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3.2.1 单调性与最大(小)值
第 1 课时 函数的单调性
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数的单调性和单调区间的概念.2.会划分函数的单调区间，
判断函数的单调性，会用符号语言表达函数的单调性.3.会用定义证明函数的单调
性．
教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调性．
教学难点：用定义证明函数的单调性.
【知识导学】
知识点一 函数的单调性及其符号表达
(1)函数单调性的概念
□ 函数值随自变量的增大而增大 ( 或减小 ) 的性质 叫做函数的单调性．
(2)函数单调性的符号表达
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
如果 □ ∀ x ， x ∈ D ，当x <x 时，都有 □ f ( x )< f ( x )，那么就称函数f(x)在区间
1 2 1 2 1 2
D上单调 □ 递增．
如果 □ ∀ x ， x ∈ D ，当x <x 时，都有 □ f ( x )> f ( x )，那么就称函数f(x)在区间
1 2 1 2 1 2
D上单调 □ 递减．
知识点二 增函数、减函数
当函数f(x)在它的 □ 定义域 上 □ 单调递增 时，我们就称它是增函数(increasing
function)．
当函数f(x)在它的 □ 定义域 上 □ 单调递减 时，我们就称它是减函数(decreasing
function)．
知识点三 单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上 □ 单调递增 或 □ 单调递减 ，那么就说函数y＝f(x)
在这一区间具有(严格的) □ 单调性 ， □ 区间 D 叫做y＝f(x)的单调区间．
【新知拓展】
1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对 x ，x
1 2有下列要求：
(1)属于同一个区间D；
(2)任意性，即x ，x 是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值
1 2
代替；
(3)有大小，即确定的任意两值x ，x 必须区分大小，一般令x <x .
1 2 1 2
2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝
它的定义域为N，但不具有单调性．
3．单调区间
(1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递
增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；
(2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不
具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递
增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整
个定义域上不具有单调性．
5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而
应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都
单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间 D而言的．对于单独的一
点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因
此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的
点，单调区间一定不能包括这些点．
7．图象变换对单调性的影响
(1)上下平移不影响单调区间，即y＝f(x)和y＝f(x)＋b的单调区间相同．
(2)左右平移影响单调区间．如y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x＋1)2
的单调递减区间为(－∞，－1]．
(3)y＝k·f(x)，当k>0时单调区间与f(x)相同，当k<0时单调区间与f(x)相反．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )
(2)函数单调递增(减)定义中的“∀x ，x ∈D”可以改为“∃x ，x ∈D”．(
1 2 1 2
)
(3)若区间 D 是函数 f(x)的一个单调递增区间，且 x ，x ∈D，若 x <x ，则
1 2 1 2
f(x )<f(x )；反之也成立．( )
1 2
(4)设 D 是函数 f(x)定义域内的某个区间，若∃x ，x ∈D，当 x <x 时，有
1 2 1 2
f(x )>f(x )，则f(x)在区间D上不单调递增．( )
1 2(5)对于二次函数y＝x2－2x＋3，它在(－∞，0]上单调递减，所以它的单调递
减区间是(－∞，0]．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示，从左至右图象是上升的还是下降的：
________.
(2)已知函数y＝f(x)的图象如图2所示，则该函数的单调递增区间是________，
单调递减区间是________．
(3)下列函数f(x)中，满足∀x ，x ∈(0，＋∞)，当x <x 时，都有f(x )>f(x )的
1 2 1 2 1 2
是________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案 (1)上升的 (2)(－∞，－1]，(1，＋∞) [－1,1]
(3)②
题型一 证明或判断函数的单调性
例1 证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增．
[证明] ∀x ，x ∈(2，＋∞)，且x <x ，
1 2 1 2
则f(x )－f(x )＝x ＋－x －＝(x －x )＋＝.
1 2 1 2 1 2
∵2<x <x ，∴x －x <0，x x >4，x x －4>0.
