文档内容
[A 基础达标]
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b
＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：选D.由题意知a－b＝d－c，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．
故选D.
2．如果一架飞机先向东飞行 200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为 s
km，位移为a，则( )
A．s>|a|
B．s<|a|
C．s＝|a|
D．s与|a|不能比较大小
解析：选A.物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|
<500，故s>|a|.
3．一质点受到平面上的三个力F ，F ，F 的作用而处于平衡状态．已知F 与F 的夹
1 2 3 1 2
角为60°，且F ，F 的大小分别为2 N和4 N，则F 的大小为( )
1 2 3
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F |2＝|－F －F |2＝|F |2＋|F |2＋2|
3 1 2 1 2
F |·|F |·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F |＝2 N.
1 2 3
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，AC·AB＝5，则AC的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为BD＝AD－AB＝AC－AB，
所以BD2＝＝AC2－AC·AB＋AB2，
即AC2＝1，所以|AC|＝2，即AC＝2.
5．在△ABC中，有下列四个命题：
①AB－AC＝BC；
②AB＋BC＋CA＝0；
③若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有( )
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④解析：选C.因为AB－AC＝CB＝－BC≠BC，所以①错误.AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝
AC－AC＝0，所以②正确．由(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，得|AB|＝|AC|，所以
△ABC为等腰三角形，③正确.AC·AB>0 cos A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的
大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C.
⇒
6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的
拉力大小为______N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|OC|＝10，
则|OA|＝|OB|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且
每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为
0
________．
解析：由题意知，P0P＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
答案：(10，－5)
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上
的动点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
因为|DP|＝|BQ|，所以|x|＝|y|，所以x＝－y.
因为PA＝(－x，－1)，PQ＝(2－x，y－1)，
所以PA·PQ＝－x(2－x)－(y－1)
＝x2－2x－y＋1
＝x2－x＋1
＝＋，
所以当x＝时，PA·PQ取得最小值，为.
答案：
9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE
＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：以C为原点，CA方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，D，C(0，0)，E.
因为AD＝，CE＝.
所以AD·CE＝－a·a＋·a＝0，所以AD⊥CE，即AD⊥CE.
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线
段BC上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
【解】 (1)设AB＝a，AC＝b，
则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)
＝AB＋AC＝a＋b.
所以|AD|2＝AD2＝＝a2＋2·a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD与AC的夹角．
因为cos θ＝＝＝＝＝0，
所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.
[B 能力提升]
11．在 ▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AC·BE＝1，则AB的长
为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B.设AB的长为a(a>0)，
因为AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝AD－AB，
所以AC·BE＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝AB·AD－AB2＋AD2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1.
又因为a>0，所以a＝，即AB的长为.
12．已知 P为△ABC所在平面内一点，且满足AP＝AC＋AB，则△APB的面积与
△APC的面积之比为________．
解析：由题意得，5AP＝AC＋2AB，
2AP－2AB＝AC－AP－2AP，
－2(PA＋PB)＝PC，如图所示，以PA，PB为邻边作 ▱PAEB，
则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则PC＝2EP＝4OP，
所以＝＝＝.
答案：1∶2
13．如图，已知在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，点
M在OB上，且OM＝1，点N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，则∠MPN＝
______．解析：设OA＝a，OB＝b，AM与BN的夹角为θ，
则OM＝b，ON＝a，
又因为AM＝OM－OA＝b－a，
BN＝ON－OB＝a－b.
所以AM·BN＝·＝－5，
又|AM|＝，|BN|＝，所以cos θ＝＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
又因为∠MPN为向量AM，BN的夹角，所以∠MPN＝.
答案：
14．已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明：(1)以A为坐标原点，以AB的方向为x轴的正方向，以AD的方向为y轴的正方向，
建立平面直角坐标系(图略)，不妨设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1)．
因为BE＝(－1，2)，CF＝(－2，－1)，
所以BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
所以BE⊥CF，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，
因为FP∥CF，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.①
同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4.②
由①②得x＝，y＝，即P.
所以|AP|2＝＋＝4＝|AB|2，
所以|AP|＝|AB|，即AP＝AB.
[C 拓展探究]
15．一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝
km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快
到达彼岸B码头？用时多少？
解：如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作 ▱ACED且
当AE与AB重合时能最快到达彼岸，
根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ▱ACED中，|DE|＝|AC|＝2，|
AD|＝4，∠AED＝90°，所以|AE|＝＝2.
又AB＝，所以用时0.5 h.
因为sin∠EAD＝，∠EAD∈(0°，90°)，
所以∠EAD＝30°.
综上所述，船实际航行速度大小为2 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用
时0.5 h.
