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章末复习提升课
互斥事件、对立事件的概率
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该
超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
【解】 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的
结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均
值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A ，A ，A 分别表示
1 2 3
事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
P(A)＝＝，P(A)＝＝，P(A)＝＝.
1 2 3
因为A＝A∪A∪A，且A，A，A 是互斥事件，所以
1 2 3 1 2 3
P(A)＝P(A∪A∪A)＝P(A)＋P(A)＋P(A)＝＋＋＝.
1 2 3 1 2 3
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
(1)互斥事件与对立事件的概率计算
①若事件A，A，…，A 彼此互斥，则
1 2 n
P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n
②设事件A的对立事件是A，则P(A)＝1－P(A)．
(2)求复杂事件的概率常用的两种方法
①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．
②先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．
受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润
与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保
修期为3年，乙品牌车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取
50辆，统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障
03 02
的时间x(年)
轿车数量(辆) 2 1 3 44 2 3 45
(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概
率；
(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概
率．
(注：将频率视为概率)
解：(1)设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，
设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，因为A，B，C是彼此互斥的，
其概率分别为P(A)＝＝，P(B)＝，P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，
即首次出现故障发生在保修期内的概率为.
(2)乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为＝.
古典概型
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，
标号分别为1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片
颜色不同且标号之和小于4的概率．
【解】 (1)将标号为1，2，3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1，2的两张
蓝色卡片分别记为D，E.从这五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，
(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．
从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4的结果为
(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)将标号为0的绿色卡片记为F.从这六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，
B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，
E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．
从这六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4的结果为
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两
张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
求解古典概型概率“四步”法
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2
女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解：(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1，乙男)、
(甲男2，乙男)、(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女
2)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的
结果有(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)，共4种，所以选
出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、
(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、(甲女，乙女
1)、(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)、(甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、
(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1，乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，乙女
1)、(乙男，乙女2)、(乙女1，乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率
为＝.
事件的相互独立性
计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”
与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．
甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的
概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可
能性大？
(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书”的
概率．
【解】 (1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件
B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，则P(A)＝ ×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝，从而
P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得“合格证书”的可能性大．
(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证
书’”为事件D，则P(D)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＝.
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．
(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件
的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，
0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率
为( )
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
解析：选C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件 A，B，C，D，则P(A)＝0.6，
P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，所以同一工作日最少3人需使用设备的概率为P(ABCD
＋ ABCD ＋ ABCD ＋ ABCD ＋ ABCD) ＝ 0.6×0.5×0.5×0.6 ＋ 0.6×0.5×0.5×0.4 ＋
0.6×0.5×0.5×0.4＋0.4×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31.
概率与统计的综合问题
某食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D，E.现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行
统计分析，得到频率分布表如下：
X A B C D E
频率 0.1 0.2 0.45 0.15 0.1
从等级系数为A，D，E的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)．
(1)求取出的两件样品是等级系数为A与D的概率；
(2)求取出的两件样品是不同等级的概率．
【解】 (1)A级所取的样品数为20×0.1＝2，D级所取的样品数为20×0.15＝3，E级
所取的样品数为20×0.1＝2.
将等级系数为A的2件样品分别记为a ，a ；等级系数为D的3件样品分别记为x ，
1 2 1
x，x；等级系数为E的2件样品分别记为y，y；
2 3 1 2
现从a ，a ，x ，x ，x ，y ，y 这7件样品中一次性任取两件，共有21个不同的结果，
1 2 1 2 3 1 2
分别为(a ，a)，(a ，x)，(a ，x)，(a ，x)，(a ，y)，(a ，y)，(a ，x)，(a ，x)，(a ，
1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 2 2
x)，(a ，y)，(a ，y)，(x ，x)，(x ，x)，(x ，y)，(x ，y)，(x ，x)，(x ，y)，(x ，y)，
3 2 1 2 2 1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2
(x，y)，(x，y)，(y，y)．
3 1 3 2 1 2
记事件M为“取出的两件样品是等级系数为A与D”，则事件M所包含的样本点有6
个，分别为(a，x)，(a，x)，(a，x)，(a，x)，(a，x)，(a，x)．
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3
所以事件M的概率P(M)＝＝.
(2)法一：记事件N为“取出的两件样品是等级系数为A与E”，则事件N所包含的样
本点有4个，分别为(a，y)，(a，y)，(a，y)，(a，y)，所以事件N的概率P(N) ＝.
