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[A 基础达标]
1．已知复数z＝1＋3i，z＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z－z 对应的点在( )
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A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z＝1＋3i，z＝3＋i，所以z－z＝－2＋2i，
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故z－z 在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．
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2．若z＝2＋i，z＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z＋z 所对应的点在实轴上，则a的值
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为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D.z＋z＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为在复平面内z＋z 所
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对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四
边形的对角线AC的长度为( )
A. B．5
C．2 D．10
解析：选B.依题意，AC对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度
为|－3－4i|＝5.
4．复数z ＝a＋4i，z ＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z ＋z 为实数，差z －z 为纯虚
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数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A.因为z＋z＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
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所以4＋b＝0，b＝－4.因为z－z＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，
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所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
5．设f(z)＝|z|，z＝3＋4i，z＝－2－i，则f(z－z)＝( )
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A. B．5
C. D．5
解析：选D.因为z－z＝5＋5i，
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所以f(z－z)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
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6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．
解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.
答案：4－3i
7．已知复数z ＝2＋ai，z ＝a＋i(a∈R)，且复数z －z 在复平面内对应的点位于第二
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象限，则a的取值范围是____________．解析：因为复数z－z＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象
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限，所以
解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
8．若复数z ＝1＋3i，z ＝－2＋ai，且z ＋z ＝b＋8i，z －z ＝－3＋ci，则实数a＝
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________，b＝________，c＝________．
解析：z ＋z ＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z －z ＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3
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＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得
答案：5 －1 2
9．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 016＋2 017i)＋(2 017－2 018i)．
解：(1)法一：原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)
＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.
法二：原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1.
(2)法一：原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 015－2 016)＋2 017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)
＋…＋(－2 016＋2 017)－2 018]i
＝(－1 008＋2 017)＋(1 008－2 018)i＝1 009－1 010i.
法二：因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2 015－2
016i)＋(－2 016＋2 017i)
＝－1＋i，所以原式＝(－1＋i)×1 008＋2 017－2 018i＝1 009－1 010i.
10．已知复数z＝1＋ai，z＝2a－3i，z＝a2＋i(a∈R)．
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(1)当a为何值时，复数z－z＋z 是实数？
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(2)当a为何值时，复数z－z＋z 是纯虚数？
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解：由题意，知z－z＋z＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.
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(1)若复数z－z＋z 是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.
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(2)若复数z－z＋z 是纯虚数，则，即a＝1.
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[B 能力提升]
11．已知复数z＝cos θ＋i，z＝sin θ－i，则|z－z|的最大值为( )
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A. B.
C．6 D.
解析：选D.由题意，得|z－z|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝≤ ，故|z－z|的最大值为.
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12．若复数z满足条件|z－(2－2i)|＝1，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为
________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－(2－2i)|＝|x＋yi－2＋2i|＝|(x－2)＋(y＋2)i|＝1，所
以(x－2)2＋(y＋2)2＝1.所以在复平面内z对应的点在一个圆上．答案：圆
13．已知复数z ＝－1＋2i，z ＝1－i，z ＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为
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A，B，C，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由题意得OC＝(3，－4)，OA＝(－1，2)，OB＝(1，－1)．由OC＝λOA＋μOB，
得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以
解得所以λ＋μ＝1.
答案：1
14．已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量BA对应的复
数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，
所以向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又因为OC＝OA＋AC，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为AD＝BC，
所以向量AD对应的复数为3－i，
即AD＝(3，－1)．
设D(x，y)，
则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为BA·BC＝|BA||BC|cos B，
所以cos B＝＝＝＝.
因为0
