文档内容
6．2.4 向量的数量积
考点 学习目标 核心素养
理解平面向量夹角的定义，并会
向量的夹角 直观想象、数学运算
求已知两个非零向量的夹角
理解平面向量数量积的含义并会
向量数量积的含义 数学抽象、数学运算
计算
投影向量 理解a在b上的投影向量的概念 数学抽象
向量数量积的性质和 掌握平面向量数量积的性质及其
数学运算、逻辑推理
运算律 运算律，并会应用
问题导学
预习教材P17－P22的内容，思考以下问题：
1．什么是向量的夹角？
2．数量积的定义是什么？
3．投影向量的定义是什么？
4．向量数量积有哪些性质？
5．向量数量积的运算有哪些运算律？
1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝
a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；
②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
③当θ＝π时，向量a与b反向．
■名师点拨
按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是
两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA与AB的夹角．作AD＝
CA，则∠BAD才是向量CA与AB的夹角．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量 | a | | b | cos __θ 叫做向量a与b的数量
积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ | a | | b |cos __ θ .
规定零向量与任一向量的数量积为0．
■名师点拨
(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
3．投影向量
如图(1)，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下
变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为
A，B，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，
1 1
A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．
如图(2)，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线
ON的垂线，垂足为M，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量．
1
(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1＝|a|
cos θ e.
■名师点拨
当θ＝0时，OM1＝|a|e；当θ＝时，OM1＝0；当θ∈时，OM1与b方向相同；当θ∈时，
OM1与b方向相反；当θ＝π时，OM1＝－|a|e.
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b ＝ 0 ．
(3)当a与b同向时，a·b＝ | a | | b |；
⇔
当a与b反向时，a·b＝ － | a || b |．特别地，a·a＝ | a | 2 或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
■名师点拨
对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需
判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝ λ ( a·b ) ＝ a ·( λ b ) (结合律)．
(3)(a＋b)·c＝ a·c ＋ b·c (分配律)．
■名师点拨
(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝
b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c
共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.( )
(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )
(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．(
)
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12 B．12
C．－12 D．－12
解析：选B.m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×＝12.
已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为( )
A．60° B．120°
C．135° D．150°
解析：选B.设a与b的夹角为θ.
因为(3a)·＝－36，
所以3×a·b＝－36，
又|a|＝10，|b|＝12，
所以3××10×12cos θ＝－36，
所以cos θ＝－.
又因为θ∈，
所以θ＝120°.
4．已知|a|＝，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______．
解析：因为a－b与a＋2b互相垂直，
所以(a－b)·(a＋2b)＝0，
即a2＋a·b－2b2＝0.
又因为|a|＝，|b|＝1，
所以a·b＝2b2－a2＝2×12－()2＝0，
即a·b＝0.
答案：0
平面向量的数量积运算
(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．(2)如图，在 ▱ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：
①AD·BC；②AB·DA.
【解】 (1)(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192.
(2)①因为AD∥BC，且方向相同，
所以AD与BC的夹角是0°，
所以AD·BC＝|AD||BC|·cos 0°＝3×3×1＝9.
②因为AB与AD的夹角为60°，
所以AB与DA的夹角为120°，
所以AB·DA＝|AB||DA|·cos 120°
＝4×3×＝－6.
[变问法]若本例(2)的条件不变，求AC·BD.
解：因为AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，
所以AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)
＝AD2－AB2＝9－16＝－7.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量
的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝________．
解析：BD·CD＝BD·BA＝(BA＋BC)·BA＝(BA)2＋BC·BA＝a2＋a2 cos 60°＝a2.
答案：a2向量模的有关计算
(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)|a＋2b|＝＝
＝
＝ ＝2.
(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos 60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.
【答案】 (1)B (2)B
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记
开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
1．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝
______．
解析：由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝2.
因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4.
答案：2 4
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________．
解析：法一：由|a－b|＝1得a2－2a·b＋b2＝1，
所以|a|2－2a·b＋|b|2＝1，
所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.
法二：如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°，
所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，所以a·b＝，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋
2×＋1＝3，所以|a＋b|＝.
