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章末复习提升课
抽样方法
一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，
某月的产量(单位：辆)如下表：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中A类轿车有10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，求舒适型、标准型
的轿车应分别抽取多少辆？
【解】 (1)设该厂本月生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2 000，则z＝2 000－100
－300－150－450－600＝400.
(2)设所抽取的样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽
取一个容量为5的样本，所以由(1)知＝，解得m＝2，所以在C类轿车中抽取2辆舒适型轿
车，3辆标准型轿车．
与分层随机抽样有关问题的常见类型及解题策略
(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本
数)确定该层的样本(或总体)数．
(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．
1．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高
二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的
样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为______．
解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x人，由分层随机抽
样可得＝，解得x＝16.
答案：16
2．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，
为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年
职工为14人，则样本量为______．
解析：因为分层随机抽样的抽样比应相等，所以＝，样本量＝＝32.
答案：32
频率分布直方图的应用
下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：
cm)：
区间界限 [122，126) [126，130) [130，134) [134，138) [138，142)
人数 5 8 10 22 33
区间界限 [142，146) [146，150) [150，154) [154，158]
人数 20 11 6 5
(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比．
【解】 (1)列出样本频率分布表：
分组 频数 频率
[122，126) 5 0.04
[126，130) 8 0.07
[130，134) 10 0.08
[134，138) 22 0.18
[138，142) 33 0.28
[142，146) 20 0.17
[146，150) 11 0.09[150，154) 6 0.05
[154，158] 5 0.04
合计 120 1.00
(2)画出频率分布直方图，如图所示．
(3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为
＝≈0.19.
所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.
与频率分布直方图有关问题的常见类型
及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据
求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．
对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学
生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方
图，如图所示：
分组 频数 频率
[10，15) 10 0.25
[15，20) 24 n
[20，25) m p
[25，30] 2 0.05
合计 M 1
(1)求表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，
15)内的人数．
解：(1)由分组[10，15)的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，
解得M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，
得m＝4，p＝＝＝0.10.
因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，
所以a＝＝0.12.
(2)因为该校高三学生有240人，分组[10，15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生
参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为240×0.25＝60.
众数、中位数、平均数、方差与标准差的应用
某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若
干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：
甲 95 82 88 81 93 79 84 78
乙 83 75 80 80 90 85 92 95
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人
参加合适？请说明理由．
【解】 (1) x ＝(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，
甲
x ＝(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．
乙
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知x ＝x ＝85分，所以
甲 乙
s＝[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，
s＝[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为x ＝x ，s＜s，所以甲的成绩较稳定；
甲 乙
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成
绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头
等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．
用样本的数字特征估计总体的数字特征
应注意的问题
(1)众数、中位数、平均数的含义及求法．
(2)方差、标准差的计算．
(3)中位数用来描述分类变量的中心位置，众数体现了数据的最大集中点，平均数反映样本数据的总体水平．
(4)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数
据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小．
为了比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机抽取了该月中的5天，
将这5天中14时的气温数据(单位：℃)列表如下：
甲 26 28 31 29 31
乙 28 30 29 31 32
以下结论正确的是( )
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选B.法一：因为x ＝＝29，x ＝＝30，
甲 乙
所以x s 故可判断结论①④正确．
甲 乙．
法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月
14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.
1．(2019·河北省沧州市期末考试)某学校高一、高二年级共有1 800人，现按照分层随
机抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有42人，则该
校高一年级学生共有( )
A．420人 B．480人
C．840人 D．960人
解析：选C.由题意需要从1 800人中抽取90人，所以抽样比为＝.又样本中高一年级学
生有42人，所以该校高一年级学生共有42×20＝840(人)．故选C.
2．(2019·陕西省西安市长安区第一中学期末考试)如图所示是一容量为100的样本的频
率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5，10]内的频数为( )A．50 B．40
C．30 D．20
解析：选D.第一个小矩形的面积为0.04×5＝0.2, 所以样本落在[5，10]内的频数为
0.2×100＝20.故选D.
3．甲、乙两个城市某年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温
比较稳定的是________．
解析：从折线统计图中可以很清楚地看到乙城市的气温变化较大，而甲城市的气温相
对来说较稳定，变化基本不大．
答案：甲城市
4．由正整数组成的一组数据x ，x ，x ，x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于
1 2 3 4
1，则这组数据为________．(从小到大排列)
解析：假设这组数据按从小到大的顺序排列为x，x，x，x，则所以
1 2 3 4
又s＝
＝
＝＝1，
所以(x－2)2＋(x－2)2＝2.
1 2
同理可求得(x－2)2＋(x－2)2＝2.
3 4
由x ，x ，x ，x 均为正整数，且(x ，x)，(x ，x)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，
1 2 3 4 1 2 3 4
分析知x，x，x，x 应为1，1，3，3.
1 2 3 4
答案：1，1，3，3
[A 基础达标]
1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学
共有学生2 000名，从中抽取了一个容量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女
生为( )
A．1 030名 B．97名
C．950名 D．970名
解析：选D.由题意，知该中学共有女生2 000×＝970(名)，故选D.
