文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷08
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 ，且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5． 的展开式中 的系数是（ ）
A．25 B．20 C．35 D．30
6． 是抛物线 上一点，若点 到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每
类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角
形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜
幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这
段文字写成公式，即 ， 现在有周长为 的 满足，则用以上给出的公式求得 的面积为（ ）
A． B． C． D．12
8．“向量 是直线 的一个方向向量”是“直线 倾斜角为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
9．刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，
而上有袤无广．”可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”如图，在刍甍
中，四边形 是边长为2的正方形， ， 到平面 的距离为3，则该刍甍的体
积可能是（ ）
A． B．4 C． D．3
10．已知正数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 ，则 .
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若O为坐标原点，点P为
双曲线上一点，且P在第一象限， ，则 ．
13．已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p为假命题的一组 的值为
， ．14．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，且 是 和 的等比中
项，则 ， .
15．下列说法中，正确的有 ．（写出所有正确说法的序号）
①已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ．
②已知等比数列 的前 项和为 ，则 、 、 也构成等比数列．
③已知函数 （其中 且 ）在 上单调递减，且关于 的方程
恰有两个不相等的实数解，则 ．
④已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
⑤在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 则 的取值范
围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ， 分别是
的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）求证: 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
17．（14分）已知函数 ，从下列两个条件：
① 图象的一条对称轴为 ；
② 中任选一个作为已知，并解决下列问题
(1)求出函数 的解析式：
(2)用五点法作 在一个周期内的图象，并直接写出函数 的单调递增区间；
(3)直接写出由 的图象经过怎样的图象变换得到 的图象．
（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分）
18．（13分）某市政府为了节约生活用水，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定每户月
人均用水量标准M（单位：立方米），月人均用水量不超过M的部分按平价收费，超出M的部分按议价
收费．现随机抽取200户进行调查，抽取的用户月人均用水量的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)如果希望 的用户月人均用水量不超过标准M，那么标准M定为多少比较合理？
(3)若从月人均用水量在 ， ， 三组的用户中采用按比例分层抽样的方法选取6户参加节
水座谈会，再从6户中随机地抽2户发言，求发言的2户来自不同组的概率．19．（15分）已知椭圆 过点 ，且右焦点为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P. 若 ， ，求 的值.
20．（15分）已知函数 ， ，其中 .
（1）求过点 和函数 的图像相切的直线方程；
（2）若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围；
（3）若存在唯一的整数 ，使得 ，求 的取值范围.
21．（15分）已知数列 ，满足 ；
（1）若 ， ， ，求 的通项公式；
（2）若 ， ， ，求 的前 项和为 ；
（3）若 ， ， 满足 恒成立，求 的取值范围；
