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第 2 课时 建立函数模型解决实际问题
(教师独具内容)
课程标准：结合现实情境中的具体问题，会选择合适的函数模型来解决问题．
教学重点：建立函数模型解决实际问题．
教学难点：建立函数模型．
【知识导学】
知识点一 用函数模型解决实际问题的步骤
(1) □ 审题 ：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问
题，初步选择模型．
(2) □ 建模 ：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模
型．
(3) □ 求模 ：求解函数模型，得到数学结论．
(4) □ 还原 ：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
知识点二 数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标
系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选
定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，
再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这
种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
【新知拓展】
1．常见的函数模型2．分段函数模型：y＝
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，
称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( )
(2)函数y＝·3x＋1属于幂函数模型．( )
(3)当a＞1，n＞0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有log x＜xn＜ax成
a
立．( )
(4)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．做一做
(1)某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
(2)如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势．(3)已知直角梯形ABCD如图所示，CD＝2，AB＝4，AD＝2，线段AB上有一
点P，过点P作AB的垂线l，当点P从点A运动到点B时，记AP＝x，l截直角
梯形的左边部分面积为y，则y关于x的函数关系式为________．
答案 (1)D (2)对数
(3)y＝
题型一 函数模型的选择问题
例1 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员
的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y(单位：
万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时
奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log x，y＝1.02x，其中
5
哪个模型符合该校的要求？
[解] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log x，y＝1.02x的图象(如图所
5
示)，观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直
线y＝3的上方，只有 y＝log x的图象始终在 y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只
5
有按模型y＝log x进行奖励才符合学校的要求．
5金版点睛
不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数
模型来解决实际问题．
据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO 浓度增加．据测，2015年、
2
2016年、2017年大气中的CO 浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6
2
个单位．若用一个函数模型每年CO 浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，
2
模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝a·bx
＋c(其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO 浓度比2014年增加了16.5
2
个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
解 若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，
则依题意，得解得
∴f(x)＝x2＋x.
若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，
则解得
∴g(x)＝·x－3.
利用f(x)，g(x)对2018年CO 浓度作估算，
2
则其数值分别为f(4)＝10单位，g(4)＝10.5单位，
∵|f(4)－16.5|>|g(4)－16.5|，
故g(x)＝·x－3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用 g(x)＝·x－3作
模拟函数较好.题型二 建立函数模型解决实际问题
例2 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50元，其成本价为25元，
因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，
工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1立方米污水所用原料费
为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1立方米污水需付
14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金
的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
[解] 设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y ，选择方案二的
1
利润为y ，由题意知
2
y ＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.
1
y ＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
2
(1)当x＝3000时，y ＝42000，y ＝54000，
1 2
∵y y ，∴应选择方案一处理污水．
1 2
金版点睛
建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要看建立的函数模型与实际
的拟合程度.而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据.
某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资 5年可多得利息多少万元？(结果
精确到0.01万元)
解 按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；
按乙方案，第一年本息合计 100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5
年后本息合计100×1.095≈153.86万元．
故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利.
题型三 用分段函数模型解决实际问题
例3 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情
况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车
流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时．研究表明：当
20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，
单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大
值60×20＝1200；
当200.1时，y＝t－0.1.
∴y＝
(2)由题意可知，t－0.1<0.25，解得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，
学生才能进教室.
题型四 建立拟合函数模型解决实际问题
例4 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、
土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果
然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测
谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？
[解] 由数值对应表作散点图如图．由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋C．
代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得
(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，
得解得∴f(x)＝·2x＋.
∵f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，
∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，
所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面的行星与太阳的距离
大约是19.6天文单位．
金版点睛
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，
最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数
解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分
完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能
均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲
线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理
提供依据．
某商场经营一批进价是每件 30元的商品，在市场销售中发现，此商品的
销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并
确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数
关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解 (1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)
在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴⇒
∴y＝－3x＋150(x∈N，x≤50)，
经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为 y＝－3x＋
150(x∈N，x≤50)．
(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
1．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 f(x)(i＝1,2,3,4)关于时间
i
x(x>1)的函数关系是f (x)＝x2，f (x)＝2x，f (x)＝log x，f (x)＝2x.如果它们一直运
1 2 3 2 4
动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝2x
1 2
C．f (x)＝log x D．f (x)＝2x
3 2 4
答案 D
解析 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D．
2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog (x＋1)，设这种动
2
物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
答案 A
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝alog (x＋
2
1)，得y＝300.
3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可
选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b
答案 B
解析 二次函数模型的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，其
函数图象与题图中的图形相符，因此可选择的模拟函数模型为二次函数模型．故
选B．4.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t
分钟后，桶1中剩余水为y L，满足函数关系式y ＝ae－nt，假设经过5分钟，桶
1 1
1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有 L.
答案 10
解析 由题意，可得ae－5n＝，n＝ln 2，令ae－tln 2＝，解得t＝15，从而再
经过10分钟，桶1中的水只有 L.
5．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度
激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下
降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中 x表示时间
(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度：
f(x)＝
(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？
(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达
到消毒要求？并简要说明理由．
解 (1)当0
