7.1.2 复数的几何意义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.复数z=1+(2-sin θ)i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案A
解析因为1>0,2-sin θ>0,所以复数对应的点在第一象限.
2.复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数( )
A.⃗OA=(1,2) B.⃗OB=(-3,0)
C.⃗OC= ( 0, 2) D.⃗OD=(-1,-2)
3
答案C
解析向量⃗OC= ( 0, 2) 对应的复数为 2 i,是纯虚数.
3 3
3.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于❑√10,则实数x的取值范围是( )
4
A.- <x<2 B.x<2
5
4 4
C.x>- D.x<- 或x>2
5 5
答案A
解析由条件知,(x-1)2+(2x-1)2<10,
4
所以5x2-6x-8<0,故- <x<2.
5
4.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是( )
A.(1,5) B.(1,3)
C.(1,❑√5) D.(1,❑√3)
答案C
解析由已知,得|z|=❑√a2+1.由0<a<2,得0<a2<4,所以1<a2+1<5,故|z|=❑√a2+1∈(1,❑√5).
5.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i的共轭复数z对应的点在虚轴上,则实数a的值为( )
A.a=0或a=2 B.a=0
C.a≠1,且a≠2 D.a≠1或a≠2
答案A
解析∵复数z=(a2-2a)-(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,∴a2-2a=0,∴a=0或a=2.故选A.6.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是 .
答案(1,2)
{x2-6x+5<0,
解析由已知,得 解得1<x<2.
x-2<0,
7.已知i为虚数单位,设复数z,z 在复平面内对应的点关于原点对称,若z=2-3i,则z= .
1 2 1 2
答案-2+3i
解析在复平面内,复数z=a+bi与点(a,b)一一对应.因为点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数
z=-2+3i.
2
8.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|= ,z= .
答案12 -12i
{m2+2m-3≠0,
解析由条件知 所以m=3,因此z=12i,故|z|=12,z=-12i.
m2-9=0,
9.设z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形?
解(方法一)|z|=|3+4i|得|z|=5.这表明向量⃗OZ的模等于5,即点Z到原点的距离等于5.因此,满足条件的
点Z的集合是以原点O为原点,以5为半径的圆.
(方法二)设z=x+yi(x,y∈R),则|z|2=x2+y2.
因为|3+4i|=5,所以由|z|=|3+4i|得x2+y2=25,故点Z的集合是以原点为圆心,以5为半径的圆.
能力提升
1.△ABC的三个顶点对应的复数分别为z,z,z,若复数z满足|z-z |=|z-z |=|z-z |,则z对应的点Z为
1 2 3 1 2 3
△ABC的( )
A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
答案D
解析由复数的几何意义知,点Z到△ABC三个顶点距离都相等,故z对应的点Z是△ABC的外心.
2.已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实根b.
(1)求实数a,b的值;
(2)若复数z满足|z-a-bi|-2|z|=0,则z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
{b2-6b+9=0,
解(1)因为b是方程的根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故 解得a=b=3,
a=b,
(2)设z=x+yi(x,y是实数),由|z-3-3i|=2|z|,
得(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),即(x+1)2+(y-1)2=8.所以z的对应点Z的轨迹是以(-1,1)为圆心,2❑√2为半
径的圆.所以z=1-i时,|z|最小值为❑√2.