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期末测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 下列各点中，在第四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限点坐标的特征，根据第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0即可求解．
【详解】解：A． 在第三象限，故此选项不符合题意；
B． 在第二象限，故此选项不符合题意；
C． 在第一象限，故此选项不符合题意；
D． 在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 下列四个数 ， ， ， ，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是无理数的概念，无理数即无限不循环小数，它的表现形式为：开方开不尽的数，与
有关的数，无限不循环小数．根据无理数的定义，即可得出符合题意的选项．
【详解】解： 都是有理数， 是无理数，
故选：B．
3. 下列调查中，最适合采用全面调查 普查 方式的是
A. 对市辖区水质情况的调查 B. 对电视台“商城聚焦”栏目收视率的调查
C. 对某小区每天丢弃塑料袋数量的调查 D. 对你校某班学生最喜爱的运动项目的调查【答案】D
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似．
【详解】解：A、对市辖区水质情况的调查适合抽样调查，错误；
B、对电视台“商城聚焦”栏目收视率的调查适合抽样调查，工作量大，不易普查，错误；
C、对某小区每天丢弃塑料袋数量的调查适合抽样调查，工作量大，不易普查，错误；
D、对你校某班学生最喜爱的运动项目的调查适合全面调查，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查 的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特
征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调
查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4. 把方程 改写成用含 的代数式表示 的形式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要用x的代数式表示y，先移项，再将系数化为1即可．
【详解】解： ，
移项得： ，
系数化为1，得： ，
故选：A
【点睛】本题考查了解二元一次方程的知识，解本题的关键是把方程中含有x的项移到等号右边，再把y
的系数化为1．
5. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同位角相等 B. 邻补角一定互补
C. 相等的角是对顶角 D. 有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用平行线的性质、对顶角的性质、邻补角的定义，垂线的性质
逐项判断解题．
【详解】解：A. 两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B. 邻补角一定互补，是真命题；
C. 相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题；
故选：B．
6. 若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和灵活运用不等式的性质是解题的关键；根据不等式的基本
性质进行判断，即可求解．
【详解】解：A. ∵ ，∴ ，故该选项错误；
B. ，若 ，则 ，故该选项错误；
C. ∵ ，∴ ，故该选项正确；
D. ∵ ，∴ ，故该选项错误；
故选：C．
7. 绝对值小于 的整数有（ ）
A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 9个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，绝对值．熟练掌握无理数的估算，绝对值是解题的关键．
由题意可得 ，则绝对值小于 的整数有 ， ， ， ，0，1，2，3，4共9个，然后作
答即可．
【详解】解：由题意知， ，∴ ，
∴绝对值小于 的整数有 ， ， ， ，0，1，2，3，4共9个，
故选：D．
8. 把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，
为了不造成浪费，不同的截法有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，根据题意列出方程，然后找到方程的整数解即
可．
【详解】解：设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，
依题意，得：2x+y＝7，
∴y＝7﹣2x．
∵x，y均为正整数，
∴当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝1，
∴共有3种不同的截法，截法1：截成1根2m长的钢管和5根1m长的钢管；截法2：截成2根2m长的钢
管和3根1m长的钢管；截法3：截成3根2m长的钢管和1根1m长的钢管，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程，掌握二元一次方程的解是关键．
9. 下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根的定义及绝对值
的意义逐项分析即可．
【详解】解：A、 ，正确，本选项不符合题意；
B、 ，正确，本选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，本选项符合题意；D、 ，正确，本选项不符合题意；
故选：C．
10. 如图， ， 平分 交 于点 ， ， ， ， 分别是
， 延长线上的点， 和 的平分线交于点 ．下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. 平分 D. 为定值
【答案】B
【解析】
【分析】证明 ，得 ，故 正确；证 ，得 平分 ，故 正
确，利用三角形的外角性质及角平分线定义得 ，进而得 ，故 正确；
，若 ，则 ，与事实不相符，故 错
误．
【详解】解：如图，
∵ ， ，∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，故 正确，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故 正确．
∵ ，
若 ，
∴ ，与事实不相符，故 错误；
