文档内容
[A 基础达标]
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB等于( )
A.AB B.BC
C.CD D.DA
解析：选A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB＝
AC＋CB＝AB.故选A.
2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则OA＋BC
＋AB＋DO＝( )
A.CD B.DC
C.DA D.DO
解析：选B.OA＋BC＋AB＋DO＝DO＋OA＋AB＋BC＝DA＋AB＋BC＝DB＋BC＝DC.
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km ”，则向量a＋b表
示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
解析：选B.如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2
km，故选B.
4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
解析：选B.由正六边形知FE＝BC，
所以AB＋FE＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD，
所以|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2.故选B.
5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
解析：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b
与a同向，也与b同向．
6．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝________．
解析：原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＋BC＝AO＋OB＋BC＝AB＋BC＝AC.
答案：AC
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，则|BC＋CD|＝________．
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为|AB|＝1，所以|BD|＝1，
所以|BC＋CD|＝|BD|＝1.
答案：1
8．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，给出下列
结论：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.
其中正确的是________．
解析：因为在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，所以a为零向量，因
为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，
②④错误．
答案：①③
9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状：
(1)AD＝BC；
(2)AB＝DC且|AB|＝|AD|.
解：(1)因为AD＝BC，所以AD∥BC，AD＝BC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
(2)因为AB＝DC且|AB|＝|AD|，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即
四边形ABCD是菱形．
10．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解：如图，因为|OA|＝|OB|＝3，
所以四边形OACB为菱形，
连接OC，AB，则OC⊥AB，
设垂足为D.
因为∠AOB＝60°，
所以AB＝|OA|＝3.
所以在Rt△BDC中，CD＝.所以|OC|＝|a＋b|＝×2＝3.
[B 能力提升]
11．已知有向线段AB，CD不平行，则( )
A．|AB＋CD|>|AB|
B．|AB＋CD|≥|CD|
C．|AB＋CD|≥|AB|＋|CD|
D．|AB＋CD|<|AB|＋|CD|
解析：选D.由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，b共
线的时候取到，所以本题中，|AB＋CD|<|AB|＋|CD|.
12．若P为△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，则∠ACB＝______.
解析：因为PA＋PB＝PC，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
所以|PA|＝|PB|＝|PC|.
因此∠ACB＝120°.
答案：120°
13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是________．
①|AB＋AC|＝|BC|；
②|AB＋CA|＝|BC|；
③|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
解析：①正确．以AB，AC为邻边作 ▱ABDC，又∠A＝90°，
所以 ▱ABDC为矩形，所以AD＝BC，
所以|AB＋AC|＝|AD|＝|BC|.
②正确．|AB＋CA|＝|CB|＝|BC|.
③正确．由勾股定理知|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
答案：①②③
14．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b＋c＋
d.(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B 时，O，A，B 三点共线，
1 1
|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.
[C 拓展探究]
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线
的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
解：如图，作 ▱OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量OA，OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表示物体所受的
重力，且|OC|＝300 N.
所以|OA|＝|OC|cos 30°＝150 (N)，
|OB|＝|OC|cos 60°＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
