文档内容
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(教师独具内容)
课程标准：1.结合具体实例，了解 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.会用“五点
法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.3.能借助图象理解参数φ，ω，A的意义，了
解参数的变化对函数图象的影响.4.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换
关系，并能正确地指出其变换步骤．
教学重点：正确理解φ，ω，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，通过图象变
换由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
教学难点：对图象变换与函数解析式变换的内在联系的理解.
【知识导学】
知识点一 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
知识点二 由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途
径
由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：
“ □ 先平移后伸缩 ”与“ □ 先伸缩后平移 ”．
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移知识点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质注意隐含条件：
(1)两条相邻对称轴之间间隔为个周期；
(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值．
【新知拓展】
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：
(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ 大于 0 时，函数 y＝Asinωx 的图象向左平移个单位长度得到函数 y＝
Asin(ωx＋φ)的图象，φ小于0时，函数y＝Asinωx的图象向右平移个单位长度得
到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，即“加左减右”．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到
y＝sin.( )
(2)函数y＝2sin，x∈R的最大值为2.( )
(3)函数y＝2sin，x∈R的图象的一个对称中心为.( )
(4)五点法作函数y＝2sin在一个周期上的简图时，第一个点为.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．做一做
(1)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sinx－ B．y＝sinx＋
C．y＝sin D．y＝sin
(2)要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(3)将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得
到________的图象．
答案 (1)D (2)C (3)y＝sin4x
题型一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例1 已知函数y＝2sin，用“五点法”画出其简图．
[解] 列表：
描点，连线得函数y＝2sin在一个周期内的图象．
再将这部分图象向左或向右延伸 kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函数 y＝
2sin(x∈R)的图象．金版点睛
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表．
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
作出函数y＝cos在一个周期内的图象．
解 列表：
描点，连线得函数
y＝cos在一个周期内的图象，如图.题型二 函数的图象变换
例2 说明y＝－2sin＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样变换得到的．
[解] 解法一(先伸缩后平移)：
[条件探究] 将本例改为：y＝2sin＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的
变换得到的？金版点睛
三角函数图象变换的两种方法及两个注意
(1)两种方法：方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移．
(2)两个注意：
①两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的．
②虽然两种平移的单位长度不同，但因平移时平移的对象已有变化，所以得
到的结果是一致的．
函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩
短为原来的，所得图象的函数解析式为________．答案 y＝sin
解析 将原函数的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，再将
所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象.
题型三 求三角函数的解析式
例3 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] 解法一(逐一定参法)：
由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin，
∴－×2＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|＜，∴φ＝，∴y＝3sin.
解法二(待定系数法)：
由图象知A＝3.
由图象过点和，且在处下降，在处上升，
可令解得
∴y＝3sin.
解法三(图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移个单位长
度而得，
所以y＝3sin，即y＝3sin.
金版点睛
求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下
规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的两种方法：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知，最好是代入图象与
x轴的交点)求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突
破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．f(x)＝3sin
B．f(x)＝3sin
C．f(x)＝3sin
D．f(x)＝3sin
答案 C
解析 解法一(代值验证法)：
把代入选项，可排除B，D；再将代入，可排除A.故C正确．
解法二(逐一定参法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
由图知，A＝3，又T＝4＝4π，
∴ω＝＝.
由点，令－×＋φ＝0，得φ＝.
∴f(x)＝3sin，选C.
解法三(待定系数法)：
设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，由图知，A＝3.
又图象过，，根据五点法原理(这两点可理解为“五点法”中的第一点和第
二点)，有：
解得ω＝，φ＝.故选C.
题型四 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关
于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[解] ∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，
即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z.
又0≤φ≤π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴0＜ω≤2，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
综上，φ＝，ω＝或2.
金版点睛
函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合运用
与正弦函数y＝sinx比较可知，当ωx＋φ＝2kπ±(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋
φ)取得最大值(或最小值)，因此函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝
kπ＋(k∈Z)解出，其对称中心横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为
(k∈Z)．同理y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横
坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出．
已知函数 f(x)＝2sin＋1(0<φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数 f(x)的图象的两
相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐
标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象，求函数g(x)的单调递
减区间．
解 (1)因为f(x)为偶函数，
所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0＜φ＜π，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin＋1＝2cosωx＋1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，
所以T＝＝2×，
所以ω＝2，所以f(x)＝2cos2x＋1，
所以f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数 f的图象，再将所得图象
上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象，
所以g(x)＝f＝2cos＋1
＝2cos＋1.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
所以函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
题型五 函数y＝Asin(ωx＋φ)在实际生活中的应用
例5 某游乐园的摩天轮最高点距离地面 108米，直径长是98米，匀速旋转
一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：
(1)当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？
(2)当此人距离地面不低于米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈过程中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？
[解] (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮 t分钟时距地面y
米，则α＝t＝t.
由y＝108－－cost＝－49cost＋59(t≥0)．
令－49cost＋59＝，得cost＝，
∴t＝2kπ±，
故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3,15,21,33.
故当此人第四次距离地面米时用了33分钟．
(2)由题意，得－49cost＋59≥59＋，
即cost≤－.
不妨在第一个周期内求即可，
所以≤t≤，
解得≤t≤，
故－＝3.
因此摩天轮旋转一圈过程中有3分钟可以看到游乐园的全貌．
金版点睛如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此
摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩
天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
解 (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为t＝t，
故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sint＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得
sint≥，则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
1．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移 1个单位长度，
所得到的图象对应的函数是( )A．y＝cos2x B．y＝1＋cos2x
C．y＝1＋sin D．y＝cos2x－1
答案 B
解析 将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，
即y＝sin＝cos2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数
为y＝1＋cos2x.
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于点对称
答案 A
解析 ∵ω＞0，T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin.∴其对称中心为，k∈Z，
故B，D不符合；其对称轴方程由2x＋＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z.当k＝
0时，x＝就是它的一条对称轴．故选A.
3．为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cosx的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
答案 A
解析 由图象的周期变换可知，A正确．
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图象如图，
则函数f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝2sin
解析 由题意，知A＝2，T＝2＝4π，
所以ω＝＝＝.
因为图象过点，
所以f＝2sin＝0.因为－π＜φ＜π，所以φ＝或φ＝－.
又因为f＝－2，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
5．求函数f(x)＝3sin，x∈R的周期、对称中心、对称轴及单调区间．
解 T＝＝＝π，所以周期为π.
令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
所以对称中心为，k∈Z.
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以对称轴为x＝＋，k∈Z.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以它的单调递增区间为，k∈Z；
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以它的单调递减区间为，k∈Z.