故选∶ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质及
角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于 是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 16的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．根据平方根的定义进行解答即
可．
【详解】解：16的平方根是 ，
故答案为： ．
12. 一个班有40名学生，在期末体育考核中，成绩为优秀的有18人，在扇形统计图中，代表体育成绩优
秀的扇形圆心角的度数是_________．
【答案】162
【解析】
【分析】先求出体育优秀的占总体的百分比，再乘以360°即可．
【详解】在扇形统计图中，代表体育优秀扇形的圆心角是360 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对
应的扇形圆心角的度数与360°比．
13. 如图，已知 ，则 的度数为__________．
【答案】30°
【解析】
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠ABC，
∠CDE＋∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝70°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得
到结论．
【详解】过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE（平行公理的推论），
∴∠BCF＝∠ABC＝70°，∠DCF＝180°−∠CDE＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF−∠DCF＝70°−40°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同们角相等 两直线
平行，②内错角相等 两直线平行，③同旁内角互补 两直线平行． ⇔
14. 某校组织开展了“⇔吸烟有害健康”的知识竞赛，共⇔有20道题，答对一题加10分，答错（或不答）一
道题扣5分，如果小明参加本次竞赛得分要不低于140分，那么他至少答对________道题 ．
【答案】16
【解析】
【分析】设小明应答对x道题，则答错（或不答）（20-x）道题，根据总分=10×答对题目数-5×答错（或不
答）题目数结合得分要不低于140分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】解：设小明应答对x道题，则答错（或不答）（20-x）道题，
依题意，得：10x-5（20-x）≥140，
解得：x≥16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．
15. 已知 是方程 的一组解，那么 ______．
【答案】5：1
【解析】
【分析】将x、y的值代入方程组，整理得出 ，利用加减消元法求解得出a、b的值，据此
可得答案．详解】解：根据题意，得： ，
【
整理，得： ，
②-①，得：2b=-2，
解得b=-1，
将b=-1代入①，得：a+3=-2，
解得a=-5，
∴a：b=-5：（-1）=5：1，
故答案为：5：1．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，当遇到有关二元一次方程组的解的问题
时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键．利用加减消元
法求解即可．
【详解】解：
，得 ，
解得 ，
将 代入②得 ，
解得 ，∴方程组的解为 ．
17. 解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式组解集，并在数轴上表示出不等式组的解集．正确的解出每一个不等式，确定
不等式组的解集，是解题的关键．分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解
集，在数轴上将解集表示出来即可．
【详解】解：
由①得 ，
由②得 ，
∴不等式组的解集为 ，
不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
18. 如图是广州市某区部分区域简图，图中每个小正方形的边长代表100米长，为了确定各标志物的位置，
请解答一下问题：
（1）以文化宫为原点建立平面直角坐标系，并写出市场、超市的坐标；
（2）在（1）中，小明从医院出发，沿A（500，﹣300），B（500，200），C（100，200）的路线走了一
段路，问：他经过了哪些标志物，走了多少米？离C最近的标志物是哪一个？【答案】（1）市场的坐标为 （700，200），超市的坐标为 （500，﹣400）；（2）小明从医院出发沿
A，B，C 的路线经过宾馆，共走了1300米，离C最近的标志物是体育场
【解析】
【分析】（1）以文化宫为原点，标出x轴，y轴，坐标原点O，即可看出市场、超市的坐标；
（2）在图上标出A，B，C点的位置，即可知道他经过了宾馆，根据路线求出路程即可，离 C 最近的标
志物是体育场．
【详解】（1）以文化宫为原点，建立平面直角坐标系如图所示：
的
由图可知市场 坐标为 （700，200），超市的坐标为 （500，﹣400）；
（2）在平面直角坐标系中将 A（500，﹣300），B（500，200），C（100，200），标出如图所示：
由图可知，小明从医院出发沿 A，B，C 的路线经过宾馆，
共走了 4×100+5×100+4×100＝1300 （米），
由图可知离 C 最近的标志物是体育场．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，坐标确定位置，点的坐标的表示方法，正确建立平面直角坐标系是
解题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 某校1200名学生参加了一场“安全知识”问答竞赛活动，为了解笔试情况，随机抽查了部分学生的得分情况，整理并制作了如图所示的图表（部分未完成），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
分数段 频数 频率
30 0.1
90
0.4
60 0.2
（Ⅰ）本次调查的样本容量为______；
（Ⅱ）在表中， ______， ______；
（Ⅲ）补全频数分布直方图；
（Ⅳ）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，本次竞赛中笔试成绩为优秀的大约有多少名学生？
