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[A 基础达标]
1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.
2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－
2≠0，所以a＝0.
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
解析：选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的
充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.
5．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若z＋z＝0，则z＝z＝0；
1 2
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数
的平方与实数的平方等同，如若z ＝1，z ＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z≠z≠0，故②错误；
1 2 1 2
在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．
解析：由复数相等可知所以
答案： 1
7．复数z ＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z ＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z ＝z ，则m＝
1 2 1 2
________.
解析：因为m∈R，z ＝z ，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的
1 2充要条件得
解得m＝5.
答案：5
8．设z＝log (1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是________．
2
解析：因为z为虚数，所以log(3－m)≠0，
故解得－10，不符合题意，舍去；
当m＝－2时，z＝－1<0，符合题意．
故m的值为－2.
答案：－2
14．已知集合 M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合 N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且
M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值．
解：若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，b
＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意，舍去；
当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}．符合题意．
所以a＝－3，b＝2.
若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i，
即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2.
当a＝－3，b＝－2时，不合题意，舍去；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意．
所以a＝3，b＝－2.
若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，则即此方程组无整数解．
综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.
[C 拓展探究]
15．已知复数z ＝－a2＋2a＋ai，z ＝2xy＋(x－y)i，其中a，x，y∈R，且z ＝z ，求3x
1 2 1 2
＋y的取值范围．
解：由复数相等的充要条件，得，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝
2.
法一：令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.
分析知圆心(1，－1)到直线3x＋y－t＝0的距离d＝≤，
解得2－2≤t≤2＋2，
即3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]．
法二：令
得(α∈R)
所以3x＋y＝sin α＋3cos α＋2＝2sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x＋y的取值范围
是[2－2，2＋2 ]．