2有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9
[23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 11 [31.5，35.5) 12
[35.5，39.5) 7 [39.5，43.5] 3则总体中大于或等于31.5的数据所占的比例为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知，样本量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本个数为12＋7＋3＝
22，故总体中大于或等于31.5的数据约占＝.
3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的
有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众
数、中位数分别是( )
A．85，85，85 B．87，85，86
C．87，85，85 D．87，85，90
解析：选C.因为得85分的人数最多，为4人，所以众数为85，中位数为85，平均数
为(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.
4．某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分
布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为
( )
A．6万元 B．8万元
C．10万元 D．12万元
解析：选C.设11时至12时的销售额为x万元，由于频率分布直方图中各小组的组距
相同，故各小矩形的高度之比等于频率之比，也等于销售额之比，所以9时至10时的销售
额与11时至12时的销售额的比为＝，
所以有＝，解得x＝10，故选C.
5．某学校举行的运动会上，七位评委为某位体操选手打出的分数为79，84，84，
86，84，87，93，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(
)
A．84，4.84 B．84，1.6
C．85，1.6 D．85，4
解析：选C.最高分是93分，最低分是79分，所剩数据的平均数为x＝80＋＝85，方差
为s2＝×[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6，故选C.
6．12，13，25，26，28，31，32，40 的 25%分位数为________，80%分位数为
________．
解析：因为8×25%＝2，8×80%＝6.4.所以25%分位数为＝＝19，80%分位数为x ＝
7
32.答案：19 32
7．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这
批产品的平均长度为________mm.
解析：根据频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为(12.5×0.02＋17.5×0.04＋
22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)×5＝22.75 mm.
答案：22.75
8．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生 3
000人，由统计图可得该校共捐款为________元．
解析：由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1
050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，
所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．
答案：37 770
9．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有
900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩
(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分
布直方图，解答下列问题：
组号 分组 频数 频率
1 [50，60) 4 0.08
2 [60，70) 8 0.16
3 [70，80) 10 0.20
4 [80，90) 16 0.32
5 [90，100]
合计
(1)填充频率分布表中的空格；
(2)如图，不具体计算，补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
解：(1)＝50，即样本量为50.
第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，
从而第5组的频率为＝0.24.
又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12，0.24，50，1.
(2)根据小长方形的高与频数成正比，设第一个小长方形的高为h ，第二个小长方形的
1
高为h，第五个小长方形的高为h.
2 5
由等量关系得＝，＝，补全的频率分布直方图如图所示．
(3)50名学生竞赛的平均成绩为
x＝＝79.8≈80(分)．
利用样本估计总体的思想可得这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．
[B 能力提升]
10．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方
线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是
________．
解析：众数是一组数据出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据
“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数最大，据此估计此次考试成绩的众
数是115.
答案：115
11．某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得
数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分
组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)频率分布直方图中x的值为________；
(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，
估计新生中可以申请住校的学生有________名．
解析：(1)由频率分布直方图，可得20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，
所以x＝0.012 5.
(2)新生上学路上所需时间不少于 1 小时的频率为 0.003×2×20＝0.12，因为 1
200×0.12＝144，所以1 200名新生中约有144名学生可以申请住校．
答案：(1)0.012 5 (2)144
12．共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们
的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等
三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中
随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者
的满意度进行汇总，得到如下三个表格：
表(一)
使用者 25岁 26岁～ 36岁～ 45岁
年龄段 以下 35岁 45岁 以上
人数 20 40 10 10
表(二)
使用 0～6 7～14 15～22 23～31
频率 次/月 次/月 次/月 次/月
人数 5 10 20 5
表(三)
非常满意 满意 一般 不满意
满意度
(9～10) (8～9) (7～8) (6～7)
人数 15 10 10 5
(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁
之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．
解：(1)
(2)由表(一)可知：年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的一半，用样本
估计总体的思想可知，某城区30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×＝15(万人)；
又年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的，
用样本估计总体的思想可知，年龄在26岁～35岁之间15万人中每月使用共享单车在7～
14次之间的约有15×＝(万人)，所以年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14
次之间的人数约为万人．[C 拓展探索]
13．某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测
得每只球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：
40．02 40.00 39.98 40.00 39.99
40．00 39.98 40.01 39.98 39.99
40．00 39.99 39.95 40.01 40.02
39．98 40.00 39.99 40.00 39.96
(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
分组 频数 频率
[39.95，39.97)
[39.97，39.99)
[39.99，40.01)
[40.01，40.03]
合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，
试根据抽样检查结果估计这批产品的合格数．
解：(1)频率分布表：
分组 频数 频率
[39.95，39.97) 2 0.10 5
[39.97，39.99) 4 0.20 10
[39.99，40.01) 10 0.50 25
[40.01，40.03] 4 0.20 10
合计 20 1
频率分布直方图：
(2)因为抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，所以合格率为×100%＝
90%，
所以10 000×90%＝9 000(只)．即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格数为9 000只．
