文档内容
6．4 平面向量的应用
6．4.1 平面几何中的向量方法
6．4.2 向量在物理中的应用举例
考点 学习目标 核心素养
会用向量方法解决平面几何中
向量在平面几何中的应用 的平行、 数学建模、逻辑推理
垂直、长度、夹角等问题
会用向量方法解决物理中的速
向量在物理中的应用 数学建模、数学运算
度、力学问题
问题导学
预习教材P38－P41的内容，思考以下问题：
1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
2．如何用向量方法解决物理问题？
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
2．向量在物理学中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法
相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为
F与s的夹角)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F 和F 的合力可按照向量加法的平行四边形法则． ( )
1 2
(2)若△ABC为直角三角形，则有AB·BC＝0.( )
(3)若向量AB∥CD，则AB∥CD.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
若向量OF1＝(2，2)，OF2＝(－2，3)分别表示两个力F ，F ，则|F ＋F |为( )
1 2 1 2A．(0，5) B．(4，－1)
C．2 D．5
解析：选D.F ＋F ＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，所以|F ＋F |＝5.
1 2 1 2
力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做
的功是________．
解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
若AB＝3e，DC＝5e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由AB＝3e，DC＝5e，得AB∥DC，AB≠DC，又因为ABCD为四边形，所以
AB∥DC，AB≠DC.
又|AD|＝|BC|，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形
向量在几何中的应用
角度一 平面几何中的垂直问题
如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
求证：AF⊥DE.
证明：法一：设AD＝a，AB＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又DE＝DA＋AE＝－a＋b，AF＝AB＋BF＝b＋a，
所以AF·DE＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故AF⊥DE，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则
A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)．
因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以AF⊥DE，即AF⊥DE.
角度二 平面几何中的平行(或共线)问题
如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边
CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设AB＝m，AD＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以FO＝FA＋AO＝BA＋AC
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，OE＝OC＋CE＝AC＋CD
＝(m＋n)－m＝m＋n.
所以FO＝OE.
又O为FO和OE的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
角度三 平面几何中的长度问题
如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对
角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，
而|BD|＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以|
AC|＝，即AC＝.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，
2)，则此四边形为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：选A.AB＝(3，3)，CD＝(－2，－2)，所以AB＝－CD，AB与CD共线，但|AB|≠|
CD|，故此四边形为梯形．
向量在物理中的应用
(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
(2)已知两恒力F ＝(3，4)，F ＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到
1 2
点B(7，0)，求F，F 分别对质点所做的功．
1 2
【解】 (1)如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表
示渡船实际垂直过江的速度．
因为AB＋AD＝AC，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5.
|AD|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.
因为AB＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)．
所以W＝F ·AB＝(3，4)·(－13，－15)
1 1
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W＝F ·AB＝(6，－5)·(－13，－15)
2 2
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
已知两个力F ，F 的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F
1 2 1
的夹角为60°，那么F 的大小为( )
1
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
解析：选B.画出图形，如图，由题意|F ＋F |＝10 N，所以|F |＝|F ＋F |cos 60°＝5
1 2 1 1 2
N，故选B.
1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船
在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B.由题意知|v水 |＝2 m/s，|v船 |＝10 m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小
|v|＝＝2(m/s)．
2．已知三个力f＝(－2，－1)，f＝(－3，2)，f＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，
1 2 3
为使物体保持平衡，再加上一个力f，则f＝( )
4 4
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
解析：选D.由物理知识知f＋f＋f＋f＝0，故f＝－(f＋f＋f)＝(1，2)．
1 2 3 4 4 1 2 33．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：
PQ∥AB.
证明：设DC＝λAB(λ＞0且λ≠1)，因为PQ＝AQ－AP＝AB＋BQ－AP＝AB＋(BD－AC)
＝AB＋[(AD－AB)－(AD＋DC)]
＝AB＋(CD－AB)
＝(CD＋AB)＝(－λ＋1)AB，
所以PQ∥AB，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB.
[A 基础达标]
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b
＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：选D.由题意知a－b＝d－c，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．
故选D.
2．如果一架飞机先向东飞行 200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为 s
km，位移为a，则( )
A．s>|a|
B．s<|a|
C．s＝|a|
D．s与|a|不能比较大小
解析：选A.物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|
<500，故s>|a|.