【答案】（Ⅰ）300；（Ⅱ）m=120，n=0.3；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）720人
【解析】
【分析】（Ⅰ）用第一组的频数除以频率即可求出样本容量；
（Ⅱ）用样本容量乘以第三组的频率，用第二组的频数除以样本容量即可求出答案；
（Ⅲ）根据m的值即可把直方图补充完整；
（Ⅳ）用总人数乘以后两组数的频率之和即可得出答案．
【详解】解：（Ⅰ）本次调查的样本容量为30÷0.1=300，
故答案为：300；
（Ⅱ）m=300×0.4=120、n=90÷300=0.3，
故答案为：120、0.3；
（Ⅲ）补全直方图如下：（Ⅳ）本次竞赛中笔试成绩为优秀的学生大约有1200×（0.4+0.2）=720人．
【点睛】本题考查了频率分布直方图、频率分布表，关键是读懂频数分布直方图和统计表，能获取有关信
息，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20. 如图， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 于点C， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线 的性质与判定，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据 可得 ，结合已知条件，进而可得 ，根据平行线的判定定理
即可得证；
（2）根据（1）的结论，结合垂直的定义即可求得 的度数．
【
小问1详解】
证明：∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，
，
由（1）可知 ，
．
21. 学校要购买 ， 两种型号的足球，若买2个 型足球和3个 型足球，则要花费600元，若买1个
型足球和4个 型足球，则要花费550元．
（1）求 ， 两种型号足球的销售单价各是多少元？
（2）学校拟购买 ， 两种型号的足球共20个，某体育用品商店有两种优惠活动：活动一，一律打九折；
活动二，购物不超过1500元不优惠，超过1500元的超出部分打七折．通过计算说明 型号足球最多购买
几个时，选择活动一更划算．
【答案】（1） ， 两种型号足球的销售单价各是150元/个，100元/个；（2） 型号足球最多购买4个
时，选择活动一更划算．
【解析】
【分析】(1)设A型足球的销售价格为x元/个，B型足球的销售单价为y元/个，根据“若买2个A型足球和
3个B型足球，则要花费600元，若买1个A型足球和4个B型足球，则要花费550元”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买总金额为m（m＞1500）元，求出当两种优惠活动所需费用相同时m的值，设该校购买A型足球
a个，则购买B型足球（20-a）个，分总价小于m，解之即可得出结论．
【详解】解：(1)设A型足球的销售价格为x元/个，B型足球的销售单价为y元/个，
依题意，得： ，解得： ．
答：A型足球的销售价格为150元/个，B型足球的销售单价为100元/个．
(2)设购买总金额为m（m＞1500）元，
若两种优惠方案所需费用相同，则0.9m＝1500+0.7（m﹣1500），
解得：m＝2250．
设该校购买A型足球a个，则购买B型足球（20﹣a）个，
当优惠活动一所需费用较少时，150a+100（20﹣a）＜2250，
解得：a＜5；此时a的最大整数值是4
答： 型号足球最多购买4个时，选择活动一更划算．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元
一次方程）．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 关于 ， 的方程组 （ 为常数）．
（1）求使得 成立的 的取值范围．
（2）求 的值；
（3）若 ，是否存在正整数 ，满足 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）当 时， ；当 时，
【解析】
【分析】（1）根据加减消元法解方程组，再根据 得到关于 的不等式，解不等式求得 的取值范围；
（2）把方程组的解代入计算可求 的值；
（3）由 ，可求 的取值范围，再根据 可得 ，即可求出 的值．
【详解】解：（1） ，① ②得 ，解得 ，
② ①得 ，解得 ，
故方程组的解为 ，
．
，解得 ．
故 的取值范围是 ；
（2） ，
（3）由 得 ，解得 ，
，
当 时， ；
当 时， ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，解二元一次方程组的方法有代入法和加减消
元法，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解
集进行判断，求得另一个字母的值．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是 ， ．其中a，b满足
，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段 上的动点M从点B
以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段 上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接 ， ， ，设运动时间为t（ ）．问：
（1）求点C的坐标．
（2）点M，点N在同时运动过程中， 和 的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个
比值，若会改变，请说明理由．
（3）是否存在某个时间t，使得四边形 的面积小于四边形 面积的一半？若存在，求出t的
取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）C（﹣16，6）；
（2） 和 的面积比不会改变，始终等于 ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质构建方程组求出a，b的值即可解决问题．
（2）分别求出 和 的面积即可解决问题．
（3）根据四边形 的面积小于四边形 面积的一半，构建不等式解决问题即可．
【小问1详解】
，
且 ，
，解得 ，
，
∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C，．
【小问2详解】
，
∴点 M，N 始终在 ， 上运动，
当运动时间为 t 时， ， ，
则 ，
，
由图可知： ，
，
和 的面积比不会改变，始终等于 ．
【小问3详解】
由图可知， ，
，
，
，
．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关
键是学会利用参数，构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
