓轴的距离的乘积是常数．
１２过抛物线的顶点犗作两条互相垂直的弦犗犃和犗犅．求证：弦犃犅与抛物线
的对称轴相交于定点．
１３已知犕（４，２）是直线犾被椭圆狓２＋４狔２＝３６所截得的线段犃犅的中点，求直
线犾的方程．
狓２ 狔２
１４已知椭圆 ＋ ＝１，点犃，犅分别是它的左、右顶点．一条垂直于狓轴的
４ ２
动直线犾与椭圆相交于犘，犙两点，当直线犾与椭圆相切于点犃或点犅时，看作犘，
犙两点重合于点犃或点犅，求直线犃犘与直线犅犙的交点犕的轨迹方程．
狓２
１５已知直线狔＝狓＋犿与椭圆 ＋狔２＝１相交于犃，犅两点，当犿变化时，
４
求｜犃犅｜的最大值．
１６已知直线狔＝犪狓＋１与双曲线３狓２－狔２＝１相交于犃，犅两点，犗为坐标原
→ →
点．如果犗犃⊥犗犅，求犪的值．
１７已知抛物线犆的顶点在原点，对称轴是狓轴，它的弦犘犙所在直线的方程
为狔＝２狓＋１，弦长等于槡１５，求抛物线犆的标准方程．
π
１８过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点犉作倾斜角为 的直线犾，且犾交抛物线
４
｜犃犉｜
于犃，犅两点，点犃在狓轴的上方，求 的值．
｜犅犉｜
１９已知双曲线２狓２－狔２＝２，它的弦犘犙的长是实轴长的２倍，如果弦犘犙所
在的直线犾过点犃（槡３，０），求直线犾的方程．
１ ７８ 第二章 平面解析几何狓２ 狔２
２０求双曲线 － ＝１上任意一点犕到两条渐近线的距离的乘积，并把结论
４ １６
狓２ 狔２
推广到一般的双曲线 － ＝１．
犪２ 犫２
狓２ 狔２
２１已知双曲线 － ＝１ （犪＞０，犫＞０）的左、右焦点分别为犉，犉，过犉
犪２ 犫２ １ ２ １
的直线与双曲线的左支相交于犃，犅两点，如果｜犃犉｜＋｜犅犉｜＝２｜犃犅｜，
２ ２
求｜犃犅｜．
２２已知抛物线狔２＝４狓的弦犃犅经过它的焦点犉，弦犃犅的长为２０，求直线
犃犅的方程．
狓２ 狔２
２３设椭圆的方程为 ＋ ＝１ （犪＞犫＞０），斜率为１的直线不经过坐标原点
犪２ 犫２
犗，而且与椭圆相交于犃，犅两点，犕为线段犃犅的中点．直线犃犅与犗犕能否垂
直？证明你的结论．
２槡５ ２槡５
２４设犃，犅分别是直线狔＝ 狓和狔＝－ 狓上的动点，且｜犃犅｜＝２槡５，
５ ５
→ → →
设犗为坐标原点，动点犘满足犗犘＝犗犃＋犗犅，求动点犘的轨迹方程．
２５已知椭圆的中心是坐标原点犗，它的短轴长为２槡２，一个焦点犉的坐标为
（ ）
１０
（犮，０）（犮＞０），点犕的坐标为 －犮，０ ，且｜犗犉｜＝２｜犉犕｜．
犮
（１）求椭圆的方程及离心率；
（２）如果过点犕的直线与椭圆相交于点犘，犙两点，且犗犘⊥犗犙，求直线犘犙
的方程．
犆组
１已知点犃（１，４），犅（３，１），直线犾：狔＝犪狓＋２与线段犃犅有交点，求犾的
斜率的取值范围．
２直线犾经过已知点犘（２，－３），且被两条已知直线３狓＋狔－２＝０，狓＋５狔＋
１０＝０截得的线段恰以犘为中点，求直线犾的方程．
３证明下述命题，并给出结论的几何解释：
（１）如果犃（狓，狔）关于直线犾：狔＝狓＋犫的对称点为犅，则犅的坐标为 （狔－
０ ０ ０
犫，狓＋犫）；
０
（２）如果犃（狓，狔）关于直线犾：狔＝－狓＋犫的对称点为犅，则犅的坐标为
０ ０
（－狔＋犫，－狓＋犫）．
０ ０
本章小结 １７９４已知犃（２，１）关于直线犾：３狓＋２狔＋５＝０的对称点为犅，求点犅的坐标．
５设圆犆满足条件：截狔轴所得的弦长为２；被狓轴分成两段的圆弧，其弧长
槡５
的比为３∶１；圆心到直线狓－２狔＝０的距离为 ．求圆犆的方程．
５
狓２ 狔２
６过椭圆 ＋ ＝１ （犪＞犫＞０）的中心作一条直线交椭圆于犘，犙两点，犉是
犪２ 犫２
椭圆的一个焦点，求△犘犉犙的周长的最小值．
１ ８０ 第二章 平面解析几何后 记
本套教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学教材实验研究组依据教育部
《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，经国家教材委员会专家委员会2019年审核
通过.
本套教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004
年版《普通高中课程标准实验教科书 数学（B版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的
教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集
体智慧.
我们衷心感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书 数学（B版）》的所有编写
人员，尤其是因为种种原因未能参加此次教材修订的专家、学者：丁尔陞、江守礼、房艮
孙、张润琦、高尚华、万庆炎、魏榕彬、邱万作、陈研、段发善、李冱岸、陈亦飞、刘长
明、郭鸿、王池富……
本套教科书在编写过程中，得到了《普通高中数学课程标准（2017年版）》制定组、
国家教材委员会专家委员会等的大力支持．借此机会，向所有制定组成员、专家委员会成
员以及其他为我们教材编写提供过帮助的专家表示衷心的感谢！
我们感谢所有对本套教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的同仁和社会
各界朋友：王跃飞、胡细宝、邵丽云、王晓声、曹付生、侯立伟、王中华、王光图、王秀
梅、卞文、邓艳强、田媛、史洪波、付一博、吕希、吕晶、朱明鲜、刘超、闫旭、池洪
清、阮征、孙国华、牟柏林、李刚、李广勤、李洪岩、何艳国、张伟、张羽、张明、张文
刚、张春青、张晶强、金永涛、郑继平、常丽艳、潘戈、薛达志、郑海军、赵争鸣、吴晖
湘、戴莉、金盈、舒凤杰、李祥广、胡文亮、王玉洁、杨长智、徐会吉、尹玉柱、尹燕
花……
本套教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作
者进行了联系，得到了他们的大力支持．对此，我们表示衷心的感谢！同时也向为本书提
供照片的单位表示感谢！
后记 01我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本套教科书的过程中提出宝贵意见．我
们将集思广益，不断修订，以使教科书日臻完善.
本书责任编辑：谢李杉；美术编辑：史越；插图绘制：郑海军.
联系方式
电话：010-58758997，010-58758866
电子邮箱：mathb@pep.com.cn，jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
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