文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷08·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A C C C A A C A D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 13． 14．3 15. ④⑤
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
【答案】(1) 证明见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】(1) 证明： 分别是 的中点
，
又 平面 ， 平面
平面
(2) 如图，连接 ，
， 是 的中点，同理
又
，又
平面
(3) 由 (2) 可知， 为三棱锥 的高，且 ，
.
17．（14分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解析】（1）若选①，则 ， .
因 ，则 ， .此时， ；
若选②，则 ，则 ，此时 .
（2）现列相应表格如下：
2 0 0
则对应五点为 .
将其画在同一坐标系下，再用光滑曲线相连可得图象如下：的单调递增区间为： .
（3）将 图象向左平移 个单位即可.
18．（13分）
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为图中所有矩形面积之和为1，
所以 ，
解得 .
（2）由图象可知，月人均用水量低于2立方米的居民占比为
，
月人均用水量低于 立方米的居民占比为
，
根据 分位数的含义可知， ，
且 ，解得 .
（3）由图象可知， 内的频率为 ， 内的频率为 ， 内的频
率为 ，
所以，根据分层抽样知，应从 中抽3户，记作 ， 中抽2户，记作 ， 中抽1
户，记作 .
则从这6户中抽取2户有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，共包含 个等可能的样本点，
满足发言的2户来自不同组的有 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 共包含 个样本点，
根据古典概型可知，发言的2户来自不同组的概率 .
19．（15分）
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得 ， ，故椭圆的方程为
（2）1、若直线 垂直 轴，根据椭圆简单的几何性质可知A，B两点的坐标，如 则 ，
， ， ， ，
又∵ ，求得
，
∴
2、若直线 不垂直 轴，则设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，消 可得
，设 ，则
由 可得 ，∴ ，
由 同理可得∴
20．（15分）
【答案】（1） ， .（2） .（3） .
【解析】（1）设切点为 ， ，则切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，因为切线过 ，
所以 ，
化简得 ，解得 .
当 时，切线方程为 ，
当 时，切线方程为 .
（2）由题意，对任意 有 恒成立，
①当 时， ，
令 ，则 ，令 得 ，
，故此时 .
②当 时，恒成立，故此时 .③当 时， ，
令 ，
，故此时 .综上： .
（3）因为 ，即 ，
由（2）知 ，
令 ，则
当 ，存在唯一的整数 使得 ，
等价于 存在唯一的整数 成立，
因为 最大， ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，
所以 .当 ，存在唯一的整数 使得 ，
等价于 存在唯一的整数 成立，
因为 最小，且 ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，
所以当 时，没有整数成立，所有 .
综上： .
21．（15分）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）若 ， ， ， ，
所以 是以3为首相，1为公差的等差数列，
，
即 ；
（2）若 ， ， ， ，
所以 ，
是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
所以 ，
前 项和；
（3）若 ， ， ， 满足 恒成立，
，
满足 恒成立，即 恒成立，
必有
即
即 ，解得 ；
下面证明其充分性：
当 时，
先用数学归纳法证明：
由题： ， ， ， ，
当 时， ，命题成立；
假设当 时，命题成立，
即 ，则
则 ，
所以对于 ，都有所以 ，
，
当 时， ，
所以，当 时， 恒成立，
综上所述： 的取值范围 .
