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[A 基础达标]
1．已知 ▱ABCD中∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D.如图，AD与CD的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A. B.
C．3 D．5
解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，
则向量a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．故选C.
5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，
则AB·BC等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以
AB·BC＝1××cos 150°＝－.
6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________．
解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－
3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－.
答案：－
7．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos ＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ
＝0，所以λ＝－.
答案：－
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB·AC＝8，则△ABC的形状是________．
解析：因为AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所
以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，
因为a·b＝，所以|a|·|b|cos θ＝，
所以cos θ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，
所以|a－b|＝.
10．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影
向量为－e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e＝－e，
所以cos θ＝－，所以θ＝.
(2)易知a·b＝|a|·|b|cos θ＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
所以λ＝.
[B 能力提升]11．在△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：选D.因为AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，所以AB2－AB·AC＝BA·BC＋
CA·CB，
所以AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，
所以AB·CB＝BC2，所以BC·(BC＋AB)＝0，
所以BC·AC＝0，
所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
12．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设
向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则
AD·BC＝________．
解析：由DC＝2BD，所以BD＝BC，BC＝AC－AB，
故AD·BC＝(AB＋BD)·BC
＝·(AC－AB)
＝·(AC－AB)
＝AB·AC＋AC2－AB2
＝|AB||AC|cos 120°＋|AC|2－|AB|2＝×2×1×＋×1－×22＝－.
答案：－
14．设向量e ，e 满足|e|＝2，|e|＝1，e ，e 的夹角为60°，若向量2te ＋7e 与向量e
1 2 1 2 1 2 1 2 1
＋te 的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
2
解：由向量2te＋7e 与e＋te 的夹角为钝角，
1 2 1 2
得<0，
即(2te＋7e)·(e＋te)<0，
1 2 1 2
化简即得2t2＋15t＋7<0，
画出y＝2t2＋15t＋7的图象，如图．
若2t2＋15t＋7<0，
则t∈.
当夹角为π时，也有(2te＋7e)·(e＋te)<0，
1 2 1 2但此时夹角不是钝角，
设2te＋7e＝λ(e＋te)，λ<0，可得
1 2 1 2
⇒
所以所求实数t的取值范围是
∪.
[C 拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD.
(1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP＝6，求AB与AD夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD·DC＝0，
由CP＝2PD，得DP＝DC，CP＝CD＝－DC.
所以AP·BP＝·
＝·
＝2－AD·DC－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AD＋AB，
BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，
所以AP·BP＝·
＝2－AB·AD－2
＝36－AB·AD－18＝18－AB·AD.
又AP·BP＝6，
所以18－AB·AD＝6，
所以AB·AD＝36.
设AB与AD的夹角为θ，
又AB·AD＝|AB|·|AD|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝.
所以AB与AD夹角的余弦值为.
