文档内容
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第 1 课时 两角差的余弦公式
(教师独具内容)
课程标准：1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的
意义.2.理解利用两点间的距离公式导出两角差的余弦公式的主要步骤.3.熟记两角
差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用．
教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.
【知识导学】
知识点 两角差的余弦公式
(1)公式中的α，β都是任意角，可以为常量，也可以为变角．
(2)公式右端的两部分为 □ 同名三角函数 的积，连接符号与左边角的连接符号
□ 相反．
【新知拓展】
(1)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．
(2)角变换后使用
cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
(3)移项使用
cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ；
sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ.
(4)特殊化使用导出诱导公式cos＝coscosα＋sinsinα＝sinα.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．做一做
(1)cos30°cos60°＋sin30°sin60°等于( )
A. B. C．－ D．－
(2)设α∈，若sinα＝，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
(3)cos15°＝________.
(4)已知cosα＝，α∈，则cos＝________.
答案 (1)B (2)A (3) (4)
题型一 给角求值
例1 计算：
(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；
(2)cos(β－15°)cos(β＋15°)＋sin(β－15°)sin(β＋15°)；
(3)sin75°.
[解] (1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.
(2)原式＝cos[(β－15°)－(β＋15°)]＝cos(－30°)＝cos30°＝.
(3)sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝×＋×＝.
金版点睛
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差
的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利
用两角差的余弦公式求解．求下列各式的值：
(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；
(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；
(3)cos105°＋sin105°.
解 (1)cos75°cos15°－sin75°sin195°
＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)
＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°
＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.
(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°
＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)
＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°
＝cos(44°－14°)＝cos30°＝.
(3)cos105°＋sin105°
＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.
题型二 给值(式)求值
例2 (1)已知tanθ＝，θ∈，求cos；
(2)已知α，β为锐角，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ的值．
[解] (1)∵tanθ＝＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，
θ∈，sinθ>0，cosθ>0，
解得sinθ＝，cosθ＝.
∴cos＝coscosθ＋sinsinθ＝×＋×＝.
(2)∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.
又∵cosα＝，∴sinα＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝×＋×＝.
[结论探究] 若将本例(2)条件不变，求sinβ的值．
解 ∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π，
又cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝，
由cosα＝，α为锐角，∴sinα＝，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.
又∵β为锐角，∴sinβ＝＝.
金版点睛
给值(式)求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的
三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行
拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换：① α＝(α－β)＋β；② α＝＋；③ 2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
解 因为α，β∈，所以α＋β∈.
所以cos(α＋β)＝＝.
又β－∈，
所以cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×
＝－.
题型三 给值求角问题
例3 (1)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________；
(2)已知α，β均为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则α－β＝________.
[解析] (1)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∵cosα＝，cos(α＋β)＝－，
∴sinα＝，sin(α＋β)＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝.
∵0<β<，∴β＝.
(2)∵α，β均为锐角，
∴cosα＝，cosβ＝.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝.
又∵sinα>sinβ，∴0<β<α<，∴0<α－β<.故α－β＝.
[答案] (1) (2)
[条件探究] 若本例(1)变为：已知cosα＝，sin(α＋β)＝，且α，β均为锐角，
求β的值．
解 ∵α为锐角且cosα＝，
∴sinα＝＝＝.
又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．
又sin(α＋β)＝