1 1 1 2 2 1 2 2
记事件Q为“取出的两件样品是等级系数为D与E”，则事件Q所包含的样本点有6
个，分别为(x ，y)，(x ，y)，(x ，y)，(x ，y)，(x ，y)，(x ，y)，所以事件Q的概率
1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2
P(Q)＝＝.
因为事件 M，N，Q 为互斥事件，所以取出的两件样品是不同等级的概率为
P(M∪N∪Q)＝P(M)＋P(N)＋P(Q) ＝.
法二：记事件L为“取出的两件样品是不同等级”，则事件L为“取出的两件样品是
同等级”，所以事件L所含的样本点有5种，分别为(a ，a)，(x ，x)，(x ，x)，(x ，x)，
1 2 1 2 1 3 2 3
(y，y)，所以事件L的概率P(L)＝，
1 2
所以P(L)＝1－P(L)＝1－＝，
即取出的两件样品是不同等级的概率为.
解决概率与统计综合问题应注意的问题
在解决此类综合问题时，应对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用
信息，排除无关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保
人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出 0 1 2 3 4 ≥5险次数
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．
求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为
＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次
数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
,
1．(2019·福建省师大附中期中考试)袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出
两个球．设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表
示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论正确的是( )
A．P与R是互斥事件
B．P与Q是对立事件
C．Q和R是对立事件
D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件
解析：选C.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共
有如下几类：
①取出的两球都是黑球；②取出的两球都是白球；③取出的球一黑一白．
事件R包括①③两类情况，所以事件P是事件R的子事件，故A不正确；
事件Q与事件R互斥且对立，所以选项C正确，选项D不正确；事件P与事件Q互斥，但不是对立事件，所以选项B不正确．
故选C.
2．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风
的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
解析：选A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预
报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此
互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为 0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝
0.95.
法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星
预报都不准确”，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.
3．(2019·江西省上饶市期末统考)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a，按下列
1
方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面
朝上或两个反面朝上，则把a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，
1
则把a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数a ，对实数a 仍按上述方法进行一
1 2 2
次操作，又得到一个新的实数a，当a>a 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则
3 3 1
a 的取值范围是________．
1
解析：由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：
当a＝2(2a－6)－6＝4a－18，其出现的概率为＝，
3 1 1
当a＝(2a－6)＋6＝a＋3，其出现的概率为＝，
3 1 1
当a＝2－6＝a＋6，其出现的概率为＝，
3 1
当a＝＋6＝＋9，其出现的概率为＝，
3
因为甲获胜的概率为，即a>a 的概率为，
3 1
则满足或，整理得a≤6或a≥12.
1 1
答案：(－∞，6]∪[12，＋∞)
4．(2019·广东省惠州市期末考试)2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为
了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间(单
位：小时)的数据，按阅读时间分组：第一组[0，5), 第二组[5，10)，第三组[10，15)，第四
组[15，20)，第五组[20，25]，绘制了频率分布直方图如图所示．已知第三组的频数是第五
组频数的3倍．(1)求a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；
(2)现从第三、四、五这3组中用分层随机抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比
赛”．经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的
概率．
解：(1)由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为 1－(0.01＋0.07＋0.04)×5
＝0.4，
第三组的频率为0.4×＝0.3，
所以a＝＝0.06.
该样本数据的平均数x＝2.5×0.01×5＋7.5×0.07×5＋12.5×0.06×5＋17.5×0.04×5
＋22.5×0.02×5＝12.25，
所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为12.25小时．
(2)易得从第三、四、五组抽取的人数分别为3，2，1,
设为A，B，C，D，E，F，则从该6人中选拔2人的样本点有：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，
D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个，
其中来自不同的组别的样本点有：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，
F)，(E，F)，
共11个，
所以这2人来自不同组别的概率为.
[A 基础达标]
1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，
女同学20名)采取分层随机抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲
被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为在分层随机抽样中，任何个体被抽到的概率均相等，所以女同学甲被抽到的概率P＝＝，故应选C.
2．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
5人及
排队人数 0 1 2 3 4
以上
概率 0.11 0.16 0.3 0.29 0.1 0.04
则至多有2人排队的概率为( )
A．0.3 B．0.43
C．0.57 D．0.27
解析：选C.记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件
C，A、B、C彼此互斥．记“至多有2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋
P(B) ＋P(C)＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.
3．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b
