文档内容
第 2 课时 函数的最大(小)值
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)
值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．
教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值．
教学难点：求较复杂函数的最值.
【知识导学】
知识点一 函数的最大值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①∀x∈I，都有 □ f ( x ) ≤ M ；
②∃x ∈I，使得 □ f ( x ) ＝ M .
0 0
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象 □ 最高点 的纵坐标．
知识点二 函数的最小值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①∀x∈I，都有 □ f ( x ) ≥ M ；
②∃x ∈I，使得 □ f ( x ) ＝ M .
0 0
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象 □ 最低点 的纵坐标．
【新知拓展】
(1)并不是每一个函数都有最值，如函数y＝，既没有最大值，也没有最小值．
(2)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数y＝－x2(y＝x2)．
(3)特别地，对于常函数f(x)＝C，它的最大值和最小值都是C.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值或最小值．( )
(2)函数的最小值一定比最大值小．( )
(3)若函数y＝f(x)有最大值，则这个最大值唯一．( )
(4)若函数y＝f(x)的最大值是M，则使f(x )＝M的x 是唯一的．( )
0 0
(5)对于函数y＝f(x)，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.(
)
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________．
(2)函数y＝在[2,6]上的最大值与最小值之和等于________．
(3)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
答案 (1)1 (2) (3)4
题型一 利用图象求函数最值
例1 (1)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值；
(2)画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．
[解] (1)作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小
值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)f(x)的图象如图所示，
f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
金版点睛
图象法求最值的一般步骤
求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．解 y＝|x＋1|－|x－2|
＝
作出函数的图象，如图所示．
由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.
题型二 利用单调性求函数最值
例2 求函数f(x)＝x＋在x∈[1,3]上的最大值与最小值．
[解] 设1≤x ＜x ≤3，则f(x )－f(x )＝x －x ＋－＝(x －x ).
1 2 1 2 1 2 1 2
又因为x 0，
1 2
所以f(x)在[1,2]上单调递减．
当20，
1 2
所以f(x )－f(x )<0.
1 2
所以f(x)在(2,3]上单调递增．
所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4.
又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋＝0，
1 2 1 2 2 1
故f(x )－f(x )>0，即f(x )>f(x )，
1 2 1 2
所以函数y＝在区间[1,2]上单调递减，
所以y ＝f(1)＝－，y ＝f(2)＝－4.
max min
题型三 求二次函数的最值
例3 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值；
(4)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
[解] (1)∵函数f(x)＝x2－2x－3图象的开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．
∴f(x) ＝f(0)＝f(2)＝－3，
max
f(x) ＝f(1)＝－4.
min
(2)由(1)知对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x) ＝f(t)＝t2－2t－3，
max
f(x) ＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
min
②当≤11时，
f(x) ＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
max
f(x) ＝f(t)＝t2－2t－3.
min
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
(3)f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，最小
值为f(1)＝3－2a；
当－1＜a＜1时，函数图象如图②所示，函数f(x)在区间[－1,1]上先单调递减
后单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；
当a≤－1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，最
小值为f(－1)＝3＋2a.
(4)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.
∵y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴当t＝1，即x＝1时，f(x) ＝－4，无最大值．
min
金版点睛
二次函数最值的求法
(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 y＝f(x)的草图，然
后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的
情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数
在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在
定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．
(3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f(x)＝x－2－3.
(1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
(3)求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
解 (1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
令y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1，即x＝±1时，f(x) ＝－4，无最大值．
min
(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上单调递增，
∴f(x) ＝f(2)＝6－4a.
min
当a>4时，f(x)在[2,4]上单调递减，
∴f(x) ＝f(4)＝18－8a.
min当2≤a≤4时，f(x) ＝f(a)＝2－a2.
min
∴f(x) ＝
min
(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调
递减，∴最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为g(t)＝f(1)＝
1；
当t>1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，∴最
小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上可得，g(t)＝
题型四 应用题中的最值问题
例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000元，每生产一台仪器需
增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量(单位：台)．
(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝
总成本＋利润)
[解] (1)月产量为x台，则总成本为(20000＋100x)元，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，
当x＝300时，f(x) ＝25000；
max
当 x>400 时，f(x)＝60000－100x 是减函数，f(x)<60000－100×400＝
20000<25000.
∴当x＝300时，f(x) ＝25000.
max
即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．
金版点睛
解实际应用题的四个步骤
(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量
的条件关系．
(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取
值范围)．
(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．
某水厂蓄水池有水 450吨，水厂每小时向蓄水池注水 80吨，同时蓄水池
又向居民小区供水，t小时内供水量为80 吨，现在开始向池中注水并同时向居民
供水，多少小时后蓄水池中水量最少？
解 设t小时后，池中水量为y吨，
则y＝450＋80t－80＝4(－10)2＋50，
当＝10，即t＝5时，y ＝50，
min
所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨．
1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别
为( )
A．3,0 B．3,1
C．3，无最小值 D．3，－2
答案 C
解析 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是 3；
另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.
2．已知函数f(x)＝x2－2，其中x∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为(
)
A．－2和1 B．2和－2
C．2和－1 D．－1和2
答案 B
解析 ∵f(x)＝x2－2在区间[0,2]上单调递增，
∴y ＝f(2)＝2，y ＝f(0)＝－2.
max min
3．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x
的值为( )
A. B．1 C. D．2
答案 B
解析 ∵S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12
＝－(x－1)2＋，又∵即0