答案：
向量的夹角与垂直
命题角度一：求两向量的夹角
(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b
的夹角为______．
【解析】 (1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2
＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，
所以24cos θ＝36＋72－96＝12，
所以cos θ＝.
又因为θ∈，所以θ＝.
(2)设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝.又
因为|a|＝2|b|，
所以cos θ＝＝.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
【答案】 (1) (2)
命题角度二：证明两向量垂直
已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
【证明】 因为|a＋tb|＝＝＝，
所以当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2
＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb)．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(
)
A．－ B．
C．± D．1
(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝
________．
【解析】 (1)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
所以12k－18＝0，k＝.
(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，
即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，
而a，b，c为单位向量，
则a2＝b2＝c2＝1，
则49＝9＋λ2＋6λcos ，
即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】 (1)B (2)－8或5
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计
算cos θ＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
若单位向量e ，e 的夹角为，向量a＝e ＋λe(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝
1 2 1 2
________．
解析：由题意可得e·e ＝，|a|2＝(e ＋λe)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解
1 2 1 2
得λ＝－.
答案：－
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ
＝.
2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的
值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B.因为c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
所以2k＝12，所以k＝6.
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
解析：设a与b的夹角θ，则
cos θ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×e
＝－e.
答案：－e
4．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：设向量a与b的夹角为θ.
(1)当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－.
(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，|a＋b|＝.
(3)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b，cos θ＝＝，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°.
[A 基础达标]
1．已知 ▱ABCD中∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D.如图，AD与CD的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A. B.
C．3 D．5
解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，
则向量a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．故选C.
5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，
则AB·BC等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以
AB·BC＝1××cos 150°＝－.
6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－
3a)·(a＋b)＝________．
解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－
3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－.
答案：－
7．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos ＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ
＝0，所以λ＝－.
答案：－
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB·AC＝8，则△ABC的形状是________．
解析：因为AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所
以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，
因为a·b＝，所以|a|·|b|cos θ＝，
所以cos θ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，
所以|a－b|＝.10．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影
向量为－e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e＝－e，
所以cos θ＝－，所以θ＝.
(2)易知a·b＝|a|·|b|cos θ＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
所以λ＝.
[B 能力提升]
11．在△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：选D.因为AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，所以AB2－AB·AC＝BA·BC＋
CA·CB，
所以AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，
所以AB·CB＝BC2，所以BC·(BC＋AB)＝0，
所以BC·AC＝0，
所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
12．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设
向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则
AD·BC＝________．
解析：由DC＝2BD，所以BD＝BC，BC＝AC－AB，
故AD·BC＝(AB＋BD)·BC
＝·(AC－AB)＝·(AC－AB)
＝AB·AC＋AC2－AB2
＝|AB||AC|cos 120°＋|AC|2－|AB|2＝×2×1×＋×1－×22＝－.
答案：－
14．设向量e ，e 满足|e|＝2，|e|＝1，e ，e 的夹角为60°，若向量2te ＋7e 与向量e
1 2 1 2 1 2 1 2 1
＋te 的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
2
解：由向量2te＋7e 与e＋te 的夹角为钝角，
1 2 1 2
得<0，
即(2te＋7e)·(e＋te)<0，
1 2 1 2
化简即得2t2＋15t＋7<0，
画出y＝2t2＋15t＋7的图象，如图．
若2t2＋15t＋7<0，
则t∈.
当夹角为π时，也有(2te＋7e)·(e＋te)<0，
1 2 1 2
但此时夹角不是钝角，
设2te＋7e＝λ(e＋te)，λ<0，可得
1 2 1 2
⇒
所以所求实数t的取值范围是
∪.
[C 拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD.
(1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP＝6，求AB与AD夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD·DC＝0，
由CP＝2PD，得DP＝DC，CP＝CD＝－DC.
所以AP·BP＝·
＝·
＝2－AD·DC－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AD＋AB，
BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，
所以AP·BP＝·
＝2－AB·AD－2
＝36－AB·AD－18＝18－AB·AD.又AP·BP＝6，
所以18－AB·AD＝6，
所以AB·AD＝36.
设AB与AD的夹角为θ，
又AB·AD＝|AB|·|AD|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝.
所以AB与AD夹角的余弦值为.