3．一质点受到平面上的三个力F ，F ，F 的作用而处于平衡状态．已知F 与F 的夹
1 2 3 1 2
角为60°，且F ，F 的大小分别为2 N和4 N，则F 的大小为( )
1 2 3
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F |2＝|－F －F |2＝|F |2＋|F |2＋2|
3 1 2 1 2
F |·|F |·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F |＝2 N.
1 2 3
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，AC·AB＝5，则AC的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为BD＝AD－AB＝AC－AB，
所以BD2＝＝AC2－AC·AB＋AB2，
即AC2＝1，所以|AC|＝2，即AC＝2.
5．在△ABC中，有下列四个命题：①AB－AC＝BC；
②AB＋BC＋CA＝0；
③若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有( )
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④
解析：选C.因为AB－AC＝CB＝－BC≠BC，所以①错误.AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝
AC－AC＝0，所以②正确．由(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，得|AB|＝|AC|，所以
△ABC为等腰三角形，③正确.AC·AB>0 cos A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的
大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C.
⇒
6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的
拉力大小为______N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|OC|＝10，
则|OA|＝|OB|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且
每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为
0
________．
解析：由题意知，P0P＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
答案：(10，－5)
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上
的动点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
因为|DP|＝|BQ|，所以|x|＝|y|，所以x＝－y.
因为PA＝(－x，－1)，PQ＝(2－x，y－1)，
所以PA·PQ＝－x(2－x)－(y－1)
＝x2－2x－y＋1
＝x2－x＋1＝＋，
所以当x＝时，PA·PQ取得最小值，为.
答案：
9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE
＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：以C为原点，CA方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，
D，C(0，0)，E.
因为AD＝，CE＝.
所以AD·CE＝－a·a＋·a＝0，所以AD⊥CE，即AD⊥CE.
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线
段BC上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
【解】 (1)设AB＝a，AC＝b，
则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)
＝AB＋AC＝a＋b.
所以|AD|2＝AD2＝＝a2＋2·a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD与AC的夹角．
因为cos θ＝＝＝＝＝0，
所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.
[B 能力提升]
11．在 ▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AC·BE＝1，则AB的长
为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B.设AB的长为a(a>0)，
因为AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝AD－AB，
所以AC·BE＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝AB·AD－AB2＋AD2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1.
又因为a>0，所以a＝，即AB的长为.
12．已知 P为△ABC所在平面内一点，且满足AP＝AC＋AB，则△APB的面积与
△APC的面积之比为________．
解析：由题意得，5AP＝AC＋2AB，
2AP－2AB＝AC－AP－2AP，－2(PA＋PB)＝PC，如图所示，以PA，PB为邻边作 ▱PAEB，
则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则PC＝2EP＝4OP，
所以＝＝＝.
答案：1∶2
13．如图，已知在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，点M在OB上，且
OM＝1，点N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，则∠MPN＝______．
解析：设OA＝a，OB＝b，AM与BN的夹角为θ，
则OM＝b，ON＝a，
又因为AM＝OM－OA＝b－a，
BN＝ON－OB＝a－b.
所以AM·BN＝·＝－5，
又|AM|＝，|BN|＝，所以cos θ＝＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
又因为∠MPN为向量AM，BN的夹角，所以∠MPN＝.
答案：
14．已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明：(1)以A为坐标原点，以AB的方向为x轴的正方向，以AD的方向为y轴的正方向，
建立平面直角坐标系(图略)，不妨设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1)．
因为BE＝(－1，2)，CF＝(－2，－1)，
所以BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
所以BE⊥CF，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，
因为FP∥CF，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.①
同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4.②
由①②得x＝，y＝，即P.
所以|AP|2＝＋＝4＝|AB|2，
所以|AP|＝|AB|，即AP＝AB.
[C 拓展探究]
15．一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快
到达彼岸B码头？用时多少？
解：如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作 ▱ACED且
当AE与AB重合时能最快到达彼岸，
根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ▱ACED中，|DE|＝|AC|＝2，|
AD|＝4，∠AED＝90°，
所以|AE|＝＝2.
又AB＝，所以用时0.5 h.
因为sin∠EAD＝，∠EAD∈(0°，90°)，
所以∠EAD＝30°.
综上所述，船实际航行速度大小为2 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用
时0.5 h.
