文档内容
第 2 课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(教师独具内容)
课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切
公式.2.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用以及变形应用.3.会
用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算．
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用．
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形应用.
【知识导学】
知识点一 两角和与差的余弦公式
知识点二 两角和与差的正弦公式
知识点三 两角和与差的正切公式【新知拓展】
1．两角和与差的余弦公式的灵活运用
要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)
公式．
(1)顺用公式，如：
cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]
＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)；
cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；
cosα＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
(2)逆用公式，如：
cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α.
(3)变用公式，如：
cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ；
cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.
2．两角和与差的正切公式的灵活运用
(1)正切公式的逆用
＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；
＝＝tan.
(2)正切公式的变形应用
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；
1－tanαtanβ＝；
1＋tanαtanβ＝.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．( )
(4)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．做一做
(1)cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于( )
A. B．－ C．0 D．1
(2)化简sin21°cos81°－cos21°sin81°等于( )
A. B．－ C. D．－
(3)＝________.
答案 (1)C (2)D (3)
题型一 余弦公式的正用、逆用、变形应用
例1 化简求值：
(1)cos20°cos25°－sin20°sin25°；
(2)cos－cos；
(3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
[解] (1)原式＝cos(20°＋25°)＝cos45°＝.
(2)原式＝－＝－2sinsinφ＝
－2×sinφ＝－sinφ.
(3)原式＝cos(α＋β－β)＝cosα.
[条件探究] 若将本例(2)改为cos＋cos，如何化简？
解 cos＋cos
＝coscosφ－sinsinφ＋coscosφ＋sinsinφ
＝2coscosφ＝2×cosφ＝cosφ.
金版点睛
解决化简求值问题的策略
(1)注意分析式子的结构特点，合理选择余弦的和差公式．
(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．
(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及特殊值与特殊角的转化．
设角α为锐角，求证：(1)cosα＋sinα＝cos；
(2)cosα－sinα＝cos.
证明 (1)证法一：右边＝coscosα＋sinsinα＝cosα＋sinα＝左边，等式成立．
证法二：联系等式左右两边可知是两角差的余弦公式，由于 cos＝，sin＝，
因此等式左边＝coscosα＋sinsinα＝cos＝右边，等式成立．
(2)证法一：右边＝
＝＝cosα－sinα＝左边，等式成立．
证法二：联系等式左右两边可知是两角和的余弦公式，由于cos＝，sin＝，
因此等式左边＝
＝＝cos＝右边，等式成立.
题型二 正弦公式的正用、逆用、变形应用
例2 化简求值：
(1)sin(－15°)；
(2)sin13°cos17°＋sin77°cos73°；
(3)sin－cos.
[解] (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)＝sin30°cos45°－cos30°sin45°＝×－×＝.
(2)原式＝sin13°cos17°＋sin(90°－13°)cos(90°－17°)
＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin(13°＋17°)＝sin30°
＝.
(3)原式＝2
＝2
＝2sin＝－2sin＝－.
金版点睛
运用公式进行化简、求值的注意点
运用两角和与差的正弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角
的变换，善于构造符合某一公式特征的结构后，再运用公式化简、求值．如果题
目中存在互余角，要善于发现和利用．
化简求值：
(1)sin15°＋cos15°；
(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°；
(3).
解 (1)解法一：sin15°＋cos15°
＝
＝sin(15°＋45°)＝sin60°＝.解法二：sin15°＋cos15°＝
＝(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)
＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin29°＝cos29°(－sin1°)－
cos1°sin29°
＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－.
(3)＝
＝
＝＝sin30°＝.
题型三 正切公式的正用、逆用、变形应用
例3 求值：
(1)；
(2)tan72°－tan42°－tan72°tan42°.
[解] (1)原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
(2)∵tan30°＝tan(72°－42°)＝，
∴tan72°－tan42°＝tan30°(1＋tan72°tan42°)．
∴原式＝tan30°(1＋tan72°tan42°)－tan72°tan42°＝.
金版点睛
正切公式中的常用规律
(1)需牢记公式T 的符号规律为“分子同，分母反”．
(α±β)
(2)注意“1＝tan45°”和“＝tan”的代换．
(3)由正切公式可知，tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α
－β))三者中可以知二求一．注意公式的正用、逆用、变形使用．
求值：
(1)；
(2)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°.
解 (1)＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
(2)原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)
＝tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)
＝tan10°tan20°＋tan30°(1－tan10°tan20°)＝1.题型四 三角函数求值
例4 已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的
值．
[解] (1)因为α，β∈，
所以α－β∈，又sin(α－β)＝>0，
所以0<α－β<.
所以sinα＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝.
又因为β∈，所以β＝.
金版点睛
合理拆分角、凑角等对式子化简求值
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差
的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差
的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
(1)已知cosα＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tanβ及tan(2α－β)；
(2)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．
解 (1)∵cosα＝＞0，α∈(0，π)，
∴α∈，sinα＞0.
∴sinα＝＝＝，
∴tanα＝＝＝.
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝2.(2)∵sin(α＋β)＝，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝.①
∵sin(α－β)＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝.②
由①②解得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，
∴＝＝＝5.
1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 sin14°cos16°＋sin76°cos74°
＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°
＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.
2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( )
A．2 B．1 C. D．4
答案 C
解析 因为tan(α＋β)＝＝＝4，所以tanαtanβ＝.
3．sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)＝________.
答案
解析 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos[90°－(63°－x)]sin(18°－x)
＝sin(27°＋x)cos(18°－x)＋cos(27°＋x)sin(18°－x)
＝sin(27°＋x＋18°－x)＝sin45°＝.
4．已知cosθ＝，则sin的值为________；sin的值为________．
答案
解析 因为cosθ＝，所以sinθ＝＝，所以sin＝sinθcos＋cosθsin＝×＝；
sin＝sinθcos－cosθsin＝×－×＝.
5．已知△ABC，若sin(A＋B)＝，cosB＝－，求cosA的值．
解 ∵cosB＝－，∴
