文档内容
5.1.1 任意角
(教师独具内容)
课程标准：了解任意角的概念、理解象限角、终边相同角的概念并会用集合
符号表示这些角．
教学重点：理解正角、负角、零角、相反角、象限角的概念，掌握终边相同
角的表示方法．
教学难点：用集合符号表示终边相同的角．
【知识导学】
知识点一 角的相关概念
(1)角可以看成平面内一条 □ 射线 绕着它的端点从一个位置 □ 旋转 到另一个位
置所成的 □ 图形．
(2)角的表示：
如图，OA是角α的 □ 始边 ，OB是角α的 □ 终边 ，O是角的 □ 顶点． 角α可
记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(3)按照角的旋转方向可将角分为如下三类：知识点二 相反角
如图，我们把射线OA绕端点O按 □ 不同 方向旋转 □ 相同的量 所成的两个角
叫做互为相反角．角α的相反角记为 □ － α .
知识点三 象限角
(1)若角的顶点在原点，角的始边与 □ x 轴的非负半轴 重合，则角的 □ 终边 在
第几象限，就称这个角是第几象限角．
(2)若角的终边在 □ 坐标轴 上，则认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四 终边相同的角
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这
个集合可记为{β|β＝□α＋k·360°，k∈Z}．
【新知拓展】
对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )
(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )
(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)与600°角终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋220°(k∈Z)
B．k·360°＋240°(k∈Z)
C．k·360°＋60°(k∈Z)
D．k·360°＋260°(k∈Z)
(2)若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
答案 (1)B (2)k·360°，k∈Z
题型一 正确理解角的概念
例1 下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始
边都相同的两个角可能相差 360°的整数倍，如 30°与－330°，B 错误；由于在
90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的
角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C．
[答案] C
金版点睛
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清
角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判
断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )
A．60° B．－60°
C．30° D．－30°
(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC
位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－＝－30°，所以
经过2个小时应旋转－60°.故选B．
(2)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝100°，∠COD＝360°－240°＝120°，∠AOD＝
∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°－90°＋120°＝130°.
题型二 终边相同的角的表示
例2 (1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－
720°≤β<360°的元素β写出来；
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
[解] (1)与角 α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，
k∈Z}．
∵－720°≤β<360°，
∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，3≤k<6.故k＝4,5,6，
k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，
k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，
k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.
(2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
[变式探究] 在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角．
解 1030°÷360°＝2……310°，
所以1030°＝2×360°＋310°，
所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．
(1)所求的最小正角为310°.
(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.
金版点睛
在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定 k.可以
用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终
边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
答案 －960°
解析 ∵α 与 120°角终边相同，故有 α＝k·360°＋120°，k∈Z.又∵－
990°