1 2 1 2 1 2 1 2
∴f(x )－f(x )<0，即f(x )<f(x )．
1 2 1 2
∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增．
金版点睛
定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照
单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：注意：对单调递增的判断，当 x <x 时，都有f(x )<f(x )，也可以用一个不等
1 2 1 2
式来替代：
(x －x )[f(x )－f(x )]>0或>0.
1 2 1 2
对单调递减的判断，当 x <x 时，都有f(x )>f(x )，相应地也可用一个不等式
1 2 1 2
来替代：
(x －x )[f(x )－f(x )]<0或<0.
1 2 1 2
利用单调性的定义判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性．
解 ∀x ，x ∈(－1，＋∞)，且x <x ，则f(x )－f(x )＝－＝.
1 2 1 2 1 2
∵－1<x <x ，∴x －x >0，x ＋1>0，x ＋1>0.
1 2 2 1 1 2
∴>0，
即f(x )－f(x )>0，f(x )>f(x )．
1 2 1 2
∴f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减.
题型二 求单调区间
例2 (1)求函数y＝|x2＋2x－3|的单调递增区间与单调递减区间；
(2)作出函数f(x)＝＋的图象，并指出其单调区间．
[解] (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及
其上方部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|x2＋2x－3|的图象，
如图所示．
由图象，得原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间
是(－∞，－3]和[－1，1]．
(2)函数f(x)可化为：
f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
作出函数f(x)的图象如图所示．由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中，单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[3，＋∞)．
金版点睛
常用画图象求单调区间
(1)对于函数单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图
象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)．
(3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数
的定义域．
(1)根据下图说出函数的单调递增区间与单调递减区间；
(2)写出f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间．
解 (1)函数的单调递增区间是[0,2]，[4,5]，函数的单调递减区间是[－1,0]，
[2,4]．
(2)先画出f(x)＝的图象，如图．
所以f(x)＝|x2－2x－3|的单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是
[－1,1]，[3，＋∞).
题型三 抽象函数的单调性例 3 设 f(x)是定义在 R 上的函数，对 m，n∈R，恒有 f(m＋n)＝f(m)·f(n)
(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：
(1)f(0)＝1；
(2)∀x∈R，恒有f(x)>0；
(3)f(x)是减函数．
[证明] (1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)．
∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意知x>0时，0<f(x)<1，
当x＝0时，f(0)＝1>0，
当x<0时，－x>0，∴0<f(－x)<1.
∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)·f(－x)＝1，
∴f(x)＝>0.
∴∀x∈R，恒有f(x)>0.
(3)∀x ，x ∈R，且x <x ，
1 2 1 2
则f(x )＝f[x ＋(x －x )]，
2 1 2 1
∴f(x )－f(x )＝f[x ＋(x －x )]－f(x )＝f(x )·f(x －x )－f(x )＝f(x )[f(x －x )－1]．
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
由(2)知f(x )>0，又x －x >0，
1 2 1
∴0<f(x －x )<1，
2 1
故f(x )－f(x )<0，∴f(x)是减函数．
2 1
金版点睛
抽象函数单调性的判断方法
这里的抽象函数一般由方程(不等式)确定，解决这类函数的单调性问题通常
有两种方法．一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结
论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行
多次尝试．
注意：若给出的是和型(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x )－
2
f(x )＝f[(x －x )＋x ]－f(x )，f(x )－f(x )＝f(x )－f[(x －x )＋x ]；
1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2
若给出的是积型(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为 f(x )－f(x )＝f－
2 1
f(x )，f(x )－f(x )＝f(x )－f.
1 2 1 2
已知函数f(x)，∀x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0.
求证：f(x)为减函数．
证明 ∀x ，x ∈R，且x >x ，
1 2 2 1则x －x >0，
2 1
∵当x>0时，f(x)<0，∴f(x －x )<0，
2 1
∴f(x )－f(x )＝f[(x －x )＋x ]－f(x )＝f(x －x )＋f(x )－f(x )＝f(x －x )<0，
2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
∴f(x)为减函数.
