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第 3 课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(教师独具内容)
课程标准：1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余
弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公
式变形运用．
教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的
简单应用．
教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、
和(差)角公式的综合应用.
【知识导学】
知识点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式的适用条件：在 S ，C 中，α∈□R，在 T 中，α≠□＋(k∈Z)，且
2α 2α 2α
α≠□kπ＋(k∈Z)．
知识点二 二倍角公式的变形形式
(1)(sinα±cosα)2＝ □ 1±sin 2 α ；
(2)cos2α＝□；
(3)sin2α＝□.
【新知拓展】
1．“二倍”的含义
倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2的情况都成立，
如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个
数量之间的关系的．
2．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：
(1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝.
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．( )
(3)对任意角α，总有tan2α＝.( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)计算cos215°－sin215°结果等于( )
A. B. C. D.
(2)sin15°cos15°的值等于( )
A. B. C. D.
(3)已知cosα＝，则cos2α等于( )
A. B. C．－ D.
(4)若tanα＝，则tan2α＝( )
A. B. C. D．－
答案 (1)D (2)B (3)C (4)A
题型一 给角求值问题
例1 求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)cos20°cos40°cos80°.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°
＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝
＝.
金版点睛
正用、逆用二倍角公式求值
对于给角求值问题，需观察题中角度间的关系，发现其特征，并能根据式子
的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用二倍角公式求值．注意利用诱导公式和
同角三角函数基本关系对已知式进行转化．求下列各式的值：
(1)coscos；(2)－cos2；
(3)tan－.
解 (1)原式＝＝
＝＝＝.
(2)原式＝＝－
＝－cos＝－.
(3)原式＝＝－2×
＝－2×＝＝－2.
题型二 给值求值问题
例2 已知cos＝，≤α<，求cos的值．
[解] ∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－
＝－＝－.
∴cos2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
sin2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos2α－sin2α＝×＝－.
[结论探究] 若本例条件不变，求的值．
解 ∵≤α<，∴≤＋α<.
又cos＝>0，∴<＋α<，
∴sin＝－，
∴cos2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
∴＝＝.金版点睛
解决条件求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和
角之间的二倍关系．
已知x∈，sin＝－，求cos2x的值．
解 解法一：由已知条件得cosx－sinx＝－，将此式两边平方得2sinxcosx＝.
由此可得(cosx＋sinx)2＝.
因为x∈，所以sinx>0，cosx>0.
所以cosx＋sinx＝.
故cos2x＝cos2x－sin2x＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)
＝×＝－.
解法二：∵sin＝－，x∈，
∴－x∈，cos＝.
cos2x＝sin＝2sincos
＝2××＝－.
题型三 给值求角问题
例3 已知tanα＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[解] ∵tanα＝>0，α∈(0，π)，∴α∈，2α∈(0，π)，
∴tan2α＝＝＝>0，
∴2α∈.
又∵tanβ＝－<0，β∈(0，π)，∴β∈，
∴tan(2α－β)＝＝＝1，
又∵2α∈，β∈，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－.
金版点睛
在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，
然后再求出角.其中确定角的范围是关键的一步.
已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
解 ∵tanα＝<1，且α为锐角，∴0<α<，
又∵sinβ＝<，且β为锐角，∴0<β<，
∴0<α＋2β<.
由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，∴tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝1，
故α＋2β＝.
题型四 有关化简与证明问题
例4 (1)化简：－；
(2)证明：＝.
[解] (1)原式＝
＝＝tan2θ.
(2)证明：左边分子为2cos22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α·(cos2α＋sin2α)．
左边分母为2sin22α＋2sin2αcos2α＝2sin2α(sin2α＋cos2α)．
故两式相除，即＝.
金版点睛
证明的本质问题实际上就是化简
三角函数的化简与证明有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”
“形”着手分析，消除差异，化繁为简，或用“两头凑”的方法．
(1)化简＝________；
(2)求证：＝tanx.
答案 (1) (2)见解析
解析 (1)
＝＝＝.
(2)证法一：左边＝
＝＝
＝＝tanx＝右边．
故原等式成立．
证法二：左边＝
＝
＝＝
＝＝tanx＝右边．
故原等式成立．
1．若tanα＝3，则的值等于( )A．2 B．3 C．4 D．6
答案 D
解析 ＝＝2tanα＝2×3＝6.
2．下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
答案 B
解析 A项，2sin15°cos15°＝sin30°＝；B项，cos215°－sin215°＝cos30°＝；
C项，2sin215°＝1－cos30°＝1－；D项，sin215°＋cos215°＝1.故选B.
3．cos4－sin4的值为( )
A．0 B. C．1 D．－
答案 B
解析 cos4－sin4＝＝cos＝.
4．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．
答案
解析 ∵α∈，∴sinα>0，
又∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，
∴cosα＝－，∴sinα＝，tanα＝－，
∴tan2α＝＝＝.
5．已知cosα＝－，α∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
解 ∵cosα＝－，α∈，
∴sinα＝－＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
tan2α＝＝.
