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复数
第七章
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为( )
2 2
A.2 B. C.- D.-2
3 3
答案A
解析复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.
2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为( )
A.-1 B.2
C.1 D.-1或2
答案D
解析因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
3.复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则实数m的值是( )
A.3 B.2
C.2或3 D.0或2或3
答案B
解析因为复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,所以m2-5m+6=0,m2-3m≠0,解得m=2.
4.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( )
A.4 B.-1
C.-1或4 D.-1或6
答案B
解析由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,
{m2-3m-1=3, {m=4或-1,
所以 即 得m=-1.
m2-5m-6=0, m=6或-1,
5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件答案B
解析“ab=0”则a=0或b=0,“复数a-bi为纯虚数”则a=0且b≠0,那么“ab=0”是“复数a-bi为纯虚
数”的必要不充分条件.
6.若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为 .
1 7
答案- ,-
2 4
1
{x=- ,
解析依题意得{2x+1=0,
所以
2
x-2y=3, 7
y=- .
4
7.若复数z=m+(m2-1)i是负实数,则实数m的值为 .
答案-1
解析依题意可知m2-1=0且m<0,
因此m=-1.
8.已知关于实数x,y的方程组:
{(2x-1)+i= y-(3- y)i, ①
(2x+ay)-(4x- y+b)i=9-8i②
有实数解,求实数a,b.
{ 5
解由①式,根据复数相等的充要条件有{ 2x-1= y, 解得 x= 2 , (*)
1=-(3- y),
y=4.
{5+4a=9,
将(*)代入②式,得5+4a-(6+b)i=9-8i,且a,b∈R,所以有 解得a=1,b=2.
6+b=8,
能力提升
1.已知复数z=❑√3x-1-x+(x2-4x+3)i>0,求实数x的值.
解∵z>0,∴z∈R.∴x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.∵z>0,∴❑√3x-1-x>0.对于不等式❑√3x-1-x>0,x=1
适合,x=3不适合,∴x=1.
2.已知复数z=4-m2+(m-2)i,z=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R).
1 2
(1)若z 为纯虚数,求实数m的值;
1
(2)若z=z ,求实数λ的取值范围.
1 2
{4-m2=0,
解(1)∵z 为纯虚数,则 解得m=-2.
1
m-2≠0,
{4-m2=λ+2sinθ,
(2)由z=z ,得
1 2
m-2=cosθ-2,
∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2.∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=1时,λ =2;
min
当sin θ=-1时,λ =6.
max
∴实数λ的取值范围是[2,6].
