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第 2 课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握正弦函数、余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角
函数的值域和最值.2.掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大
小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性和最值．
教学难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值.
【知识导学】
知识点 正弦函数、余弦函数的性质【新知拓展】
(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正
弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低
点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，
即此时的正弦值(余弦值)为0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( )
(2)存在x∈R满足sinx＝.( )
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅当x＝0时取得最大值1.( )
答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做
(1)在下列区间中，函数y＝sinx单调递增的是( )
A．[0，π] B.
C. D．[π，2π]
(2)函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为( )
A．y ＝3，x＝
max
B.y ＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
max
C．y ＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
max
D．y ＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
max
(3)函数y＝sin(x∈[0，π])的单调递增区间为________．
答案 (1)C (2)C (3)
题型一 正弦函数、余弦函数的单调区间
例1 求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝1－sin；(2)y＝sin；
(3)y＝logsin；(4)y＝cos2x.
[解] (1)由题意可知函数y＝sin的单调递减区间即为 y＝1－sin的单调递增
区间，
由2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，得
4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)，
所以函数y＝1－sin的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．
(2)y＝sin＝－sin.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数y＝sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
(3)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，
可知
解得2kπ＋≤2x＋<2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调增区间内，求得的x
的范围即函数的增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调减区间内，可求得
函数的单调减区间．
当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．
最后，需将最终结果写成区间形式．
求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos；(2)y＝3sin.
解 (1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，故函数的单调递增区
间是，k∈Z.
当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，
函数单调递减，故函数的单调递减区间是，k∈Z.
(2)y＝3sin＝－3sin，
令z＝2x－，则y＝－3sinz.
要取y＝－3sinz的增区间即取y＝sinz的减区间，
即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝3sin的单调递增区间为(k∈Z)．
要取y＝－3sinz的减区间即取y＝sinz的增区间，
即2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z)．
题型二 比较三角函数值的大小
例2 比较下列各组数的大小：
(1)cos与cos；(2)sin194°与cos160°；
(3)sin1，sin2，sin3.
[解] (1)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
∵π<<<2π，∴cos－sin70°，即sin194°>cos160°.
(3)∵1<<2<3<π，
又sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.
0<π－3<1<π－2<，
而y＝sinx在上单调递增，
∴sin(π－3)cos，
∴－cos<－cos，∴cos