题型四 复合函数的单调性
例4 求函数f(x)＝的单调区间．
[解] 易知函数f(x)的定义域为{x|x<－4或－4<x<2或x>2}．
令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，
易知其单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是(－1,2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，
－4)和(－4，－1]．
金版点睛
一般地，对于复合函数 y＝f[g(x)]，如果t＝g(x)在(a，b)上单调，并且y＝f(t)
在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上也单调，那么y＝f[g(x)]在(a，b)上的单调性如下
表所示，简记为“同增异减”．
若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函
数中减函数的个数决定．若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函
数有奇数个，则这个复合函数为减函数．
判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)将复合函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调性；
(4)确定复合函数y＝f[g(x)]的单调性．
已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f(1－x2)的单调递减区间．
解 ∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，∴1－x2≥0，即x2≤1，故－1≤x≤1.
令u＝1－x2，则f(1－x2)＝f(u)．
∵u＝1－x2在[0,1]上单调递减，
∴f(1－x2)在[0,1]上单调递增；
∵u＝1－x2在[－1,0]上单调递增，
∴f(1－x2)在[－1,0]上单调递减．
故f(1－x2)的单调递减区间为[－1,0].
题型五 函数单调性的应用
例5 (1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上单调递减，且f(1－a)<f(2a－1)，求a
的取值范围；
(2)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值
范围．
[解] (1)由题意可知
解得0<a<1.①
又f(x)在(－1,1)上单调递减，且f(1－a)<f(2a－1)，
∴1－a>2a－1，即a<.②
由①②可知，0<a<.
即所求a的取值范围是.
(2)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2
＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．
又∵函数f(x)在(－∞，4]上单调递减，
∴1－a≥4，即a≤－3.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．
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利用单调性比较大小或解不等式的方法
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值
的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
(2)相关结论
①正向结论：若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当x <x 时，f(x )<f(x )；当
1 2 1 2
x >x 时，f(x )>f(x )；
1 2 1 2
②逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当f(x )<f(x )时，x <x ；当
1 2 1 2
f(x )>f(x )时，x >x .
1 2 1 2
当y＝f(x)在给定区间上单调递减时，也有相应的结论．(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数 t都有f(2＋t)＝f(2－t)，试比较
f(1)，f(2)，f(4)的大小；
(2)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值
范围．
解 (1)由题意知f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，
故f(1)＝f(3)，
由题意知f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)．
(2)由题意，得解得1≤x≤2.①
因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，所以x－2<1－
x，解得x<，②
由①②得1≤x＜.
所以满足题设条件的x的取值范围为.
1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数 f(x)
的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
答案 C
解析 函数在区间[－3,1]和[4,5]上单调递减，在区间[－3,1]∪[4,5]上无单调
性．故选C.
2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
答案 A
解析 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上单调递减，反比例函数y
＝在(0，＋∞)上单调递减，二次函数 y＝－x2＋4在(0，＋∞)上单调递减．故选A.
3．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数 x ，x ，且x <x ，使f(x )<f(x )
1 2 1 2 1 2
成立，则y＝f(x)( )
A．一定是增函数 B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
答案 D
解析 由单调性的定义可知，不能用特殊值代替一般值．故 y＝f(x)的单调性
不能确定．
4．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，在[－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上
单调递减，则f(1)＝________.
答案 13
解析 由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则
f(1)＝13.
5．已知函数f(x)＝，判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．
解 函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：∀x ，x ∈(0，＋∞)，且x >x ，
1 2 1 2
则f(x )－f(x )＝－
1 2
＝，
由x ，x ∈(0，＋∞)，得x ＋1>0，x ＋1>0，
1 2 1 2
又由x >x ，得x －x >0，故f(x )－f(x )>0，
1 2 1 2 1 2
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
