文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）
黄金卷08·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C A D A D A B B C
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
10．-1 11．-6 12． 13． /0.25 14. 15.
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（14分）
(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出 ；
（2）由三角形面积公式得出 ，再由余弦定理得出 ，进而得出a，c的值；
（3）计算 ，再由差角公式求解即可.
【详解】（1） ， ，
又 ， .（2） ，又 ，
， ①
，即 ②
又 ， 由①②可得 ，
（3） ，
，
.
17．（15分）
(1)证明见解析
(2)
(3)1
【分析】(1) 连接 交 于点 ,连接 ,根据中位线即可证明 ,再利用线面平行判定定理即可
证明;
(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及 ,再用等体积法即可求得;
(3)建立合适空间直角坐标系,设出 长度,找到平面 及平面 的法向量,建立等式,求出
长度之间的关系即可证明.
【详解】（1）证明:连接 交 于点 ,连接 如图所示:因为三棱柱 ,
所以四边形 为平行四边形,
所以 为 中点,
因为 是 中点,
所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ;
（2）由题知,因为正三棱柱 ,
所以 平面 ,
且 为正三角形,
因为 , ,
所以 , , ,
所以 为直角三角形,
,
,
记点 到平面 的距离为 ,则有 ,
即 ,
即 ,
解得 ,
故 到平面 的距离为 ;
（3）由题,取 中点为 ,可知 ,
所以 平面 ,
因为 为正三角形, 是 中点,
所以 ,
故以 为原点, 方向为 轴, 方向为 轴, 方向为 轴建立如图所示空间直角坐标系,
不妨记 ,
所以 ,
,
记平面 的法向量为 ,则有 ,
即 ,
取 ,可得 ;
记平面 的法向量为 ,
则有 ,
即 ,
取 ,可得 ;
因为二面角 的正弦值为 ,
所以
,
解得: ,即当 时,二面角 的正弦值为 .
18．（15分）
(1)
(2) 或
【分析】（1）根据离心率为 ， ，即可计算得出 ， ，求出椭圆标准方程；
（2）利用 的坐标可求出直线 方程，与椭圆方程联立即可解得点 和点 坐标，求出直线
方程可得 ，分别写出 和 的面积表达式，解方程即可得 .
【详解】（1）如下图所示：
由题可知 ，可得 ，即 ；
又离心率 ，所以 ，解得 ；
所以椭圆标准方程为 .
（2）由（1）可知 ，又所以直线 的斜率为 ，直线方程为 ；
同理可得直线 的斜率为 ，直线方程为 ；
联立直线 与椭圆方程 ，消去 整理可得 ；
设直线 分别交椭圆 于点 和点 ，
易知 ，即可得 ；
同理直线 与椭圆方程 ，消去 整理可得 ；
即得 ，即可得 ；
可得
；
所以直线 的方程为 ，即 ，
即直线 与 轴的交点为定点 ,所以 ；
此时 的面积为 ；
的面积为 ；又 的面积为 的面积的2倍，即 ，可得 ；
解得 ，所以t的值为 或 .
19．（15分）
(1) ，
(2)
(3)2
【分析】（1）根据 与 的关系证明 为等比数列，根据等差数列性质求 的首项及公差，再利用
等比数列和等差数列通项公式求 ， 的通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可；
（3）由（1）求 ，由条件可得 ，判断数列 的单调性求其最值，由此可得
，结合基本不等式求 的最大值.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 为首项为 ，公比为3的等比数列，所以 .
设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ， ，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
则 ，
令 为 的前 项和，
则
即 .
（3）因为 ， ，
，
所以 ，
故 恒成立 ，
设 ，当 时， ；
当 时， ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 恒成立，
即 恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，故 的最大值为2.
20．（16分）
(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）参变分离利用导数求函数的单调性与最值即可
（3）结合（2）的结论先推出 ，再令 ，化简得
，利用累加法计算即可.
【详解】（1）当 时， ， ，且 的定义域为 ，
所以 ，
曲线 在点 处切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ；（2）当 时，使 等价于 ，
令 ，所以 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以 在 上 ，使 ，
即 ， ， ， ； ， ， ；
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以使 恒成立的最大偶数为 ；
（3）由（2）知当 时， 恒成立，
得 ，即 ，
令 ，
所以 ，
即当 时， ，
当 时， ，
……
当 时， ，
相加整理得，
所以 ．
【点睛】本题第二问在于参变分离构造函数，结合隐零点求恒成立问题即可，第三问在于利用上面结论得
出 ，再令 ，累加即可得证.
