文档内容
7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
考点 学习目标 核心素养
掌握复数代数形式的加法、减法运
复数加法、减法的运算 数学运算
算法则
理解复数代数形式的加法、减法运
复数加法的几何意义 直观想象
算的几何意义
问题导学
预习教材P75－P77的内容，思考以下问题：
1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？
2．复数的加、减法的几何意义是什么？
1．复数加、减法的运算法则及加法运算律
(1)加、减法的运算法则
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z＋z＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d ) i ，
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z－z＝ ( a － c ) ＋ ( b － d ) i ．
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(2)加法运算律
对任意z，z，z∈C，有
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①交换律：z＋z＝z ＋ z．
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②结合律：(z＋z)＋z＝z＋(z＋z)．
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■名师点拨
两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．对于复数的加法
可以推广到多个复数相加的情形．
2．复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向
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量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ ZZ 为平行四边形，则与z＋z 对应的
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向量是OZ，与z－z 对应的向量是Z2Z1.
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数．( )
(2)若复数z，z 满足z－z＞0，则z＞z.( )
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(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( )
(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．( )(5)复数的减法不满足结合律，即(z－z)－z＝z－(z＋z)可能不成立．( )
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答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
(6－2i)－(3i＋1)＝( )
A．3－3i B．5－5i
C．7＋i D．5＋5i
答案：B
若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
答案：B
已知i为虚数单位，设复数z满足z＋i＝3，则|z|＝( )
A．3 B．4
C． D．10
答案：C
复数的加、减法运算
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)设z＝x＋2i，z＝3－yi(x，y∈R)，且z＋z＝5－6i，求z－z.
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【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)因为z＝x＋2i，z＝3－yi，z＋z＝5－6i，
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所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以所以z－z＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
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解决复数加、减运算的思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加
法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)
时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的
点为(9，1)，在第一象限．
复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别
为0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求AO表示的复数；
(2)求CA表示的复数．
【解】 (1)因为AO＝－OA，
所以AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.
(2)因为CA＝OA－OC，
所以CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
1．[变问法]若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解：因为OB＝OA＋OC，所以OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所
对应的复数为1＋6i.
2．[变问法]若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，
则OM＝OB，由互动探究1中知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M对
应的复数为＋3i.
复数加、减法几何意义的应用技巧
(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．
(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
1．在复平面内，AB，AC对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC对应的复数为(
)
A．－1－5i B．－1＋5i
C．3－4i D．3＋4i
解析：选A.因为BC＝AC－AB，所以BC对应的复数为－2－3i－(－1＋2i)＝－1－5i.
2．在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求AB，AC，BC对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
所以OA，OB，OC对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
所以OA＝(1，0)，OB＝(2，1)，OC＝(－1，2)．
所以AB＝OB－OA＝(1，1)，
AC＝OC－OA＝(－2，2)，
BC＝OC－OB ＝(－3，1)．
即AB对应的复数为1＋i，AC对应的复数为－2＋2i，BC对应的复数为－3＋i.(2)因为|AB|＝＝，|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
因为|AB|2＋|AC|2＝10＝|BC|2.
且|AB|≠|AC|，
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为( )
A．5－3i B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
解析：选C.(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.
2．已知复数z ＝(a2－2)－3ai，z ＝a＋(a2＋2)i，若z ＋z 是纯虚数，则实数a的值为
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____________．
解析：由z＋z＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得⇒a＝－2.
1 2
答案：－2
3．已知复数z＝－2＋i，z＝－1＋2i.
1 2
(1)求z－z；
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(2)在复平面内作出复数z－z 所对应的向量．
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解：(1)由复数减法的运算法则得z－z＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.
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(2)在复平面内作复数z－z 所对应的向量，如图中OZ.
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[A 基础达标]
1．已知复数z＝1＋3i，z＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z－z 对应的点在( )
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A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z＝1＋3i，z＝3＋i，所以z－z＝－2＋2i，
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故z－z 在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．
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2．若z＝2＋i，z＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z＋z 所对应的点在实轴上，则a的值
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为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D.z＋z＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为在复平面内z＋z 所
1 2 1 2对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四
边形的对角线AC的长度为( )
A. B．5
C．2 D．10
解析：选B.依题意，AC对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度
为|－3－4i|＝5.
4．复数z ＝a＋4i，z ＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z ＋z 为实数，差z －z 为纯虚
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数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A.因为z＋z＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
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所以4＋b＝0，b＝－4.因为z－z＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，
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所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
5．设f(z)＝|z|，z＝3＋4i，z＝－2－i，则f(z－z)＝( )
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A. B．5
C. D．5
解析：选D.因为z－z＝5＋5i，
1 2
所以f(z－z)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
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6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．
解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.
答案：4－3i
7．已知复数z ＝2＋ai，z ＝a＋i(a∈R)，且复数z －z 在复平面内对应的点位于第二
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象限，则a的取值范围是____________．
解析：因为复数z－z＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象
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限，所以
解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
8．若复数z ＝1＋3i，z ＝－2＋ai，且z ＋z ＝b＋8i，z －z ＝－3＋ci，则实数a＝
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________，b＝________，c＝________．
解析：z ＋z ＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z －z ＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3
1 2 2 1
＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得
答案：5 －1 2
9．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 016＋2 017i)＋(2 017－2 018i)．解：(1)法一：原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)
＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.
法二：原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1.
(2)法一：原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 015－2 016)＋2 017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)
＋…＋(－2 016＋2 017)－2 018]i
＝(－1 008＋2 017)＋(1 008－2 018)i＝1 009－1 010i.
法二：因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2 015－2
016i)＋(－2 016＋2 017i)
＝－1＋i，所以原式＝(－1＋i)×1 008＋2 017－2 018i＝1 009－1 010i.
10．已知复数z＝1＋ai，z＝2a－3i，z＝a2＋i(a∈R)．
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(1)当a为何值时，复数z－z＋z 是实数？
1 2 3
(2)当a为何值时，复数z－z＋z 是纯虚数？
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解：由题意，知z－z＋z＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.
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(1)若复数z－z＋z 是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.
1 2 3
(2)若复数z－z＋z 是纯虚数，则，即a＝1.
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[B 能力提升]
11．已知复数z＝cos θ＋i，z＝sin θ－i，则|z－z|的最大值为( )
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A. B.
C．6 D.
解析：选D.由题意，得|z－z|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝≤ ，故|z－z|的最大值为.
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12．若复数z满足条件|z－(2－2i)|＝1，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为
________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－(2－2i)|＝|x＋yi－2＋2i|＝|(x－2)＋(y＋2)i|＝1，所
以(x－2)2＋(y＋2)2＝1.所以在复平面内z对应的点在一个圆上．
答案：圆
13．已知复数z ＝－1＋2i，z ＝1－i，z ＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为
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A，B，C，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由题意得OC＝(3，－4)，OA＝(－1，2)，OB＝(1，－1)．由OC＝λOA＋μOB，
得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以
解得所以λ＋μ＝1.
答案：1
14．已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量BA对应的复
数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，所以向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又因为OC＝OA＋AC，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为AD＝BC，
所以向量AD对应的复数为3－i，
即AD＝(3，－1)．
设D(x，y)，
则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为BA·BC＝|BA||BC|cos B，
所以cos B＝＝＝＝.
因为0
