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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 1 课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(教师独具内容)
课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数 y＝
Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会
判断简单三角函数的奇偶性．
教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性．
教学难点：周期函数、最小正周期的意义.
【知识导学】
知识点一 函数的周期性
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 □ 非零常数 T ，使得当x取定义域
内的 □ 每一个 值时，都有 □ f ( x ＋ T ) ＝ f ( x )，那么函数f(x)就叫做 □ 周期 函数， □ 非
零常数 T 叫做这个函数的周期．
(2) □ 如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做f(x)的最小正周期．
(3)记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于
每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余
弦函数都是 □ 周期 函数，□2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为
□2π.
知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数y＝sinx(x∈R)是 □ 奇 函数，图象关于 □ 原点 对称；
余弦函数y＝cosx(x∈R)是□偶函数，图象关于 □ y 轴 对称．
【新知拓展】
(1)周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足
f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．
(2)从等式“f(x＋T )＝f(x)”来看，应强调的是自变量 x本身加的非零常数T
才是周期．例如，f(2x＋T)＝f＝f(2x)，则是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．
(3)如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．
(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．
(5)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为sin＝sin，所以是正弦函数y＝sinx的一个周期．( )
(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．( )(3)函数y＝3sin2x是奇函数．( )
(4)函数y＝－cosx是偶函数．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．做一做
(1)函数f(x)＝2sin是( )
A．T＝2π的奇函数 B．T＝2π的偶函数
C．T＝π的奇函数 D．T＝π的偶函数
(2)函数y＝3sin的最小正周期为________．
(3)若函数y＝sinx在[a，b]上是奇函数，则a＋b＝________.
答案 (1)B (2)π (3)0题型一 正弦函数、余弦函数的周期性
例1 求下列函数的周期．
(1)y＝3sin；
(2)y＝|cosx|；
(3)y＝3cos；
(4)y＝sin.
[解] (1)解法一：y＝3sin
＝3sin＝3sin，
令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，
∴y＝3sin的周期为4.
解法二：ω＝，∴T＝＝＝4.
(2)y＝|cosx|的图象如下图所示．
∴周期T＝π.
(3)解法一：y＝3cos＝3cos.
∵3cos＝3cos
＝3cos，
令y＝f(x)，则f＝f(x)，
∴y＝3cos的周期为.
解法二：∵|ω|＝3，∴T＝＝.
(4)解法一：y＝sin
＝sin
＝sin，
令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)，
∴y＝sin的周期为π.
解法二：∵ω＝2，∴T＝＝＝π.
金版点睛
求三角函数周期的方法
求三角函数的周期，通常有三种方法．
方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解；方法二：公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且
A≠0，ω≠0)，T＝；
方法三：观察法(图象法)．
注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为
1.
求下列函数的最小正周期．
(1)y＝sin；(2)f(x)＝2sin；
(3)f(x)＝cos；(4)f(x)＝|sinx|.
解 (1)∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴y＝sin的周期是π.
(2)解法一：∵2sin
＝2sin＝2sin，
∴f(x＋4π)＝f(x)，
∴f(x)＝2sin的周期是4π.
解法二：∵ω＝，∴T＝＝4π.
(3)f(x)＝cos＝cos.
∵cos＝cos＝cos，∴f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.
(4)f(x)＝|sinx|的图象如图所示．
∴周期T＝π.
题型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝sin|x|；
(4)f(x)＝＋.
[解] (1)∀x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝sin2x是奇
函数．
(2)∀x∈R，f(x)＝sin＝－cos，
所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin是偶函数．(3)∀x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．
(4)由得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，
此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
[条件探究] 将本例(1)改为f(x)＝cos2x，
(2)改为f(x)＝cos，再判断函数的奇偶性．
解 (1)∵∀x∈R，f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)∵∀x∈R，f(x)＝cos＝sin，
∴f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
金版点睛
判断函数奇偶性应把握好的两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
(1)判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sinx的奇偶性；
(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，求φ的一个值．
解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
又f(x)＝cosx－x3sinx，
∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)
＝cosx－x3sinx＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(2)解法一：根据y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数，
∴要使f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，只要φ的终边在y轴上即可．
把f(x)＝sin(2x＋φ)变为f(x)＝cos2x或f(x)＝－cos2x.
∴可取φ＝＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－.
解法二：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，
∴该函数关于直线x＝0对称．
又∵f(x)的对称轴满足2x＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
∴当x＝0时满足2x＋φ＝＋kπ(k∈Z)．
∴φ＝＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－.
题型三 函数周期性与奇偶性的应用
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期
是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．
[解] ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝.∴f＝.
[条件探究] 若本例条件改为：函数f(x)为偶函数且f＝－f(x)，f＝1，求f的
值．
解 因为f(x)满足f＝－f(x)，
所以f(x＋π)＝－f＝f(x)．
故函数f(x)的周期为π.
由函数f(x)是偶函数以及f＝1，
可得f＝f＝f＝1.
金版点睛
化归思想在周期函数中的应用
(1)利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，
代入求解便可．
(2)如果一个函数是周期函数，先研究该函数一个周期上的特征，再加以推
广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
(3)周期性实质上是由终边相同的角所具有的周期性所决定的．
若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，求f的值．
解 ∵函数f(x)是偶函数，∴f＝f.
又函数f(x)的周期是，
∴f＝f＝f＝1.
即f＝1.
1．函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0 B. C. D．π
答案 C解析 由题意，得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝.故
选C.
2．函数y＝sin2x是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的偶函数
D．周期为的奇函数
答案 A
解析 显然函数y＝sin2x是奇函数，其最小正周期为T＝＝π，故选A.
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是
( )
答案 B
解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除A，C.
又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，故选B.
4．若函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝________.
答案 ±3
解析 ＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.
5．函数f(x)＝的奇偶性为________．
答案 非奇非偶函数
解析 由题意，知 f(x)的定义域为 x≠＋2kπ，k∈Z}，不关于原点对称．
∴f(x)为非奇非偶函数．
