文档内容
5.5.2 简单的三角恒等变换
(教师独具内容)
课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变
换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式
进行化简、求值以及证明三角恒等式．
教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明．
教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.
【知识导学】
知识点一 半角公式
知识点二 积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
(2)和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sincos.
sinα－sinβ＝2cossin.
cosα＋cosβ＝2coscos.
cosα－cosβ＝－2sinsin.【新知拓展】
辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcosx
＝sin(x＋φ).
推导过程：asinx＋bcosx
＝.
令cosφ＝，sinφ＝，
则asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝确定或由sinφ＝和
cosφ＝共同确定．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知cosα＝，α∈(0，π)，则sin＝－.( )
(2)cos2－＝.( )
(3)函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)的最小正周期为π.( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)若cosα＝，α∈(0，π)，则cos的值为( )
A. B．－ C．± D．±
(2)已知cosα＝，α∈，则sin等于( )
A．－ B. C. D．－
(3)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是( )
A．1 B. C. D．1＋
(4)若tanα＝2，则tan＝________.
答案 (1)A (2)B (3)C (4)
题型一 利用半角公式求值
例1 已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[解] ∵π<α<，sinα＝－，
∴cosα＝－，且<<，
∴sin＝＝，
cos＝－＝－，
tan＝＝－2.
金版点睛
由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．一般讨论
角所在象限．
(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：
①先化简所求的式子．
②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．
解 由题意，得2＝，
即1－sinα＝，得sinα＝.
∵450°<α<540°，∴cosα＝－，
∴tan＝＝＝2.
题型二 三角函数式的化简
例2 化简：(π<α<2π)．
[解] 原式＝
＝
＝.
又∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴原式＝＝cosα.
[变式探究] 将本例改为化简：
(180°<α<360°)．
解 原式＝
＝
＝＝.
∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴sin>0，
∴原式＝－cosα.
金版点睛
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手
段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降
幂、配方、开方等．
化简：
(1)－；
(2).
解 (1)原式＝－，
∵<θ<2π，∴<<π，
∴00.
∴原式＝－－
＝－2sin.
(2)原式＝＝cos2α·
＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α.
题型三 三角恒等式的证明
例3 求证：tan－tan＝.
[证明] 证法一：tan－tan＝－
＝＝
＝＝
＝.
∴原式成立．
证法二：＝
＝＝－
＝tan－tan.
∴原式成立．
金版点睛
在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标
确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采
用左右归一的方法.求证：＝1－.
证明 证法一：左边＝
＝
＝1－＝1－＝右边．
∴原等式成立．
证法二：右边＝1－
＝
＝
＝＝左边．
∴原式成立.
题型四 利用辅助角公式研究函数性质
例4 已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[解] (1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，
{
∴所求x的集合为 x.
金版点睛
1为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型余弦
型函数，这是解决问题的前提.
2解此类题时要充分运用两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式消除差
异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
已知函数f(x)＝4cosxsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝4cosxsin－1
＝4cosx－1＝sin2x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x
＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
于是当2x＋＝，即x＝时，f(x) ＝2；
max
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x) ＝－1.
min
题型五 三角变换的实际应用
例5 如图，A，B是半径为1的圆O上任意两点，以AB为一边作等边三角
形ABC.当点A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多
少？
[解] 如图，设∠AOB＝θ(0<θ<π)，四边形 OACB 的面积为 S.取 AB 的中点
D，连接OD，CD，则OD⊥AB，CD⊥AB.
在Rt△ODA中，OA＝1，∠AOD＝，
所以AD＝OAsin∠AOD＝sin，
OD＝OAcos∠AOD＝cos，
所以AB＝2AD＝2sin.
因为△ABC为等边三角形，
所以CD＝ACsin∠CAB＝2sinsin60°＝sin.所以S＝S ＋S
△ABC △AOB
＝CD·AB＋OD·AB
＝×sin×2sin＋×cos×2sin
＝sin2＋sinθ
＝×＋sinθ
＝sinθ－cosθ＋
＝sin＋.
因为0<θ<π，所以－<θ－<.
所以当θ－＝，即θ＝时，S取得最大值1＋.
所以当OA与OB的夹角为时，四边形OACB的面积最大，最大面积是1＋.
金版点睛
解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，
再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.
有一块以 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形
ABCD建为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的
圆周上．已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，才
能使矩形ABCD的面积最大？
解 画出图形如图所示．
设∠AOB＝θ，θ∈，
则AB＝asinθ，OA＝acosθ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝2OA·AB
＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.
因为θ∈，所以2θ∈(0，π)．
当2θ＝，即θ＝时，S ＝a2，
max
此时点A，D距离点O均为a.1．已知sinα＝，则cos等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案 D
解析 ∵sinα＝且0<α<，∴cosα＝.又cosα＝2cos2－1，∴cos2＝＝，
∵0<<，∴cos＝.
2.·等于( )
A．tanα B．tan2α C．1 D.
答案 B
解析 原式＝＝＝＝tan2α.
3．函数y＝3sinx＋cosx，x∈的值域为________．
答案 [－3,2]
解析 函数y＝3sinx＋cosx＝2sin，
又x∈，
∴x＋∈，
∴sin∈，
∴2sin∈[－3,2]．
4．求值：＝________.
答案 －1
解析 ＝
＝＝－1.
5．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝sin2xcos＋cos2xsin＋sin2xcos－cos2xsin＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝
sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，又 f＝－1，f＝，f＝1，
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
