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5.4.3 正切函数的性质与图象
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握正切函数的周期性，并会求正切函数 y＝tan(ωx＋φ)的周
期.2.掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.了解正
切函数图象的画法，掌握正切函数的单调性．
教学重点：正切函数的性质与图象．
教学难点：利用正切函数的图象研究正切函数的单调性及值域.
【知识导学】
知识点一 正切函数的图象
(1)正切函数的图象
(2)正切函数的图象叫做 □ 正切曲线 ．
(3)正切函数的图象特征
正切曲线是由被相互平行的直线□x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组
成的．
知识点二 正切函数的性质
(1)正切函数的性质(2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是□.
【新知拓展】
(1)画函数y＝tanx，x∈上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三
点，(0,0)，，再画两条平行的虚线x＝－，x＝，最后连线．这两条虚线实质是正
切函数图象的两条渐近线．
(2)虽然正切函数y＝tanx在(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义
域上单调递增．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数在整个定义域上单调递增．( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )
(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
(1)y＝tanx( )
A．在整个定义域上单调递增
B．在整个定义域上单调递减
C．在每一个开区间(k∈Z)上单调递增
D．在每一个闭区间(k∈Z)上单调递增(2)y＝tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
(3)函数y＝2tan的最小正周期是________．
(4)函数y＝tan的单调增区间为________．
答案 (1)C (2)D (3) (4)(k∈Z)
题型一 正切函数的基本性质
例1 求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心．
[解] ①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠3kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝3π，∴函数的最小正周期为3π.
③由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，
解得3kπ－＜x＜3kπ＋，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
④由－＝，k∈Z，得x＝＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
金版点睛
求函数周期与单调区间的方法
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求
周期．
(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思
想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
若ω<0，可利用诱导公式先把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思
想，求得x的范围即可．
(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不
对称，则该函数为非奇非偶函数，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
求函数y＝－2tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．
解 ①3x＋≠＋kπ，k∈Z，∴定义域.
②函数的值域为R.
③函数的最小正周期为T＝.
④∵该函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数为非奇非偶函数．
⑤－＋kπ＜3x＋＜＋kπ，k∈Z，
∴－＋＜x＜＋，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为，k∈Z.
题型二 正切函数的单调性及应用
例2 (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小；
(3)已知f(x)＝tan2x－2tanx，求f(x)的值域．
[解] (1)由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)得，2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由于tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝－tan＝－tan，
又0＜＜＜，而y＝tanx在上单调递增，
所以tan＜tan，－tan＞－tan，
即tan＞tan.
(3)令tanx＝t，由|x|≤，则t∈[－，]．
即有y＝t2－2t＝(t－1)2－1，
则y在[－，1]上单调递减，在[1，]上单调递增．
∴y的最大值为3＋2，最小值为－1.
∴f(x)的值域为[－1,3＋2]．
[条件探究] 把本例(1)改为求y＝tan的单调区间．
解 y＝tan＝－tan，
则由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，得
2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝tan的单调递减区间是
(k∈Z)．
金版点睛
运用正切函数的单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．(1)比较tan1，tan2，tan3的大小；
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
解 (1)因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．
又因为＜2＜π，所以－＜2－π＜0.
因为＜3＜π，所以－＜3－π＜0.
显然－＜2－π＜3－π＜1＜，
又y＝tanx在上单调递增，
所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan1，
即tan2＜tan3＜tan1.
(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得
－＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝3tan的单调递减区间为
(k∈Z).
题型三 与正切函数有关的定义域问题
例3 求函数y＝＋lg (1－tanx)的定义域．
[解] 函数y＝＋lg (1－tanx)有意义，等价于解得0≤tanx<1.
由正切函数图象可得kπ≤x<kπ＋，k∈Z.
所以原函数的定义域为kπ≤x<kπ＋，k∈Z.
金版点睛
解正切不等式的步骤
(1)作出正切函数y＝tanx在上的图象；
(2)求出在内使tanx＝a成立的x的值；
(3)利用图象确定不等式在内的解集；
(4)结合函数的周期性把(3)中的解集扩展到整个定义域内．
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg (－tanx)．
解 (1)要使函数y＝有意义，必须且只需所以函数的定义域为
.
(2)因为－tanx＞0，所以tanx＜.
又因为当tanx＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域是.
题型四 正切函数图象的应用
例4 画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周
期性．
[解] y＝|tanx|
＝
可作出其图象(如图)，由图象知函数y＝|tanx|的单调递减区间为(k∈Z)，单调
递增区间为(k∈Z)．
∴该函数是偶函数，周期为π.
金版点睛
作函数y＝|f(x)|以及周期函数图象的方法
(1)作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期内的图象，再利用周期性，延
展到定义域上即可．
设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解 (1)∵f(x)＝tan，∴ω＝，∴周期T＝＝＝2π.
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数的对称中心是，k∈Z.
(2)令－＝0，得x＝，
令－＝，得x＝.
令－＝－，得x＝－.
∴函数f(x)＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相
邻的两条渐近线方程分别是 x＝－，x＝，从而得函数 f(x)＝tan在一个周期内的
简图(如图)．
1．函数y＝3tan的一个对称中心是( )
A. B.
C. D．(0,0)
答案 C
解析 由x＋＝(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)．令k＝0，得函数y＝3tan的一个
对称中心是.故选C.
2．下列函数中，同时满足：①在上单调递增，②为奇函数，③以π为最小
正周期的函数是( )
A．y＝tanx B．y＝cosx
C．y＝tan D．y＝|sinx|
答案 A
解析 经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给
函数的周期为2π.故选A.
3．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
答案 D解析 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以与函数图象不相交的一
条直线为x＝.
4．－tan与tan的大小关系是________．
答案 －tan<tan
解析 －tan＝－tan，tan＝－tan＝－tan.因为0<<<<π，所以tan>0，tan<0.所
以－tan<－tan，即－tan<tan.
5．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解 由x－≠＋kπ，k∈Z，得
x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为.
T＝＝2π，所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ＜x－＜＋kπ，k∈Z，得
－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.
所以函数y＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
