文档内容
3.2.1 单调性与最大(小)值
第 1 课时 函数的单调性
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数的单调性和单调区间的概念.2.会划分函数的单调区间，
判断函数的单调性，会用符号语言表达函数的单调性.3.会用定义证明函数的单调
性．
教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调性．
教学难点：用定义证明函数的单调性.
【知识导学】
知识点一 函数的单调性及其符号表达
(1)函数单调性的概念
□ 函数值随自变量的增大而增大 ( 或减小 ) 的性质 叫做函数的单调性．
(2)函数单调性的符号表达
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
如果 □ ∀ x ， x ∈ D ，当x f ( x )，那么就称函数f(x)在区间
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D上单调 □ 递减．
知识点二 增函数、减函数
当函数f(x)在它的 □ 定义域 上 □ 单调递增 时，我们就称它是增函数(increasing
function)．
当函数f(x)在它的 □ 定义域 上 □ 单调递减 时，我们就称它是减函数(decreasing
function)．
知识点三 单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上 □ 单调递增 或 □ 单调递减 ，那么就说函数y＝f(x)
在这一区间具有(严格的) □ 单调性 ， □ 区间 D 叫做y＝f(x)的单调区间．
【新知拓展】
1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对 x ，x
1 2有下列要求：
(1)属于同一个区间D；
(2)任意性，即x ，x 是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值
1 2
代替；
(3)有大小，即确定的任意两值x ，x 必须区分大小，一般令x 0时单调区间与f(x)相同，当k<0时单调区间与f(x)相反．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )
(2)函数单调递增(减)定义中的“∀x ，x ∈D”可以改为“∃x ，x ∈D”．(
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)
(3)若区间 D 是函数 f(x)的一个单调递增区间，且 x ，x ∈D，若 x f(x )，则f(x)在区间D上不单调递增．( )
1 2(5)对于二次函数y＝x2－2x＋3，它在(－∞，0]上单调递减，所以它的单调递
减区间是(－∞，0]．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示，从左至右图象是上升的还是下降的：
________.
(2)已知函数y＝f(x)的图象如图2所示，则该函数的单调递增区间是________，
单调递减区间是________．
(3)下列函数f(x)中，满足∀x ，x ∈(0，＋∞)，当x f(x )的
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是________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案 (1)上升的 (2)(－∞，－1]，(1，＋∞) [－1,1]
(3)②
题型一 证明或判断函数的单调性
例1 证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增．
[证明] ∀x ，x ∈(2，＋∞)，且x 4，x x －4>0.
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∴f(x )－f(x )<0，即f(x )0或>0.
1 2 1 2
对单调递减的判断，当 x f(x )，相应地也可用一个不等式
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来替代：
(x －x )[f(x )－f(x )]<0或<0.
1 2 1 2
利用单调性的定义判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性．
解 ∀x ，x ∈(－1，＋∞)，且x 0，x ＋1>0，x ＋1>0.
1 2 2 1 1 2
∴>0，
即f(x )－f(x )>0，f(x )>f(x )．
1 2 1 2
∴f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减.
题型二 求单调区间
例2 (1)求函数y＝|x2＋2x－3|的单调递增区间与单调递减区间；
(2)作出函数f(x)＝＋的图象，并指出其单调区间．
[解] (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及
其上方部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|x2＋2x－3|的图象，
如图所示．
由图象，得原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间
是(－∞，－3]和[－1，1]．
(2)函数f(x)可化为：
f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
作出函数f(x)的图象如图所示．由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中，单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[3，＋∞)．
金版点睛
常用画图象求单调区间
(1)对于函数单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图
象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)．
(3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数
的定义域．
(1)根据下图说出函数的单调递增区间与单调递减区间；
(2)写出f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间．
解 (1)函数的单调递增区间是[0,2]，[4,5]，函数的单调递减区间是[－1,0]，
[2,4]．
(2)先画出f(x)＝的图象，如图．
所以f(x)＝|x2－2x－3|的单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是
[－1,1]，[3，＋∞).
题型三 抽象函数的单调性例 3 设 f(x)是定义在 R 上的函数，对 m，n∈R，恒有 f(m＋n)＝f(m)·f(n)
(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，00；
(3)f(x)是减函数．
[证明] (1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)．
∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意知x>0时，00，
当x<0时，－x>0，∴00.
∴∀x∈R，恒有f(x)>0.
(3)∀x ，x ∈R，且x 0，又x －x >0，
1 2 1
∴00时，f(x)<0.
求证：f(x)为减函数．
证明 ∀x ，x ∈R，且x >x ，
1 2 2 1则x －x >0，
2 1
∵当x>0时，f(x)<0，∴f(x －x )<0，
2 1
∴f(x )－f(x )＝f[(x －x )＋x ]－f(x )＝f(x －x )＋f(x )－f(x )＝f(x －x )<0，
2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
∴f(x)为减函数.
题型四 复合函数的单调性
例4 求函数f(x)＝的单调区间．
[解] 易知函数f(x)的定义域为{x|x<－4或－42}．
令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，
易知其单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是(－1,2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，
－4)和(－4，－1]．
金版点睛
一般地，对于复合函数 y＝f[g(x)]，如果t＝g(x)在(a，b)上单调，并且y＝f(t)
在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上也单调，那么y＝f[g(x)]在(a，b)上的单调性如下
表所示，简记为“同增异减”．
若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函
数中减函数的个数决定．若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函
数有奇数个，则这个复合函数为减函数．
判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)将复合函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调性；
(4)确定复合函数y＝f[g(x)]的单调性．
已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f(1－x2)的单调递减区间．
解 ∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，∴1－x2≥0，即x2≤1，故－1≤x≤1.
令u＝1－x2，则f(1－x2)＝f(u)．
∵u＝1－x2在[0,1]上单调递减，
∴f(1－x2)在[0,1]上单调递增；
∵u＝1－x2在[－1,0]上单调递增，
∴f(1－x2)在[－1,0]上单调递减．
故f(1－x2)的单调递减区间为[－1,0].
题型五 函数单调性的应用
例5 (1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上单调递减，且f(1－a)2a－1，即a<.②
由①②可知，0x 时，f(x )>f(x )；
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②逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当f(x )f(x )时，x >x .
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当y＝f(x)在给定区间上单调递减时，也有相应的结论．(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数 t都有f(2＋t)＝f(2－t)，试比较
f(1)，f(2)，f(4)的大小；
(2)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)x ，
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则f(x )－f(x )＝－
1 2
＝，
由x ，x ∈(0，＋∞)，得x ＋1>0，x ＋1>0，
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又由x >x ，得x －x >0，故f(x )－f(x )>0，
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即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
